\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin {vf} {Orthogonalité} {10}
Soit $ABCS$ un tétraèdre quelconque et $O$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

\begin{questions}
\item Les droites $(SO)$ et $(BO)$ sont orthogonales.
\item Les droites $(SO)$ et $(AC)$ sont orthogonales.
\item Les droites $(BO)$ et $(AC)$ sont parallèles.
\item La droite $(BO)$ est orthogonale au plan $(SOC)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Vrai car par définition, la droite $(SO)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, donc à toutes les droites de ce plan et en particulier à la droite $(BO)$.
\item Vrai pour la même raison que précédemment.
\item Faux. Dans l'espace deux droites peuvent être orthogonales à une même droite sans être parallèles entre elles. Dans le cas général, les droites $(BO)$ et $(AC)$ sont sécantes.
\item Faux. Dans le cas général, la droite $(BO)$ n'est pas perpendiculaire à la droite $(OC)$. Elle n'est donc pas orthogonale à un plan qui contient cette droite.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2
\begin {vf} {Plans et droites} {10}
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{questions}
\item Soit $\mathcal{P}$ un plan contenant la droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}'$ un plan contenant la droite $\mathcal{D}'$. Si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales, alors $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants.

\item La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est un plan contenant $\mathcal{D}$. Alors $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants.

\item La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est un plan contenant $\mathcal{D}$. Alors toute droite de $\mathcal{P}'$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est un plan contenant $\mathcal{D}$. Alors les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles.

\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}'$ est orthogonale à la droite $\mathcal{D}$. Alors $\mathcal{D}'$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Les plans peuvent être parallèles.
\item Vrai. Le plan $\mathcal{P}'$ est non parallèle à $\mathcal{P}$ car il contient une droite non parallèle à $\mathcal{P}$. Donc $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants.
\item Faux. D'après la question précédente, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants, donc la droite d'intersection de ces deux plans est contenue dans $\mathcal{P}$ et n'est pas orthogonale à $\mathcal{P}'$ puisqu'elle est contenue dans ce plan.
\item Faux. Les deux plans peuvent être sécants selon une droite parallèle à $\mathcal{D}$ (théorème du toit).
\item Faux. $\mathcal{D}'$ peut par exemple être parallèle à $\mathcal{P}$ si on la choisit dans le plan parallèle à $\mathcal{P}$ contenant $\mathcal{D}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3
\begin {vf} {Transitivité} {10}
Dans l'espace, les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
\item Deux droites orthogonales à une même troisième sont orthogonales entre elles.
\item Deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèles entre elles.
\item Deux plans parallèles à une même droite sont parallèles entre eux.
\item Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles.
\item Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Vrai (cours).
\item Faux, on sait que si les trois droites sont coplanaires, alors deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.
\item Faux, on peut imaginer comme contre exemple les trois axes d'un repère orthonormal.
\item Faux. Deux plans sécants selon une droite $\mathcal{D}$ sont tous les deux parallèles à $\mathcal{D}$.
\item Faux. Une droite est parallèle à un plan lorsqu'elle est parallèle à une droite du plan. Si deux droites sont parallèles à des droites du plan qui ne sont pas parallèles, elles ne sont pas parallèles entre elles.
\item Vrai (cours).
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Intersection de plans}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{10}
Tracer un tétraèdre ABCD et placer un point I sur la face ACD, mais pas sur une arête.

Construire l'intersection des plans (BAI) et (BCD).
\end{exo}

\begin{corrige}
Tout d'abord, on peut remarquer que les plans (BAI) et (BCD) ne sont pas parallèles ni confondus puisqu'ils ont en commun le point B, mais que A n'appartient pas au plan (BCD).

Ces plans se coupent donc suivant une droite dont on connaît déjà un point, le point B.

Il suffit donc de trouver un autre point.

La droite (AI) est contenue dans le plan (BAI) et aussi dans le plan (ACD) puisque I est un point de la face ACD.

Elle coupe [CD] en un point J.

Ce point J appartient au plan (BCD) puisqu'il appartient à la droite (CD). Il appartient donc à l'intersection des plan (BAI) et (BCD).

On a donc (BAI)$\cap$(BCD) = (BJ).

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_02}
\end{center}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5

\begin{exo}{Orthogonalité dans un cube}{Lycée Alain, Caen}{1}{15}
Soit $ABCDEFGH$ un cube.\\
Les points $I$, $J$, $K$, $M$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, 
$[CD]$, $[FG]$ et $[GH]$.
\begin{center}
\includegraphics{10-Enonces-fig12}
\end{center}
\begin{questions}
        \item  Montrer que les droites $(AC)$ et $(HF)$ sont orthogonales.
        \item  Montrer que les droites $(AE)$ et $(DI)$ sont orthogonales.
        \item  Montrer que $(AC)$ est orthogonale au plan $(JKN)$.
        \item  Montrer que $(IJ)$ est orthogonale au plan $(HFB)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item   Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ du carré $ABCD$ sont 
perpendiculaires, donc la droite 
        $(HF)$, parallèle à la droite $(BD)$, est orthogonale à la 
droite $(AC)$.

\item  La droite $(AE)$, orthogonale aux droites $(AB)$ et 
$(AD)$, est orthogonale au plan 
        $(ABD)$.
        \par
        La droite $(AE)$ est donc orthogonale à toute droite contenue dans le 
plan $(ABD)$. En 
        particulier, $(AE)$ est orthogonale à $(DI)$.

\item La droite $(KJ)$ joignant les milieux de deux côtés du triangle $BDC$ est parallèle au troisième côté $[BD]$. Or, $ABCD$ étant un carré, $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$, donc $(KJ)$ est perpendiculaire à $(AC)$.

$(KN)$ joignant les milieux de deux côtés opposés du carré $DCGH$ est parallèle à $(GC)$, or $(GC)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, donc à la droite $(AC)$. Par conséquent $(KN)$ est aussi orthogonale à $(AC)$.

La droite $(AC)$ est orthogonale aux deux droites sécantes  $(KJ)$ et $(KN)$ du plan $(JKN)$.
        \par
        $(AC)$ est donc orthogonale au plan $(JKN)$.
        \item La droite $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$, donc perpendiculaire à $(DB)$, donc orthogonale à $(HF)$. La  droite $(IJ)$ est de plus contenue dans le plan $(ABC)$ orthogonal à la droite $(BF)$ ; la droite $(IJ)$ est  donc orthogonale à $(BF)$.
        \par
        La droite $(IJ)$, orthogonale à deux droites sécantes du plan 
$(HFB)$, est orthogonale à ce plan.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{Un problème de construction}{Lycée Saint-Louis-de-Gonzague, Paris}{1}{10}
Construire le point $E$ d'intersection de la droite $(PQ)$ avec le plan $(BCD)$ sur la figure ci-dessous. On précise que sur la figure suivante, $P\in(ABC)$ et $Q\in(ACD)$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{10-Enonces-fig13}
\end{center}
\end{exo}
\newpage

\begin{corrige}
Pour construire l'intersection de la droite $(PQ)$ avec le plan 
$(BCD)$, on choisit un plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $(PQ)$ et coupe le plan $(BCD)$ selon une droite $\mathcal{D}'$ que l'on sait construire. 
Le point d'intersection de la droite $(PQ)$ et de la droite $\mathcal{D}'$ est aussi le point d'intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(BCD)$. 
\par
La droite $(AP)$ coupe la droite $(BC)$ en $I$ et la droite $(AQ)$ coupe la droite $(CD)$ en $J$.
Les points $A$, $I$ et $J$ n'étant pas alignés déterminent un plan. Ce plan coupe le plan $(BCD)$ selon la droite $(IJ)$.
\par
Le point d'intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(BCD)$ est le point d'intersection de la droite $(IJ)$ et de la droite $(PQ)$, ce 
qui permet de le construire de manière précise.

\begin{center}
\includegraphics{10-Corriges-fig20}
\end{center}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7 [nouveau 2017]

\begin{exo}{Tétraèdre régulier}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois}{2}{25}
ABCD est un tétraèdre régulier. I est le milieu de [AC].

\begin{questions}
\item Montrer que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (IBD).
\item En déduire que les arêtes non adjacentes d'un tétraèdre régulier sont orthogonales.
\item On considère le centre de gravité G du triangle BCD.
\begin{questions}
\item Construite G sur la figure. 
\item Construire l'intersection X de la droite (IG) et du plan (ABD). On pourra utiliser le plan (CIG) et on justifiera la construction.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le tétraèdre étant régulier, ses faces sont des triangles équilatéraux. Par conséquent (DI), médiane issue de D dans le triangle ACD est aussi hauteur, et donc la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (DI). Pour la même raison, la droite (AC) est perpendiculaire à (BI) puisque le triangle ABC est aussi équilatéral.

La droite (AC) est donc perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (IBD), elle est donc orthogonale à ce plan.

\item La droite (AC) étant orthogonale au plan (IBD) est orthogonale à toute droite de ce plan. Elle est donc orthogonale à la droite (DB) et donc au segment [DB] qui est l'arête du tétraèdre non adjacente à [AC]. Ces deux arêtes sont donc orthogonales.

Le tétraèdre étant régulier, le même raisonnement peut être effectué pour toutes autres arêtes non adjacentes, ce qui démontre la propriété : dans un tétraèdre régulier, deux arêtes non adjacentes sont orthogonales.

\item
\begin{questions}
\item G est le point d'intersection de deux médianes du triangle BCD, qui sont faciles à construire à l'aide du quadrillage.

\item Une droite et un plan sont soit parallèles, soit se coupent en un point que nous appelleront X, s'il existe.

Pour trouver ce point, il faut trouver une droite du plan (ABD) sécante avec la droite (IG).

On se place dans le plan (CIG) comme conseillé : la droite (GI) est évidemment contenue dans ce plan.

De plus, A étant un point de la droite (CI) appartient aussi à ce plan. Par ailleurs J, milieu de [BD], appartient à (CG) donc au plan (CGI). Donc la droite (AJ) est contenue dans le plan (CIG), et les droites (AJ) et (IG) sont donc coplanaires, et sécantes d'après la figure, en un point X.

La droite (AJ) est contenue dans le plan (ABD) aussi. Le point X est donc l'intersection de la droite (IG) et du plan (ABD).
\end{questions}
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_03}
\end{center}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8 [nouveau 2014]

\begin{exo}{\fontsize{12}{14}\selectfont Dans une pyramide à base rectangulaire}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
Sur la figure ci-dessous, les points E, F et G appartiennent respectivement aux arêtes [SA], [SB] et [SD].

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_04}
\end{center}

\begin{questions}
\item Construire l'intersection des plans (EFG) et (ABC).
\item En déduire la section de la pyramide SABDC par le plan (EFG).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_05}
\end{center}

\begin{questions}
\item La droite (FE) est incluse dans le plan (EFG), et la droite (AB) est incluse dans le plan (ABC). Par ailleurs ces deux droites sont contenues dans le plan (SAB) et sont sécantes en un point que nous appelons H.

De même, la droite (FG) est contenue dans le plan (EFG) et la droite (BD) est contenue dans le plan (ABC). Ces deux droites sont coplanaires car elles sont contenues dans le plan (SBD) et sécantes en un point que nous appelons K.

On sait que deux plans non parallèles et non confondus ont pour intersection une droite.

$\left.
\begin{array}{l}
H\in(EFG)\cap(ABC)\\
K\in(EFG)\cap(ABC)
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow (HK)=(EFG)\cap(ABC).$

La droite (HK) est donc l'intersection cherchée.

\item La section d'une pyramide par un plan est un polygone.

Nous en connaissons déjà deux côtés : [EF] et [FG].
Un segment de la droite (HK) en fait aussi partie. C'est le segment [IJ], où I est l'intersection de [CD] avec la droite (HK) et J est l'intersection de [AC] avec la droite (HK).

La section de la pyramide SABDC est donc le polygone EFGIJ matérialisé en stries rouges ci-dessus.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Section d'un cube}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois}{2}{15}
ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs des segments [EH] et [CG] (voir figure page suivante).
\begin{questions}
\item Construire le point X intersection de la droite (BJ) avec le plan (EFG). Justifier la construction.
\item En déduire la droite intersection des plans (BIJ) et (EFG).
\item En utilisant les questions précédentes, construire la section du cube par le plan (BIJ).
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_06}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{ch10ex9q1} La droite (BJ) et la droite (FG) sont coplanaires et sécantes car elles sont toutes deux incluses dans le plan (BCG). De plus la droite (FG) est incluse dans le plan (EFG). Le point X intersection de la droite (BJ) avec le plan (EFG) est donc le point d'intersection des droites (FG) et (BJ).

\newpage

\begin{methode}
Même si deux droites semblent se couper sur un dessin en perspective, il faut prouver qu'elles se coupent vraiment, et pour cela montrer qu'elles sont coplanaires.
\end{methode}

\item L'intersection de deux plans non parallèles et non confondus est une droite.

On connaît déjà un point de cette droite, le point X construit à la question \refitem{ch10ex9q1}, puisqu'il est intersection d'une droite du plan (BIJ) avec une droite du plan (EFG).

Le pont I appartient aussi aux deux plans : il est évident qu'il appartient au plan (BIJ), et comme I appartient à la droite (EH) incluse dans le plan (EFG), I appartient au plan (EFG).

Donc la droite (IX) est l'intersection des plans (BIJ) et (EFG).
\item On connaît déjà trois segments du polygone section du cube par le plan (BIJ) : le segment [IK], K étant l'intersection de la droite (IX) avec l'arête [HG] (X et I appartiennent au plan (EFG) et donc la droite (IX) est sécante à la droite (HG)), le segment [BJ], et le segment [JK]. Par ailleurs on sait qu'un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles.

La face ABFE est parallèle à la face CDHG, donc on construit, à partir du point B, un segment parallèle au segment [KJ], qui coupe l'arête [AE] en L. Il suffit ensuite de construire le segment [LI].
La section est le polygone LBJKI.
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_07}
\end{center}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Dans un cube}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AE] et L est le milieu de [CG]. J et K sont les points tels que $\gvec{BJ}=\dfrac{1}{4}\gvec{BA}$ et $\gvec{BK}=\dfrac{1}{4}\gvec{BC}$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_08}
\end{center}

\Par

\emph{Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (IJ), (KL) et (BF) sont concourantes.}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que le quadrilatère AILC est un parallélogramme.
\item Démontrer que $\gvec{JK}=\dfrac{1}{4}\gvec{IL}$.
\item Justifier que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes en un point qu'on appellera R.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Quelle est l'intersection des plans (AEB) et (BCG) ?
\item Démontrer que R appartient à la droite (BF) et conclure.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{ch10ex10q1}
\begin{questions}
\item D'après les propriétés du cube, on a $\gvec{AE}=\gvec{CG}$. Or, $\gvec{AI}=\dfrac{1}{2}\gvec{AE}$ et $\gvec{CL}=\dfrac{1}{2}\gvec{CG}$, donc $\gvec{AI}=\gvec{CL}$,  ce qui prouve que le quadrilatère AILC est un parallélogramme.

\item\label{ch10ex10qb} $\gvec{JK}=\gvec{JB}+\gvec{BK}$ d'après la relation de Chasles (vue en seconde). Donc, 
\begin{align*}
\gvec{JK}& = \dfrac{1}{4}\gvec{AB}+\dfrac{1}{4}\gvec{BC}\\
& = \dfrac{1}{4}\gvec{AC}.
\end{align*}

Or, comme AILC est un parallélogramme, $\gvec{AC}=\gvec{IL}$. On a donc bien $\gvec{JK}=\dfrac{1}{4}\gvec{IL}$.

\item D'après la question \refitem{ch10ex10qb}, les points I, J, K et L sont coplanaires. De plus, les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles. En effet, \linebreak$\gvec{JK}=\dfrac{1}{4}\gvec{IL}$ donc $\gvec{JI}+\gvec{IK}=\dfrac{1}{4}\left(\gvec{IK}+\gvec{KL}\right)$ et donc\\ $\gvec{JI}=-\dfrac{3}{4}\gvec{IK}+\dfrac{1}{4}\gvec{KL}$. Les droites (IK) et (KL) étant sécantes en K, le vecteur ne peut s'exprimer en fonction du vecteur $\gvec{KL}$. Par conséquent, le vecteur $\gvec{JI}$ n'est pas colinéaire au vecteur $\gvec{KL}$.

Elles se coupent donc en un point R.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item\label{ch10ex10q2a} Les plans (AEB) et (BCG) se coupent suivant la droite (BF).
\item On connaît trois points appartenant à la fois aux plans (AEB) et (BCG) : le point B et le point F d'après la question \refitem{ch10ex10q2a}, et le point R d'après la question \refitem{ch10ex10q1}, puisque R est l'intersection d'une droite incluse dans le plan AEB) et d'une droite incluse dans le plan (BCG).

Comme l'intersection de deux plans non parallèles et non confondus est une droite, les points B, F et R sont alignés, ce qui prouve que R appartient à (BF).

Donc les droites (IJ), (KL) et (BF) sont bien sécantes en R.
\end{questions}
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{10_fig_09}
\end{center}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11
% Si on garde le 11, il faudra dans l'énoncé comme dans le corrigé inverser les points M et N.
% Page 277 : De plus, dans le corrigé : question 1 troisième ligne et à (FG)
% question 2 : deuxième ligne l'intersection [PI] de la droite (KP) et de la face?.

%\begin{exo}{Section d'un cube (2)}{Lycée René Descartes, Cournon}{2}{15}
%Soit $ABCDEFGH$ un cube. Les points $M$, $N$ et $P$ sont placés comme indiqué sur le dessin sur les côtés $[EH]$, $[HG]$ et $[GC]$.
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{10-Enonces-fig11}
%\end{center}
%\begin{questions}
%\item Construire, en justifiant, le point d'intersection $K$ du plan $(MNP)$ et de la droite $(FG)$.
%\item Construire la section du cube par le plan $(MNP)$.
%\end{questions}
%\end{exo}

%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Les droites $(MN)$ et $(GF)$ sont coplanaires et non parallèles, elles sont donc sécantes en un point $K$. Le point $K$ appartient donc au plan $(MNP)$ et $(FG)$.

%\item Les points $K$ et $P$ appartiennent au plan $(MNP)$ et au plan $(BCG)$. L'intersection $[PI]$ de cette droite et de la face $BCFG$ fait donc partie de la section du cube par le plan.\\
%Pour terminer la construction, on utilise la propriété qui dit qu'un plan coupe deux plans parallèles selon des droites parallèles.\\
%On trace donc la parallèle à $(MP)$ passant par $I$, dont l'intersection avec le cube est le segment $[IJ]$, puis on joint $J$ et $N$.
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{10-Corriges-fig17}
%\end{center}
%\begin{methode}
%Pour tracer la section d'un solide par un plan, il est parfois nécessaire de \og sortir \fg du solide (ici, le point $K$) pour pouvoir conclure.
%\end{methode}
%\end{questions}
%\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12
% Si on garde le 12 :
%Page 278 : deuxième ligne sous le dessin : triangle SOB
% cinquième ligne : triangle EBS et non EBC
%\begin{exo}{Dans un tétraèdre}{Lycée C et P Virlogeux, Riom}{3}{20}
%Soit $SABC$ un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[SB]$ et $G$ est le centre de gravité du triangle $SAC$. Démontrer que la droite $(IG)$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $E$ tel que $ABCE$ est un parallélogramme.
%\end{exo}

%\begin{corrige}
%Comme $G$ est le centre de gravité de $SAC$, $(SG)$ coupe $[AC]$ en son milieu $O$.\\
%Les droites $(SG)$ et $(SB)$ sont coplanaires, donc les points $S$, $I$, $G$, $B$ et $O$ sont coplanaires.\\
%On se place dans le plan contenant ces points et on obtient la figure suivante :
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{10-Corriges-fig18}
%\end{center}
%Les droites $(IG)$ et $(BO)$ sont sécantes en un point $E$ car elles ne sont pas parallèles (contraposée du théorème de Thalès dans le triangle $SOC$).\\
%On démontre par l'absurde que $O$ est le milieu de $[EB]$.\\
%En effet, si le milieu de $[EB]$ est un point $P$ distinct de $O$, alors le centre de gravité $K$ du triangle $EBC$ se trouve à l'intersection des deux médianes $(EI)$ et $(SP)$.\\
%Dans le triangle $SPO$, d'après le théorème de Thalès, les droites $(GK)$ et $(OP)$ seraient parallèles car $G$ et $K$ partagent les côtés issus de $S$ dans le même rapport. Or ces droites ne sont pas parallèles, donc $O$ est le milieu de $[EB]$.\\
%\\
%Comme $(SO)$ est une médiane du triangle $SAC$, $O$ est aussi le milieu de $[AC]$.\\
%\\
%Les diagonales du quadrilatères $ABCE$ se coupent en leur milieu, donc c'est un parallélogramme.
%\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
