\addtocontents{toc}{\protect\newpage}
\chapter{Intégration} 

\begin{exointro}{Lycée Henri IV, Paris} On appelle $A(x)$ l'aire comprise
entre la droite d'équation $y=3$ et la parabole d'équation $y=x^2$. 
\par
Calculer $A(x)$.  
\end{exointro} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrale d'une fonction continue}

\subsection{Intégrale et aire}
\begin{center}
\includegraphics{08-Cours-fig1}
\end{center}

\begin{defin} 
Soit $f$ une fonction \emph{continue} et \emph{positive} sur un intervalle $[a~;b]$ et $\mathcal {C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\gvec {OI},\gvec{OJ}\right)$.  
\par
L'unité d'aire est l'aire du rectangle $OIKJ$ construit à partir des points $O$, $I$ et $ J$.
\par
L'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ est l'aire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}$.
On la note :
\[
\mathscr{A}=\int_a^b f(t)\dd t.
\]
\end{defin}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction \emph{continue} et \emph{négative} sur un intervalle $[a~;b]$ et $\mathcal {C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \\
Le nombre  $\int_a^b f(t)\dd t$ est égal à l'opposé de l'aire du domaine $\mathscr{D}$ limité par l'axe des abscisses, la courbe  $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{defin}


On étend la définition de l'intégrale aux fonctions continues \emph{changeant de signe} un nombre fini de fois, comme étant la somme algébrique des aires sur les intervalles où $f$ est de signe constant, chaque terme étant affecté du signe de $f$ sur cet intervalle.
\Par
L'\emph{aire algébrique} ainsi calculée est appelée \emph{intégrale de $f$ sur $[a~;b]$}.

\begin{center}
\includegraphics{08-Cours-fig2}
\end{center}

\begin{aretenir}
Pour calculer l'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$, on commence par étudier le signe de $f(x)-g(x)$.\\
Si $f(x)-g(x)$ est positif sur l'intervalle $[a~;b]$, alors :
\[ \mathscr{A}= \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big] \dd x.\]
Si $f(x)-g(x)$ est négatif sur l'intervalle $[a~;b]$, alors :
\[ \mathscr{A}= \int_a^b \big[g(x)-f(x)\big]\dd x.\]
\end{aretenir}

\Par
On étend la définition du symbole $\int_a^b f(t)\dd t$ au cas $a>b$ en posant alors :
\[
\int_a^bf(t)\dd t=-\int_b^af(t) \dd t.
\]
C'est l'\emph{intégrale de $a$ à $b$} de $f$ (attention à ne pas
évoquer l'\emph{intervalle $[a~;b]$} si $a>b$).

\subsection{Propriétés de l'intégrale}

\begin{thm}[Relation de Chasles]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$, $b$, $c$ trois réels appartenant à $I$, alors :
\[
\int_a^c f(t)\dd t=\int_a^b f(t)\dd t+\int_b^c f(t)\dd t.
\]
\end{thm}

\begin{attention}
Il n'existe aucune condition d'ordre entre les réels $a$, $b$ et $c$. La relation de Chasles n'impose pas d'avoir $a<b<c$.
\end{attention}


\begin{props}
\begin{itemize}
\item Si $f$ est impaire, alors :
\[
\int_{-a}^{a} f(t)\dd t=0.
\]
\item Si $f$ est paire, alors:
\[
\int_{-a}^{a} f(t)\dd t=2\int_{0}^{a} f(t)\dd t.
\]
\item Si $f$ est périodique de période $T$, alors pour tout réel $a$ :
\[
\int_a^{a+T}f(t)\dd t=\int_0^T f(t)\dd t .
\]
\end{itemize}
\end{props}

 
\begin{thm}[Linéarité de l'intégrale]
Quelles que soient les fonctions continues $f$ et $g$, quels que soient les
réels $\lambda$ et $\mu$ :
\[
\int_a^b (\lambda f(t)+\mu g(t))\dd t=\lambda \int_a^b f(t)\dd t+\mu
\int_a^b g(t)\dd t.
\]
\end{thm}


\begin{props}
\begin{itemize}
\item Si pour tout $x$ de $[a~;b]$, $f(x) \ge 0$, alors : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \ge 0$. 

Si pour tout $x$ de $[a~;b]$, $f(x) \le 0$, alors : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \le 0$.
%\Break
\item Si pour tout nombre réel $x$ de $[a~;b]$, $g(x) \le f(x)$, alors : \[\int_{a}^{b} g(x)\dd x \le \int_{a}^{b} f(x)\dd x.\]
\end{itemize}
\end{props}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Primitive et intégrale}
 
\subsection{Définition et existence}
\begin{defin}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.  Une \emph{primitive} de $f$ sur $I$ est, \emph{si elle existe}, une fonction $F$ dérivable sur $I$ vérifiant  $F'=f$ sur $I$.
\end{defin}

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.  \par
Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, alors elle en admet
une infinité. 
\par
Si $G$ est une autre primitive, il existe une constante réelle $c$ telle que, pour tout $x$ de l'intervalle $I$ :
\begin{center} $G(x)=F(x)+c$.\end{center}
\end{thm}

\begin{aretenir} 
Si elles existent, les primitives de $f$ sur $I$ \emph{diffèrent d'une constante}.
\end{aretenir}

\begin{prop}
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle
  $I$, soit $x_0$ un réel de $I$ et $y_0$ un réel quelconque fixé. 
\par
Il
  existe alors une \emph{unique} primitive $F$ de $f$ telle que
  $F(x_0)=y_0$.
\end{prop}

\begin{thm}
Tout  fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{thm}

\begin{Remarque}
ce théorème permet de prouver l'existence de primitives d'une fonction mais ne permet pas de les calculer. Il sera aussi souvent utilisé pour prouver l'existence d'intégrales.
\end{Remarque}


\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction 
\[F\,:I\to\R,\quad x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\dd t
\]
est \emph{la} primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
\end{thm}

\begin{Remarque} 
on peut étudier facilement les variations de la fonction $F$, sans calculer l'intégrale,  dans la mesure où on connaît sa dérivée qui n'est autre que la fonction $f$. 
\end{Remarque} 

Soit $F$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a,b$ deux réels appartenant à $I$. On note :
\[
\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a).
\]

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue et $F$ une primitive de $f$. On a :
\[
\int_a^bf(t)\dd t=\big[F(t)\big]_a^b.
\]
\end{thm}

\subsection{Primitives usuelles}

Un tableau de dérivées usuelles donne, par lecture inverse, un tableau de primitives à connaître.  Précisons une dernière fois qu'on ne parle de primitives que sur un \emph{intervalle} :

\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{|c|l>{\text{avec } k\in \R}c|}
\hline\tabulartitle
\text{ La fonction usuelle }  & \multicolumn{2}{c|}{\text{ Ses primitives }}\\
\hline
x \mapsto 1   & x\mapsto x + k & \\
\hline 
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto x^n \quad 
\begin{array}{c}
\text{avec } x \in \R \text{ si } n \in \N^* \\ 
\text{et } x \neq 0 \text{ si } -n \in \N
\end{array} 
& x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k  &\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto \dfrac{1}{x} \text{ avec } x > 0 & x \mapsto \ln x+k &\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto \dfrac{1}{x^2} \text{ avec } x \neq 0 & x \mapsto -\dfrac{1}{x}+k &\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} \text{ avec } x > 0 & x \mapsto 2\sqrt{x}+k &\\
\hline
x\mapsto \nep^x & x \mapsto \nep^x +k &\\
\hline
x \mapsto \sin x & x \mapsto -\cos x +k &\\
\hline
x\mapsto \cos x & x \mapsto \sin x + k &\\
\hline
\end{array}
\]

\subsection{Primitives et fonctions composées}

Il est souvent possible de mettre en évidence la dérivée d'une fonction composée. Le tableau page suivants regroupe les cas les plus courants ($u$ désigne une fonction dérivable sur un intervalle $I$).

\newpage

\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline\tabulartitle
\text{Fonction $f$}&\text{Une primitive $F$}&\text{Conditions sur $u$}\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}u'u^n\quad n\in\N^*&\dfrac{u^{n+1}}{n+1}&\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}\dfrac{u'}{u^2}&-\dfrac{1}{u} & u(x)\neq0\text{ sur $I$.}\\
\hline
\rule[-2.4ex]{0ex}{2.4ex}\dfrac{u'}{\sqrt{u}}&2\sqrt{u}&u>0 \text{ sur $I$.}\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}\dfrac{u'}{u}&\ln u&u>0 \text{ sur $I$.}\\
\hline
u'\nep^u&\nep^u&\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}x\mapsto u(ax+b)\quad a\neq0&x\mapsto\dfrac{1}{a} U(ax+b)&\text{$U$ primitive de $u$ sur $I$.}\\
\hline
\end{array}
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Valeur moyenne}

\begin{defin} 
La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $[a~;b]$ ($a<b$) est le nombre réel $\mu$ défini par $\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \dd x$.
\end{defin}

\Par

\begin{solintro} 
Le cas qui nous intéresse correspond à la figure :
\begin{center}
\includegraphics{08-Cours-fig3}
\end{center}
\Break
L'aire $\mathscr{A}(x)$ est donc égale à l'aire du rectangle $ABCD$ moins \og l'aire sous la courbe  \fg :
\begin{align*}
\mathscr{A}(x)&= \text{Aire}(ABCD)-\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2\dd x\\
&= 6 \sqrt{3}-2\int_{0}^{\sqrt{3}} x^2\dd x 
\quad\text{(car}\quad x\mapsto x^2 \quad \text{est paire)}\\
&= 6 \sqrt{3}-2 \left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt3}\\
&= 6 \sqrt{3}-2 \times \dfrac{1}{3} \times 3 \sqrt{3}\\
&= 4 \sqrt{3}.
\end{align*}
\end{solintro}

\endinput