\chapter{Droites et plans}

\begin{exointro}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois}
ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs des segments [EH] et [CG].

\Par
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_01}
\end{center}

\Par

\begin{questions}
\item Montrer que la droite (EG) est orthogonale au plan (BDF).
\item En déduire que les droites (EG) et (DF) sont orthogonales.
\item Montrer de même que les droites (EB) et (DF) sont orthogonales.
\item Déduire des questions précédentes que la droite (DF) est orthogonale au plan (EGB).
\end{questions}
\end{exointro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\section{Position relative de droites et de plans dans \\l'espace}

\subsection{Positions relatives de deux droites}

Deux droites de l'espace peuvent être :
\begin{itemize}
\item coplanaires et sécantes ;
\item coplanaires et parallèles ;
\item non coplanaires.
\end{itemize}

\begin{Remarque}
\og coplanaires \fg signifie \og situées dans le même plan \fg.
\end{Remarque}


\begin{Exemple}

$ABCDEF$ est un prisme droit à base triangulaire. Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[BF]$, $[FD]$ et $[DE]$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10-Cours-fig2}
\end{center}
\begin{itemize}
\item $(AL)$ et $(BK)$ sont coplanaires ($(AB)$ et $(LK)$ étant parallèles).
\item $(EJ)$ et $(AK)$ ne sont pas coplanaires ($K$ est extérieur au plan $(EJA)$).
\item $(IJ)$ et $(AL)$ ne sont pas parallèles ($(IJ)$ est parallèle à $(AF)$ qui est sécante à $(AL)$).
\end{itemize}
\end{Exemple}

\begin{prop}
Deux droites sécantes sont coplanaires.\\
Deux droites coplanaires non sécantes sont parallèles.
\end{prop}

\newpage

\subsection{Positions relatives d'une droite et d'un plan}

Une droite peut être :
\begin{itemize}
\item strictement parallèle à un plan ;
\item parallèle, contenue dans le plan ;
\item sécante au plan en un point.
\end{itemize}

\begin{prop}
Une droite qui ne coupe pas un plan est parallèle à ce plan.\\
Une droite dont deux points distincts appartiennent à un plan est contenue dans ce plan.
\end{prop}


\subsection{Position relative de deux plans}

Deux plans de l'espace peuvent être :
\begin{itemize}
\item strictement parallèles ;
\item confondus ;
\item sécants selon une droite.
\end{itemize}

\begin{prop}
Deux plans non confondus ayant un point commun sont sécants selon une droite.
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Démontrer le parallélisme}
\subsection{Droites parallèles}


\begin{prop}
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
\end{prop}

\begin{prop}
Si une droite $\mathcal{D}$ et un plan $\mathcal{P}$ sont parallèles, tout plan $\mathcal{P}'$ contenant $\mathcal{D}$ et sécant avec $\mathcal{P}$ coupe $\mathcal{P}$ en une droite $\mathcal{D}'$ parallèle à $\mathcal{D}$.
\end{prop}

\begin{prop}
Si deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles, tout plan qui coupe $\mathcal{P}$ coupe aussi $\mathcal{P}'$ et les deux droites d'intersection sont des droites parallèles.
\end{prop}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{thm}[Théorème du toit]
Si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants selon une droite $\Delta$ et si une droite $\mathcal{D}$ de $\mathcal{P}$ est parallèle à une droite $\mathcal{D}'$ de $\mathcal{P}'$, alors la droite $\Delta$ est parallèle aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.
\end{thm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10-Cours-fig3}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Droite et plan parallèles}

\begin{prop}
Une droite $\mathcal{D}$ est parallèle à un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $\mathcal{D}$ est parallèle à une droite de $\mathcal{P}$.
\end{prop}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10-Cours-fig4}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
$\mathcal{D}~//~\mathcal{P}$ car 
$\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{D}' \subset \mathcal{P} \\  
\mathcal{D}~//~\mathcal{D}'
\end{array}
\right.$.
\end{center}
\end{minipage}


\subsection{Plans parallèles}

\begin{prop}
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
\end{prop}

\begin{prop}
Si un plan $\mathcal{P}$ contient deux droites sécantes parallèles au plan $\mathcal{P}'$, alors les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles.
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Orthogonalité dans l'espace}

\begin{defin} 
Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
\end{defin}

\begin{tabular}{m{4.5cm}m{6.5cm}}
\includegraphics[scale=1]{10-Cours-fig5}
&
ABCDEFGH est un cube. Les droites $(AB)$ et $(FG)$ sont orthogonales car la parallèle $(BC)$ à $(FG)$ est perpendiculaire à $(AB)$.
\end{tabular}

\begin{tabular}{m{6cm}m{4cm}}
\begin{defin} 
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
\end{defin}
&
\includegraphics[scale=1]{10-Cours-fig6}
\end{tabular}

\begin{defin} 
$\mathcal{P}$ est un plan et $A$ un point de l'espace.\\
Le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$ est le point d'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par $A$.
\end{defin}

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\section{Démontrer l'orthogonalité}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{thm}
Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
\end{thm}

\begin{prop}
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
\end{prop}

\begin{prop}
Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
\end{prop}

\begin{prop}
Deux plans orthogonaux à la même droite sont parallèles.
\end{prop}



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\begin{solintro}
\begin{questions}
\item EFGH étant un carré, la droite (EG) est perpendiculaire à la droite (FH) qui est contenue dans le plan (BDF).

De plus, la droite (EG) est contenue dans le plan (EFG) qui est orthogonal à la droite (FB), elle est donc orthogonale à cette droite.

La droite (EG) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDF), elle est donc orthogonale à ce plan.

\item Lorsqu'une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Donc (EG) est orthogonale à (DF) qui est contenue dans le plan (BDF).

\item Ici c'est à vous de choisir le \og bon plan \fg{} pour effectuer un raisonnement du même type que précédemment. Il convient de considérer le plan (DAF), qui contient le point G.

ABFE étant un carré, (EB) est orthogonale à (AF).
De plus, la droite (FG) étant orthogonale au plan (AEB), (EB) est orthogonale à (FG).

La droite (EB) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (DAF), elle est orthogonale au plan (DAF).
Elle est donc orthogonale à la droite (DF) qui est contenue dans ce plan.

\item D'après les questions précédentes, (DF) est orthogonale à (EG) et (EB) qui sont deux droites sécantes du plan (EGB). Elle est donc orthogonale à ce plan.
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput