\chapter{Nombres complexes}

\section{Nombres complexes et coordonnées cartésiennes}%
\begin{exointro}{Lycée Fénelon, Paris} 
Soient $z_1$ et $z_2$ les nombres complexes : 
\[
z_1=\dfrac{\im}{4-3\im}
\quad
\text{et} 
\quad
z_2=\dfrac{1+\im}{1-\im}.
\]
\begin{questions}
\item Mettre sous la forme $a+\im b$ les nombres
$z_1$, $z_2$, $\dfrac{1}{z_1}$, $\dfrac{1}{z_2}$, $z_1z_2$.
\item Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Ensemble $\C$}

\begin{defin} 
On admet l'existence de l'ensemble $\C$ des nombres complexes.\\
Cet ensemble de nombres contient l'ensemble des réels $\R$.\\
On peut prolonger à cet ensemble les opérations d'addition et de multiplication définies dans $\R$.\\
Il contient un nombre noté $\im$ tel que $\im^2=-1$.\\
Tout nombre complexe s'écrit de façon unique $z=a+\im b$ avec $a$ et $b$ dans $\R$.
\end{defin}


\subsection{Le plan complexe}
Un nombre complexe est représenté par un point du plan euclidien
muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, qui prend alors le nom de \emph{plan d'Argand-Cauchy} ou \emph{plan complexe}. 
\par
Au point de coordonnées $(1~;0)$ on fait correspondre le nombre complexe $1$. \par
Au point de coordonnées $(0~;1)$, on fait correspondre le nombre complexe $\im$.\par
Au point $M(x~;y)$, on fait correspondre le nombre complexe noté $x+\im y$.
\begin{defin}
On appelle \emph{affixe} du point $M$ et du vecteur $\overrightarrow{OM}$ le nombre complexe $z$ défini
ci-dessus. Inversement, $M$ est appelé l'\emph{image} du nombre complexe $z$. On écrit parfois $M(z)$ pour signifier cette correspondance entre le point et son affixe.
\end{defin}

\subsection{Forme algébrique}

\begin{defin}
L'écriture $z=a+\im b$, avec $a$ et $b$ dans $\R$, s'appelle la \emph{forme algébrique} du nombre complexe $z$.\\ 
Le réel $a$ s'appelle la \emph{partie réelle} de $z$ et se note $\Re(z)$.\\
Le réel $b$ s'appelle la \emph{partie imaginaire} de $z$ et se note $\Im(z)$.
\end{defin}

\begin{thm}
Soient $z_1$ et $z_2$ des nombres complexes. On a :
\[\Re(z_1+z_2)=\Re(z_1)+\Re(z_2)\quad\textrm{et}\quad\Im(z_1+z_2)=\Im(z_1)+\Im(z_2).\]
\end{thm}


%
\subsection{Conjugué}
\begin{defin} Soit un nombre complexe $z$, affixe d'un point $M$.
On appelle \emph {conjugué} du nombre complexe 
$z=a+\im b$ ($a$ et $b$ réels) et on note $\overline{z}$, le nombre complexe $a-\im b$. 
\end{defin}
%
\begin{aretenir}
L'image $\overline{M}$ de $\overline{z}$ est donc le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $(O;\vec{u})$.
\end{aretenir}
%
\begin{thm} Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 
\[
\begin{aligned}
\overline{zz'}&=\overline{z}\cdot\overline{z'} \\
\overline{z+z'}&=\overline{z}+\overline{z'} \\
\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}&=\frac{\,\overline{z}\,}{\,\overline{z'}\,}\qquad\ (z'\neq 0)
\end{aligned}
\]
\end{thm}
%
\begin{aretenir}
On pourra retenir facilement les propriétés ci-dessus sous la forme :

\begin{itemize}
\item
le conjugué d'une somme est la somme des conjugués
\item
le conjugué d'un produit est le produit des conjugués
\item
le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués.
\end{itemize}
%
\end{aretenir}
%
%
\subsection{Module}
\begin{defin} 
On appelle \emph {module} du nombre complexe $z=a+\im b$ ($a$ et $b$ réels), et on note $|z|$, le \emph{nombre réel} :
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}.
\]
\end{defin}
%
\begin{center}
\includegraphics{09-cours-fig1}
\end{center}
%
\begin{Remarque}
le module de $z$ s'interprète comme la distance $OM$. 
\end{Remarque}
%
\begin{thm} Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 
\[ 
|z|=|\Moy{z}|\qquad\text{et}\qquad |zz'|=|z|\times|z'|.
\]
\end{thm}
%
\subsection{Inégalités}

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 
\begin{align*}
|\Re (z)|&\leq |z|,\\
|\Im (z)|&\leq |z|,\\
|z+z'|&\leq |z|+|z'|\quad \textrm{(inégalité triangulaire).}
\end{align*}
%


\subsection{Opérations}
% 
\begin{itemize}
\item  $(a+\im b)+(a'+\im b')=(a+a')+(b+b')\im $.
\item  $(a+\im b)(a'+\im b')=(aa'-bb')+(ab'+ba')\im $.
\item   Soit $z=a+\im b$ un nombre complexe non nul :
\[
\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}=\dfrac{a}{a^2+b^2} - \im \, \dfrac{b}{a^2+b^2}.
\]
\end{itemize}
% 
% 
% sol %
\begin{solintro} 
\begin{questions}
\item $z_1=\dfrac{\im(4+3\im)}{(4-3\im)(4+3\im)}=\dfrac{-3+4\im}{25}=-\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\im$.

\Par

$\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{4-3\im}{\im}=\dfrac{-\im(4-3\im)}{-\im^2}=-3-4\im$.

On a :
\[
z_2=\dfrac{(1+\im )^2}{(1-\im )(1+\im )}=\dfrac{1}{2}(1+\im )^2.
\]
Donc : 
\[
z_2=\im 
\quad 
\text{et} 
\quad
\dfrac{1}{z_2}=-\im.
\]
D'où, finalement : 
\[
z_1z_2=-\dfrac{4}{25}-\dfrac{3\im }{25}.
\]
\item
En appliquant les formules :
\[
|z_1|=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{25}\right)^2+\left(\dfrac{4}{25}\right)^2}=
\dfrac{1}{5}
\quad
\text{et}
\quad
|z_2|=\sqrt{(1)^2}=1.
\]
\end{questions}
\end{solintro}%


\section{Nombres complexes et coordonnées polaires}

\begin{exointro}{Lycée Branly, Nogent}
\'Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe :
\[
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3}\right)^7.
\]
\end{exointro}
%
\subsection{Argument}
\begin{defin}
Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M$ le point du plan d'affixe
$z$. On appelle \emph{argument} de $z$, et on note $\arg(z)$, l'angle de vecteurs  
\[
\theta=( \vec{u}, \gvec{OM}).
\]
\end{defin}
%
\begin{center}
\includegraphics{09-cours-fig2}
\end{center}
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Le nombre complexe $0$ n'a pas d'argument.
\item Toute mesure de l'angle $\arg z$ s'appelle \emph{un} argument de $z$.
\item L'argument d'un nombre complexe non nul peut être représenté de
manière unique par un nombre réel dans $]-\pi~;\pi]$. On l'appelle parfois \emph{argument principal} de $z$.
\item On dit que le couple $(\arrowvert z\arrowvert, \arg (z))$ est un couple de coordonnées polaires du point d'affixe $M$.
\end{itemize}
\end{Remarques}
%
\begin{thm}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Alors :
\begin{align*}
\arg(zz')&=\arg(z)+\arg(z') \pod{2\pi}\\
\arg \left(\dfrac{1}{z}\right)&=-\arg(z) \pod{2\pi}.
\end{align*}
\end{thm}

\newpage
%
\subsection{Notation exponentielle}
%
\begin{defin}
Soit $\theta$ un réel. 
\par
On convient de noter $\nep^{\im \theta}$ le nombre
complexe : 
\[
\nep^{\im \theta}=\cos \theta+\im \sin \theta.
\]
\end{defin}
%
\begin{props}

\begin{itemize}
\item Soient $\theta$ et $\theta'$ deux nombres réels. Alors : 
\[ \nep^{\im \theta} \nep^{\im \theta'}=\nep^{\im (\theta+\theta')}.\]

\item Formule de Moivre :\\
Soient $\theta$ un nombre réel et $n$ un entier. Alors : 
\[ \left(\nep^{\im\theta}\right)^n=\nep^{\im n\theta}.\]
Ou encore :
\[ (\sin\theta + \im \cos\theta )^n = \sin (n\theta)+\im\cos(n\theta). \]

\item Formules d'Euler :
\[
\cos x=\dfrac{\nep^{\im x}+\nep^{-\im x}}{2}\quad ; \quad 
\sin x=\dfrac{\nep^{\im x}-\nep^{-\im x}}{2\im}.
\]
\end{itemize}
\end{props}

\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{thm}
Tout nombre complexe $z$ non nul peut s'écrire sous la forme :
\begin{align*}
z&=|z|\left( \cos \theta+\im \sin \theta \right)\\
&=|z|\,\nep^{\im \theta}
\end{align*}
où $\theta$ est un argument de $z$. 
\end{thm}


\begin{aretenir}
Un nombre complexe non nul admet trois formes différentes :
\begin{itemize}
\item
la forme algébrique $x+\im y$ liée aux coordonnées cartésiennes.
\item
la forme trigonométrique $r \left( \cos \theta+\im \sin \theta \right)$ liée aux coordonnées polaires.
\item
la forme exponentielle $r \nep^{\im \theta}.$
\end{itemize}
\end{aretenir}
% \sol 
%
\begin{solintro}
Immédiatement :
\[
\begin{aligned}
\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3}&=
\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\im }{2}\right) \\
&=\dfrac{2}{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\im \sin
\left(\dfrac{\pi}{6} \right)\right).
\end{aligned}
\]
Ainsi : 
\[
\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3}=\dfrac{2}{3}\, \nep^\frac{\im \pi}{6}.
\]
Donc : 
\[
\begin{aligned}
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3}\right)^7 &=
\dfrac{128}{\numprint{2187}}\,\nep^\frac{7\im \pi}{6}\\
&=\dfrac{128}{\numprint{2187}}\,\nep^\frac{-5\im \pi}{6} \\
&=\dfrac{128}{\numprint{2187}}\, \left[\, \cos \left( -\dfrac{5\pi}{6} \right)+\im \, \sin
\left( -\dfrac{5\pi}{6} \right)\,\right].
\end{aligned}
\]
\end{solintro}

\section{Nombres complexes et polynômes}%
\begin{exointro}{ Lycée  Guy de Maupassant, Fécamp}
Soit $P(z)=4z^3+(4-8\im )z^2+(10-8\im )z-20\im $.
\begin{questions}
\item Calculer $P(2\im )$.
\item Déterminer un trinôme du second degré $Q(z)$ tel que :
\[ P(z)=(z-2\im)\,Q(z). \] 
En déduire l'ensemble des racines de $P$.
\item Donner la factorisation complète de $P(z)$ (i.e. en facteurs \emph{de degré $1$}).
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{L'équation du second degré dans $\C$}

Pour résoudre l'équation :
\[
az^2+bz+c=0
\]
(où $a$, $b$ et $c$ désignent trois réels, $a$ étant non nul) dans $\C$, on calcule :
\[
\Delta=b^2-4ac.
\]
\begin{itemize}
\item Si $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles
distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\quad
\text{et}
\quad
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.
\] 
\item Si $\Delta =0$ alors l'équation admet une racine réelle double:
\[
x_0=\dfrac{-b}{2a}.
\]
\item Si $\Delta <0$ alors l'équation admet deux racines complexes
conjuguées :
\[
z_1=\dfrac{-b+\im \sqrt{|\Delta|}}{2a}
\quad
\text{}
\quad
z_2=\dfrac{-b-\im \sqrt{|\Delta|}}{2a}.
\]
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Calculons tout d'abord les puissances itérées de $2\im $ :
\[
(2\im )^1=2\im,\quad
(2\im )^2=-4,\quad\text{et}\quad
(2\im )^3=-8\im.
\]
Calculons ensuite $P(2\im)$ : 
\[
\begin{aligned}
P(2\im )&=4\times(-8\im ) +(4-8\im )\times(-4) +(10-8\im )\times(2\im)-20\im  \\
&=-32\im -16+32\im +20\im +16-20\im \\
&=0.
\end{aligned}
\]
Le nombre $2\im $ est donc racine de $P$.

\item Cherchons à factoriser $P$ sous la forme : 
\begin{align*}
P(z)&=(z-2\im )(az^2+bz+c). \\
\intertext{On développe le membre de droite et on identifie terme à terme : }
4z^3+(4-8\im )z^2+(10-8\im )z-20\im &=az^3+(b-2a\im )z^2+(c-2b\im )z-2\im c .
\end{align*}

On en déduit que les valeurs suivantes conviennent : 
\[
a=4\quad b=4 \quad c=10.
\]

Ainsi : $\qquad P(z)=(z-2\im )(4z^2+4z+10) $.
\Par
Il ne reste plus qu'à déterminer les
racines de ce trinôme du second degré. 
\par
Calculons son discriminant et ses racines $z_1$ et $z_2$ : 
\[
\Delta = -144
\] 
donc :
\[
z_1=\dfrac{-1-3\im}{2}
\quad
\text{et}
\quad 
z_2=\dfrac{-1+3\im}{2}.
\]

\Break
\item On en déduit la factorisation : 
\[
\begin{aligned} 
P(z)&=4(z-2\im)\left(z-\dfrac{-1-3\im}{2}\right)\left(z-\dfrac{-1+3\im}{2}\right)\\
 &=4(z-2\im)\left(z+\dfrac{1+3\im}{2}\right)\left(z+\dfrac{1-3\im}{2}\right).
\end{aligned}
\]
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Nombres complexes et calcul vectoriel}

\begin{exointro}{Lycée Michelet, Vanves}
Soit les points du plan :
\[
A(2~;2\sqrt{3}),
\quad
B(2~;-2\sqrt{3})
\quad
\text{et}
\quad
C(-1~;\sqrt{3}).
\]
Montrer que les droites $(AC)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. 
\end{exointro}
%

\begin{defin}
\`A tout vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(a~;b)$ on associe le nombre complexe\linebreak[4] $z=a+\im b$. \par
Ce nombre complexe s'appelle l'\emph{affixe} du vecteur $\vec{w}$. 
\end{defin}

\begin{props}
\begin{questions}
\item Soit $A$ et $B$ deux points du plan d'affixe respective $z_A$ et $z_B$. Alors le vecteur $\gvec{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$. On en déduit : $AB=|z_B-z_A|$.
\item Soit $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points d'affixes respectives
$z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$ telles que $z_A \neq z_B$ et $z_C \neq z_D$ . Alors :
\[
(\gvec{AB},\gvec{CD})=\arg\left( \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)  \pod{2\pi}.
\]
\end{questions}
\end{props}

\begin{aretenir}
Dans tous les exercices où l'on demande de comparer des distances ou des angles, penser à utiliser les modules ou les arguments.
\end{aretenir}


\begin{solintro}
Les coordonnées des trois points définissent donc leurs affixes :

\begin{itemize}
\item $A$ est d'affixe $z_A=2+2\im  \sqrt{3}$, 
\item $B$ est d'affixe $z_B=2-2\im  \sqrt{3}$ et
\item $C$ est d'affixe $z_C=-1+\im  \sqrt{3}$.
\end{itemize}


L'affixe du vecteur $\gvec{CA}$ est donc :
\[ z_A-z_C=3+\im \sqrt{3}\;,\]
et celle du vecteur $\gvec{CB}$ est donc :
\[ 
z_B-z_C=3-3\im \sqrt{3}.
\]
On calcule : 
\begin{align*}
\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} &=\dfrac{3-3\im \sqrt{3}}{3+\im \sqrt{3}} \\
&=\dfrac{3}{12}\left( (1-\im \sqrt{3})(3-\im \sqrt{3})\right) \\
&=\dfrac{1}{4}(-4\im \sqrt{3})\\
&=-\im \sqrt 3.
\intertext{Or,}
\arg(-\im \sqrt{3})&=-\dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi).
\intertext{Donc :}
(\gvec{CA},\gvec{CB})&=-\dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)
\intertext{ou encore }
(\gvec{CA},\gvec{CB})&=\dfrac{\pi}{2} \quad (\pi).
\end{align*}
Les vecteurs $\gvec{CA}$ et $\gvec{CB}$ sont orthogonaux, donc les
droites $(CA)$ et $(CB)$ sont perpendiculaires. 
\end{solintro}

\endinput