\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 1

\begin {vf} {Fonction exponentielle} {10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Pour tous réels $a$ et $b$, $\nep^{a-b}=\dfrac{\nep^a}{\nep^b}$.

\item
Le nombre $-\nep^{-x}$ est toujours strictement positif.

 \item
 La droite d'équation $y=x+1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1.
 
\item
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+\nep^x}$ au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation $y=-\dfrac{1}{4}x$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. Il s'agit d'une formule du cours.
\item
Faux. D'après les propriétés de la fonction exponentielle le réel $\nep^{-x}$ est toujours strictement positif donc $-\nep^{-x}$ est toujours strictement négatif.
\item
Faux. La droite d'équation $y=x+1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 et non au point d'abscisse 1.
\item
Vrai. Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe au point d'abscisse 0 est $f'(0)$. Or, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-\nep^x}{(1+\nep^x)^2}$ donc $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$. La tangente $\mathcal{T}$ et la droite d'équation $y=-\frac{1}{4}$ sont deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 2

\begin {qcm} {Propriétés de la fonction exponentielle} {25}
Pour chaque question, il y a une seule réponse correcte. La donner.
\begin{questions}
\item Pour tout nombre réel $x$ non nul, $2-\dfrac{\nep^{-x}-2}{\nep^{-x}-1} $ est égal à :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\dfrac{3\nep^{-x}-4}{\nep^{-x}-1}$ &
\choix $\dfrac{1}{1-\nep^x}$
\end{tabularx}

\choix Aucune de ces deux réponses.


\item L'équation $\nep^{2x}-\left(\nep+\dfrac{1}{\nep}\right) \nep^x+1 = 0$ admet dans $\R$ :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix une solution  &
\choix deux solutions\\
\choix aucune solution &
\end{tabularx}
	
\item L'inéquation $\nep^{2x}-(\nep+1)\nep^x+\nep<0$ admet pour ensemble solution :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\varnothing$ & \choix $]0~;1[$ \\
\choix $]1~;\nep[$ & \choix $]-\infty~;0[ \cup ]1~;+\infty[$
\end{tabularx}
	
\item Les nombres $\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}$ et $\dfrac{\nep^{2x}+1}{\nep^{2x}-1}$ sont, pour tout $x$ réel :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix égaux & \choix inverses\\
\choix opposés &
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. On a :
\begin{align*}
2- \dfrac{\nep^{-x}-2}{\nep^{-x}-1}& = \dfrac{2\nep^{-x}-2-\nep^{-x}+2}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{\nep^{-x}}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{1}{1-\nep^x}\qquad\text{en multipliant haut et bas par }\nep^x. 
\end{align*}

\item Réponse \choix[b]. On pose $\nep^x = X$.

L'équation devient alors $X^2-\left(\nep + \dfrac{1}{\nep} \right)X+1=0$. On calcule :

\[ \Delta = \left( \nep + \dfrac{1}{\nep} \right)^2-4 = \nep^2+2+\dfrac{1}{\nep^2}-4 = \nep^2-2+\dfrac{1}{\nep^2} = \left( \nep-\dfrac{1}{\nep} \right)^2. \]
Le discriminant est strictement positif et les deux solutions sont :
\[ X_1 = \dfrac{\nep+\dfrac{1}{\nep} -\nep+\dfrac{1}{\nep}}{2} = \dfrac{1}{\nep}  \quad \text{et} \quad X_2 = \dfrac{\nep + \dfrac{1}{\nep} + \nep - \dfrac{1}{\nep}}{2} = \nep. \]

On a donc soit $\nep^x = \nep^{-1}$ soit $x=-1$, soit $\nep^x=\nep$, soit $x=1$. L'équation admet donc deux solutions, 1 et $-1$.

\item Réponse \choix[b]. Ici aussi, on pose $X=\nep^x$.

On obtient alors l'expression $X^2-(\nep+1)X+\nep$.
\[\Delta = (\nep +1)^2 - 4\nep = \nep^2+2\nep+1-4\nep = \nep^2-2\nep +1 = (\nep-1)^2. \]
Le trinôme en X a deux racines, $\nep$ et $1$.

On peut donc factoriser l'expression de départ :
\[ 
\nep^{2x} -(\nep+1) \nep^x+\nep   = (\nep^x-1)(\nep^x-\nep). \]
On a donc :
\[ 
\nep ^x-1>0 \Leftrightarrow \nep^x>1 \Leftrightarrow x > 0 \quad \text{et} \quad \nep^x-\nep>0 \Leftrightarrow \nep^x>\nep \Leftrightarrow x>1 .
\]

On obtient donc le tableau de signes suivant :
\[ 
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x& -\infty & &0  & & 1 & & +\infty \\\hline
\nep^x-1 & &-&0&+& & + & \\\hline
\nep^x-\nep & &-& &-&0 & + & \\\hline
(\nep^x-1)(\nep^x-\nep) & &+&0 &-&0 & + & \\\hline
\end{array}
\]

\item Réponse \choix[b]. En multipliant par $\nep^x$ le numérateur et le dénominateur, et en simplifiant, on a :
\[
\dfrac{\nep^x -\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}} = \dfrac{\nep^x(\nep^x-\nep^{-x})}{\nep^x(\nep^x+\nep^{-x})} = \dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}.\]
Ces deux nombres sont donc inverses. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 3
\begin {qcm} {Dérivation} {10}
\begin{questions}
\item La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\nep^x+3x+\nep^{-x}$ est :\par 
	\choix $x \mapsto \nep^x (x+1) +3 + \nep^{-x}$ \\
	\choix $x \mapsto \nep^x+3 - \nep ^{-x}$ \\
	\choix $x \mapsto \nep^x(x+1)+3 - \nep ^{-x}$ \resetchoix
\newpage
\item La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \nep^{2x^2-4x+5}$ :\\
	\choix ne s'annule jamais \\
	\choix s'annule pour une valeur réelle \\
	\choix s'annule pour deux valeurs réelles \resetchoix
	
\item Soient $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2 \nep^x$ et $g(x)=x\nep^x$. Les courbes représentatives de $f$ et $g$ ont, pour deux valeurs de $x$ : \\
	\choix des tangentes communes \\
	\choix des tangentes parallèles \\
	\choix ni l'un ni l'autre \resetchoix
	
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\nep^{0{,}2x^2+0{,}5x}$. La tangente à la courbe représentative dans un repère au point d'abscisse $0$ a pour équation :\\
\choix $y=2,5x+5$\\
\choix $y=5x$\\
\choix $y=5x+10$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. On a : $f'(x)=\nep^x+x\nep^x+3-\nep^{-x}$. 

\item Réponse \choix[b]. On a : $f'(x) = (4x-4)\nep^{2x^2-4x+5}$. Cette fonction s'annule si et seulement si $4x-4=0$, donc pour une seule valeur réelle. 

\item  Réponse \choix[b]. On a :
\[ 
\begin{aligned}
f(x)=g(x) &\Leftrightarrow x^2\nep^x=x\nep^x \\
&\Leftrightarrow  (x^2-x)\nep^x=0 \\
&\Leftrightarrow x^2-x=0 \\
&\Leftrightarrow x(x-1)=0 \\
&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=1. 
\end{aligned}
\] 
Donc les points communs aux deux courbes ont pour abscisses $0$ et $1$.
De plus : 
\[
f'(x)=(2x+x^2)\nep^x \qquad \text{et} \qquad g'(x)=(x+1)\nep^x\;, \]
d'où $f'(0)=0$ et $g'(0)=1$, donc il n'y a pas de tangente commune au point d'abscisse $0$.

Et $f'(1)=3\nep$ ; $g'(1)=2\nep$, donc là non plus il n'y a pas de tangente commune.

Ce raisonnement élimine la réponse \choix[a]. 

\newpage

On a :
\[ 
\begin{aligned}
f'(x) = g'(x) &\Leftrightarrow (2x+x^2)\nep^x = (x+1)\nep^x \\
&\Leftrightarrow 2x+x^2 = x+1 \\
&\Leftrightarrow x^2+x-1=0.
\end{aligned} \]
Ici, $\Delta=5$. Cette équation a deux solutions, il y a donc deux valeurs de $x$ pour lesquelles on obtiendra des tangentes parallèles pour les courbes représentatives de $f$ et de $g$.

\item Réponse \choix[a]. $f(0)=5$.\\
$f'(x)=5(0,4x+0,5)\nep^{0{,}2x^2+0,5x}$. Donc $f'(0)=2,5$.\\
La tangente a pour équation $y=2,5x+5$. 
\end{questions}

\begin{methode}
Il souvent utile de se souvenir de l'égalité : $\nep^{2x}=\left(\nep^x\right)^2$.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 4

\begin{qcm} {Limites} {25}
Soit $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^x-1}$.

\begin{questions}
\item La limite de $f$ en $+\infty$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $+\infty$ &
\choix{} $1$ \\
\choix{} $0$ &
\choix{} on ne peut pas savoir \resetchoix
\end{tabularx}

\item La limite de $f$ en $-\infty$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $+\infty$ &
\choix{} $1$ \\
\choix{} $0$ &
\choix{} on ne peut pas savoir
\end{tabularx}

\item La limite de $f$ en $0$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $+\infty$ à droite et $-\infty$ à gauche  &
\choix{} $0$ \\
\choix{} $1$ &
\choix{} $2$ 
\end{tabularx}

\item La limite de $f$ en $1$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} 0 & 
\choix{} $\nep+1$ \\
\choix{} $\nep^2-1$ &
\choix{} $\nep-1$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. On peut écrire :
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) 
= \lim\limits_{x \to +\infty} 
\dfrac{\nep^{2x}\left(1-\dfrac{1}{\nep^{2x}}\right)} {\nep^x\left(1-\dfrac{1}{\nep^x}\right)} 
= \lim\limits_{x \to +\infty} 
\nep^x \dfrac{1-\dfrac{1}{\nep^{2x}} } {1-\dfrac{1}{\nep^{x}}} .
\]
Or, $\lim\limits_{x \to +\infty} \nep^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} (\nep^x)^2 = +\infty$, donc
\[ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\nep^{2x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\nep^x}=0
\quad \text{et} \quad 
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} \nep^x = +\infty. \]

\item Réponse \choix[b]. On a :
\[ \left.
\begin{aligned}
\lim\limits_{x \to -\infty}2x &=-\infty \\
\lim\limits_{x \to -\infty} \nep^x &= 0
\end{aligned}
\right\} \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} \nep^{2x}=0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=1.
\]


\item Réponse \choix[d]. Pour tout $x$ non nul, $f(x) \dfrac{(\nep^x-1)(\nep^x+1)}{\nep^x-1} = \nep^x+1$.

Par conséquent, $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=2$. 

\item Réponse \choix[d]. La fonction $f$ est définie en $1$, sa limite est donc\linebreak $f(1)=\nep+1$. 
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5 [nouveau 2014] 

\begin{exo}{QCM}{Lycée Jean Rostand, Villepinte}{1}{15}
Pour chaque affirmation, une seule réponse est juste. Pour chaque question donner la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item L'expression $g(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{2x}}{x}$ définie sur $\R^*$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} toujours positive & 
\choix{} toujours négative \\[6pt]
\choix{} du signe de $-x$ & 
\choix{} du signe de $x$
\end{tabularx}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}$.

Parmi les expressions suivantes, la seule qui n'est pas égale à $f(x)$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{2}{\nep^{2x}+1}$\\[10pt]
\choix{} $\dfrac{1-\nep^{-2x}}{1+\nep^{-2x}}$ & 
\choix{} $\dfrac{\nep^{2x}-1}{1+\nep^{-2x}}$
\end{tabularx}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\nep^{-x}$.\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{SlX}
\choix{} & La représentation graphique de $f$ admet une tangente d'équation  $y=2-x$.\\
\choix{} & $f'(x)=(x+3)\nep^{-x}$.\\
\choix{} & Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0 est $y=x+2$.\\
\choix{} & $f'(-1)=2\nep$.
\end{tabularx}

\item L'équation $\nep^{-x}+\nep^{x}=m$, d'inconnue réelle $x$, où $m$ est un nombre réel :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} a toujours une solution &
\choix{} a au moins deux solutions\\[6pt]
\choix{} n'a jamais de solution &
\choix{} a au plus deux solutions
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $g(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{2x}}{x}=\dfrac{\nep^x\left(1-\nep^x\right)}{x}$.

Tableau de signes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Sc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Sc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Sc|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $0$ &  & $+\infty$\\
\hline
$\nep^x$ &  & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$1-\nep^x$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$x$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
$g(x)$ & & $-$ & $\|$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate que $g(x)$ est toujours négative.

\item Réponse \choix[d]. 
\[
\dfrac{\nep^{2x}-1}{1+\nep^{-2x}}=\dfrac{\nep^{-x}\left(\nep^{3x}-\nep^x\right)}{\nep^{-x}\left(\nep^x+\nep^{-x}\right)}=\dfrac{\nep^{3x}-\nep^x}{\nep^x+\nep^{-x}}.
\]
Cette expression est égale à $f(x)$ si $\nep^x-\nep^{-x}=\nep^{3x}-\nep^x$.

Or, il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle cette égalité n'est pas vérifiée (par exemple pour $x=1$, on vérifie facilement que\linebreak $\nep-\nep^{-1}\neq\nep^3-\nep$). La proposition \choix[d] est donc fausse.

\item Réponse \choix[a]. $f'(x)=\nep^{-x}(1-x-2)=\nep^{-x}(-1-x)$.

On a alors $f(0)=2$ et $f'(0)=-1$. Donc la droite d'équation\linebreak $y=-x+2$ est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Si on ne pense pas au point d'abscisse 0, il est facile de montrer, une fois la dérivée calculée, que les 3 autres propositions sont fausses.

\item Réponse \choix[d]. Comme $\nep^x\neq0$, en multipliant les deux termes de l'équation par $\nep^x$, on obtient une équation équivalente :
\[ \left(\nep^x\right)^2+1=m\nep^x.\]

Puis en posant $X=\nep^x$, on a une équation du second degré : \[ X^2-mX+1=0.\]
Le discriminant de cette équation vaut $m^2-4=(m-2)(m+2)$. Selon les valeurs de $m$, l'équation en $X$ a donc zéro, une ou deux solutions (cela élimine donc les réponses \choix[a] et \choix[b]). Pour avoir une solution en $x$, il faut de plus que l'équation en $X$ ait une solution positive.

Il est facile de voir que pour $m=2$, l'équation $X^2-2X+1=0$ admet \og 1 \fg{} comme racine, donc au moins dans ce cas, l'équation $\nep^{-x}+\nep^x=m$ admet une solution, ce qui élimine la réponse \choix[a].
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{Un calcul de limite}{Lycée Guy de Maupassant, Fécamp}{1}{10}%
Déterminer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de :
\[
x \mapsto \dfrac{3\nep^{2x}-12}{\nep^{2x}-7\nep^x+10}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Nous savons que $\lim\limits_{x \to -\infty} \nep^x=0$, donc :
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} 3\nep^{2x}-12=-12 
\quad
\text{et}
\quad
\lim\limits_{x \to -\infty} \nep^{2x}-7\nep^x+10=10.
\]
Donc :
\[
\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{3\nep^{2x}-12}{\nep^{2x}-7\nep^x+10}
=-\dfrac{12}{10}=-\dfrac{6}{5}.
\]
Par ailleurs :
\[
\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{3\nep^{2x}-12}{\nep^{2x}-7\nep^x+10}
=\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{\nep^{2x}}{\nep^{2x}}
\dfrac{3-12(\nep^{-x})^2}{1-7\nep^{-x}+10(\nep^{-x})^2}.
\]
Or, 
\[
\lim\limits_{x \to +\infty} \nep^x=+\infty
\quad
\text{et}
\quad
\lim\limits_{x \to +\infty} \nep^{-x}=0\;,
\]
donc,
\[
\lim\limits_{x \to +\infty} 3-12(\nep^{-x})^2=3
\quad
\text{et}
\quad
\lim\limits_{x \to +\infty} 1-7\nep^{-x}+10(\nep^{-x})^2=1.
\]
Ainsi,
\[
\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{3\nep^{2x}-12}{\nep^{2x}-7\nep^x+10}=\dfrac{3}{1}=3.
\]
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7


\begin{exo}{Cosinus et sinus hyperboliques}{Lycée Jacques Prévert, Boulogne}{1}{45}
Les fonctions $\ch$ et $\sh$ sont définies sur $\R$ par :
\[
\begin{aligned}
\ch x&=\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2} 
\quad
\text{et}
\quad 
\sh x&=\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}.
\end{aligned}
\]
\begin{questions}
\item Dresser le tableau des signes de ces fonctions.
\item Calculer $\ch'$ et $\sh'$.
\par
Quel lien y a-t-il entre $\ch'$ et $\sh$ ? Entre $\sh'$ et $\ch$ ?
\item Dresser les tableaux de variations de $\ch$ et
$\sh$.
\item Montrer que pour tout $x\in \R$,  
$ \ch^2 x-\sh^2 x=1 $
\begin{questions}
\item\label{chap6ex8_4a} En dérivant
$f(x)=\ch^2 x-\sh^2 x$.
\item \label{chap6ex8_4b} Par un calcul algébrique.
\end{questions}
\item Montrer comme en \refitem{chap6ex8_4a} ou \refitem{chap6ex8_4b} (au choix) que:
\begin{questions}
\item $ \sh(2x)=2\ch x\times\sh x $ 
\item $ \ch(2x)=\ch^2 x+\sh^2 x$ 
\end{questions}
\item Donner une représentation graphique de $\ch$ et de $\sh$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout $x\in \R$, 
$\nep^x >0$
et
$\nep^{-x}>0$,
donc $\ch
x>0$.
\Par
 Pour tout $x \in \R^+$, 
$\nep^x \geq1$ et $\nep^{-x}\leq1$, donc 
$
\sh
x=\dfrac{1}{2}(\nep^x-\nep^{-x})\geq0
$.
\Par
Comme $\sh$ est impaire, on en déduit
pour tout
$x\in \R^-$, $ \sh x \leq0$.
\par
D'où les tableaux de signes :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
\end{array}
\]
\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ sont toutes deux dérivables en tant que sommes de
fonctions dérivables et pour tout $x \in \R$,
\[
\ch' x=\dfrac{{\nep^{x}-\nep^{-x} }}{2}=\sh x
\quad\text{et}\quad
\sh' x=\dfrac{{\nep^{x}-(-\nep^{-x}) }}{2}=\ch x.
\]
\item Le tableau de variation de $\ch$ est alors :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
 & +\infty & & & & +\infty  \\
\ch x & &\searrow & & \nearrow & \\
 & & &1 & & \\
\hline
\end{array}
\]
et celui de $\sh$ est :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
 & & &  &  & +\infty \\
   & &  &  & \nearrow & \\
 \sh x & &  & 0 &  & \\
  & & \nearrow &  &  & \\
 & - \infty & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(\ch^2)'(x)-(\sh^2)'(x) \\
&=2\ch x\ch' x -2\sh x\sh' x \\
&=2\ch x\sh x-2\sh x\ch x =0. \\
\end{aligned}
\]
Donc $f$ est constante sur $\R$ et pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f(x)&=\left(\ch x \right)^2-\left(\sh x \right)^2 \\
&=f(0) \\
&=1-0\\
&=1.
\end{aligned}
\]
\item Pour tout $x \in \R$,\\
\[
f(x)=\left(\ch x\right)^2-\left(\sh x \right)^2
=\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2} \right) ^2
-\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) ^2.
\]
Ou encore, 
\[
f(x)=\dfrac{1}{4}\left(
(\nep^{2x}+2+\nep^{-2x})-(\nep^{2x}-2+\nep^{-2x})\right) =\dfrac{4}{4}=1.
\]
\end{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,\\
\[
\begin{aligned}
2\ch x\sh x&=2\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2}
\right)\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) \\
&=\dfrac{2}{4}\left(
(\nep^x)^2-(\nep^{-x})^2
 \right) \\
&=\sh(2x).
\end{aligned} \]
Posons :
\[
g(x)=2\ch x\sh x-\sh(2x).
\]
Pour tout $x \in \R$,
\[
g'(x)=2\sh x\sh x+2\ch x\ch x-2\ch(2x).
\]
Or, $g$ est constante donc $g'$ est nulle. 
\par
Donc, pour tout $x\in \R$, 
\[
\ch(2x)=\left(\ch x\right)^2+\left(\sh
x\right)^2.
\]
\newpage
\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ ont pour représentations graphiques :
\begin{center}
\includegraphics{06-Corriges-fig1}
\end{center}
On appelle la fonction $\ch$ \og cosinus hyperbolique\fg{}  et la fonction $\sh$
\og sinus hyperbolique\fg.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8 [nouveau 2014] 

\begin{exo}{QCM}{Lycée Olympe de Gouges, Noisy-le-Sec}{2}{20}
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;+\infty[$ et est telle que :
\begin{itemize}
\item $f$ est croissante sur $]-\infty~;3[$ et $]7~;+\infty[$ ;
\item $f$ est décroissante sur $[3~;7]$ ;
\end{itemize}

$g$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\nep^{f(x)}$.

Parmi les tableaux de variation suivants, lequel peut être celui de $g$ ?

\Par\resetchoix

\choix{} \begin{tabular}{|C|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 3 &  & 7 &  & $+\infty$\\
\hline
    & $+\infty$ &  &   &  & 1 &  &           \\
$g$ &           &$\searrow$&&$\nearrow$&&$\searrow$&\\
    &           &  & 0 &  &   &  & 0\\
\hline
\end{tabular}

\choix{} \begin{tabular}{|C|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 3 &  & 7 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &  &  7 &  &  &  & $+\infty$          \\
$g$ &           &$\nearrow$&&$\searrow$&&$\nearrow$&\\
    &    0       &  &  &  & 1  &  & \\
\hline
\end{tabular}

\choix{} \begin{tabular}{|C|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 3 &  & 7 &  & $+\infty$\\
\hline
    &  &  &  7 &  &  &  & $+\infty$          \\
$g$ &           &$\nearrow$&&$\searrow$&&$\nearrow$&\\
    & $-\infty$ &  &  &  & 1  &  & \\
\hline
\end{tabular}

\item On sait que $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.

L'équation $\nep^{2x}+2\nep^x-3=0$ a :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} 0 solution & 
\choix{} 1 solution &
\choix{} 2 solutions
\end{tabularx}

\item La dérivée de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}\nep^{-2x^2}$ définie sur $\R^*$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $-\dfrac{4x^2+1}{x^2}\nep^{-2x^2}$ & 
\choix{} $4\nep^{-2x^2}$ &
\choix{} $-\dfrac{1}{x^2}\nep^{-2x^2}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le tableau \choix[b] est correct.

$\left(\nep^f\right)^\prime=f'\left(\nep^f\right)$. On constate donc que la dérivée de $\nep^f$ a le même signe que la dérivée de $f$. Ces deux fonctions ont le même sens de variation, ce qui élimine le tableau \choix[a].

D'autre part, pour tout $x$, $\nep^{f(x)}>0$, ce qui élimine le tableau \choix[c].

\item Réponse \choix[b]. En posant $X=\nep^{x}$, on constate que :
\[ \nep^{2x}+2\nep^x-3=X^2+2X-3=(X-1)(X+3)=\left(\nep^x-1\right)\left(\nep^x+3\right).\]
L'équation $\nep^{2x}+2\nep^x-3=0$ équivaut donc à $\nep^x=1$ ou $\nep^x=-3$, ce qui donne comme solution unique $x=0$.

\item Réponse \choix[a]. En appelant $f$ la fonction à dériver, on a :
\[
f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\nep^{-2x^2}-4x\nep^{-2x^2}\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{-\nep^{-2x^2}(4x^2+1)}{x^2}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 9

\begin{exo}{Composée d'exponentielles}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{2}{60}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}$.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}$ (courbe représentative de $f$).
\end{questions}

\item Étudier les variations de $f$.
\item
\begin{questions}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point\linebreak K $\left(0~;\dfrac{1}{2}\right)$.
\item Justifier que, pour étudier la position de la tangente $\mathcal{T}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$, il suffit d'étudier sur $\R$ le signe de $g(x)$ où\linebreak $g(x)=2\nep^x-x\nep^x-2-x$.
\item Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.
\item Déterminer, en les justifiant, les signes de $g''(x)$, $g'(x)$ et $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item En déduire la position de la tangente $\mathcal{T}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{questions}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ dans le repère $\left(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}\right)$ (unité graphique : 2 cm).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item D'après les limites du cours, on a $\lim\limits_{x\to -\infty}\nep^x =0$.
Il en résulte que :
\[ \lim_{x\to -\infty}f(x) =0. \]

\item On a :
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x) =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\nep^{-x}+1} =1.
\]
\begin{methode}
Pour lever une indétermination du type \og infini sur infini \fg, on factorise le terme dominant au numérateur et au dénominateur puis on simplifie.\par
On a donc factorisé les deux termes du quotient par $\nep^x$ puis on a simplifié par $\nep^x$.
\end{methode}

\item Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) = 1$, on en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.

De même, comme $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) =0$, on en déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $-\infty$.
\end{questions}

\item
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$.\\
Pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x\left(1+\nep^x\right)-\nep^x\left(\nep^x\right)}{\left(1+\nep^x\right)^2}
\]
soit, après avoir effectué les produits et simplifié,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x}{\left(1+\nep^x\right)^2}.
\]
On en déduit que, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$, et, par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item

\begin{questions}
\item La tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point K a pour équation :
\[y=f'(0)x+f(0)\;,\]
soit $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

\item La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{T}$ est donnée par le signe de la différence $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ soit le signe de :
\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right).
\]
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\nep^x-x-x\nep^x-2}{4\left(1+\nep^x\right)}.
\]
Le dénominateur de $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ étant strictement positif sur $\R$, $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ est du signe de son numérateur soit $g(x)$.

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g'(x)=2\nep^x-\nep^x-x\nep^x-1.
\]
La fonction $g'$ est aussi dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g''(x)=-x\nep^x.
\]

\item
La quantité $g''(x)$ est du signe contraire de $x$ donc elle est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
On en déduit que la fonction $g'$ est croissante sur $\left]-\infty~;0\right]$ et décroissante sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
Or, $g'(0)=0$. Donc la fonction $g$ admet un maximum en 0 et ce maximum vaut 0. On peut donc en déduire que $g'$ est négative sur $\R$ et ne s'annule qu'en 0.\\
Il en résulte que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\R$. Or, $g(0)=0$. On peut donc en déduire que $g$ est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\item
D'après les résultats des trois questions précédentes, on peut conclure :\\
La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $\mathcal{T}$ sur $\left]-\infty~;0\right]$ et en dessous sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\end{questions}

\item
La courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{06-Corriges-fig2}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10

\begin{exo}{Trigonométrie et exponentielle}{Lycée Maximilien Sorre, Cachan}{2}{30}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=(2+\cos x)\nep^{1-x}$.
\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, $f(x)>0$.
\item

\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, $\sqrt{2}\cos \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)= \cos x + \sin x$.
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, $2+\cos x + \sin x > 0$.
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, $\nep^{1-x} \leq f(x) \leq 3 \nep^{1-x}$.
\item En déduire les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu en $+\infty$.
\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item Montrer que, sur l'intervalle $\left[0~;\pi\right]$, l'équation $f(x)=3$ admet une solution unique $\alpha$.
\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{questions}

\end{questions}
\end{exo}



\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, on a $-1\leqslant\cos x\leqslant 1$ donc $2+\cos x>0$ et $\nep^{1-x}>0$, ce qui prouve que $f(x)>0$ sur $\R$.

\item 
\begin{questions}

\item
En appliquant la formule :
\[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\;, \]
on a, pour tout réel $x$, 
\[ \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left[\cos x\cos{\dfrac{\pi}{4}}+\sin x\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right]. \]
Or, $\cos{\dfrac{\pi}{4}}=\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
En remplaçant dans la formule précédente et en effectuant le produit, on obtient :
\[ \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)= \cos x+\sin x. \]

\item
Pour tout réel $x$, d'après la question précédente, on peut écrire :
\[ 2+\cos x+\sin x = 2+ \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right). \]
Or, pour tout réel $x$, on a l'encadrement :
\[ -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\leq \sqrt{2}\;, \]
duquel on déduit :
\[ 2+\cos x +\sin x \geq -\sqrt{2}+2>0. \]

\item
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$,
\[ f'(x)=-\sin x\nep^{1-x}+\left(2+\cos x\right)\left(-\nep^{1-x}\right)\;, \]
soit :
\[ f'(x)=-\nep^{1-x}\left(2+\cos x +\sin x\right). \]
D'après la question précédente, $2+\cos x +\sin x>0$. \\
Or, $-\nep^{1-x} < 0$ pour tout réel $x$.\\
On en déduit que $f'(x)$ est strictement négatif sur $\R$ ce qui entraîne que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.

\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item
Pour tout réel $x$, on a l'encadrement :
\[ -1\leq\cos x\leq 1\;, \] 
duquel on déduit :
\[ 1\leq 2+\cos x\leq 3. \]
On multiplie alors par le réel positif $\nep^{1-x}$ et on obtient :
\[ \nep^{1-x}\leq f(x) \leq 3\nep^{1-x} .\]

\item
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}(1-x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}\nep^x=0$, on en déduit d'après le théorème de limite de fonctions composées que :
\[ \lim_{x\to +\infty}\nep^{1-x}=\lim_{x\to +\infty}3\nep^{1-x}=0. \]
Or, d'après la question précédente,
\[ \nep^{1-x}\leq f(x) \leq 3\nep^{1-x}. \]
Il en résulte, d'après le théorème de limite par encadrements (théorème des gendarmes) que :
\[ \lim_{x\to +\infty}f(x)=0. \]

Comme $\lim\limits_{x\to -\infty}(1-x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\nep^x=+\infty$, on a d'après le théorème de limite de fonctions composées  :
\[ \lim_{x\to +\infty}\nep^{1-x}=+\infty. \]
Il en résulte, d'après le théorème de limite par comparaison, que :
\[ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty. \]
\begin{methode}
Lorsque le texte demande d'établir des inégalités et d'en déduire la valeur d'une limite, il faut utiliser soit le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes) soit le théorème de limite par comparaison.
On notera que dans le cas du théorème de limite par comparaison, il est inutile de déterminer la limite des deux expressions qui encadrent $f(x)$. 
\end{methode}

\item
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$, on en déduit que la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.

\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0~;\pi\right]$.

Or, $f(0)=3\nep$ et $f(\pi)=\nep^{1-\pi}$. On a  $f(0)>3$ et $f(\pi)<3$. On en déduit, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[0~;\pi\right]$.

\item \`A l'aide de la calculatrice, on obtient :
\[ f(0,88)<3<f(0,87)\;, \]
d'où, comme la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left[0~;\pi\right]$, on déduit l'encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près :
\[ 0,87<\alpha<0,88. \]
\end{questions}

\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11


\begin{exo}{Tangente hyperbolique}{Lycée Jean Rostand, Mantes-la-Jolie}{3}{20}
La fonction tangente hyperbolique, notée $\tanh$, est définie sur $\R$ par :
\[\tanh x = \dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}.\]
\begin{questions}
\item

\begin {questions}
\item Étudier la limite de $\tanh$ en $+\infty$.
\item Prouver que si $k\in\left]-1~;1\right[$, l'équation $\tanh x = k$ possède une unique solution.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Prouver que, pour tous réels $x$ et $y$, 
\[\tanh {(x+y)} = \dfrac{\tanh x + \tanh y}{1+\tanh x \tanh y}.\]
\item En déduire que, pour tout réel $x$, 
\[\tanh {2x} = \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2 x}.\]
\end{questions}

\item Soit la suite $(w_n)$ définie par $w_0=\dfrac{\nep^2-1}{\nep^2+1}$ et $w_{n+1}=\dfrac{2w_n}{1+w_n^2}$.
\begin{questions}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ de $\N$, $w_n = \tanh{2^n}$.
\item En déduire que $(w_n)$ converge et préciser sa limite.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item

\begin{questions}
\item On peut écrire :
\[ \lim_{x\to +\infty}\tanh x = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\nep^x-\dfrac{1}{\nep^x}}{\nep^x+\dfrac{1}{\nep^x}}. \]
Après réduction au même dénominateur et simplification, on a :
\[ \lim_{x\to +\infty}\tanh x = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}. \]
On lève l'indétermination en factorisant le terme dominant $\nep^{2x}$ puis en simplifiant par $\nep^{2x}$. 
\[ \lim_{x\to +\infty}\tanh x = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-\nep^{-2x}}{1+\nep^{-2x}}. \]
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty}(-2x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}\nep^x=0$, donc, d'après le théorème de limite de fonctions composées, $\lim\limits_{x\to +\infty}\nep^{-2x}=0$.\\
Il en résulte que $\lim\limits_{x\to +\infty}\tanh x = 1.$

\item En procédant comme à la question précédente, on montre que :
\[ \lim_{x\to -\infty}\tanh x =-1 \]
On étudie alors les variations de la fonction $\tanh$.
La fonction $\tanh$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$,
\[ \tanh'(x)=\dfrac{4}{\left(\nep^x+\nep^{-x}\right)^2}. \]
Par conséquent, la fonction $\tanh'$ est strictement positive sur $\R$ et la fonction $\tanh$ est strictement croissante sur $\R$.\\
La fonction $\tanh$ est continue et strictement croissante sur $\R$ avec :
\[\lim_{x\to -\infty}\tanh x =-1\quad
\text{et}\quad\lim_{x\to +\infty}\tanh x = 1.\]
 On peut donc affirmer d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que, pour tout réel $k$ appartenant à l'intervalle $\left]-1~;1\right[$, l'équation $\tanh x = k$ admet une unique solution dans $\R$.
\end{questions}

\item

\begin{questions}
\item
Pour tous réels $x$ et $y$,
\[
\dfrac{\tanh x + \tanh y}{1+\tanh x  \tanh y}= 
\dfrac{\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}}+\dfrac{\nep^y-\nep^{-y}}{\nep^y+\nep^{-y}}}{1+\dfrac{\left(\nep^x-\nep^{-x}\right)\left(\nep^y-\nep^{-y}\right)}{\left(\nep^x+\nep^{-x}\right)\left(\nep^y+\nep^{-y}\right)}}.
\]
On réduit au même dénominateur et on simplifie :
\[ \dfrac{\tanh x + \tanh y}{1+\tanh x  \tanh y}= \dfrac{\nep^{x+y}-\nep^{-x-y}}{\nep^{x+y}+\nep^{-x-y}}. \]
Soit finalement,
\[ \dfrac{\tanh x + \tanh y}{1+\tanh x  \tanh y}= \tanh {(x+y)}. \]

\item
Il suffit de faire $y=x$ dans la relation précédente pour obtenir le résultat demandé.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item
Soit $n$ un entier naturel. On note $P_n$ la propriété : $w_n = \tanh{2^n}$.\\
\begin{itemize}
\item
Par hypothèse, $w_0=\dfrac{\nep^2-1}{\nep^2+1}$.
\[ \tanh{2^0}=\tanh 1=\frac{\nep-\nep^{-1}}{\nep+\nep^{-1}}. \]
En remplaçant $\nep^{-1}$ par $\dfrac{1}{\nep}$, en réduisant au même dénominateur et en simplifiant, on obtient :
\[ \tanh{2^0}= \dfrac{\nep^2-1}{\nep^2+1}\;, \]
soit finalement, $\tanh{2^0}=w_0$, ce qui montre que $P_0$ est vraie.
\item
On suppose que la propriété est vraie pour un entier $n$ arbitrairement fixé.\\
On a alors $w_n = \tanh{2^n}$. Or, par hypothèse, $w_{n+1}=\dfrac{2w_n}{1+w_n^2}$.\\
On remplace alors $w_n$ par $\tanh{2^n}$ dans l'expression de $w_{n+1}$.\\
On obtient :
\[ w_{n+1}=\dfrac{2\tanh 2^n}{1+\left(\tanh 2^n\right)^2}. \]
Or, on a prouvé à la question précédente que $\tanh {2x} = \dfrac{2\tanh x}{1+\tanh^2 x}$.\\
On en déduit que :
\[ w_{n+1}= \tanh {\left(2\times2^n\right)}. \]
Soit $w_{n+1}=\tanh {2^{n+1}}$.
\end{itemize}
On a donc prouvé que si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est encore vraie au rang $n+1$.\\
On a donc prouvé par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $w_n = \tanh{2^n}$.

\item On a  :
\[ \lim_{n\to +\infty}2^n=+\infty \]
et
\[ \lim_{x\to +\infty}\tanh x=1. \]
Il en résulte d'après le théorème de limite par composition que :
\[ \lim_{n\to +\infty}\tanh 2^n = 1. \]
On peut donc conclure que la suite $\left(w_n\right)$ converge vers 1.
\end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Algorithme et limite}{Lycée Buffon, Paris}{2}{20}
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad a et n sont des nombres
\qquad Saisir a
\qquad n prend la valeur 0
Traitement
\qquad Tant que exp(-n)$\geqslant$ a
\qquad\qquad Affecter à n la valeur n+1
\qquad Fin du Tant que
Sortie
\qquad Afficher n
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Qu'affiche cet algorithme si on entre $a = 0,3$ ?
\item Donner si possible une valeur de $a$ pour laquelle l'algorithme affiche 0.
\item Qu'affiche l'algorithme si on entre $a = 10^{-20}$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Lorsque l'on applique cet algorithme en donnant à $a$ la valeur 0,3, on obtient les résultats successifs suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Sc|Sc|}
\hline\tabulartitle
$n$ & $\exp(-n)$ & test : $\exp(-n)\geqslant0,3$\\
\hline
0 & $\nep^0=1$ & $1\geqslant0,3$ : vrai\\
\hline
1 & $\nep^{-1}\approx0,37$ & $0,37\geqslant0,3$ : vrai\\\hline
2 & $\nep^{-2}\approx0,14$ & $0,14\geqslant0,3$ : faux\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

La boucle s'achève pour $n=2$ et la valeur affichée est donc 2.

\item L'algorithme affiche le premier entier tel que le test \og $\nep^{-n}\geqslant a$ \fg{} soit faux.

Pour afficher 0, il faut donc que $\nep^{-0}\geqslant a$ soit faux, donc que $1<a$.

On constate que pour $a = 2$,  on obtient bien $n = 0$.

\item Si  $a = 10^{-20}$, le test devient faux dès que $\nep^{-n}<10^{-20}$, avec $n$ entier, c'est-à-dire dès que $\nep^{n}>10^{20}$.

\`A la calculatrice, on trouve $\nep^{46}\approx9,5\times10^{19}$ et $\nep^{47}\approx2,6\times10^{20}$. Comme la fonction exponentielle est croissante, cela permet de trouver que si $a = 10^{-20}$, la valeur affichée est 47.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec une fonction auxiliaire}{Lycée Eugène Delacroix, Maisons Alfort}{2}{30}
\subsubsectionnn{Partie A}

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par : $g(x)=2\nep^x+2x-7$.

\begin{questions}
\item \'Etudier les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
\item \label{ch6ex15q3}Justifier que l'équation $g(x)=0$ admet dans $\R$ une solution unique $\alpha$ telle que : $0,940<\alpha<0,941$.
\item \'Etudier le signe de $g$ sur $\R$. 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad P est un réel strictement positif
Initialisation
\qquad Donner à X la valeur 0 et à Y la valeur -5
Traitement
\qquad Tant que Y$<$0
\qquad\qquad Donner à X la valeur X+P
\qquad\qquad Donner à Y la valeur g(X)
Sortie
\qquad Afficher X-P et X
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item On entre une valeur $P$ égale à 0,1. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?
\item On a fait fonctionner l'algorithme avec une certaine valeur de $P$. On a obtenu en sortie les nombres 0,94 et 0,95. Quelle valeur de $P$ avait-on choisie en entrée ?
\item On entre une valeur de $P$ égale à 0,001. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=(2x-5)\left(1-\nep^{-x}\right)$.

\begin{questions}
\item \'Etudier le signe de $f$ sur $\R$.
\item \'Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivé de $f$, et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.

Dresser le tableau de variation de $f$.
\item
\begin{questions}
\item Démontrer l'égalité : $f(\alpha)=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $h:x\mapsto\dfrac{(2x-5)^2}{2x-7}$ sur l'intervalle $\left]-\infty~;\dfrac{7}{2}\right[$.

En déduire, à partir de l'encadrement de $\alpha$ obtenu dans la question~\refitem{ch6ex15q3} de la partie A, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item Les calculs sur les limites donnent sans difficultés : $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$.

\item La fonction $g$ est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur $\R$, donc elle est strictement croissante sur $\R$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $+\infty$\\
\hline
 &  &  & $+\infty$\\
$g$ & & $\nearrow$ & \\
 & $-\infty$ &  &  \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La fonction $g$ est strictement croissante et continue sur $\R$. 0 est compris entre les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement croissantes, il existe un réel $\alpha$ unique tel que $g(\alpha)=0$. \`A la calculatrice, on trouve $g(0,940)<0$ et $g(0,941)>0$, donc $0,940<\alpha<0,941$.

\item Comme $g$ est strictement croissante sur $\R$ et $g(\alpha)=0$, on a $g(x)<0$ pour $x<\alpha$ et $g(x)>0$ pour $x>\alpha$.

\item
\begin{questions}
\item En appliquant l'algorithme à $P=0,1$, on obtient les valeurs successives suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\hline\tabulartitle
$X$ & $Y$ & Test : $Y<0$\\
\hline
0 & $-5$ & Vrai\\
\hline
0,1&$g(0,1)\approx-4,59$ & Vrai\\
\hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\
\hline
0,9 & $g(0,9)\approx-0,28$ & Vrai\\
\hline
1 & $g(1)\approx0,44$ & Faux\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Les valeurs affichées sont donc 0,9 et 1.

\item Si on obtient 0,94 et 0,95, cela signifie que $X-P=0,94$ et \linebreak$X=0,95$, donc $P=0,01$.

\item Avec $P=0,001$, on obtient un encadrement par deux nombres ayant 3 chiffres après la virgule et de différence 0,001. Or, on sait que $0,940<\alpha<0,941$.
Cela veut dire que les valeurs affichées seront 0,940 et 0,941.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $2x-5>0$ pour $x>2,5$ et $1-\nep^{-x}>0$ pour $\nep^{-x}<1$, c'est-à-dire pour $x>0$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & 0 &  & 2,5 &  & $+\infty$\\
\hline
$2x-5$ & & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$1-\nep^{-x}$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$f(x)$ & & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On établit facilement : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 2\left(1-\nep^{-x}\right)+(2x-5)\nep^{-x}\\
& = 2-7\nep^{-x}+2x\nep^{-x}\\
& = \nep^{-x}\left(2\nep^x+2x-7 \right)\\
& = \nep^{-x}g(x).
\end{aligned}$

Comme $\nep^{-x}>0$, cela montre que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le m\^eme signe.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $\alpha$ &  & $+\infty$\\
\hline
 & $+\infty$ & &  &  & $+\infty$\\
 $f(x)$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
 & & & $f(\alpha)$ & & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item $f(\alpha)=(2\alpha-5)\left(1-\nep^\alpha\right)$ . Or, $g(\alpha)=0$ donc $2\nep^\alpha+2\alpha-7=0$, d'où $\nep^\alpha=\dfrac{7-2\alpha}{2} $.

Alors, 
\begin{align*}
f(\alpha) & =(2\alpha-5)\left(1-\dfrac{2}{7-2\alpha}\right)\\
& = (2\alpha-5)\left(\dfrac{5-2\alpha}{7-2\alpha}\right)\\
& = \dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
h'(x) & = \dfrac{2\times2\times(2x-5)\times(2x-7)-(2x-5)^2}{(2x-7)^2}\\
& = \dfrac{8x^2-56x+90}{(2x-7)^2}
\end{aligned}$

$h'(x)$ est du signe de $8x^2-56x+90$, qui admet deux racines : 2,5 et 4,5. Selon la règle du signe du trinôme, l'expression est positive « à l'extérieur » des racines, donc $h'(x)>0$ sur $]-\infty~;2,5[$, ce qui signifie que $h$ est croissante sur $]-\infty~;2,5[$.

Comme $0,94 < \alpha  < 0,941$ et que ces trois nombres sont dans l'intervalle $]-\infty~;2,5[$, on a $h(0,94)<h(\alpha)<h(0,941)$.

\`A l'aide de la calculatrice et comme $h(\alpha)=f(\alpha)$, on obtient : \[-1,905<f(\alpha)<-1,895.\]
 
(Attention à l'arrondi pour obtenir un encadrement d'amplitude 0,01)
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput