\thumb


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin {qcm} {Calcul d'intégrales} {10}
\begin{questions}
\item
Soit $I=\int_{-1}^1\left|\nep^x-1\right|\dd x$. La valeur de $I$ est :\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\left|-\left|\frac{1}{\nep}-1\right|\right|-\left|\nep -1\right|$
& \choix $2(\nep-1)$\\
\choix $\nep+\dfrac{1}{\nep}$
&\choix $\nep+\dfrac{1}{\nep}-2$
\end{tabularx}

\item
Soit $I=\displaystyle\int_1^2\frac{6x^2+4x}{x^3+x^2-1}\dd x$. La valeur de $I$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
$2\ln 11$
& \choix
$-\dfrac{1}{11}$
& \choix
$\ln 11$
&\choix
$\dfrac{1}{2}\ln 11$
\end{tabularx}

 \item
 Soit $I=\displaystyle\int_0^4 \bigl(\left|x-1\right|+\left|x-2\right| \bigr)\dd x$. La valeur de $I$ est :

\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
6
& \choix
7
& \choix
8
&\choix
9
\end{tabularx}

 
  \item
   Soit $I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x \dd x$. La valeur de $I$ est :

\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix 
$\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$
& \choix
$\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}$
& \choix
$\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}$
&\choix
$\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
\end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Réponse \choix[d]. 
$I=\int_{-1}^1\left|\nep^x-1\right|\dd x=\int_{-1}^0 (1-\nep^x) \dd x + \int_0^1 (\nep^x -1) \dd x.$\\
$I=\big[x-\nep^x\big]_{-1}^0+\big[\nep^x-x\big]_0^1=\nep+\dfrac{1}{\nep}-2$.
\begin{methode}
On ne peut pas intégrer directement une fonction dont l'écriture comporte des valeurs absolues. Il est indispensable de commencer par donner une écriture de la fonction sans valeur absolue en distinguant différents intervalles. L'intégrale se calcule ensuite en appliquant la relation de Chasles.
\end{methode}

\item
Réponse \choix[a]. Il convient de s'assurer que $x^3 + x^2 - 1$ est bien positif pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;2]$.

L'étude de la fonction $x\mapsto x^3 + x^2 - 1$ montre que, sur $[0~;+\infty[$, cette fonction est croissante, et, comme $f(1) = 1$, on a bien la condition requise.

\item
Réponse \choix[d]. On retrouve la même situation que la première question. On doit commencer par simplifier l'écriture de la fonction de manière à ne plus avoir de valeurs absolues puis appliquer la relation de Chasles.\\
$I=\int_0^1 (-2x+3) \dd x +\int_1^2 \dd x + \int_2^4 (2x-3) \dd x = 9$.

\item Réponse \choix[b]. Pour tout réel $x$, $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$.\\
Par suite, $I=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2

\begin{vf}{Propriétés des intégrales} {10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0~;1]$ est $\nep$.
\item $\displaystyle\int_{-1}^1 (x^5+x^3)\sin^3x  \dd x=0$.
 \item  $\displaystyle\int_0^{\pi}\nep^{\cos x}\dd x=\int_{-\pi}^0\nep^{\cos x}\dd x$.
\item  $\displaystyle\int_0^{\pi}\nep^{\cos x}\dd x= \int_{-2\pi}^{-\pi}\nep^{\cos x}\dd x$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}

\begin{questions}
\item
Faux. La valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle $[0~;1]$ est $\int_0^1 \nep^x \dd x = \nep -1$.

\item
Vrai . La fonction intégrée est une fonction impaire sur l'intervalle $[-1~;1]$ donc, d'après les propriétés du cours, son intégrale sur le segment $[0~;1]$ est nulle.
\begin{methode}
Lorsque les bornes d'intégration sont deux réels opposés, on commencera toujours par étudier rapidement la parité de la fonction intégrée. Si la fonction est impaire, l'intégrale est nulle et il n'y a pas lieu de se lancer dans des calculs.
\end{methode}

\item
Vrai. La fonction intégrée est une fonction paire puisque, pour tout réel $x$, $\cos (-x) = \cos x$ et les intervalles d'intégration sont symétriques par rapport à 0.

\item
Vrai. La fonction intégrée est une fonction périodique de période $2\pi$ et on intègre sur des intervalles décalés d'une période.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin{vf} {Intégrales et ordre} {10 }
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
L'intégrale d'une fonction continue positive sur un segment est positive.
\item
Si l'intégrale d'une fonction sur un segment est positive alors la fonction est positive.
 \item
 Si l'intégrale d'une fonction est nulle sur un segment $[a~;b]$ alors la fonction est nulle sur $[a~;b]$.

\item Pour tout réel $x$, $\displaystyle\int_x^{x^2}t^2 \dd t \geq 0$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}

% \enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{questions}
\item
Faux. Il manque une hypothèse pour pouvoir appliquer le théorème de positivité de l'intégrale : les bornes doivent être dans l'ordre croissant.\\
Ainsi $I=\int_3^1  2t \dd t= \big[t^2\big]_3^1=-8$.

\begin{attention}
Pour appliquer un théorème, on doit impérativement s'assurer que toutes les conditions d'application sont réunies et les mentionner sur la copie. Lors de l'apprentissage du cours, on mettra bien en évidence ces conditons en liaison avec la démonstration du théorème.
\end{attention}

\item
Faux. La réciproque du théorème de positivité est fausse.
Soit\linebreak[4] $I=\int_{-1}^2t \dd t = \left[\dfrac{1}{2}t^2\right]=\dfrac{3}{2}$. On remarque que l'intégrale $I$ est positive alors que la fonction intégrée est négative entre $-1$ et $0$.

\item
Faux. Si on intègre une fonction continue et impaire sur un segment dont les deux bornes sont opposées, alors l'intégrale est nulle alors que la fonction n'est pas nulle.\\
Ainsi $\int_{-1}^1 t^3 \dd t=0$ alors que la fonction cube n'est pas nulle sur $[-1~;1]$.

\item Faux. Si $x=\dfrac{1}{2}$, alors $x^2=\dfrac{1}{4}$. On intègre alors une fonction continue, positive avec les bornes dans l'ordre décroissant. L'intégrale sera donc négative.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin{vf} {Fonction définie par une intégrale} {15 }
  On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\displaystyle\int_0^x  \nep^{-t^2} \dd t$.\\
  Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes   ?
\begin{questions}
\item La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $F'(x)=\nep^{-x^2}-1$.
\item La fonction $F \geq 0$ sur $\R$.
 \item
 Pour tout réel $x \geq 1$, $F(x)-F(1) \leq \displaystyle\int_0^x \nep^{-t^2} \dd t$.
\item
Pour tout réel $x$, $F(x)=F(-x)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. D'après le cours, comme la fonction $f$ définie sur $\R$ par\linebreak[4] $f(t)=\nep^{-t^2}$ est continue sur $\R$, elle admet des primitives sur $\R$ et la fonction $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui s'annule en 0. Par suite, la fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'=f$. On a donc, pour tout réel $x$, $F'(x)=\nep^{-x^2}$.

\item
Faux. Si $x$ est négatif, on intègre une fonction continue et positive avec les bornes dans l'ordre décroissant donc on obtient un résultat négatif.

\item
Vrai. En effet, $\int_0^1 f(t) \dd t$ est l'intégrale d'une fonction continue, positive, avec les bornes dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale, $F(1) \geq 0$.\\
Par conséquent, $F(x)-F(1) \leq F(x)$.

\item
Faux. Considérons la différence $F(x)-F(-x)$.\\
Pour tout réel $x$, $F(x)-F(-x)=\int_0^x f(t) \dd t - \int_0^{-x} f(t) \dd t = \int_{-x}^x f(t) \dd t$.\\
La fonction $f$ est paire et strictement positive sur l'intervalle d'intégration donc l'intégrale n'est pas nulle et par suite, $F(x)$ et $F(-x)$ ne sont pas égaux.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5

\begin{vf}{Suite d'intégrales} {15}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'intégrale :
\[
I_n=\int_{\ln n}^{\ln (n+1)}\frac{\nep^t}{\nep^t +1}\dd t.
\]
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Pour tout naturel $n$ non nul, $I_n$ est positive.
\item
Pour tout naturel $n$ non nul, $I_n=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.
 \item
 La suite $(I_n)$ est décroissante.
\item
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_1+I_2+\cdots+ I_n=\ln (n+2)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Vrai. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{\nep^t}{\nep^t+1}$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[\ln n~;\ln (n+1)]$. On intègre avec les bornes dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale, $I_n$ est positive.


\item Faux. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[\ln n~;\ln (n+1)]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Elle est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ donc elle admet pour primitive la fonction $F$ définie sur $\R$ par\linebreak $F(t)=\ln \left(\nep^t +1\right)$. On en déduit que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
\[ I_n=\ln (n+2)-\ln(n+1)=\ln \frac{n+2}{n+1}. \]

\item Vrai. Pour étudier le sens de variation de la suite $(I_n)$, on cherche le signe de $I_{n+1}-I_n$.\\
Pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
I_{n+1}-I_n =\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}.
\]
Or, $(n+3)(n+1)=n^2+4n+3$, donc : $(n+3)(n+1)<(n+2)^2$.

Par suite, 
\[
\dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2} <1\qquad\text{et}\qquad\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}<0.
\]
On en déduit que $I_{n+1}-I_n$ est négatif et la suite $(I_n)$ est décroissante.

\item Faux. On transforme la somme $I_1+I_2+\cdots+ I_n$ en appliquant la relation de Chasles : 
\[
\begin{aligned}
I_1+I_2+\cdots+I_n &= \int_0 ^{\ln (n+1)} \frac{\nep^t}{\nep^t+1}\dd t\\
&= \big[\ln (\nep^t+1)\big]_0^{\ln(n+1)}\\
&= \ln(n+2)-\ln 2\\
& = \ln \dfrac{n+2}{2}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{Pratique du calcul intégral}{Lycée Blaise Pascal, Brie-Comte-Robert}{1}{10}%


Calculer les intégrales 
$\ds
I_1=\int_{0}^{\pi} \cos t\dd t 
\text{ et }
I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \left( t+\dfrac{\pi}{4} \right) \dd t 
$

\end{exo}

\begin{corrige}

La fonction cosinus est continue sur $[0~;\pi]$ donc elle admet des primitives sur $[0~;\pi]$ et l'intégrale $I_1$ existe.\par
De même, la fonction sinus est continue sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_2$ existe.
\Par
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_1$ :
\[
\begin{aligned}
I_1&=\int_{0}^{\pi} \cos t \dd t \\
&=\left[ \sin t \right]_0^{\pi} \\
&=\sin{\pi}-\sin{0} \\
&=0.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_2$ :
\[ 
\begin{aligned}
I_2&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\sin \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \dd t \\
&=\left[-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \right]_0^\frac{\pi}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\sqrt{2}.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
%

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7

\begin{exo}{Intégrales de fonctions polynômes}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{10}


Calculer les intégrales :
\[
I_3=\int_{0}^{1} \big(t^3+2t^2+4t+1\big)\dd t 
\text{ et }
I_4=\int_{-3}^{3} \big(12t^{17}+2t^3-t\big)\dd t 
\]

\end{exo}

\begin{corrige}


Calcul de $I_3$ :
\par
La fonction : $t\mapsto t^3+2t^2+4t+1 $ est continue sur $[0~;1]$ donc elle admet des primitives sur $[0~;1]$ et l'intégrale $I_3$ existe.
\[
\begin{aligned}
I_3&=\int_{0}^{1}(t^3+2t^2+4t+1) \dd t \\
&=\left[\dfrac{1}{4}t^4+\dfrac{2}{3}t^3+2t^2+t \right]_{0}^{1} \\
&= \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}+2+1 \\
&=\dfrac{47}{12}.
\end{aligned}
\]
\Par
Calcul de $I_4$ :
\par
La fonction $t\mapsto 12t^{17}+2t^3-t$ est continue sur $[-3~;3]$. On remarque de plus que cette fonction est impaire.
Or, d'après le cours, si la fonction $f$ est impaire, alors $\int_{-a}^{a} f(t)\dd t=0$. On en déduit :
\[
I_4=\int_{-3}^{3} (12t^{17}+2t^3-t) \dd t=0.
\]
\begin{attention}
On pensera bien à vérifier que les trois conditions d'application  du théorème sont remplies : la fonction doit être continue, les bornes de l'intervalle d'intégration doivent être deux nombres opposés et la fonction doit être impaire.
\end{attention}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8

\begin{exo}{Un calcul classique}{Lycée Victor Hugo, Besançon}{1}{15}
Soit $I=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\dd x }{ \sqrt{x^2+2}}$.

\begin{questions}
\item Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto
\sqrt{x^2+2}$.
\item En déduire la dérivée de la fonction $f$ définie sur $[0~;1]$ par :
\[
f(x)=\ln \left( x+\sqrt{x^2+2} \right).
\]
\item Calculer la valeur de $I$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}


\begin{questions}
\item La fonction : $x\mapsto \sqrt{x^2+2}$ est la composée des fonctions : $x\mapsto x^2+2$ et $x\mapsto \sqrt{x}$.

Or, la fonction $x\mapsto x^2+2$ est dérivable sur $\R$, à valeurs strictement positives et la fonction racine est dérivable sur $\left]0~;+\infty\right[$, donc, d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées, la fonction\linebreak[4] $
x\mapsto \sqrt{x^2+2}$ est dérivable sur $\R$.

Les dérivées respectives des deux fonctions sont :
$x\mapsto 2x$ et\linebreak $x\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La dérivée cherchée est donc : $x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.

\item 
Ainsi la dérivée de :
\[
x \mapsto x+\sqrt{x^2+2}
\]
est :
\[
x\mapsto
1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
\]
On pose alors $u(x)=x+\sqrt{x^2+2}$. \\
D'après les questions précédentes, la fonction $u$ est dérivable sur $[0~;1]$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur l'intervalle $[0~;1]$. La fonction $f$ étant de la forme $\ln u$, il en résulte qu'elle est dérivable sur $[0~;1]$.\\
Donc pour tout $x\in [0~;1]$,
\[
f'(x)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}}
=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}} }{\  x+\sqrt{x^2+2}\ } .
\]
Soit :
\[
f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}.
\]
%
\item 
La fonction : $x\mapsto \dfrac{1 }{ \sqrt{x^2+2}}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ et on a montré que $f$ en est une primitive sur $[0~;1]$, donc I existe et : 
\[
I=\int_0^1 f'(x) \dd x 
=f(1)-f(0) 
=\ln\big(1+\sqrt{3}\big)-\ln\big(\sqrt{2}\big).
\]
\end{questions}
%
%
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex9


\begin{exo}{Recherches de primitives}{Lycée Lavoisier, Paris}{2}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-2~;+\infty\right[$ par :
\[
f(x)=x^2\sqrt{x+2}.
\]
Déterminer des réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la
fonction $F$ définie sur $]-2~;+\infty[$ par :
\[
F(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)\sqrt{x+2}
\]
soit une primitive de $f$.

\end{exo}

\begin{corrige}


Pour que la fonction $F$ soit une primitive de $f$, il faut et il suffit que la fonction $F$ soit dérivable sur $\left]-2~;+\infty\right[$ et que $F'=f$. \\
On détermine donc $F'(x)$ :
\[
\begin{aligned}
F'(x)&=\left(3ax^2+2bx+c\right)\sqrt{x+2}+\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}
{2\sqrt{x+2}}\\
&=\dfrac{\left(3ax^2+2bx+c\right)(2x+4)+ax^3+bx^2+cx+d}{2\sqrt{x+2}}\\
&=\dfrac{(6a+a)x^3+(12a+4b+b)x^2+(8b+2c+c)x+4c+d}{2\sqrt{x+2}}\\
&=\dfrac{7ax^3+(12a+5b)x^2+(8b+3c)x+(4c+d)}{2\sqrt{x+2}}.
\end{aligned}
\]
Or $F' =f$ si et seulement si, pour tout $x>-2$,
\[
\begin{aligned}
7ax^3+(12a+5b)x^2+(8b+3c)x+(4c+d)
&=2x^2\sqrt{x+2}\sqrt{x+2}\\
&=2x^3+4x^2.
\end{aligned}
\]
On en déduit, après identification des coefficients et résolution du système ainsi obtenu :
$
a=\dfrac{2}{7}\quad,\quad b=\dfrac{4}{35}\quad,\quad c=\dfrac{-32}{105}\quad\text{et}\quad d=\dfrac{128}{105}.$

Ainsi,  $F(x)=\left(\dfrac{2}{7}x^3
+\dfrac{4}{35}x^2-\dfrac{32}{105}x
+\dfrac{128}{105}\right)\sqrt{x+2}.$

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10


\begin{exo}{Primitives d'une fonction rationnelle}{Lycée Guy de Maupassant, Fécamp}{2}{20}%
Soit la fraction rationnelle
$f(x)=\dfrac{3x^2-2x+3}{\left(x^2-1\right)^2}$.
\begin{questions}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
\item Déterminer des réels $a$, $b$ tels que sur
$\mathscr{D}_f$, 
\[
f(x)=\dfrac{b}{(x+1)^2}+\dfrac{a}{(x-1)^2}.
\]
\item En déduire deux primitives $F$ et $G$ de $f$ sur $]1~;+\infty[$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Une fraction rationnelle est définie pour tout réel $x$ qui n'annule pas son dénominateur.
\par
Or, $(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2$, donc $\mathscr{D}_f=\R\setminus\{-1~;1\}$.

\item 
Cherchons $a$ et $b$ tels que :
\[
\begin{aligned}
\dfrac{3x^2-2x+3}{(x^2-1)^2}
&=\dfrac{b(x-1)^2+a(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\\
&=\dfrac{(a+b)x^2+2(a-b)x+(a+b)}{(x^2-1)^2}.
\end{aligned}
\]
On en déduit, par identification des coefficients et après résolution du système ainsi obtenu :  $a=1$, $b=2$. \\
 On a donc, pour tout réel $x$ appartenant à $\mathscr{D}_f$,
 \[
 f(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(x-1)^2}.
 \]
 %
\item 
Remarquons que la fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition donc elle y admet des primitives.\\
La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x+1}$ est dérivable sur $]1~;+\infty[$ et a pour dérivée sur cet intervalle : $x\mapsto -\dfrac{1}{(x+1)^2}$.

Une primitive de $\dfrac{2}{(x+1)^2}$ sur $]1~;+\infty[$ est donc $x\mapsto \dfrac{-2}{x+1}$.
\par
De même, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x-1}$ est dérivable sur $]1~;+\infty[$ et a pour dérivée sur cet intervalle :  $x\mapsto-\dfrac{1}{(x-1)^2}$.

Une primitive de $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ sur $]1~;+\infty[$ est donc $x\mapsto \dfrac{-1}{x-1}$.
\Par
Une primitive de $f$ sur $]1~;+\infty[$ est donc :
\[x\mapsto
\dfrac{-1}{x-1}
+\dfrac{-2}{(x+1)}
=\dfrac{1-3x}{x^2-1}.
\]
\par
En ajoutant une constante à cette fonction on obtient une autre primitive
de $f$, donc $x\mapsto \dfrac{1-3x}{(x^2-1)}+1$
est une primitive de $f$ sur $]1~;+\infty[$.

\begin{methode}
Lorsque l'énoncé demande de déterminer plusieurs primitives d'une même fonction, on commence par justifier l'existence de primitives (toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle), puis on détermine une primitive de la fonction. On peut alors obtenir toute autre primitive de la fonction en ajoutant à la première une constante choisie de manière arbitraire (deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante sur tout intervalle où elle est définie).
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11

\begin{exo}{Suites définies par des intégrales}{Lycée du Parc, Lyon}{1}{20}


Pour chaque entier $n$, on pose : $
I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x$.
\begin{questions}
\item Montrer que l'on définit ainsi une suite $(I_n)_{n\in \N}$ dont
chaque terme est positif ou nul.
\item Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)_{n\in \N}$. 
\item Déterminer $a \in \R$ tel que pour tout $x\in [0~;1]$, 
\[
\dfrac{1}{1+2x+4x^2}\leq a.
\]
En déduire la limite de la suite $(I_n)_{n\in \N}$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Pour tout entier $n$ et tout réel $x \in [0~;1]$, 
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \geq 0.
\]
Les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale,
\[
I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \geq 0.
\]
En effet sur $[0~;1]$, $x^n\geqslant0$, et pour le trinôme du dénominateur, le discriminant est négatif, donc le trinôme est toujours du signe de 4, donc strictement positif.

\item Pour tout entier $n$, par linéarité de l'intégrale, on a :
\[
\begin{aligned}
I_{n+1}-I_n&=\int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+2x+4x^2} \dd x-
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x \\
&=\int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2} \dd x.
\end{aligned}
\]
La fonction : $x\mapsto \dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ en tant que fonction rationnelle.\\
Or, pour tout réel $x\in [0~;1]$, $\dfrac{x^n(x-1)}{1+2x+4x^2}\leq 0$.

Donc, par positivité de l'intégrale on a : $I_{n+1}-I_n \leq 0$.
 
La suite $(I_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item  Pour encadrer $1 + 2x + 4x^2$, il faut connaître le sens de variation de la fonction : $f:x\mapsto1+2x+4x^2$.

$f'(x)=2+8x$ donc $f'(x)>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{4}$.

Par conséquent, sur l'intervalle $[0~;1]$, $f$ est croissante, et :
\[ f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1). \]	

On a donc : $1\leqslant 1 + 2x + 4x^2\leqslant 7$.

Comme la fonction inverse est décroissante sur $\left]0~; +\infty\right[$, on en déduit que  pour tout $x\in [0~;1]$,  $\dfrac{1}{1+2x+4x^2}\leqslant 1$. Donc, en multipliant par $x^n$ qui est positif, on obtient pour tout entier naturel $n$, 
\[
\dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}\leq x^n.
\]
Les fonctions : $x\mapsto x^n$ et $x\mapsto \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2}$ sont continues sur $[0~;1]$, les bornes d'intégrations sont dans l'ordre croissant. Il résulte du théorème sur les intégrales et l'ordre que :

\[
\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+2x+4x^2} \dd x\leq \int_0^1 x^n \dd x \;,
\]
soit:
\[
I_n \leq \dfrac{1}{n+1}.
\]
On a donc obtenu un encadrement de $I_n$ : $
0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$.

Or, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} =0$, 
 donc, d'après le théorème de limite par encadrement ( théorème des gendarmes), on en déduit :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0.
\]
\end{questions}
%
\begin{methode}
Pour montrer qu'une intégrale est positive, il n'est pas nécessaire de la calculer : le théorème de positivité de l'intégrale permet d'obtenir directement le résultat à partir du signe de la fonction. On pensera à s'assurer que les trois conditions d'application du théorème sont bien réunies : fonction continue sur l'intervalle d'intégration, fonction positive et bornes d'intégration dans l'ordre croissant.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12

\begin{exo}{Une autre suite d'intégrales}{Lycée Balzac, Caen}{3}{30}%

On considère la suite $(I_n)_{n \in {\N}}$ définie par les intégrales
: 
\[
I_n=\int_0^1 \dfrac{\nep^{nx} \dd x}{\nep^x+1}.
\]
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Calculer $I_1$ et $I_0+I_1$. En déduire $I_0$.
\item Pour tout entier $n \geq 0$, calculer
$I_n+I_{n+1}$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que la suite $(I_n)_{n \in {\N}}$ est croissante.
\item Prouver que pour tout entier $n$ et tout $x \in [0~;1]$ :
\[
\dfrac{\nep^{nx}}{\nep+1} \leq \dfrac{\nep^{nx}}{\nep^x+1} \leq
\dfrac{1}{2}\nep^{nx}.
\]
En déduire un encadrement de $I_n$.
\end{questions}
\item \`A partir de cet encadrement, déterminer les limites de
$I_n$ et de $\dfrac{I_n}{\nep^n}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item 
La fonction : $x\mapsto \dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}$ est continue sur l'intervalle $[0~;1]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_1$ existe.
On a :
\[
I_1=\int_0^1
\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x} \dd x 
=\bigl[\ln(1+\nep^x)\bigr]_0^1 
=\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right)
\]
et, par linéarité de l'intégrale :
\[
I_0+I_1=\int_0^1 \dfrac{1+\nep^x}{1+\nep^x}\dd x=1.
\]
Donc :
\[
I_0=(I_0+I_1)-I_1=1-\ln \left(\dfrac{1+\nep}{2}\right).
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a par linéarité de l'intégrale :
\[
\begin{aligned}
I_n+I_{n+1}&=\int_0^1 \dfrac{\nep^{nx}+\nep^{(n+1)x}}{1+\nep^x} \dd x \\
&=\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \\
&=\left[\dfrac{1}{n}\nep^{nx} \right]_0^1 \\
&=\dfrac{\nep^n-1}{n}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x\geq0$ on a :
\[ nx\leq (n+1)x.\]
Or, la fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, on a : \\
$\nep^{nx}\leq \nep^{(n+1)x}$. D'où : 
\[
\frac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}\leq\frac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}
\qquad\quad\text{car \ $\nep^x+1>0$}.
\]
Les fonctions : $x\mapsto \dfrac{\nep^{nx}}{\nep^x+1}$ et $x\mapsto \dfrac{\nep^{(n+1)x}}{\nep^x+1}$ sont continues sur l'intervalle $[0~;1]$, les bornes d'intégration sont dans l'ordre croissant ; donc, d'après le théorème sur les intégrales et l'ordre, on a :
\[
I_n\leq I_{n+1}.
\]
La suite $(I_n)$ est donc croissante.

\item 
Pour tout réel $x \in [0~;1]$ on a
l'inégalité :
\[
1\leq \nep^x\leq \nep
\] 
donc 
\[
2\leq 1+\nep^x \leq 1+\nep.
\]
Tous ces termes sont strictement positifs donc, en passant à l'inverse
et en multipliant par $\nep^{nx}>0$ :
\[
\dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep} \leq \dfrac{\nep^{nx}}{1+\nep^x} \leq
\dfrac{\nep^{nx}}{2}.
\]
%
En appliquant de nouveau le théorème sur les intégrales et l'ordre (les conditions d'application étant réunies), il vient :
\[
\dfrac{1}{1+\nep}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x \leq I_n \leq
\dfrac{1}{2}\int_0^1 \nep^{nx} \dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{\nep^n-1}{(1+\nep)n}\leq I_n \leq \dfrac{\nep^n-1}{2n}.
\]
\end{questions}


\item
Or,
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\nep^n-1}{n(1+\nep)}=+\infty.
\]
D'après le théorème de limite par comparaison, on conclut que :
\[
\lim\limits_{+\infty} I_n=+\infty.
\]
En repartant de l'encadrement de $I_n$ obtenu à la question précédente et en multipliant par $\dfrac{1}{\nep^n}$ qui est strictement positif, on obtient :
\[
\dfrac{1-\nep^{-n}}{(1+\nep)n}\leq \dfrac{I_n}{\nep^n} \leq
\dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}.
\]
Comme :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{n(1+\nep)}=0
\] 
et
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\nep^{-n}}{2n}=0\;,
\]
par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes), on conclut :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{I_n}{\nep^n}=0.
\]
\end{questions}

\begin{methode}
Pour comparer deux intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t$ et  $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\dd t$, il n'est pas nécessaire de les calculer.\\
Il suffit de comparer les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[a~;b]$ après s'être assuré que $a\leq b$ et que les fonctions $f$ et $g$ étaient continues sur l'intervalle  $[a~;b]$. Le théorème sur les intégrales et l'ordre permettra alors de conclure.\\
On pensera à mettre en évidence dans la rédaction le fait que les conditions d'application du théorème sont réunies. 
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13 (anc. 14)

\begin{exo}{Valeur approchée d'une intégrale}{Lycée du Parc, Lyon}{3}{45}


Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;1[$ par : $f(x)=\nep^{-x} \dfrac{1}{1-x}$.

On pose : $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(t) \dd t$.
\begin{questions}
\item \label{chap8ex14_1} En étudiant les variations de $f$, démontrer que pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$
\[
1 \leq f(x) \leq \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.
\]
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$, $\dfrac{1}{1-x}=1+x+\dfrac{x^2}{1-x}$.
\item En déduire que $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) \nep^{-x} \dd x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2
f(x) \dd x$.
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-(x+2)\nep^{-x}$ est une primitive de $x\mapsto (x+1)\nep^{-x}$.

\item Déduire de la question \refitem{chap8ex14_1} que : $\dfrac{1}{24} \leq \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2 f(x) \dd x \leq \dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}$.
\item Déduire des questions précédentes une valeur décimale approchée de $I$ à la précision de $0,01$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\label{intcorq8}
La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$ et,
\[
\begin{aligned}
\forall x \in\left[0~;\dfrac{1}{2}\right],\quad &f'(x)=\dfrac{-\nep^{-x}(1-x)+\nep^{-x}}{(1-x)^2} =\dfrac{x\nep^{-x}}{(1-x)^2} \\
\text{donc } \quad \forall x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right], \quad &f'(x) \geq 0.
\end{aligned}
\]

Ainsi, $f$ est croissante sur $\left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$, donc pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2} \right]$,
\[
f(0) \leq f(x) \leq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\;,
\]
soit:
\[
1 \leq f(x) \leq \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.
\]
%
\item
\begin{questions}
\item 
Pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, on a :
\[
1+x+\dfrac{x^2}{1-x}=\dfrac{(1+x)(1-x)+x^2}{1-x} 
=\dfrac{1-x^{2}+x^{2}}{1-x} 
=\dfrac{1}{1-x}.
\]
%
\item 
En utilisant l'égalité démontrée à la question précédente, il vient :
\[
\begin{aligned}
I&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( 1+x+\dfrac{x^2}{1-x} \right) \nep^{-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) \nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
\dfrac{x^{2}\nep^{-x}}{1-x} \dd x \\
&=\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x.
\end{aligned}
\]

\item On a $g'(x)=-\nep^{-x}+(x+2)\nep^{-x} = (x+1)\nep^{-x}$. La fonction $g$ est donc bien une primitive de $x\mapsto (x+1)\nep^{-x}$.

\item 
\label{intcorq9}
D'après \refitem{intcorq8}, pour tout $x \in
\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $1\leq f(x) \leq \dfrac{2}{\sqrt{\nep}}.$\\
Donc, pour tout $x \in \left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, $x^2 \leq  x^{2}f(x) \leq \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}.$\\
En intégrant entre 0 et $\dfrac{1}{2}$ on a, par conservation de l'ordre par intégration (les conditions d'application du théorème étant réunies),
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} \dd x \leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}
x^{2}f(x) \dd x \leq \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{2x^{2}}{\sqrt{\nep}}
\dd x\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{1}{24} \leq \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \leq
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}.
\]
%
\item 
Nous avons la relation :
\begin{align*}
I&= \int_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\nep^{-x} \dd x +\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&= \Bigl[g(x)\Bigr]_0^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x \\
&=2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}f(x) \dd x.
\end{align*}
D'après \refitem{intcorq9}, on a l'encadrement suivant :
\[
\dfrac{1}{24}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}} \leq I \leq
\dfrac{1}{12\sqrt{\nep}}+2-\dfrac{5}{2\sqrt{\nep}}.
\]
Finalement, on obtient à l'aide de la calculatrice, $I\approx0,53$ à $10^{-2}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex14 (anc. 13)

\begin{exo}{Intégrale d'une fonction irrationnelle}{Lycée Saint-Jean-de-Passy, Paris}{2}{15}%


On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : 
$J_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2} \dd x$.
\begin{questions}
\item Par des considérations d'aires, montrer que 
$J_0=\dfrac{\pi}{4}$.
\item Montrer que $(J_n)_{n \in {\N}}$ est décroissante.
\item
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $
0\leq J_n\leq \displaystyle\int_0^1 x^n \dd x$.
\item Déterminer la limite de $J_n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme la fonction : $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ est continue est positive sur l'intervalle $[0~;1]$, on sait d'après le cours que :
\[
J_0=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\dd x
\]
est l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe d'équation\linebreak $y=\sqrt{1-x^2}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
\par
Or, quelque soit $x\in [0~;1]$,
\[
x^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=x^2+1-x^2=1.
\]
On rappelle que
$x^2+y^2=1$ est l'équation du cercle de centre $O$ et de rayon unité.
\par
Ainsi, $J_0$ est égale à l'aire d'un quart de disque de rayon
unité dans un repère orthonormé. 
\par
Donc :
\[
J_0=\dfrac{\pi}{4}.
\]
%
\item 
Pour tout entier naturel $n$ on a, par linéarité de l'intégrale :
\[
J_{n+1}-J_n=\int_0^1 (x^{n+1}-x^n)\sqrt{1-x^2} \dd x .
=-\int_0^1
x^n(1-x)\sqrt{1-x^2} \dd x.
\]
Or, pour tout $x\in [0~;1]$, $x^n(1-x)\sqrt{1-x^2}\geqslant 0$ donc par positivité de l'intégrale (nous laissons au lecteur le soin de s'assurer que les conditions d'application de ce théorème sont réunies), on a :
\[
J_{n+1}-J_n\leq 0.
\]
La suite $(J_n)_{n \in \N}$ est donc décroissante.

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x\in [0~;1]$, pour tout entier $n$, 
\[
0\leq x^n  
\quad
\text{et}
\quad 
0\leq \sqrt{1-x^2}\leq 1.
\]
Donc,
\[
0\leq x^n\sqrt{1-x^2} \leq x^n\;,
\] 
soit, en appliquant le théorème sur les intégrales et l'ordre sur l'intervalle $[0~;1]$ après s'être assuré que les conditions d'application étaient réunies, 
\[
0\leq J_n \leq
\int_0^1 x^n \dd x.
\]

\item Comme pour tout entier naturel $n$, 
\[
\int_0^1 x^n \dd x=\dfrac{1}{n+1}\;,
\]
 on obtient un encadrement de $J_n$ :
\[
 0\leq J_n \leq \dfrac{1}{n+1}.
 \]
 Or,
\[
\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
\]
D'où, par le théorème de limite par encadrement (théorème des gendarmes), 
\[ 
\lim\limits_{n \to +\infty} J_n=0.
\]
\end{questions}
\end{questions}
%
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex15


\begin{exo}{Primitive d'une fonction irrationnelle}{Lycée Carnot, Dijon}{2}{30}%
On cherche une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{4x^2+1}{\sqrt{2x^2+1}}$.
\begin{questions}
\item Pourquoi la fonction $f$ admet-elle une primitive sur $\R$ ? 
\item Montrer qu'une fonction du type $x \mapsto \sqrt{P(x)}$,
où $P$ est un polynôme de degré~$2$, ne peut pas être une primitive de
$f$.
\item Soit $g$ une fonction dérivable sur $\R$.
\par 
Dériver $x\mapsto
g(x)\sqrt{2x^2+1}$.
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $x\mapsto 2x^2+1$ est
définie, et à valeurs strictement positives sur $\R$. 
\par
Donc $x\mapsto 2x^2+1$ ne s'annule pas sur $\R$.
\begin{itemize}
\item La fonction
$x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2x^2+1}}$ est définie et dérivable sur
$\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$ ;
\item La fonction
$x\mapsto 4x^2+1$ est une fonction polynôme, donc définie et dérivable
sur $\R$.
\end{itemize}
\par
Ainsi, $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme produit de deux
fonctions définies et dérivables sur
$\R$. Par conséquent, $f$ est continue sur $\R$, donc elle admet des 
primitives sur $\R$.
%
\item 
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. D'après la définition d'une primitive, la fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'=f$.\\
Tout d'abord, le fait que la fonction $F$ soit  définie et dérivable sur $\R$ impose que le polynôme $P$ doit être à valeurs strictement positives sur $\R$. On en déduit que, si l'on a $P(x)=ax^2+bx+c$, alors $a>0$ et $b^2-4ac<0$.\\

\par
Alors la fonction $F$ définie par $F(x)=\sqrt{P(x)}$ est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :
\[
F'(x)={P'(x)\over 2\sqrt{P(x)}}={2ax+b\over 2\sqrt{ax^2+bx+c}}.
\]
\par
L'égalité $F'=f$ équivaut pour tout réel $x$ à :
\[
\dfrac{4x^2+1}{\sqrt{2x^2+1}}= {2ax+b\over 2\sqrt{ax^2+bx+c}}.
\]
Étudions la limite en $+\infty$ de chacune des expressions :\\
On a :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty} F'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}
\dfrac{a+\dfrac{b}{2x}}{\sqrt{a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}}}
=\sqrt{a}.
\]
Alors que :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty} x\dfrac{4+\dfrac{1}{x^2}}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}=+\infty.
\]
On ne peut donc pas avoir  $F'=f$. 
\par
Donc $F$ ne peut pas être une primitive de $f$.

\item 
Si $g$ est dérivable sur $\R$, $x\mapsto g(x)\sqrt{2x^2+1}$
est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :
\[
x\mapsto g'(x)\sqrt{2x^2+1}+\dfrac{2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}=
\dfrac{g'(x)(2x^2+1)+2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}.
\]

\item 
Prenons $g(x)=x$ dans l'expression ci-dessus. 
\par
On obtient :
\[
\dfrac{g'(x)(2x^2+1)+2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}
=\dfrac{ 2x^2+1+2x^2}{\sqrt{2x^2+1} }=f(x).
\]
La fonction $x\mapsto x\sqrt{2x^2+1}$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex16 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée La Bruyère, Versailles}{3}{30}
On considère la suite définie par : $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\nep^{x^2}\dd x$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n\geqslant 0$.
\item Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$.
\item En déduire que la suite est convergente. On note L sa limite (dans cette question on ne demande pas de la calculer).
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x\nep^{x^2}$.

Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\nep^{x^2}$ est une primitive de $g$.
\item En déduire la valeur de $I_1$.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par : $H_n(x)=x^{n+1}G(x)$.

Montrer que $H_n$ est dérivable sur $\R$ et calculer, pour tout réel $x$, $H_n^\prime(x)$.

En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[ I_{n+2}+\frac{n+1}{2}I_n=\frac{1}{2}\nep. \]
\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\end{questions}

\item Compléter l'algorithme suivant de façon à obtenir en sortie le terme $I_{23}$.

\begin{algorithme}
Variables 
\qquad n est un entier naturel impair
\qquad $I$ est un réel
Initialisation
\qquad Affecter à n la valeur 1
\qquad Affecter à $I$ la valeur ...
Traitement 
\qquad Tant que n $<$ ...
\qquad\qquad Affecter à $I$ la valeur $\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I$
\qquad\qquad Affecter à n la valeur n + 2
\qquad Fin de Tant que
Sortie 
\qquad Afficher $I$
\end{algorithme}

\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la valeur de L.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item\label{ch8ex16a} Dans l'intervalle $[0~;1]$, $x^n$ est un nombre positif ou nul, ainsi bien sûr que $\nep^{x^2}$. La fonction à intégrer étant positive ou nul sur $[0~;1]$, on a bien $I_n\geqslant0$.
\item $I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(x^{n+1}-x^n\right)\nep^{x^2}\dd x=\int_0^1x^n(1-x)\nep^{x^2}\dd x$.

Sur l'intervalle $[0~;1]$, $x^n\geqslant0$, $\nep^{x^2}>0$ et $x-1\leqslant0$, donc la fonction à intégrer est négative ou nulle sur l'intervalle considéré.

Par conséquent, $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$ pour tout $n$, et la suite est décroissante.

\item La suite $I$ est minorée par 0 d'après le \refitem{ch8ex16a}, et décroissante. Par conséquent, elle est convergente.

La limite L est positive ou nulle.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $G'(x)=\dfrac{1}{2}\times2x\nep^{x^2}=x\nep^{x^2}=g(x)$. Donc $G$ est bien une primitive de $g$.

\item $\begin{aligned}[t]
I_1 & =\int_0^1x\nep^{x^2}\dd x\\
& =\int_0^1g(x)\dd x\\
& =G(1)-G(0)\\
&=\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$

\item $H_n$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables.
\begin{align*}
H'_n(x) & = (n+1)x^nG(x)+x^{n+1}G'(x)\\
& = (n+1)x^n\times\dfrac{1}{2}\nep^{x^2}+x^{n+1}\times x\nep^{x^2}\\
& = \dfrac{n+1}{2}x^n\nep^{x^2}+x^{n+2}\nep^{x^2}.
\end{align*}

En intégrant les deux membres de l'égalité ci-dessus entre 0 et 1, et en utilisant les propriétés de linéarité des intégrales, il vient :

\[
H_n(1)-H_n(0)=\dfrac{n+1}{2}\int_0^1 x^n\nep^{x^2}\dd x+\int_0^1 x^{n+2}\nep^{x^2}\dd x\;,
\]
ou encore :
\[ G(1)=\dfrac{n+1}{2}I_n+I_{n+2}.\]
On a donc bien :
\[ I_{n+2}+\dfrac{n+1}{2}I_n=\dfrac{1}{2}\nep.\]

\item D'après ce qui précède, $I_3 + I_1 =\dfrac{1}{2}\nep$. Donc, $I_3 = \dfrac{1}{2}$.

Puis, $I_5 + 2I_3 = \dfrac{1}{2}\nep$ donc $I_5 = \dfrac{1}{2}\nep-1$.
\end{questions}

\item\label{ch8ex16q3} Voici l'algorithme complété :

\begin{algorithme}
Variables  
	n est un entier naturel impair
	$I$ est un réel
Initialisation
	Affecter à n la valeur 1
	Affecter à $I$ la valeur $\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{1}{2}$
Traitement
	Tant que n$<$23
    Affecter à $I$ la valeur $\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I$
    Affecter à n la valeur n + 2
	Fin de Tant que
Sortie 
	Afficher $I$
\end{algorithme}

\item\label{ch8ex16q4} $I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I_n$. Donc, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}I_{n+2}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\nep-\dfrac{n+1}{2}I_n\right).
\]

Intéressons-nous à la limite de $\dfrac{n+1}{2}I_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Raisonnons par l'absurde : si $I_n$ tend vers une valeur non nulle, $\dfrac{n+1}{2}I_n$ tend vers $+\infty$ ($I_n\geqslant0$ pour tout $n$).

Ceci donnerait $\lim\limits_{n\to+\infty}I_{n+2}=-\infty$, ce qui est impossible puisque $I_n\geqslant0$ pour tout $n$.

Il faut donc que $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$, ce qui donnera une forme indéterminée pour la limite de $\dfrac{n+1}{2}I_n$.

Donc L = 0.

\begin{Remarque}
si vous tentez de programmer l'algorithme de la question \refitem{ch8ex16q3} sur votre calculatrice, vous serez surpris de voir une contradiction avec la réponse de la question \refitem{ch8ex16q4}.

Ceci montre la différence entre un algorithme, qui peut très bien être correct, mais conduire à des résultats faux lors de sa programmation, en raison des limites des calculatrices.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex17

\begin{exo}{Primitives \og à vue \fg}{Lycée Jacques Prévert, Boulogne}{3}{20}
Calculer une primitive de $u(x)=\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^2}$ et $v(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
\end{exo}


\begin{corrige}
\emph{Fonction $u$.}
\par
La fonction $u$ est continue sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$ comme quotient de deux fonctions continues sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$
dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R^*_+$ et $\R^*_-$.
\par
Soit donc $I$ l'un des deux intervalles $]-\infty~;0[$ ou $]0~;+\infty[$, la fonction $u$ possède des primitives sur $I$. 
\par
En examinant l'écriture de $u(x)$, on est conduit à penser à la formule de la dérivée d'un quotient du type $\dfrac{f}{g}$ soit $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$.
Définissons sur $I$ les fonctions $f$ et $g$ par :
\[
f(x)=\sin x
\quad
\text{et}
\quad
g(x)=x.
\]
Le quotient est défini et dérivable sur $I$ avec : 
\[
\begin{aligned}
\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)
&=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}\\
&=-u(x).
\end{aligned}
\]
Alors la fonction $U\, :\, x\mapsto -\dfrac{\sin x}{x}$ est une primitive de $u$ sur $I$.
 %
\Par
\emph{Fonction $v$.}
\par
 La fonction $v$ est continue sur $\R$ comme quotient de fonctions continues sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$ , elle possède donc des primitives sur $\R$ tout entier.
\par
Exploitons la même idée que pour la fonction $u$. La difficulté provient du fait que le numérateur de $v(x)$ a été effectué et simplifié. Il faut donc le ramener à la forme $f'g-fg'$. L'observation du dénominateur conduit à poser\linebreak[4] $g(x)=1+x^2$. On a alors $g'(x)=2x$. La numérateur de $v(x)$ peut alors s'écrire $(1+x^2)-x \times 2x$, ce qui fait que :

\[
\dfrac{1-x^2}{{(1+x^2)}^2}=\dfrac{(1+x^2)-x \times 2x}{{(1+x^2)}^2}.
\]
On pose donc $f(x)=x$, $g(x)=1+x^2$ et :
\[
v(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
=\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x).
\]
La fonction :
\[
V\, :\, x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2} 
\]
 est donc une primitive de $v$ sur $\R$.

%\newpage

\begin{methode}
Il faut toujours garder à l'esprit que déterminer une primitive d'une fonction $f$, c'est trouver une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. Lorsque les formules des primitives usuelles ou des primitives de fonctions composées ne semblent pas s'appliquer, on peut chercher à se ramener aux formules de dérivation d'un produit ou d'un quotient. On veillera alors dans la rédaction à faire apparaître clairement les différentes étapes du raisonnement.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex18


\begin{exo}{Dérivées et primitives}{Lycée Janson de Sailly, Paris}{3}{15}
Calculer en fonction de $x$ la dérivée des fonctions définies sur
$\R^*_+$ par :
\[
F(x)=\int_x^{2x} \dfrac{\dd t }{t}\quad\text{et}\quad
G(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^2} \ln t\dd t .\vspace*{-2em}
\]
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item 
Soit $F_1$ la fonction définie sur $\R^*_+$ par :
\[
F_1(x)=\int_1^x \dfrac{\dd t}{t}.
\]
D'après les théorèmes du cours, $F_1$ est la primitive de :
\[
x\mapsto \dfrac{1}{x}
\]
qui s'annule en $1$.
\par
 Or, par la relation de Chasles :
\[
F(x)=\int_x^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t 
=\int_x^{1} \dfrac{1}{t} \dd t+\int_1^{2x} \dfrac{1}{t} \dd t 
=F_1(2x)-F_1(x).
\]
Donc, pour tout $x \in \R^*_+$,d'après le théorème de dérivabilité des fonctions composées,
\[
F'(x)=2F'_{1} (2x)-F'_{1}(x)
=\dfrac{2}{2x}-\dfrac{1}{x}
=0.
\]

\begin{Remarque}
puisque $\R_+^*$ est un intervalle, on peut en déduire que la fonction $F$ est constante. 
Alors sa valeur se calcule par exemple en $1$ et on a $F(1)=\ln 2$. 
\end{Remarque}
%
\item 
De la même façon, définissons :
\begin{align*}
G_1(x)&=\int_1^x \ln(t) \dd t.\\
\intertext{%
$G_1$ est dérivable et a pour dérivée $\ln$ et :}
G(x)&=G_1(x^2)-G_1(\sqrt{x}).\\
\intertext{%
Donc pour tout $x \in \R^*_+$,}
G'(x)&=2xG'_{1}(x^2)-\frac{1}{2\sqrt{x}}G'_1(\sqrt{x})\\
&=2x\ln(x^2)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln(\sqrt{x})\;,\\
\intertext{%
soit :}
G'(x)&=4\left(x-\dfrac{1}{16\sqrt{x}}\right) \ln x.
\end{align*}
\end{itemize}

\begin{methode}
Les fonctions définies par une intégrales sont très délicates à étudier. On se ramènera à chaque fois au théorème : \par
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction 
\[F\,:I\to\R,\quad
x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\dd t
\]
est \emph{la} primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.\par
puis on utilisera la définition de la primitive d'une fonction.\par
On se souviendra que pour dériver une fonction du type : $x\mapsto G\big(u(x)\big)$ il est indispensable d'utiliser le théorème de dérivabilité des fonctions composées.
\end{methode}

%
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput