\chapter{Logarithme népérien}
\label{chap-ln} % ref dans cours chap 3

\begin{exointro}{Lycée Guynemer, Compiègne}
\begin{questions}
\item Simplifier les écritures suivantes :
\[ A=\ln\left(\nep^3\sqrt{\nep^5}\right) \qquad ; \qquad B=\nep^{3\ln8+4\ln32}.\]

\item Résoudre l'équation suivante :
\[
\ln(x-4)+\ln(x-2)=\ln3.
\]

\item Calculer la dérivée de la fonction suivante en indiquant l'ensemble de dérivabilité :
\[
f(x)=x^2\ln(1+x).
\]
\end{questions}
\end{exointro}


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\section{Fonction logarithme népérien}

\begin{defin}
Pour tout réel strictement positif $x$, l'équation $\nep^y=x$ (d'inconnue $y$) admet une et une seule solution dans $\R$. Cette solution réelle $y$ est notée $\ln x$. On définit ainsi une fonction appelée \emph{logarithme népérien} :
\[
\begin{array}{rl@{~}l@{~}l}
\ln\;: & \R_+^* & \longrightarrow & \R\\
& x & \longmapsto & \ln x
\end{array}
\]
\end{defin}

\begin{aretenir}
Soient  $A\in\R_+^*$  et  $B\in\R$. On a donc :
\[
A=\nep^B \iff B=\ln A.
\]
\end{aretenir}

\begin{coro}
Si le repère est orthonormé, les courbes représentatives des fonctions $\ln$ et  $\exp$  sont symétriques par rapport à la droite  $(\Delta)$  d'équation  $y=x$. 
\end{coro}
 
\begin{thm} 
La fonction \ $\ln$ \ est continue, dérivable, strictement croissante de $\R_+^{*}$ sur $\R$. 

On a  :
\[
(\ln)'(x)=\dfrac{1}{x} \qquad \text{pour tout }x>0.
\]
Enfin :
\[ \ln1 =0\qquad\text{et}\qquad\ln\nep=1. \]
\end{thm}

\begin{Remarque} le symbole  $\ln$ obéit aux mêmes conventions d'écriture que $\exp$, et souvent des parenthèses sont inutiles. %Par exemple : $\ln 1=0$. 
\end{Remarque}


\emph{Conséquence} : La fonction logarithme étant strictement croissante sur $\R_+^{*}$, il en résulte que, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs,
\[
\ln x < \ln y\Longleftrightarrow x < y\qquad\text{et}\ln x = \ln y\Longleftrightarrow x = y.
\]

\begin{Remarque} le nombre dérivé de la fonction logarithme en $x=1$ vaut 1 donc :
\[ \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln\,(1+h)}{h}=1. \]

La tangente à la courbe de la fonction $\ln$, au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur $1$ et son équation est $y=x-1$. 

\Par

\emph{Complément} : La courbe représentative de la fonction logarithme est partout en dessous de sa tangente.
\end{Remarque}

\begin{thm}[Relation fonctionnelle] Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :
\[
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
\]
\end{thm}

\emph{Conséquences :}  pour tout entier relatif~$m$,
\[
\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x\qquad\text{et}\qquad \ln\left(x^m\right)=m\ln x.
\]


\begin{attention}
Faire preuve de rigueur lors de l'utilisation de la relation fonctionnelle : ne pas 
scinder $\ln (xy)$ en somme de deux logarithmes sans avoir vérifié  et 
mentionné la stricte positivité de $x$ et $y$.
\end{attention}

\begin{thm}[Limites]
\[
\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x =-\infty
\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty.
\]
\end{thm}
L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction logarithme.
\begin{center}
\includegraphics{07-Cours-fig1}    
\end{center}

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\section{Limites à connaître}

\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0$.
\item $\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = 0$.
\end{itemize}

\begin{Remarque}
on dit qu'en cas d'indétermination, $x$ ou les puissances de $x$ \og l'emportent \fg{} sur $\ln x$.
\end{Remarque}

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\section{Logarithme décimal}

On définit sur $\R_+^*$ la fonction log par :
\[
\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}.
\]

Cette fonction est utilisée, entre autres, pour la définition des décibels, et pour la définition des intensités des tremblements de terre sur l'échelle de Richter.


\newpage


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\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A & =\ln\left(\nep^3\right)+\ln\sqrt{\nep^5}\\
& = 3\ln\nep+\dfrac{1}{2}\ln\left(\nep^5\right)\\
& = 3\ln\nep+\dfrac{5}{2}\ln\nep\\
& = 3+\dfrac{5}{2}\\
& = \dfrac{11}{2}.
& \\[15pt]
B & = \nep^{3\ln8}\times\nep^{4\ln32}\\
& = \nep^{\ln\left(8^3\right)}\times\nep^{\ln\left(32^4\right)}\\
& = 8^3\times32^4\\
& = 2^{29}.
\end{aligned}$

\item Il faut commencer par déterminer l'ensemble de validité de l'équation :
\[
x-4>0 \qquad \text{pour} \qquad x>4
\]
et 
\[
x-2>0\qquad \text{pour}\qquad x>2.
\]
Donc l'ensemble de validité de l'équation est $]4~;+\infty[$.

Dans cet ensemble de validité, l'équation équivaut à :
\[ \ln\big[(x-4)(x-2)\big]=\ln3\;,\]
c'est-à-dire :
\[ (x-4)(x-2)=3.\]
Donc, 
\[ x^2-6x+8=3\;,\]
soit encore :
\[ x^2-6x+5=0.\]
Cette équation admet deux solutions : 1 et 5.

Seule 5 est solution de l'équation initiale, car 1 n'appartient pas à l'ensemble de validité de l'équation :
\[ S=\{ 5\}. \]

\item La fonction $f$ est dérivable sur $]-1~;+\infty[$ car la fonction carré est dérivable sur $\R$ et la fonction $\ln u$ est dérivable pour $u(x)>0$.
\[ f'(x)=2x\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{1+x}.\]
\vspace*{-1em}
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput