\thumb


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin{vf}{Calculs de limites}{15}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $\lim\limits_{x \to +\infty} \sin x =1$.
\item $\lim\limits_{x \to +\infty} x \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) = 1$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x} =1$.
\item $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\pi}{2} -x} =1$.
\end{minipage}
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. La fonction $\sin$ n'a pas de limite à l'infini.

\item Vrai. En posant $X = \dfrac{1}{x}$ : 
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} x \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) = \lim\limits_{X \to 0} \dfrac{\sin X}{X} = 1\qquad\text{d'après le cours.}\]

\item Faux. En posant $X = 3x$ : 
\[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x} = \lim\limits_{X \to 0} \dfrac{\sin X}{\frac{X}{3}} = 3.\]

\item  Vrai. En effet, $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x -\cos\left( \frac{\pi}{2} \right)}{x - \frac{\pi}{2}}$ est, par définition, le nombre dérivée de $\cos x$ en $\dfrac{\pi}{2}$, qui est $-\sin \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = -1$. On a ici l'opposé, qui vaut donc bien $1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2

\begin{qcm}{Dérivées de fonctions trigonométriques} {20}
Pour chaque question, plusieurs réponses vous sont proposées. Au moins une est juste. Donner toutes les réponses justes.
\begin{questions}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Alors $f'(x) =$ \\[6pt]
	\choix $2 \cos \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ \\[6pt]
	\choix $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ \\[6pt]
	\choix $2 \cos (2x)$ \\[6pt]
	\choix $\sqrt{2} (1-2\sin^2x - 2\sin x \cos x)$
	
\item La fonction tangente est définie par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Alors, pour tout réel de l'intervalle $\left[ 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[$, $\tan 'x =$ \\ \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $-\dfrac{\cos x}{\sin x}$ & 
\choix $\dfrac{1}{\cos ^2x}$\\[10pt]
	\choix $1+\tan ^2x$ & 
	\choix $-\ln (\cos x)$
\end{tabularx}
	
	
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{3\sin ^3x -6\sin x +5}{\sin ^2x+1}$. Alors $f'(x) =$  \\ \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\dfrac{4 \sin ^2 x \cos x}{(\sin^2x+1)^2}$ &
\choix $\dfrac{9\sin ^2x \cos x - 6 \cos x}{2 \sin x \cos x}$ \\[10pt]
\end{tabularx}

\choix $\dfrac{(3\sin ^4x+15\sin ^2x -10\sin x -6) \cos x}{(\sin ^2x+1)^2}$
	
	
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = \sin 2x$ et\linebreak[4] $g(x) = 2x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ ont des tangentes communes en :\\ \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix aucun point & \choix un point \\[6pt]
\choix deux points & \choix une infinité de points
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La réponse \choix[a] est juste par définition. \\
La réponse \choix[d] est juste aussi et est obtenue en utilisant les formules de trigonométrie :
\[
\begin{aligned}\hspace*{-1.5cm}
2 \cos\left( 2x+\dfrac{\pi}{4} \right) &= 2\left( \cos (2x) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) - \sin (2x) \sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right) \\
&= 2\left( (1-2 \sin ^2x) \dfrac{\sqrt{2} }{2} -(2\sin x \cos x) \dfrac{\sqrt{2} }{2} \right) \\
&= \sqrt{2} (1-2\sin ^2x - 2\sin x \cos x).
\end{aligned}
\]

\item Les réponses \choix[b] et \choix[c] sont correctes.
\[ 
\begin{aligned}
\left( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' &= \dfrac{\cos ^2 x+\sin ^2x}{ \cos ^2x}  
= \dfrac{1}{\cos ^2x} 
= 1+\tan ^2x.
\end{aligned}
\]

\item La réponse \choix[c] est la bonne, elle nécessite juste un peu de soin.
\[ 
\begin{aligned}\hspace*{-2cm}
f'(x) &= \dfrac{(9\cos x\sin ^2x - 6 \cos x)(\sin ^2x +1) - (3 \sin ^3x - 6 \sin x+5)(2 \sin x \cos x)}{ (\sin ^2x+1)^2} \\
&= \dfrac{\cos x(3\sin ^4x +15 \sin ^2 x - 10 \sin x -6)}{ (\sin ^2x+1)^2}.
\end{aligned}
\]

\item La réponse \choix[b] est correcte. Pour que les deux courbes aient la même tangente au point d'abscisse $x$, il faut que les dérivées des fonctions soient égales donc que $2\cos 2x =2$, ou encore que $\cos 2x = 1$.\\
Donc $2x=2k\pi$, $k \in \Z$, et $x=k\pi$, $k\in \Z$. \\
Mais il faut aussi que pour ces valeurs de $x$, les deux courbes aient un point commun, c'est-à-dire que $\sin (2k\pi ) = 2k\pi$, il faut donc que\linebreak[4] $-1 \le 2k\pi \le 1$. La seule valeur de $k$ qui convient est $k=0$. Les courbes représentatives ont donc une tangente commune en un point.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin{qcm}{\fontsize{13}{11}\selectfont Propriétés des fonctions trigonométriques} {10}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une période de la fonction $f:x\mapsto\cos(3x)$ est :\resetchoix\par
	 
	 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	 \choix{} $\dfrac{2\pi}{3}$ & 
	 \choix{} $3\pi$ & 
	 \choix{} $\dfrac{3\pi}{2}$
	 \end{tabularx}
	
\item La fonction $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item La fonction $g : x \mapsto \sin 3x$ est :\\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item Une période de la fonction $h : x \mapsto \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right)$ est : \\\resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $2\pi$ &
	\choix $\dfrac{\pi}{2}$ &
	\choix $8\pi$
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{ch5qcm3q1} Réponse \choix[a]. En effet, pour tout $x$ réel, 
\[ f\left( x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = \cos \left[ 3\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) \right] = \cos (3x+2\pi) = \cos 3x. \]


\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cos est paire, mais cette fonction est obtenue par translation de la fonction cos le long de l'axe des abscisses de $\dfrac{\pi}{4}$, elle n'est donc ni paire ni impaire. 

\item \label{ch5qcm3q3} Réponse \choix[b]. En effet, pour tout réel $x$, 
\[ g(-x)=\sin (3(-x)) = \sin(-3x) = -3\sin x=-g(x).\]
Donc $g$ est impaire. 

\item Réponse \choix[c]. En effet, pour tout réel $x$, 
\begin{align*}
 h(x+8\pi) &= \sin \left( \dfrac{x+8\pi +\pi}{4} \right) \\
 & = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +\dfrac{8\pi}{4} \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +2\pi \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right) \\
& = h(x).
\end{align*}


\begin{Remarque}
pour les questions \refitem{ch5qcm3q1} et \refitem{ch5qcm3q3}, on a trouvé une période, mais on n'a pas montré que c'était la plus petite.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin{qcm}{Variations}{15}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ définie sur $[0~;\pi]$ par $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix
	\choix croissante sur $[0~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $[2~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4}~;\pi \right]$

\item La fonction $g$ définie sur $I = [0~;\pi]$ par $g : x \mapsto \sin (2x)$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $\sin$ sur $I$ \\
	\choix est croissante sur $\left[0~; \dfrac{\pi}{4} \right]$ \\
	\choix est monotone sur $I$
	
\item La fonction $h$ définie sur $[0~;\pi]$ par $h : x \mapsto \sin x +\cos x$ : \\ \resetchoix
	\choix est décroissante \\
	\choix admet pour maximum $\sqrt{2}$ \\
	\choix admet pour maximum $\dfrac{\pi}{4}$
	
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\item La fonction $k : x \mapsto \cos 3x$ définie sur $I = [-2~;2]$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $\cos$ \\
	\choix admet un maximum local pour $x= 2$ \\
	\choix admet deux minimums locaux sur $I$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cosinus est croissante sur $[\pi~;2\pi]$, donc $f$ est croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4} ~; \pi \right]$.

\item Réponse \choix[b]. En effet, $g'(x) = 2\cos 2x$ donc :
\[ 
g'(x) > 0 \Leftrightarrow  2x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2} \right] \pod{2\pi}
 \Leftrightarrow  x \in \left[ -\dfrac{\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right] \pod{\pi}
 \]

\item Réponse \choix[b]. Cette fonction est périodique de période $2\pi$, donc on peut l'étudier sur $[-\pi~;\pi]$.
\[ 
\begin{aligned}
h'(x) &= \cos x -\sin x \\
h'(x) &> 0 \Leftrightarrow \cos x > \sin x \Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac{3\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right] .
\end{aligned}
\]
On obtient donc le tableau suivant :

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{3\pi}{4} & 	& \frac{\pi}{4} & 	& \pi \\\hline
h'(x)& 	& -	&0	&+	&0	&-	& \\\hline
	&-1	&	& 	&	& \sqrt{2} & &\\
h(x)&	&\searrow&	&\nearrow& 	&\searrow &\\
	& 	&	&-\sqrt{2}	&	&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Réponse \choix[c]. \'Etudions la fonction sur $[-\pi~;\pi]$ dans un premier temps.
\[ 
\begin{aligned}
k'(x) &= -3\sin 3x \\
k'(x) > 0 &\Leftrightarrow \sin (3x) <0 \\
&\Leftrightarrow 3x \in ]-\pi~;0[ \pod{2\pi}\\
&\Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac{ \pi}{3}~; 0\right] \pod{\dfrac{2\pi}{3}} \\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3} \right[ \cup \left] -\dfrac{\pi}{3}~;0 \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3}~;\dfrac{2\pi}{3} \right[.
\end{aligned}
\] 
On obtient donc le tableau suivant :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\hspace*{-2em}
\begin{array}{|C|lcc<{\!\!\!\!\!}c<{\!\!}ccccccc<{\!\!}c<{\!\!\!\!\!}ccr|}\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{2\pi}{3} &-2\!\!& 	& -\frac{\pi}{3} & 	& 0 &  	&\frac{\pi}{3} & 	&2\!\!& \frac{2\pi}{3} & 	& \pi \\\hline
k'(x)&0	& +	&0	&\vline&-	&0	&+	&0	&-	&0	&+	&\vline&0	&-	&0 \\\hline
	&	&	&1 	&\vline&	&  & 	&1	&	&	&	&\vline&1	&	& 	\\
k(x)&	&\nearrow&	&\vline&\searrow& 	&\nearrow & 	&\searrow	&	&\nearrow	&\vline&	&\searrow	&\\
	&-1 &	&	&\vline&	&-1	&	&	&	&-1	&	&\vline&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Il y a deux minimums locaux sur $[-2~;2]$.

\begin{attention}
Ne pas se laisser piéger : $\dfrac{2\pi}{3}$ est très proche de $2$, et si on se fie à la calculatrice, on peut croire que le maximum est atteint en $2$.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Fonction dérivée}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant leur ensemble de définition.
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(8x)-5\cos\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item $g(x)=\big[\cos(7x)\big]^4$.
\item $h(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme somme et composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=16\cos(8x)+35\sin\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right).
\]
\item $g$ est définie et dérivable sur $\R$ comme puissance entière d'une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\[
g'(x)=4\big[-7\sin(7x)\big]\times\big[\cos(7x)\big]^3=-28\sin(7x)\cos^3(7x).
\]
\item La fonction $h$ est définie et dérivable pour tout $x$ tel que $\cos x\neq 0$, c'est-à-dire pour tout $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$.
\[
h'(x)=\dfrac{\cos x\times \cos x+\sin x\times\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{\'Equations et inéquations}{Lycée Buffon, Paris}{2}{25}
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $I=[-\pi~;\pi]$, l'inéquation : 
\[
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}.
\]
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $J=[-\pi~;3\pi]$, l'équation : 
\[ 2\cos^2x+3\cos x+1=0.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après le cercle trigonométrique, 
\[
\sin X\geqslant\dfrac{1}{2}\text{ pour }\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant X\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\quad , \quad k\in\Z.
\]

Cela signifie que :
\begin{align*}
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\
& \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant 3x\leqslant \pi+2k\pi\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}.
\end{align*}

Si l'on ne veut que les solutions dans $[-\pi~;\pi]$, les valeurs extrêmes que l'on peut prendre pour $k$ vérifient : $-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{3}\leqslant k$, et comme $k$ est entier, $-1\leqslant k$, et : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\pi$, soit $k\leqslant1$.

$k$ peut donc prendre les valeurs $-1$, 0 et 1.

L'ensemble solution est donc : 
\[ 
S=\left[-\dfrac{5\pi}{9}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{9}~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{9}~;\pi\right].
\]

\item On pose $X=\cos x$. L'équation devient alors : $2X^2+3X+1=0$.

Le discriminant est égal à 1 ; l'équation admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

Alors, l'équation $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ équivaut à :
\[
\cos x=-1\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x=-\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\]
\[\text{ou}\quad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k''\pi\quad,\quad k\in\Z,\ k'\in\Z,\ k''\in\Z.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi~;3\pi]$ est donc :
\[ S=\left\lbrace -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3}~; \dfrac{2\pi}{3}~; \pi~; \dfrac{4\pi}{3}~;\dfrac{8\pi}{3}~; 3\pi\right\rbrace.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 7 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Inéquation associée  à une équation}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{20}
Résoudre dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$ :
\begin{questions}
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$.
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\leqslant0$.
\end{questions}

\begin{aide}
$\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}$.
\end{aide}
\end{exo}

\begin{corrige}
On pose $X=\sin x$.
\begin{questions}
\item \label{ch5ex7q1}Le polyn\^ome $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$ a pour discriminant $7+4\sqrt{3}$, que l'on factorise sous la forme $\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ (en utilisant l'aide de l'énoncé).

L'équation $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0$ admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

L'équation $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$ équivaut donc à :
\[
\sin x=-1\qquad\text{ou}\qquad\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$, $\sin x=-1$ pour $x=-\dfrac{\pi}{2}$, et $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

L'équation admet donc trois solutions dans $]-\pi~;\pi[$ : $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

\item  Grâce aux calculs de la question \refitem{ch5ex7q1}, on connaît les racines de l'expression $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$. 

Comme le coefficient de $X^2$ est positif, on sait que cette expression est inférieure ou égale à 0 lorsque $X$ est compris entre les racines, c'est-à-dire : $-1\leqslant X\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En revenant à la variable $x$, cela donne : $-1\leqslant \sin x\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le cercle trigonométrique montre que les solutions dans $]-\pi~;\pi[$ de cette double inéquation sont tous les réels $x$ tels que :
\[
x\in\left]-\pi~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}~;\pi\right[.
\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05_trigo_02}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 8[nouveau 2014]

\begin{exo}{\'Etude d'une fonction}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{25}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\cos x-2\cos^3x$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $f$ est paire et périodique de période $2\pi$.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout réel $x$,
\[ f'(x)=3\sin x\cos 2x.\]
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $[0~;\pi]$.
\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0,5$ dans l'intervalle $[0~;\pi]$.

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de chacune de ces éventuelles solutions.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[0~;\pi]$. Comment en déduire la courbe $\mathcal{C}$ sur $\R$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est paire lorsque pour tout réel $x$ de son ensemble de définition, on a $f(-x)=f(x)$.

Ici, $f(-x)=3\cos(-x)-2\cos^3(-x)=3\cos x-2\cos^3x=f(x)$ car la fonction $\cos$ est paire.

De plus, comme la fonction $\cos$ a pour période $2\pi$ :
\[
f(x+2\pi)=3\cos(x+2\pi)-2\cos^3(x+2\pi)=3\cos x-2\cos^3 x=f(x).
\]

La fonction $f$ est donc paire et admet $2\pi$ comme période.

\item $f$ est composée de la somme et du produit de fonctions dérivables sur $\R$, elle est donc dérivable sur $\R$, et les formules de dérivation donnent :
\begin{align*}
f'(x) & =-3\sin x-2\times3\times(-\sin x)\times\cos^2x\\
& =-3\sin x+6\sin x\cos^2x\\
& = -3\sin x\big(1-2\cos^2 x\big).
\end{align*}

Or, $\cos(2x)=-1+2\cos^2x$. 

Par conséquent, on a bien $f'(x)=3\sin x\cos(2x)$.

\item Pour $x$ compris entre 0 et $\pi$, on a $2x$ compris entre 0 et $2\pi$. Dans cet intervalle, $\cos(2x)<0$ pour $\dfrac{\pi}{2}<2x<\dfrac{3\pi}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}$.

On peut alors dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ page suivante.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & 0 &  & $\frac{\pi}{4}$ &  & $\frac{3\pi}{4}$ &   & $\pi$\\
\hline
$\sin x$ & 0 & + &  & + &  & + & 0\\
\hline
$\cos 2x$ &  & + & 0 & $-$ & 0 & + & \\
\hline
$f'(x)$ & 0 & + & 0 & $-$ & 0 & + & 0\\
\hline
        &  &  & $\sqrt{2}$ &  &  &  & $1$ \\
$f(x)$  &      & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
        &  $-1$     &          &  &  & $-\sqrt{2}$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation de $f$, sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{4}\right]$, on a $f(x)\geqslant1$, donc $f(x)=0,5$ n'a pas de solution dans cet intervalle.

De même, sur $\left[\dfrac{3\pi}{4}~;\pi\right]$, on a $f(x)\leqslant-1$, donc $f(x)=0,5$ n'a pas de solution dans cet intervalle.

En revanche, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}~;\dfrac{3\pi}{4}\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante ; $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0,5>f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ d'après les valeurs du tableau de variation. Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha$ compris dans l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}~;\dfrac{3\pi}{4}\right]$ tel que $f(\alpha)=0,5$.

Ce réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[0~;\pi]$.

\`A la calculatrice, on trouve : $f(1,40)\approx \numprint{0,50008}$ et $f(1,41)\approx\numprint{0,41210}$. Par conséquent, $1,40<\alpha<1,41$.

\item Tableau de valeurs pour tracer la courbe de $f$ :

\hspace*{-1.5em}
\begin{tabular}{|C|*9{Sc|}}
\hline\tabulartitle
$x$ & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\pi$\\
\hline
$f(x))\approx$ & 1 & 1,3 & 1,4 & 1,25 & 0 & $-1,25$ & $-1,4$ & $-1,3$ & $-1$\\\hline
\end{tabular}

\Par

Pour tracer la courbe de $f$, on gradue l'axe des abscisses par fractions de $\pi$. D'autre part, on connaît quatre tangentes horizontales.

\Par

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05_fonc_03}
\end{center}

Comme la fonction est paire, on obtient la partie de la courbe entre $-\pi$ et 0 par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Puis comme la fonction est de période $2\pi$, on obtient la totalité de la courbe en translatant le morceau tracé entre $-\pi$ et $\pi$, de  $2k\pi$ unités, avec $k$ qui décrit $\Z$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 9 [anc. 7]

\begin{exo}{Une limite à connaître}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{15}\label{exLimSin}
\begin{questions}
\item Expliquer ce que représente $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

\item En déduire, en fonction de $x$, la valeur de $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La quantité $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ est le taux de variation de la fonction entre $x$ et $x+h$ et sa limite quand $h$ tend vers $0$ est $f'(x)$, si cette limite existe et est finie.

\item On a donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =\sin '(0) = \cos 0 = 1 $.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 10 (anc. 8)

\begin{exo}{Limites trigonométriques}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{15}% 
\begin{questions}
\item  Soit $\alpha$ un nombre réel non nul. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(\alpha x)}{\sin(x)}$.
\item Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  Pour tout réel $x$ non nul :
        \[\frac{\sin(\alpha x)}{\sin(x)}=\alpha\times\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}\times\frac{x}{\sin(x)}.\]
%       
Or, d'après le cours :  
\[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)}=1 \quad \text{dont on déduit :} \quad         \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}=1.\]

 Finalement :
        \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(\alpha x)}{
        \sin(x)}=\alpha\times 1\times 1=\alpha.\]
%
\item  Le numérateur et le dénominateur sont de limite nulle, donc $\displaystyle \frac{\cos x -1}{\sin^2 x}$ présente une forme indéterminée en $0$.

 Cependant, en utilisant \ $\cos^2x+\sin^2x=1$\ :
        $$\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{\cos x-1}{1-\cos^2 x} = \frac{-(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}.$$
        En simplifiant le numérateur et le dénominateur :
        $$\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{-1}{1+\cos x}.$$ 
        Donc:
        $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{-1}{
        1+1}=-\frac{1}{2}.$$
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 11 (anc. 9)

\begin{exo}{Fonction trigonométrique}{Lycée Lakanal, Sceaux}{2}{30}
Soit $f$ la fonction de $\R$ vers $\R$ définie par :
\[
f(x)=\cos(3x)\cos^3 x.
\]
Soit $\mathcal{C} $ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal.
\begin{questions}
\item  
\begin{questions}
		\item  Montrer que $f$ est paire et périodique de période $\pi$. Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de $f$ à l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

		\item  Étudier les variations de $f$.
\end{questions}

\item  
\begin{questions}
\item  Tracer $\mathcal{C} $.
\item  Déterminer l'abscisse des points de $\mathcal{C} $ où la tangente à $\mathcal{C} $ est\linebreak parallèle à \hbox{l'axe $(Ox)$.}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
	\begin{questions}
	\item $\begin{aligned}[t]
	f(x+\pi)&=\cos[3(x+\pi)]\cos^3(x+\pi)\\
	&=\cos(3x+2\pi+\pi)\cos^3(x+\pi).
	\end{aligned}$
	
	Or, 
	\[\cos(X+\pi)=-\cos X\] et \[\cos(X+2\pi)=\cos X\;,\] donc :
	\begin{align*}
	 f(x+\pi)&=-\cos(3x)[-\cos^3(3x)]\\
	 &=\cos(3x)\cos^3(x)\\
	 &=f(x).
	 \end{align*}
	La fonction $f$ admet donc $\pi$ pour période.
	\[ f(-x) = \cos (-3x) \cos ^3(-x) = \cos(3x) \cos^3(x)\]
	car la fonction $\cos$ est paire. Donc $f(-x) = f(x)$, ce qui signifie que $f$ est paire.
	
	La fonction $f$ étant périodique de période $\pi$, il suffit de l'étudier sur une période, par exemple sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2}\right]$. Mais, comme elle est aussi paire, il suffit de l'étudier sur l'intervalle $\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right]$, l'étude sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$ se déduisant par symétrie.    
	
	\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R$,
\begin{align*}
f'(x)&=-3\sin(3x)\cos^3 x-3\cos (3x)\sin x\cos^2 x\\
&=-3\cos^2 x\left( \cos(3x)\sin x+\sin (3x)\cos x
\right)\\
&=-3\sin(4x)\cos^2 x
\end{align*}
car $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$.\\

D'où le tableau de variation de $f$ pour $x\in \Bigl[0,
\dfrac{\pi}{2}\Bigr]$ :
\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|c c c c c|}
\hline\tabulartitle
\rule[-1.3ex]{0ex}{2ex}x       & 0 & & {\pi\over 4} &  & {\pi\over2}\\
\hline
f'(x) & 0 & - & 0 & + & 0 \\
\hline
 & 1 &  &  & & 0  \\
f&  & \searrow &  & \nearrow &  \\
 \rule[-1.3ex]{0ex}{2ex}&  &  & -{1\over4} &  &   \\
\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item  On représente la courbe de $f$ entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ (pour l'obtenir sur $\R$, il suffit de translater la
courbe ainsi tracée).
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05-Corriges-fig2}
\end{center}

\item La tangente à $\mathcal{C} $ au point d'abscisse
$x$ a pour coefficient directeur $f'(x)$. Les points en lesquels la tangente à $\mathcal{C} $ est parallèle à $(Ox)$ sont donc les points d'abscisse $x$ tels que :
\[
f'(x)=0\Longleftrightarrow \sin(4x)\cos^2 x=0 \Longleftrightarrow
 x = 0 \pod{\frac{\pi}{4}}.\]
Cette condition tient compte de l'annulation possible du cosinus ; en effet, dans ce cas $x=\dfrac{\pi}{ 2}\pod{\pi}$, cette condition impliquant la condition ci-dessus.
\par
Ce sont donc tous les points d'abscisse $k\dfrac{\pi}{4}$ où $k\in\Z$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 12 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Aire maximale}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
Les parents d'Amélie utilisent un paravent à trois panneaux pour cacher un tas de vieilleries dans leur garage.

Le paravent est déplié contre un mur de la façon suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05_paravent_01}
\end{center}

Les trois panneaux du paravent sont de même longueur. Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. On pose $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$, et on appelle $x$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ comprise entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{questions}
\item Exprimer la longueur AD ainsi que la hauteur BH en fonction de $x$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que l'aire disponible derrière le paravent est égale en fonction de $x$ à : 
\[ A(x)=(1+\cos x)\sin x.\]
\item Montrer que pour tout $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, 
\[ A(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x).\]
\item \`A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans  l'intervalle  $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $A$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Quelle est l'aire maximale de la zone que l'on peut cacher ainsi avec ce paravent, et comment faut-il l'installer ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme le trapèze est isocèle, $AD=2AH+BC$.

De plus, $AH=AB\cos x$ et $BH=AB\sin x$ donc $AD=1+2\cos x$ et $BH=\sin x$.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x) & = AH\times BH+BH\times BC\\
& = 1\times\cos x \times\sin x+1\times\sin x\times1\\
& = \left(\cos x+1\right)\sin x\;.
\end{aligned}$

\item La fonction $A$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
\begin{align*}
A'(x) & = \cos x(1+\cos x)+\sin x(-\sin x)\\
& = \cos x(1+\cos x)-(1-\cos^2x)\\
& = 2\cos^2 x+\cos x -1\;.
\end{align*}
Or, 
\begin{align*}
2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x) & =2\left(\cos x+\cos^2x -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos x\right)\\
& = 2\cos^2x +\cos x-1.
\end{align*}
Cela prouve que l'on a bien $A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x)$.

\newpage

\item \label{ch5ex12qc}\par~
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05_trigo_04}
\end{center}

Sur le cercle trigonométrique, on lit que dans l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$ pour $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{3}\right]$.

\item On calcule : 
\[ A(0)=0\quad ; \quad A\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\quad;\quad A(3)=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\]

Gr\^ace à la question \refitem{ch5ex12qc}, on conna\^it le signe de $A'(x)$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et on peut établir le tableau de variation de $A$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\frac{\pi}{3}$ &  & $\frac{\pi}{2}$\\
\hline
$A'(x)$ &  & $+$ &  & $-$ & \\
\hline
        &  &     & $\frac{3\sqrt{3}}{4}$&  &  \\
$A(x)$  &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
        & 0 &           &  &            & 1\\
        \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'aire maximale est obtenue lorsque l'angle $\widehat{BAD}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$~radian, et elle vaut alors $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Axe de symétrie}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=1+\sin x-\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Prouver que $f$ est périodique sur $\R$.
\item Démontrer que $f$ n'est ni paire, ni impaire.
\end{questions}
\item \'Etablir les variations de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ puis construire la courbe de $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;\pi]$.
\item Démontrer que les fonctions $f$ et $f^2$ ont les mêmes variations sur $\R$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f(x+2\pi)=1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]$.

Comme les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont de période $2\pi$, on trouve :
\[ f(x+2\pi)=1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)=f(x).\]
La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.

\item $f(0)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$. La fonction n'est donc ni paire ni impaire car pour $x=0$, elle ne vérifie ni $f(-x)=f(x)$, ni $f(-x)=-f(x)$.
\end{questions}

\item La fonction $f$ est dérivable sur $[-\pi~;\pi]$  puisque les fonctions $\sin$ et $\cos$ le sont. De plus, on a :
\[ f'(x)=\cos x+\sin(2x). \]

Comme $\sin(2x)=2\sin x\cos x$, on a :
\[ f'(x)=\cos x+2\sin x\cos x=\cos x(1+2\sin x).\]

Sur $[-\pi~;\pi]$, $\cos x>0$ pour $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $1+2\sin x<0$ pour $\sin x<-\dfrac{1}{2}$ donc pour $x\in\left]-\dfrac{5\pi}{6}~;-\dfrac{\pi}{6}\right[$.

Cela permet d'établir le tableau de signes de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$ :

\Par

\hspace*{-4.5em}
\begin{tabular}{|C|*{11}{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\pi$ &  & $-\frac{5\pi}{6}$ &  & $-\frac{\pi}{2}$ &  & $-\frac{\pi}{6}$ &  & $\frac{\pi}{2}$ &  & $\pi$\\
\hline
$\cos x$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline
$1+2\sin x$ & & $+$ & 0 & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
       & 0,5 & & & & 0,5 & &  &  & 2,5 & & \\
$f(x)$ &     & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
       &    &  &0,25 & &  &  & 0,25 & & & & 0,5\\
\hline
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{05_fctrigo_05}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation précédent, on constate que le minimum de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ est 0,5, donc la fonction $f$ est positive sur $[-\pi~;\pi]$. Or, $f$ est de période $2\pi$ et $[-\pi~;\pi]$ est d'amplitude $2\pi$ ; par conséquent, $f(x)>0$ pour tout réel $x$.

D'autre part, comme la fonction $f$ est dérivable, la fonction $f^2$ l'est aussi, et sa dérivée est égale à $2ff'$. Or, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ donc la dérivée de $f^2$ est du même signe que $f'$, ce qui montre que les deux fonctions, $f^2$ et $f$ ont les mêmes variations sur $\R$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex14 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Un algorithme}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{2}{30}
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=\sin^2x+\cos x$.

$\mathcal{C}$ est sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
\item Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.
\item En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à $[0~;\pi]$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a :$f'(x)=(2\cos x-1)\sin x$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[0~;\pi]$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0~;\pi]$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad Saisir les valeurs de a, b et p
Traitement
\qquad Tant que b-a$>$p
\qquad\qquad c prend la valeur $\frac{a+b}{2}$	
\qquad\qquad Si $f(a)\times f(c)<0$, alors b prend la valeur c
\qquad\qquad Sinon a prend la valeur c
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad Afficher a et b
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Faire fonctionner l'algorithme avec $a=1$, $b=3$ et $p=0,1$ et compléter le tableau suivant :

\hspace*{-1em}
\begin{tabular}{|C|*5{Sc|}}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test : $b-a>p$ & $c$ & Test : $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & & & & & \\
\hline
$\vdots$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item\label{ch5ex12q7b} Quelles sont les valeurs affichées à la sortie de l'algorithme ? Que peut-on en déduire ?
\end{questions}

\item Résoudre l'équation $(E)$ : $X^2-X-1=0$.
\item Montrer que $\alpha$ est solution de $f(x)=0$
si et seulement si $\cos\alpha$ est solution de $(E)$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\alpha$, puis un encadrement au centième de $\alpha$. Vérifier que ce résultat est en accord avec les valeurs trouvées à la question \refitem{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodique de période $2\pi$ donc pour tout $x\in\R$ :
\[
f(x+2\pi)=\sin^2(x+2\pi)+\cos(x+2\pi)=\sin^2x+\cos x=f(x).
\]
La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.

\item Pour tout réel $x$, comme la fonction $\sin$ est impaire et la fonction $\cos$ paire, on a :
\begin{align*}
f(-x) & =\sin^2(-x)+\cos(-x)\\
& =(-\sin x )^2+\cos x\\
& =\sin^2x+\cos x\\
& =f(x).
\end{align*}
La fonction $f$ est donc paire, ce qui signifie que l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la
courbe dans un repère orthonormé.

\item Comme $f$ est de période $2\pi$, on peut restreindre l'étude de $f$ à l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ d'amplitude $2\pi$.

Comme $f$ est paire, et comme l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ est symétrique par rapport à 0, il suffit d'étudier $f$ sur le demi-intervalle : $[0~;\pi]$.

\item La fonction $f$ est bien dérivable car les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=2\cos x\sin x-\sin x=(2\cos x-1)\sin x.
\]

\item Sur $]0~;\pi[$, $\sin x>0$ et $2\cos x-1>0$ pour $\cos x>\dfrac{1}{2}$, donc pour $x\in\left]0~;\dfrac{\pi}{3} \right[$.

On obtient le tableau de signes de $f'$ puis le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\frac{\pi}{3}$ &  & $\pi$\\
\hline
$\sin x$ & $0$ & $+$ &  & $+$ & $0$\\
\hline
$2\cos x-1$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$f'(x)$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & $0$\\
\hline
 & & & $\frac{5}{4}$& & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
 & $1$ &  &  & & $-1$\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$, la fonction est continue et strictement décroissante. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0$ et $f(\pi)<0$.  Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, il existe un réel $\alpha$ unique dans $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.

D'autre part, d'après le tableau de variation, la fonction $f$ ne s'annule pas entre 0 et $\dfrac{\pi}{3}$ car son minimum sur cet intervalle est 1.

Par conséquent, $\alpha$ est l'unique réel de $[0~;\pi]$ tel que $f(\alpha)=0$.

\item 
\begin{questions}
\item On a le tableau suivant :

\hspace*{-2.8em}
\begin{tabular}{|C|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|Sc|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|Sc|Sc|}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test :\newline $b-a>p$ & $c$ & Test :\newline $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & Vrai & 2,5 & Vrai & 2 & 2,5 \\
\hline
3 & Vrai & 2,25 & Vrai & 2 & 2,25 \\
\hline
4 & Vrai & 2,125 & Faux & 2,125 & 2,25\\
\hline
5 & Vrai & \numprint{2,1875} & Faux & \numprint{2,1875} & 2,25\\
\hline
6 & Faux & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item L'algorithme affiche \numprint{2,1875} et 2,25, qui constituent un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
inférieure ou égale à 0,1.
\end{questions}

\item Le discriminant de l'équation $X^2-X-1=0$ est égal à 5. Elle admet donc deux solutions qui sont : $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

\item $\alpha$ vérifie $f(\alpha)=0$ si et seulement si $\sin^2\alpha+\cos\alpha=0$. En remplaçant $\sin^2\alpha$ par $1-\cos^2\alpha$ et en multipliant par $-1$, on trouve la condition : 
\[ \cos^2\alpha-\cos\alpha-1=0\;,\]
ce qui signifie que $\cos\alpha$ est une solution de $(E)$.

\item La seule solution de l'équation $(E)$ qui convienne est $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ car\linebreak $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>1$ et ne peut donc pas \^etre égale à un cosinus. 

Par conséquent, $\cos\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

\`A la calculatrice, à l'aide de la touche \TAcos, on trouve \linebreak$2,23<\alpha<2,24$, ce qui est bien compatible avec le résultat de la question \refitem{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex15 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Étude de la dérivabilité en 0}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
\begin{questions}
\item On désigne par $g$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par : 
\[ 
g(x)=x\cos x-\sin x.
\]

\'Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.

En déduire le signe de $g(x)$ sur $[0~;\pi]$.

\item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
f(0)=1 & \\
f(x)=\dfrac{\sin x}{x} & ,\quad x\in]0~;\pi]
\end{array}
\right.
\]
Justifier que $f$ est continue en 0, puis étudier les variations de $f$.

\item Étude de la dérivabilité de $f$ en 0.
\begin{questions}
\item Prouver que, pour tout nombre réel $x\geqslant0$,  on a : 
\[
0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}{6}.
\]

\begin{aide}
pour cela, on introduira la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;+\infty[$ par $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. On calculera les dérivées $\varphi'$, $\varphi''$ et $\varphi'''$ et on en déduira le signe de $\varphi(x)$.
\end{aide}

\item Prouver que $f$ est dérivable en 0 et calculer $f'(0)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;\pi]$ et :
\[ g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.\]

Comme sur $]0~;\pi[$, $x>0$ et $\sin x>0$, on en déduit que $g(x)$ est strictement négatif sur cet intervalle donc $g$ est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\pi$\\
\hline
 & 0 &  & \\
 $g(x)$ &  & $\searrow$ & \\
  &  &  & $-\pi$\\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

La fonction $g$ admet un maximum égal à 0 en 0, puis elle est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$ donc $g(x)<0$ pour $x\in]0~;\pi]$.

\item Pour tout $x\in]0~;\pi]$, $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ , la fonction est continue et dérivable.

On sait (résultat du cours) que $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$. Par conséquent, comme la limite de $f$ en 0 est égale à $f(0)$, la fonction $f$ est, par définition de la continuité, continue en 0.

Pour étudier les variations de $f$, il suffit d'étudier ses variations sur $]0~;\pi]$. On peut donc calculer la dérivée de $f$ sur $]0~;\pi]$ :
\[
f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}.
\]
D'après l'étude du signe de $g(x)$, on en déduit que $f'(x)<0$ sur $]0~;\pi]$ et donc strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\item
\begin{questions}
\item Soit $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. Tous les calculs suivants sont sur $[0~;\pi]$. On a :
\[
\varphi'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\quad,\quad\varphi''(x)=-\sin x+x\]
\[\text{et}\quad\varphi'''(x)=-\cos x+1.\]

Comme $\cos x\leqslant1$, $\varphi'''(x)\geqslant0$ ; la fonction $\varphi''$ est donc croissante.

Comme de plus $\varphi''(0)=-\sin 0+0=0$, on a alors $\varphi''(x)\geqslant0$ ; cela prouve que la fonction $\varphi'$ est croissante.

On a encore $\varphi'(0)=\cos0-1+\dfrac{0^2}{2}=0$ et, par conséquent,\linebreak $\varphi'(x)\geqslant0$.

La fonction $\varphi$ est par conséquent croissante, et comme $\varphi(0)=0$, on obtient que $\varphi(x)\geqslant0$.

On obtient donc : 
\[
-\sin x+x\geqslant0 \text{ (car }\varphi''(x)\geqslant0)\text{ et }\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}\geqslant0\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x-\sin x\leqslant\dfrac{x^3}{6}\text{ (car }\varphi(x)\geqslant0).
\]

Cela justifie donc l'encadrement proposé. 

\item Pour étudier la dérivabilité de $f$, il faut étudier la limite lorsque $x$ tend vers 0 du taux de variation : 
\[
\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=\dfrac{\sin x-x}{x^2}.
\]
D'après la question précédente, $0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}{6}$, donc en divisant par $x^2$ qui est positif  :
\[
0\leqslant\dfrac{\sin x-x}{x^2}\leqslant \dfrac{x}{6}.
\]
Le théorème de limite par encadrement permet donc de prouver que :
\[
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-x}{x^2}=0.
\]
La limite du taux d'accroissement de $f$ entre 0 et $x$ existe et elle est finie, donc $f$ est dérivable
en 0, et sa dérivée est égale à la limite, c'est-à-dire $f'(0)=0$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex14

\begin{exo}{Encore de la trigonométrie !}{Lycée Albert Camus, Bois-Colombes}{3} {20}
 On donne la fonction $f$ définie sur $\R^*_+$ par :
 \[
 f(x)=\dfrac{1-\cos\sqrt{x}}{x}.
 \]
 \begin{questions}
         \item Déterminer par comparaison la limite de $f$ en $+\infty $.
         
         \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R^*$ par :
         \[ 
         g(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^2}.
         \]
         
         Montrer que, pour tout $x$ non nul, on a :
         \[
         g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin{\dfrac{x}{2}}}{\dfrac{x}{2}}\right)^2\;,\] et en déduire la limite de $g$ en 0.
         
         \`A l'aide d'une composée, déterminer alors la limite de $f$ en 0.
\end{questions}
\end{exo}
 
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
On encadre $f(x)$ par deux expressions de même limite :

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a : 
\[
-1\leq\cos{\sqrt{x}}\leq 1.
\]

On multiplie par $-1$ : 
\[
-1\leq -\cos{\sqrt{x}}\leq 1.
\]

On ajoute 1 puis on multiplie par $\dfrac{1}{x}$ qui est strictement positif. On obtient alors l'encadrement :$$0\leq f(x) \leq \dfrac{2}{x}.$$

Comme $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}=0$, on en déduit, d'après le théorème de limite par encadrement, que :
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0. \]

\item
En utilisant les formules de duplication, on obtient :\\ 
\[ 
\cos{x}=\cos\left(2\times\dfrac{x}{2}\right)=1-2\sin^2{\dfrac{x}{2}}. 
\]

Il suffit alors de remplacer $\cos{x}$ par cette expression dans le numérateur de $g(x)$ pour obtenir  :
\[
g(x)=2\times\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=2\times\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{4\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2.
\]

Or, $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{2}=0$ et, d'après le cours, $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1$, donc d'après le théorème de limite par composition, 
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin{\dfrac{x}{2}}}{\dfrac{x}{2}}=1.\]

Par conséquent, $$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=\dfrac{1}{2}.$$

On remarque que $f(x)=g(\sqrt{x})$ pour $x$ positif. On peut donc appliquer le théorème de limite par composition :

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}=0
\] 
et 
\[
\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=\dfrac{1}{2}\;,
\]  
donc :
\[\lim_{x\rightarrow 0^+}g(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\]
et donc :
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}.\]
\end{questions}
\end{corrige} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
