\chapter{Fonction exponentielle}
\label{chap-exp} % référence dans chap. 3

\begin{exointro}{Lycée Guynemer, Compiègne}
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
\[
\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1}=\dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}=1-\dfrac{2}{\nep^x+1}.
\]
\item Résoudre l'équation : 
\[
\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2.
\]
\item Résoudre l'inéquation : 
\[
\nep^{3x+2}>-2.
\]
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Définition de la fonction exponentielle et\\ propriétés algébriques}


\begin{thm} Il existe une et une seule fonction  $f$ définie et dérivable sur $\R$,  vérifiant\linebreak[4] $f(0)=1$  et pour tout  $x\in\R$, $f'(x)=f(x)$. 

Cette fonction est notée $\exp$. Elle est en particulier continue, strictement croissante, et d'ensemble image $\R_+^*$. Ainsi, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
\exp'(x)=\exp(x) \quad,\quad\exp(x)>0 \quad\text{et}\quad \exp(0)=1.
\end{align*}
\end{thm}
%
\begin{Remarque} le symbole $\exp$ s'utilise comme $\cos$  et $\sin$. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on écrit simplement $\exp x$, sans parenthèses. Par exemple, on écrit en général :  $\exp 0=1$. 
\end{Remarque}
%
\newpage

\emph{Conséquence} : La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\R$, il en résulte que,
pour tous réels $x$ et $y$,

\[ \exp x < \exp y \Longleftrightarrow x < y \quad\text{ et }\quad \exp x = \exp y \Longleftrightarrow x = y.\]

\begin{Remarque} en particulier, le nombre dérivé de la fonction exponentielle en zéro vaut $\exp(0)=1$.
\end{Remarque}

La tangente au point d'abscisse $0$ de la courbe de la fonction $\exp$ a pour coefficient directeur $1$ et son équation est $y=1+x$. 

\Par

\emph{Complément :} La courbe est partout au-dessus de sa tangente.

%
\begin{thm}[Relation fonctionnelle] Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier~$m$ :
\[
\exp(x+y)=\exp x\times\exp y.\]
Conséquences :
\[
\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp x}\qquad\text{et}\qquad
\left(\exp x\right)^m=\exp(mx).
\]
\end{thm}
%
\begin{defin}
On pose :
\begin{center}
$\nep=\exp 1\approx\nombre{2,718}$.
\end{center}
C'est le \emph{nombre d'Euler} ou \emph{constante de Neper}. Cette définition et la relation fonctionnelle conduisent à la notation exponentielle $\nep^x$ souvent utilisée à la place de  $\exp x$. On a alors :
\[
\nep^{x+y}=\nep^x\times\nep^y\qquad,\qquad
\nep^{-x}=\dfrac{1}{\nep^x}\qquad\text{et}\qquad
\left(\nep^x\right)^m=\nep^{mx}.
\]
\end{defin}


\section{\'Etude de la fonction exponentielle}

\subsection{Limites}

\begin{thm}[Limites]
\[
\lim\limits_{x\to -\infty} \nep^x =0
\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x\to +\infty} \nep^x=+\infty.
\]
\end{thm}

\newpage

\subsection{Sens de variation}

L'égalité $\exp '(x) = \exp(x)$ entraîne que la fonction est croissante sur $\R$ puisque $\exp(x)~>~0$.

\subsection{Représentation graphique}

Comme $\lim\limits_{x \to -\infty} \nep^x = 0$, l'axe des abscisses est asymptote à la représentation graphique  en $-\infty$. 
\begin{center}
  \includegraphics[scale=1]{06-Cours-fig1}
\end{center}


\section{Limites à connaître}


\choix{}$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\nep^x-1}{x} = 1$.

\choix{}$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\nep^x}{x} = +\infty$.

\choix{}$\lim\limits_{x\to -\infty} x\nep^x=0$.

\Par

Pour le \choix[b] et le \choix[c], on dit que l'exponentielle \og l'emporte \fg sur $x$ en cas d'indétermination (en fait, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On a :
\begin{align*}
\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1} & = \dfrac{\nep^x\left(1-\frac{1}{\nep^x}\right)}{\nep^x\left(1+\frac{1}{\nep^x}\right)}\\
& = \dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}\;,
\end{align*}

 et aussi :
 
 \begin{align*}
\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1} & = \dfrac{\nep^x+1-2}{\nep^x+1}\\
& = 1-\dfrac{2}{\nep^x+1}.
\end{align*}

\item $\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2 \Leftrightarrow \nep^{3x^2-6x}=\nep^{2(2-x)}$.

Or, $\nep^a=\nep^b\Leftrightarrow a=b$ donc la condition équivaut à :
\[ 3x^2-6x=4-2x\;,\]
c'est-à-dire :
\[ 3x^2-4x-4=0.\]
Cette équation du second degré de discriminant $\Delta=64$ admet deux solutions : $-\dfrac{2}{3}$ et 2, qui sont donc aussi les solutions de l'équation initiale.

\item $\nep^{3x+2}>-2$. Cette inégalité est toujours vérifiée car pour tout réel $a$, $\nep^a>0$.

Par conséquent, l'ensemble des solutions est $\R$.
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput