\chapter{Géométrie vectorielle dans l'espace}

\begin{exointro}{Lycée Lafayette, Clermont-Ferrand}
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{11-Cours-fig1}
\end{center}
Démontrer que les plans $(AFH)$ et $(BDG)$ sont parallèles.
\end{exointro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Calcul vectoriel dans l'espace}

Les opérations (multiplication par un réel et somme) définies sur deux vecteurs du plan peuvent s'étendre à deux vecteurs de l'espace et elles vérifient les mêmes propriétés.\\
En effet, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace peuvent être représentés à l'aide de trois points coplanaires $A$, $B$ et $C$ : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. Toute opération sur les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peut alors se définir dans le plan $(ABC)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Plan dans l'espace}
\subsection{Caractérisation}
\begin{prop}
Tout plan de l'espace est défini par un point $A$ et un couple de vecteurs non colinéaires qui forment un repère de ce plan : $(A~;\vec{u},\vec{v})$.\\
On dit que le plan est dirigé par le couple $(\vec{u}, \vec{v})$.
\end{prop}

\subsection{Plans parallèles}
\begin{prop}
Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs sont parallèles.
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Vecteurs coplanaires et repère de l'espace}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\subsection{Vecteurs coplanaires}
\begin{defin} 
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne soient pas colinéaires sont \emph{coplanaires} si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que
\[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.\]
Si deux des trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires, alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires.
\end{defin}

% \newpage
\begin{solintro}
Montrons que les deux plans sont dirigés par le même couple de vecteurs :\\
D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH}$.\\
Comme $ABCDEFGH$ est un pavé : $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG}$ et finalement\linebreak[4] $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BG}$.\\
On montre de même que $\overrightarrow{FH} = \overrightarrow{BD}$.\\
Par leur position sur le pavé, les points $A$, $H$ et $F$ ne sont pas alignés, donc les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{FH}$ ne sont pas colinéaires et dirigent le plan $(AHF)$. De même, les vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BD}$ dirigent le plan $(BDG)$. Les deux plans étant dirigés par le même couple de vecteurs, ces plans sont parallèles.
\end{solintro}

\subsection{Repère de l'espace}
\begin{prop}
Si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non coplanaires de l'espace, pour tout vecteur $\vec{t}$ de l'espace il existe un triplet unique de réels $(a~;b~;c)$ tel que $\vec{t} = a\vec{u} +b\vec{v} + c\vec{w}$.
\end{prop}

\begin{defin} 
Un repère de l'espace est défini par un point $A$ et un triplet de 3 vecteurs non coplanaires $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.
\end{defin}

\begin{prop}
Dans le repère $(A~; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$, pour tout point $M$ de l'espace il existe un triplet unique de réels $(x~;y~;z)$ tel que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} +z\vec{w}$.
\end{prop}

\begin{defin} 
Ce triplet constitue les coordonnées du point $M$, mais aussi du vecteur $\overrightarrow{AM}$ dans le repère $(A~; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.
\end{defin}

Les calculs sur les coordonnées dans l'espace se font comme les calculs sur les coordonnées dans le plan.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Représentations paramétriques}

\begin{exointro}{Lycée René Descartes, Cournon}
L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$. La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A$ de coordonnées $(2~;-1~;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(2~;2~;1)$.

$\mathcal{P}$ est le plan parallèle à $\mathcal{D}$, passant par les points $B(0~;1~;2)$ et $C(-2~;3~;2)$.

\begin{questions}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

\item Déterminer un repère du plan $\mathcal{P}$ et en déduire une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.
%\Break
\item Le plan $\mathcal{P}'$ de représentation paramétrique :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2m+n+5 \\
y &= 2m+1 \qquad \text{ avec $m$ et $n$ dans $\R$} \\
z &= m+n-2 
\end{aligned} \right.
\]
est-il parallèle au plan $\mathcal{P}$ ?
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\subsection{Représentation paramétrique d'une droite}

L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.\\
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $A$ de coordonnées $(x_A~;y_A~;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(a~;b~;c)$.

Un point $M$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$.

La traduction analytique de cette relation vectorielle donne le théorème suivant :

\begin{thm}
Un point de coordonnées $(x~;y~;z)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ si et seulement si il existe $k$ appartenant à $\R$ tel que :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= ka+x_A \\
y &= kb + y_A \\
z &= kc + z_A
\end{aligned}\right.
\] 
\end{thm}


\begin{defin} 
Ce système constitue une \emph{représentation paramétrique} de la droite $\mathcal{D}$, de paramètre $k$ décrivant $\R$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
si $k$ ne parcours qu'un intervalle de $\R$, l'ensemble décrit n'est alors qu'un segment ou une demi-droite.
\end{Remarque}

\begin{attention}
Cette représentation paramétrique n'est pas unique et dépend du vecteur directeur et du point choisi sur la droite !
\end{attention}

\subsection{Représentation paramétrique d'un plan}

Un point $M$ appartient au plan de repère $(A~;\vec{u},\vec{v})$ si et seulement si il existe des réels $k$ et $t$ tels que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u} +t\vec{v}$.\\
La traduction analytique de cette relation vectorielle donne le théorème page suivante :

\newpage

\begin{thm}
L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ de repère $(A~;\vec{u},\vec{v})$. Le point $A$ a pour coordonnées $(x_A~;y_A~;z_A)$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées respectives $(a~;b~;c)$ et $(a'~;b'~;c')$.

Alors le système  :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= ka+ta'+x_A \\
y &= kb+tb' + y_A \qquad \text{avec $k \in \R$ et $t\in \R$}. \\
z &= kc+tc' + z_A
\end{aligned}\right.
\] 
est appelé une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.
\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2k+2 \\
y &= 2k-1 \qquad \text{avec $k \in \R$}. \\
z &= k+1
\end{aligned}\right.
\] 

\item Le vecteur $\gvec{BC}$ a pour coordonnées $(-2-0~;3-1~;2-2)$, c'est-à-dire $(-2~;2~;0)$.

Les vecteurs $\gvec{BC}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Le plan $\mathcal{P}$ admet donc comme repère $(B~;\vec{u},\gvec{BC})$. Une représentation paramétrique de $\mathcal{P}$ est donc :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2t-2t' \\
y &= 2t+2t'+1 \qquad \text{avec $t \in \R$ et $t'\in \R$.} \\
z &= t+2
\end{aligned}\right.
\] 

\item Le plan $\mathcal{P}'$ est dirigé par le couple de vecteurs de coordonnées $(2~;2~;1)$ et $(1~;0~;1)$. Le premier vecteur est le vecteur $\vec{u}$. Le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(1~;0~;1)$ est-il coplanaire à $\vec{u}$ et $\gvec{BC}$ ? En d'autres termes, existe-t-il deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{v} = a\vec{u}+b\gvec{BC}$ ?
%\BreakWithoutItem
Cette équation vectorielle donne un système de 3 équations dans $\R$, à deux inconnues $a$ et $b$ :
\[ \left\{
\begin{aligned}
1 &= 2a-2b \\
0 &= 2a+2b \\
1 &= a
\end{aligned}\right.
\]
Ce système n'admet pas de solution.\\
Le vecteur $\vec{v}$ ne peut pas s'exprimer en fonction de $\vec{u}$ et $\gvec{BC}$, donc le plan $\mathcal{P}'$ ne peut pas être dirigé par ces deux vecteurs. Il n'est donc pas parallèle à $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}
\endinput