\chapter{Fonctions sinus et cosinus}

\begin{exointro}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}
L'observation de l'écran graphique d'une calculatrice laisse penser que, lorsque $x$ est un réel, $1-\dfrac{x^2}{2}\leq\cos{x}$.\\
On se propose de valider cette propriété en étudiant la fonction numérique définie par :
$$f(x)=\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).$$
\begin{questions}
\item Montrer que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$ sur $\R$ puis en déduire le signe de la fonction $f'$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis que, pour tout réel $x$, $1-\dfrac{x^2}{2}\leq\cos{x}.$
\item En admettant l'inégalité $\cos{x}\leq1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$  valable pour tout réel $x$, déterminer, si elle existe, la limite en 0 de $g(x)=\dfrac{1-\cos{x}}{x^2}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Dérivées des fonctions sinus et cosinus}
\subsection{Fonction sinus}

\begin{prop}
La fonction sinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$, $\sin 'x = \cos x$.
\end{prop}

\begin{prop} 
La fonction sinus est dérivable en $0$ et on a $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.
\end{prop}

\emph{Voir exercice \ref{exLimSin} pour une démonstration.}


\subsection{Fonction cosinus}
\begin{prop}
La fonction cosinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$,\linebreak[4] 
$\cos 'x = -\sin x$.
\end{prop}

\begin{prop}
On déduit de ce qui précède que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x-1}{x} =0$.
\end{prop}

\section{\'Etude de la fonction sinus}
\subsection{\'Etude sur $I = [0~;\pi]$ }

On a $\sin 'x = \cos x$. 

\Par

Or, sur $I$, $\cos x > 0$ si $x < \dfrac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ si $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $\cos x < 0$ si $x > \dfrac{\pi}{2}$.

\Par

D'où le tableau de variation sur $[0~;\pi]$ :  

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & &\frac{\pi}{2} & & \pi \\\hline
\sin' & &+&0&-& \\\hline
&&& 1 &&\\
\sin &&\nearrow&&\searrow&\\
& 0 &&&&0\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Et la courbe représentative sur $[0~;\pi]$, avec sa tangente à l'origine : \emph{(voir page suivante)}
\newpage
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05-Cours-fig1}
\end{center}

\subsection{Courbe représentative sur $\R$}

\begin{itemize}
\item Comme, pour tout nombre réel $x$, $\sin (-x) = -\sin x$, on dit que la fonction est impaire.
\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{prop}

\item Comme, pour tout nombre réel, $\sin (x+2\pi) = \sin (x)$, on dit que la fonction est périodique de période de $2\pi$.

On appelle période d'une fonction $f$ (s'il existe) le plus petit nombre $k$ strictement positif tel que, pour tout $x$ réel, $f(x+k)=f(x)$.

\Par

Conséquence graphique :

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus dans un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.
\end{prop}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05-Cours-fig2b}
\end{center}

\newpage

\section{\'Etude de la fonction cosinus}

\subsection{\'Etude sur l'intervalle $[0~;\pi]$}

Pour tout nombre réel $x$, $\cos 'x = -\sin x$. Or, $\sin x \ge 0$ sur $[0~; \pi]$, donc la fonction cosinus est décroissante sur $[0~; \pi]$.


\begin{minipage}{3.5cm}
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & & \pi \\\hline
\cos' & 0&-&0 \\\hline
& 1 &&\\
\cos & &\searrow&\\
& && -1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-3.5cm}
\includegraphics[scale=1]{05-Cours-fig3}
\end{minipage}

\subsection{Courbe représentative sur $\R$}

\begin{itemize}
\item On sait que pour tout réel $x$, $\cos (-x) = \cos x$. On dit que la fonction $\cos$ est paire.
\begin{prop}
La courbe représentative de la fonction $\cos$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05-Cours-fig4}
\end{center}

\item On sait que, pour tout nombre réel $x$, $\cos (x+2\pi) = \cos x$. La fonction $\cos$ est donc périodique de période $2\pi$. On a donc $\cos (x+k2\pi) = \cos x$ pour tout nombre $k$ appartenant à $\Z$.

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction cosinus dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.

On a représenté ci-dessous les fonctions sinus (en pointillés) et cosinus. Elles se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteur $\dfrac{\pi}{2}\vec{\imath}$.
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05-Cours-fig5}
\end{center}
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
La fonction $\cos$ est deux fois dérivable sur $\R$ et la fonction :\linebreak[4] 
$x\longmapsto 1-\dfrac{x^2}{2}$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme donc la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

\item
Pour tout réel $x$, \[f'(x)=-\sin{x}+x\;,\]
\[f"(x)=1-\cos{x}.\]

Comme pour tout réel $x$, $\cos{x}\leq1$, on en déduit que $f"(x)$ est positif sur $\R$ et ne s'annule que pour $x=2k\pi$ où $k\in\Z$.
Il en résulte que la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\R$.

Comme $f'(0)=0$ et $f'$ est strictement croissante sur $\R$, on peut en déduire que $f'$ est strictement négative sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement positive sur $\left]0~;+\infty\right[$.

\item
D'après l'étude du signe de $f'$ obtenu à la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0~;+\infty\right[$.

La fonction $f$ admet un minimum en 0 et ce minimum vaut $f(0)=0$. Il en résulte que, pour tout réel $x$, on a $f(x)\geq f(0)$ soit $f(x)\geq 0$.

Par conséquent, pour tout réel $x$, $\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)\geq0$, d'où finalement :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leq\cos{x}.\]
\Break
\item
En admettant l'inégalité donnée par le texte et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient l'encadrement, valable pour tout réel $x$ :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leq\cos{x}\leq1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.\]
On encadre alors $g(x)$ :
\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\leq g(x)\leq \dfrac{1}{2}.\]
Or,
\[\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\right)=\dfrac{1}{2}.\]
On en déduit d'après le théorème de limite par encadrement que :
\[\lim_{x\to 0}g(x)=\dfrac{1}{2}.\]
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput