
\chapter{Continuité et dérivation}
\label{chap:cont-deriv}% référence dans chap3.ex.5 [2014]


\begin{exointro}{Lycée Carnot, Dijon}%%%%%%%%%%%%
On définit :
\[
\begin{array}{ll@{~}l@{~}l}
f :~&\R_+ &\longrightarrow& \R\\
  & x &\longmapsto& 6x \sqrt{x} - 3x^2 - 2x.
\end{array}
\]
\begin{questions}
        \item  
        \begin{questions}
                \item  Montrer que $f$ est dérivable sur $\R_+^*$, et calculer $f'$.
                \item  Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
                \item  Montrer que $f'$ est dérivable sur $\R_{+}^*$, mais pas en 0.
\par
                Calculer $f''$.
        \end{questions}
\item  
        \begin{questions}
                \item  Étudier le signe de $f''$ et dresser le tableau de variation de $f'$.
                \item  Déduire de la question précédente que l'équation $f'(x)=0$ possède deux solutions $\alpha$ et $\beta$ (avec $\alpha < \beta$).
                \item  Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$.
                \item  En reprenant l'expression de $f'$ et en posant $X = \sqrt{x}$, trouver les valeurs exactes de $\alpha$ et $\beta$.
        \end{questions}
\item  Tracer la courbe représentative de $f$.
\end{questions}
\end{exointro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Continuité}

\subsection{Continuité en un point $a$}
\begin{defin}Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. On dit que $f$ est \emph{continue} en $a$ si :
\[\lim_{x\to a} f(x)=f(a).\]
\end{defin}
 On dit que  $f$ est \emph{continue} sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.\\

Graphiquement, si une fonction est continue sur un intervalle $I$, la courbe représentative de la fonction peut être tracée sans lever le crayon.

\subsection{Fonctions continues de référence}
%
\begin{props}
Les fonctions \emph{polynômes}, les fonctions \emph{sinus} et \emph{cosinus} sont continues sur $\R$.\\
Les fonctions \emph{rationnelles} sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.\\
La fonction \emph{racine carrée} est continue sur $\left[0~;+\infty\right[$.\\
Les fonctions obtenues par somme, produit, quotient ou composition de fonctions continues sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
\end{props}

\subsection{Continuité et tableau de variation}
Dans un tableau de variation, une flèche oblique signifie à la fois continuité et stricte monotonie sur l'intervalle concerné.\\
Une double barre indique une valeur interdite et par conséquent une discontinuité.\\
Mais une fonction peut être partout définie sans être continue : par exemple la fonction partie entière qui, à tout nombre $x$ réel appartenant à l'intervalle\linebreak[4] 
$[n~; n+1[$, $n$ étant un entier relatif, associe $n$ est définie pour  tout $x$, mais n'est continue en aucune valeur entière.\\
Si la fonction est constante sur un intervalle, on utilise une flèche horizontale.


\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{thm}[TVI]
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$. 
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que \mbox{$f(c)=k$}.
\end{thm}
%
\begin{aretenir}
Ce théorème appartient à la catégorie des \emph{théorèmes d'existence}. Il assure, sous certaines hypothèses, l'existence d'\emph{au moins un} antécédent. Néanmoins, il n'assure pas l'unicité de l'antécédent considéré et ne permet pas de le calculer.
\end{aretenir}
%
\begin{coro}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$ vérifiant $a<b$. 
\par
Si $f$ est continue et  strictement monotone sur $[a~;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans l'intervalle $[a~;b]$.
\end{coro}

\begin{Remarque}
cette propriété peut aussi s'appliquer lorsque $a$ ou $b$ sont infinis à condition que $k$ ne prenne pas la valeur d'une limite.
\end{Remarque}

\section{Dérivation}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\subsection{Dérivabilité en un point $a$}
\begin{defin}
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$. On dit que $f$ est \emph{dérivable} en $a$ si la fonction :
\[h\mapsto\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
admet une limite réelle $\ell$ en zéro.
\par On dit alors que $\ell$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$ et on le note $f'(a)$.
\end{defin}
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout réel $a$ de $I$. La fonction $f'\,: x\mapsto f'(x)$ est alors appelée \emph{fonction dérivée de $f$}.

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Si $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.
\item L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
\item Si, en utilisant la définition du nombre dérivé en $a$, on trouve une limite infinie, on a une tangente (ou une demi-tangente) verticale au point d'abscisse $a$ de $\mathcal{C}_f$.
\end{itemize}
\end{Remarques}



\subsection{Dérivabilité et continuité}

\begin{thm}
Si $f$ est une fonction définie et dérivable en un réel $a$, alors elle est continue en $a$.
\end{thm}

\begin{attention}
La réciproque de ce théorème est fausse : une fonction  peut être continue sans être dérivable. Par exemple, la fonction qui à tout nombre réel $x$ associe sa valeur absolue est continue en $0$, mais pas dérivable en $0$.
\end{attention}

\subsection{Règles de dérivation}

\begin{thm}[Théorème de dérivation des fonctions composées] 
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a$ non nul, et $I$ et $J$ deux intervalles.

\begin{itemize}
\item Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ et si pour tout nombre $x$ réel de $J$, $ax+b$ appartient à $I$, alors la fonction $g : x \mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et \linebreak[4]
$g'(x) = af'(ax+b)$.
\end{itemize}

\hspace*{1cm}

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors :
\begin{itemize}
\item $\nep ^u$ est dérivable sur $I$ et $\big(\nep ^u\big)'=u' \nep ^u$ (voir chapitre \ref{chap-exp}).

\item si $u(x)>0$ sur $I$, $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

\item si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, $u^n$ est dérivable sur $I$ et\linebreak[4] 
$\big(u^n\big)'=nu'u^{n-1}$.

\item si $u(x) > 0$ sur $I$, $\ln (u)$ est dérivable sur $I$ et $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ (voir chapitre \ref{chap-ln}).
\end{itemize}
\end{thm}

Le cas suivant n'est pas exigible : Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $f$ une fonction dérivable sur $J = u(I)$.\\
Alors la fonction composée \ $f\circ u\,:\,x\mapsto y=f\big(u(x)\big)$ \ est dérivable sur $I$ et :
\[ \big[f\big(u(x)\big)\big]' = u'(x) f'\big(u(x)\big). \]


\subsection{Dérivée et sens de variation}

\begin{thm}
Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$. 
\begin{itemize}
\item Si $f'\geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
\item Si $f'\leq 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
\item Si $f'=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$. 
\end{itemize}

On a des résultats analogues avec des inégalités strictes, qui assurent des strictes monotonies  \emph{(voir page suivante)}.

\Break

\begin{itemize}
\item Si $f'>0$ sur $I$, sauf en un nombre fini de valeurs où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
\item Si $f'<0$ sur $I$, sauf en un nombre fini de valeurs où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
\end{thm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}
\begin{questions}\item\begin{questions}\item
 La fonction $f$ est dérivable sur $\R_{+}^{*}$ en tant que
somme et produit de fonctions dérivables sur $\R_{+}^{*}$, et on a, pour tout réel $x$ strictement positif :
\begin{center}$f'(x)=6\sqrt{x}+6x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-3\times 2x-2=9\sqrt{x}-6x-2.$
\end{center}

\item On revient à la définition : pour tout réel $x$ strictement positif,
\[
\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=6\sqrt{x}-3x-2\;,
\]
donc :
\[
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}(6 \sqrt{x}-3x-2) =-2.
\]
On en déduit que la fonction $f$ est dérivable en $0$ et que \linebreak[4]$f'(0)=-2$.

\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R_{+}^{*}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R_{+}^{*}$, et, pour tout réel $x$ strictement positif,\linebreak[4]  $f''(x)=\dfrac{9}{2\sqrt{x}}-6$. D'autre part,
 \[
 \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{9}{\sqrt{x}}-6\right)=+\infty.
 \]
 Donc $f'$ n'est pas dérivable en $0$.
\end{questions}


\item
\begin{questions}
        \item
 On a, pour tout réel $x$ strictement positif, $f''(x)=\dfrac{9-12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$, donc :

\begin{align*}
f''(x)>0 & \Leftrightarrow 9-12\sqrt{x}>0\\
& \Leftrightarrow 12\sqrt{x}<9\\
& \Leftrightarrow \sqrt{x}< \dfrac{3}{4}\\
& \Leftrightarrow x < \dfrac{9}{16}\text{ sur }\R_+^*.
\end{align*}
\BreakWithoutItem
De plus, 
\[
\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= \lim\limits_{x\to+\infty}\left[x^2\left(\dfrac{6}{\sqrt{x}}-3-\dfrac{2}{x} \right)\right]
\]
et 
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{6}{\sqrt{x}}-3-\dfrac{2}{x} \right)=-3\;,
\]
donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.

D'où le tableau :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & &\frac{9}{16}& &+\infty\\
   \hline
f''(x) & \vline~\vline &+&0&-&-6 \\
\hline
&&&\frac{11}{8}&&\\
f'(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
&-2&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\item La fonction $f'$ est continue sur $[0~;+\infty[$. De plus :
\begin{itemize}
\item $f'$ est strictement croissante sur $\left[0~;\dfrac{9}{16}\right]$ et :
 \[f'(0)<0<f'\left(\frac{9}{16}\right).\]

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un unique $\alpha \in \left[0~;\dfrac{9}{16}\right[$ tel
que $f'(\alpha)=0$.

\item $f'$ est strictement décroissante sur 
$\left[\dfrac{9}{16}~;+\infty\right[$ et 
\[f'\left(\frac{9}{16}\right)>0>\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x).\]
Il existe donc un unique $\beta \in
\left[\dfrac{9}{16}~;+\infty\right]$ tel que $f'(\beta)=0$.
\end{itemize}


\item Calculons la limite de $f$ en $+\infty$. 

Pour tout réel $x$ strictement positif,

\[
6x\sqrt{x}-3x^2-2x=x^2\left(-3+\dfrac{6}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right).
\]
$\lim\limits_{x\to
+\infty}\left(-3+\dfrac{6}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right)=-3$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty$ donc :

\hfill $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

\BreakWithoutItem

 Finalement :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x& \hphantom{-}0 & &\alpha& &\beta&&+\infty\\
   \hline
f'(x)&-2&-&0&+&0&-&-\infty\\
\hline
& \hphantom{-}0&&&&f(\beta)&&\\
f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\
&&&f(\alpha)&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $9\sqrt{x}-6x-2=0$ (avec
$\alpha>0$ et $\beta>0$). Posons $X=\sqrt{x}$, et cherchons les solutions positives de l'équation  $6X^2-9X+2=0$. Ce sont :
\[X_1=\frac{9+\sqrt{33}}{12}\quad\text{et}\quad X_2=\frac{9-\sqrt{33}}{12}.\]

On a bien  $0<\dfrac{9-\sqrt{33}}{12}<\dfrac{9+\sqrt{33}}{12}$, donc :
\[\alpha=\left(\dfrac{9-\sqrt{33}}{12}\right)^2\quad\text{et}\quad \beta=\left(\dfrac{9+\sqrt{33}}{12}\right)^2.\]

\emph{Application numérique} : à $10^{-2}$ près, $\alpha\approx 0,07$ et $\beta\approx 1,51$.
\end{questions}

\item On peut maintenant tracer la représentation graphique de $f$ :
%%
\par
\begin{center}
\includegraphics{04-Cours-fig2}
\end{center}
\end{questions}
\end{solintro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\endinput

