\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex1
\begin {vf} {Points alignés ou coplanaires} {10}
L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.\\
Parmi les affirmations suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Les points $A (1~;2~;1)$, $B (0~;2~;2)$ et $C(0~;0~;5)$ sont alignés.
\item Les points $A (5~;4~;2)$, $B(1~;2~;2)$, $C(3~;5~;2)$ et $D(-5~;-2~;2)$ sont coplanaires.
\item On considère les quatre points $A (1~;0~;1)$, $B (-1~;2~;5)$, $C (2~;4~;6)$ et $D (5~;1~;0)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
\item Les quatre points de la question précédente sont alignés.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$ sont $(-1~;0~;1)$ et celles du vecteur $\gvec{AC}$ sont $(-1~;-2~;4)$. Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. On en déduit que les trois points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

\item Vrai. Les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$ sont $(-4~;-2~;0)$, celles du vecteur $\gvec{AC}$ sont $(-2~;1~;0)$ et celles du vecteur $\gvec{AD}$ sont $(-10~;-6~;0)$. Les trois vecteurs peuvent s'exprimer en fonction des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$. Ils sont donc coplanaires et les quatre points appartiennent au plan passant par $A$ et dirigé par le couple $(\vec{i},\vec{j})$.

\item Vrai. Le vecteur $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $(-2~;2~;4)$ et le vecteur $\gvec{CD}$ a pour coordonnées $(3~;-3~;-6)$. Donc $CD = \dfrac{-3}{2}\gvec{AB}$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont dirigées par des vecteurs colinéaires, donc elles sont parallèles.

\item Faux. Le vecteur $\gvec{AC}$ a pour coordonnées $(1~;4~;5)$ et n'est donc pas colinéaire au vecteur $\gvec{AB}$. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés, il en est par conséquent de même pour les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex2

\begin {vf} {Vecteurs colinéaires et coplanaires} {10}
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace.\\
Parmi les affirmations suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$, $\vec{u}+\vec{w}$ et $\vec{w}+\vec{v}$ ne sont pas coplanaires.
\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ ne sont pas coplanaires.
\item Les vecteurs $\vec{w}-\vec{u}$, $\vec{w}+\vec{v}$ et $\vec{u}+\vec{v}$ ne sont pas coplanaires.
\item Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{w}+\vec{v}$ et $\vec{w}-\vec{v}$ ne sont pas coplanaires.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
Soit $A$ un point de l'espace. $(A~; \vec{u},\vec{v},\vec{w})$ forme un repère de l'espace.
\begin{questions}
\item Vrai. Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}+\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car si\linebreak $\vec{u}+\vec{w} =k(\vec{u}+\vec{v})$, alors on aurait $(k-1)\vec{u}+k\vec{v}-k\vec{w} = \vec{0}$. L'unicité de la décomposition d'un vecteur selon les trois vecteurs de la base donnerait $k=1$ et $k=0$, ce qui est impossible.\\
On cherche ensuite à montrer que $\vec{w}+\vec{v} = a(\vec{u}+\vec{v}) + b(\vec{u}+\vec{w})$ est impossible. En effet, cela donnerait le système :
\[ \left\{
\begin{aligned}
a+b &= 0 \\
a &= 1\\
b &= 1
\end{aligned}\right.
\] 	
qui n'a pas de solution.

\item Vrai. Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ ne peut pas s'écrire sous la forme $a\vec{u}+b\vec{v}$.

\item Faux. La relation $\vec{u}+\vec{v} = (\vec{w} +\vec{v})-(\vec{w}-\vec{u}) $ montre que les vecteurs sont coplanaires.

\item Vrai. Il n'est pas possible d'exprimer $\vec{u}$ en fonction des vecteurs $\vec{w} + \vec{v}$ et $\vec{w}-\vec{v}$ qui ne sont clairement pas des vecteurs colinéaires. Donc les vecteurs ne sont pas coplanaires.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex3


\begin{vf}{\fontsize{13.5}{15}\selectfont Représentation paramétrique d'une droite}{10}
L'espace est rapporté au repère orthogonal $(O~;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ de repère $(O~;\vec{i},\vec{j}+\vec{k})$, ainsi que la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :
 \[
\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-3-t\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Le point $M$ de coordonnées $(3~;1~;-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.

\item Le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-2~;1~;1)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.

\item Le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(1~;2~;-3)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.

\item  La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Vrai. Ce point correspond à $t=1$.
 
\item Vrai. D'après la représentation paramétrique donnée, le vecteur de coordonnées  $(2~;-1~;-1)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ donc son opposé, le vecteur $\gvec{u}$ de coordonnées $(-2~;1~;1)$, est aussi un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

\item Faux. Les coordonnées de $\vec{v}$ ne sont pas proportionnelles à celles du vecteur directeur de $\mathcal{D}$ donc ce n'est pas un vecteur directeur.

\item Vrai. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est égal à $2\vec{i}-(\vec{j}+\vec{k})$. Il est donc coplanaire à un couple de vecteurs qui dirige $\mathcal{P}$. La droite $\mathcal{D}$ est donc parallèle à $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\end{corrige}

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%ex4


\begin{exo}{Recherche de points}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{10}
Existe-t-il cinq points non coplanaires $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ tels
que : 
\[
\gvec{BE}=2\gvec{BC}
\quad
\text{et} 
\quad
\gvec{AE}=3\gvec{AD} \quad ?
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
La relation $\gvec{BE}=2\gvec{BC}$ implique que les points $B$, $C$ et $E$ sont sur la droite $(BE)$ ou confondus si $B=E$.\\
La relation $\gvec{AE}=3\gvec{AD}$ implique que les points $A$, $D$ et $E$ sont sur la droite $(AE)$ ou confondus si $A=E$.\\
Donc si $B=E$ ou $A=E$, il y a au maximum trois points distincts qui sont donc coplanaires. Sinon, les points sont situés dans le plan $(ABE)$ puisqu'ils sont sur des droites de ce plan. On ne peut donc pas trouver de points non coplanaires qui vérifient la relation.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex5 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Plan et représentation paramétrique}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{15}
Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(-2~;~2~;-1)$, $B(2~;0~;3)$, $C(-2~;0~;0)$, 
$D(0~;-4~;1)$ et $E(-2~;-1~;-2)$.
\begin{questions}
\item Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent bien un plan.
\item Montrer que le vecteur $\gvec{DE}$ est colinéaire au vecteur $-\gvec{AB}-2\gvec{AC}$.

Que peut-on en déduire pour la droite $(DE)$ ?
\item Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.

Le point $D$ appartient-il à ce plan ?
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\gvec{AB}(4~;-2~;4)$ et $\gvec{AC}(0~;-2~;1)$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $(A~;\gvec{AB},\gvec{AC})$ définit bien un plan.

\item $\gvec{DE}(-2~;3~;-3)$ et $-\gvec{AB}-2\gvec{AC}(-4~;6~;-6)$ donc :
\[
\gvec{DE}=\dfrac{1}{2}\left(-\gvec{AB}-2\gvec{AC}\right).
\]
Ces vecteurs sont donc colinéaires, ce qui prouve que la droite $(DE)$ est parallèle au plan $(ABC)$ puisque $(A~;\gvec{AB},\gvec{AC})$ constitue un repère de ce plan.

\begin{Remarque}
à ce stade, on ne sait pas si la droite est strictement parallèle au plan $(ABC)$ ou incluse dans ce plan.
\end{Remarque}

\item On connaît deux vecteurs formant une base du plan $(ABC)$. De plus, le point $A$, par exemple, appartient au plan $(ABC)$ donc une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ est :
\[
\begin{cases}
x&=-2+4t\\
y&=2-2t-2t'\\
z&=-1+4t+t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{ étant deux réels}.
\]

\begin{Remarque}
on aurait pu aussi utiliser le point $B$, ou le point $C$ : un plan n'a pas une représentation paramétrique unique.
\end{Remarque}

Pour savoir si $D$ appartient au plan, il faut chercher s'il existe des valeurs de $t$ et $t'$ permettant d'obtenir les coordonnées de $D$.

On obtient le système :
\[
\begin{cases}
0&=-2+4t\\
-4&=2-2t-2t'\\
1&=-1+4t+t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{ étant deux réels}.
\]
De la première équation, on déduit $t=\dfrac{1}{2}$ .

En reportant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient $t'=\dfrac{5}{2}$.

Le deuxième membre de la troisième équation est alors :
\[
-1+4\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}.
\]

Cette troisième égalité n'est pas vérifiée avec les valeurs trouvées pour $t$ et $t'$, donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

\item La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\gvec{AB}$ et passe par le point $A$, ce qui donne comme représentation paramétrique :

\[
\begin{cases}
x&=-2+4t\\
y&=2-2t\\
z&=-1+4t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

\begin{Remarque}
là encore, on aurait pu utiliser le point $B$ pour obtenir une autre équation paramétrique de la droite $(AB)$ équivalente à celle donnée ici.
\end{Remarque}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex6 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Position relative de deux droites	}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{20}

\subsubsectionnn{Partie A}

On donne ci-dessous les représentations paramétriques de deux droites :
\[
(d_1)\;:\;\left\{\begin{array}{l}
x=1+t\\
y=2-t\\
z=3+2t
\end{array}\right.\;,\;t\in\R\qquad\text{et}\qquad
(d_2)\;:\;
\left\{\begin{array}{l}
x=3t\\
y=1+2t\\
z=2-t
\end{array}\right.\;,\;t\in\R.
\]

\begin{questions}
\item $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles coplanaires ?
\item Soit $(d_3)$ une droite parallèle à $(d_1)$ et sécante à $(d_2)$. Donner un point d'une telle droite, et un vecteur directeur.
\item Donner une équation paramétrique du plan contenant $(d_2)$ et $(d_3)$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : Vrai ou faux ?}

\begin{questions}
\item Si deux droites de l'espace sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
\item Si deux droites sont parallèles à un plan $\mathcal{P}$, alors elles sont parallèles entre elles.
\item Si deux droites de l'espace sont orthogonales à une même troisième, alors elles sont parallèles.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item Tout d'abord, on peut se demander si ces deux droites sont parallèles, auquel cas elles sont coplanaires.

D'après les équations paramétriques, $\vec{u}(1~;-1~;2)$ est un vecteur directeur de $(d_1)$ et $\vec{v}(3~;2~;-1)$ est un vecteur directeur de $(d_2)$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Donc les deux droites ne sont pas parallèles.

Il nous faut maintenant chercher à déterminer si elles sont sécantes, c'est-à-dire s'il existe $t$ et $t'$ tels que : 
\[
\begin{cases}
1+t&=3t'\\
2-t&=1+2t'\\
3+2t&=2-t'
\end{cases}.
\]

De la première équation, on tire $t = 3t' - 1$, et en reportant dans la seconde on obtient : 
\[2- 3t' + 1 = 1 + 2t'.\]

On en déduit que $5t' = 2$ et donc $t' = \dfrac{2}{5}$.

En revenant à la première équation on obtient $t=3\times\dfrac{2}{5}-1=\dfrac{1}{5}$. Il nous faut ensuite voir si les valeurs trouvées vérifient la troisième équation :

\[ 3+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}\qquad\text{et}\qquad 2-\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{5}.\]

La troisième équation n'étant pas vérifiée, nous n'avons pas trouvé de valeurs pour $t$ et $t'$ telles que le système soit vérifié, ce qui signifie que les droites ne sont pas sécantes.

Les droites ne sont ni sécantes ni parallèles, par conséquent, elles ne sont pas coplanaires.

\item Il faut tout d'abord remarquer qu'il existe une infinité de droites parallèles à $(d_1)$ et sécantes à $(d_2)$. Si on prend un point quelconque sur $(d_2)$  et qu'on construit par ce point une droite parallèle à $(d_1)$, ce qui est toujours possible, en prenant un autre point de $(d_2)$, on peut aussi construire une parallèle à $(d_2)$, donc à $(d_1)$.

On va donc choisir arbitrairement un point $I$ de $(d_2)$, par exemple le point $I$ correspondant à 
$t = 0$ : $I (0~; 1~; 2)$.

Un vecteur directeur de la droite $(d_3)$ cherchée est le vecteur directeur de $(d_1)$ : $\vec{u}(1~; -1~; 2)$. On obtient donc la représentation paramétrique : 
\[
\begin{cases}
x=t\\
y=1-t\\
z=2+2t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

\item Le plan contenant $(d_2)$ et $(d_3)$ a pour base le point d'intersection de ces deux droites, donc $I$, et pour vecteurs directeurs un vecteur directeur de $(d_1)$ : $\vec{u}(1~; -1~; 2)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$ :  $\vec{v}(3~; 2~; -1)$.

Une représentation paramétrique de ce plan est donc :

\[
\begin{cases}
x=t+3t'\\
y=1-t+2t'\\
z=2+2t-t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{ étant deux réels.}
\]
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Vrai. Cela fait partie du cours.
\item Faux. Prenons deux droites sécantes d'un plan $\mathcal{P}'$ parallèle au plan $\mathcal{P}$ : elles ne sont pas parallèles entre elles, mais elles n'ont pas de point d'intersection avec $\mathcal{P}$, donc elles sont parallèles à $\mathcal{P}$.
\item Faux. Plaçons-nous dans un cube ABCDEFGH.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{11_fig_01}
\end{center}


La droite (GB) est orthogonale à la droite (AB) car elle est incluses dans le plan (FGB) orthogonal à (AB).

La droite (BC) est orthogonale à (AB) pour la même raison.

Or ces deux droites sont sécantes en B.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex7 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Repère de l'espace}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{25}
L'espace est muni d'un repère $\left(O~;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. 

On considère les points $A(2~;4~;-1)$, $B(3~;1~;2)$, $C(1~;0~;1)$, $D(3~;2~;1)$ et $E(1~;2~;0)$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $\gvec{AB}$, $\gvec{AC}$ et $\gvec{AD}$ ne sont pas coplanaires.
\item Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\gvec{AM}=2\gvec{AB}-\gvec{AC}$. 

Où se situe le point $M$ ?
\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\gvec{AE}=a\gvec{AB}+b\gvec{AC}+c\gvec{AD}$.

Quelles sont les coordonnées de $E$ dans le repère $(A;\gvec{AB},\gvec{AC},\gvec{AD})$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a : $\gvec{AB}(1~;-3~;3)$, $\gvec{AC}(-1~;-4~;2)$ et $\gvec{AD}(1~;-2~;2)$.

Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut exprimer l'un d'entre eux, par exemple $\gvec{AD}$, en fonction des deux autres.

On va donc chercher à savoir si on peut trouver deux réels $k$ et $k'$ tels que $\gvec{AD}=k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$.

Si ces réels existent, ils sont solutions du système : 
\[
\begin{cases}
1&=k-k'\\
-2&=-3k-4k'\\
2&=3k+2k'
\end{cases}
\]
obtenu en écrivant que les coordonnées de $\gvec{AD}$ et de $k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$ sont égales.

La première équation donne $k = 1 + k'$, et en reportant dans la deuxième on obtient :
\[ -2=-3-3k'-4k' \Leftrightarrow k'=-\dfrac{1}{7}.\]
En reprenant la première équation, on obtient donc $k=\dfrac{6}{7}$.

Le second membre de la troisième égalité vaut donc, avec les valeurs de $k$ et $k'$ obtenues, $\dfrac{16}{7}\neq2$.

On ne peut pas trouver de réels $k$ et $k'$ tels que $\gvec{AD}=k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$, donc les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

\item Posons $M(x~;~y~;~z).$ Alors, $\begin{aligned}[t]
\gvec{AM}=2\gvec{AB}-\gvec{AC} & 
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x-2&=3\\
y-4&=-2\\
z+1&=4
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
x&=5\\
y&=2\\
z&=3
\end{cases}
\end{aligned}$

Donc $M(5~;2~;3)$.

Le point $M$ se situe dans le plan $(ABC)$, puisque le vecteur $\gvec{AM}$ s'exprime en fonction des deux vecteurs directeurs du plan $(ABC)$.


\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AE}=a\gvec{AB}+b\gvec{AC}+c\gvec{AD} & \Leftrightarrow
\begin{cases}
-1&=a-b+c\\
-2&=-3a-4b-2c\\
1&=3a+2b+2c
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a & =b-c-1\\
-2&=-3b+3c+3-4b-2c\\
1&=3b-3c-3+2b+2c
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\gvec{AE}=a\gvec{AB}+b\gvec{AC}+c\gvec{AD}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a&=b-c-1\\
-7b+c&=-5\\
5b-c&=4
\end{cases}\\ 
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a&=b-c-1\\
5b-c&=4\\
-2b&=-1
\end{cases}
\end{aligned}$

La dernière équation est obtenue en ajoutant la deuxième et la troisième de l'étape précédente.

On obtient donc successivement : $b=\dfrac{1}{2}$, $c=-\dfrac{3}{2}$ et $a=1$.

D'après le calcul précédent, les coordonnées de $E$ dans le repère\linebreak $\left(A~;\gvec{AB},\gvec{AC},\gvec{AD}\right)$ sont $\left(1~;\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{3}{2}\right)$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex8 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Positions relatives de deux droites}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{20}
On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique :
\[
(d)\;:\;
\begin{cases}
x=6+t\\
y=1+2t\\
z=1-t\end{cases}\quad,\quad	t\in\R.
\]
\begin{questions}
\item Donner les coordonnées d'un point $A$ et d'un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(d)$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d')$ passant par le point $B(3~;-3~;-6)$ et de vecteur directeur $\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$.
\item Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles coplanaires ?
\item Démontrer qu'il existe un point $C$ de $(d)$ et un point $D$ de $(d')$ tels que le milieu du segment $[CD]$ soit le point $I$ de coordonnées $(1~;-2~;3)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après la représentation paramétrique de $(d)$, on sait que le point\linebreak$A(6~;1~;1)$ appartient à $(d)$ et que le vecteur $\vec{u}(1~;2~;-1)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\item Une représentation paramétrique de $(d')$ est :
\[
\begin{cases}
x=3-t\\
y=-3+t\\
z=-6+2t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

\item Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

Nous allons donc vérifier si elles sont sécantes, c'est-à-dire chercher si on peut trouver $t$ et $t'$ tels que :

\begin{align*}
\begin{cases}
6+t&=3-t'\\
1+2t&=-3+t'\\
1-t&=-6+2t'
\end{cases}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t&=-3-t'\\
1-6-2t'&=-3+t'\\
1+3+t'&=-6+2t'
\end{cases}
\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t=-3-t'\\
t'=-\frac{2}{3}\\
t'=10
\end{cases}
\end{align*}

Comme on ne trouve pas la même valeur de $t'$ dans la deuxième et la troisième équation, on ne peut pas trouver $t$ et $t'$ tels que le système soit vérifié, donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas sécantes.

Par conséquent, elles ne sont pas coplanaires.

\item Les coordonnées du milieu d'un segment sont les demi-sommes des coordonnées des deux extrémités, donc on obtient le système :
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{6+t+3-t'}{2}&=1\\
\dfrac{1+2t-3+t'}{2}&=-2\\
\dfrac{1-t-6+2t'}{2}&=3
\end{cases}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t&=-7+t'\\
1-14+2t'-3+t'&=-4\\
1+7-t'-6+2t'&=6
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t=-7+t'\\
t'=4\\
t'=4
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t=-3\\
t'=4
\end{cases}
\end{align*}

On a trouvé des valeurs de $t$ et $t'$.

$t = -3$, donc $C(3~;-5~;4)$, et $t' = 4$, donc $D(-1~;1~;2)$, en utilisant les représentations paramétriques des deux droites.

\begin{methode}
Il est ici prudent de vérifier que $I$ est bien le milieu du segment $[CD]$, ce qui est le cas.
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Plan médiateur d'un segment}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{25}
On considère un cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le centre de la face $ADHE$, $J$ celui de la face $ABCD$, et $K$ le milieu du segment $[IJ]$ (voir figure page suivante).

L'espace est rapporté au repère $\big(A~;\gvec{AB},\gvec{AD},\gvec{AE}\big)$.

\begin{questions}
\item Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$ dans ce repère.
\item Démontrer que les points $A$, $K$ et $G$ ne sont pas alignés.
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que le plan médiateur du segment $[IJ]$ est le plan $(AKG)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(AKG)$ et une représentation paramétrique de ce plan.
\item Vérifier que le point $D$ appartient au plan $(AKG)$.
\end{questions}
\item Quel est le point d'intersection de la droite $(AK)$ avec le plan $(CDH)$ ?
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{11_fig_02}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AI} & = \dfrac{1}{2}\gvec{AH}\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\gvec{AD}+\gvec{DH}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\gvec{AD}+\gvec{AE}\right)
\end{aligned}$

Donc $I\left(0~;\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$.

\par 

$\begin{aligned}[t]
\gvec{AJ} & = \dfrac{1}{2}\gvec{AC}\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\gvec{AB}+\gvec{BC}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\gvec{AB}+\gvec{AD}\right)
\end{aligned}$

Donc $J\left(\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}~;0\right)$.

\par 

$K$ étant le milieu de $[IJ]$, $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{4}\right)$.

\item $\gvec{AK}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{4}\right)$.

$\gvec{AG}=\gvec{AB}+\gvec{BC}+\gvec{CG}=\gvec{AB}+\gvec{AD}+\gvec{AE}$, donc le vecteur $\gvec{AG}$ a pour coordonnées $(1~;1~;1)$.

Les vecteurs $\gvec{AK}$ et $\gvec{AG}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Donc les points $A$, $K$ et $G$ ne sont pas alignés.

\begin{Remarque}
cette vérification est nécessaire puisqu'on parle ensuite du plan $(AKG)$ qui ne serait pas défini si les points $A$, $K$ et $G$ étaient alignés.
\end{Remarque}

\item
\begin{questions}
\item La notion de plan médiateur d'un segment dans l'espace est similaire à celle de médiatrice dans le plan. C'est donc l'ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment.

$K$ étant le milieu de $[IJ]$, $IK=KJ$, donc $K$ appartient au plan médiateur.

$[AI]$ et $[AJ]$ sont deux demi-diagonales de deux faces du cube, donc $AI = AJ$ et $A$ appartient au plan médiateur.

Dans le triangle $GHI$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore, $GI^2 = GH^2 + HI^2$.

De même, dans le triangle $GJC$, $GJ^2 = GC^2 + CJ^2$.

Or $GH = GC$ (deux arêtes du cube) et $HI = CJ$ (deux demi-diagonales de deux faces du cube). Donc $GI^2 = GJ^2$ et $GI = GJ$. Par conséquent $G$ appartient au plan médiateur de $[IJ]$. Les trois points considérés étant non alignés, ils définissent le plan $(AKG)$ qui est donc le plan médiateur du segment $[IJ]$.

\item L'équation cartésienne est de la forme $ax+by+cz+d=0$.

$A(0~;0~;0)$ appartient au plan donc $d=0$ et l'équation est de la forme $ax+by+cz=0$.

$K$ appartient à $(AKG)$ donc : $\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{4}c=0$.

$G$ appartient à $(AKG)$ donc $a + b + c = 0$.

L'équation du plan est définie à une constante multiplicative près, donc on peut choisir la valeur d'un des coefficients. Choisissons par exemple $a = 4$.
On obtient alors le système :
\[
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{4}c&=-1\\
b+c&=-4
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
2b+c&=-4\\
b+c&=-4
\end{cases}
\]

Par soustraction des deux équations, on obtient $b = 0$, puis en remplaçant $b$ par sa valeur dans une des équations, $c = -4$.

Une équation cartésienne du plan $(AKG)$ est donc $4x-4z=0$, ou encore $x-z = 0$.

\par 

Pour la représentation paramétrique, on peut utiliser le point $A$ et les deux vecteurs $\gvec{AK}$ et $\gvec{AG}$ . On obtient donc :
\[
\begin{cases}
x=\dfrac{1}{4}t+t'\\[8pt]
y=\dfrac{1}{2}t+t'\\[8pt]
z=\dfrac{1}{4}t+t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{étant deux réels}.
\]

\item $D$ a pour coordonnées $(0~;1~;0)$. Ces coordonnées vérifient l'équation cartésienne du plan donc D appartient au plan $(AKG)$.
\end{questions}

\item Une représentation paramétrique de la droite $(AK)$ est : 
\[
\begin{cases}x&=\dfrac{1}{4}t\\[8pt]y&=\dfrac{1}{2}t\\[8pt]z&=\dfrac{1}{4}t\end{cases}\quad,\quad t\in\R
\]
en utilisant le point $A$ et le vecteur directeur $\gvec{AK}$.

Le plan $(CDH)$ est constitué de tous les points dont l'ordonnée est 1, il a donc pour équation $y = 1$.

Le point d'intersection de $(AK)$ et de $(CDH)$ a donc pour ordonnée 1, ce qui nous donne $t = 2$.

Le point d'intersection a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;1~; \dfrac{1}{2}\right)$. C'est le centre de la face $CDHG$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex10 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Position relative de plans et de droite}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{20}
L'espace est rapporté à un repère orthonormal, et $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan $\mathcal{P}$ admet comme équation cartésienne :
\[
\mathcal{P}\;:\;x-2y+3z+5=0.
\]

Le plan $\mathcal{S}$ admet comme représentation paramétrique : 
\[
\mathcal{S}\;:\;
\begin{cases}
x=-2+t+2t'\\
y=-t-2t'\\
z=-1-t+3t'
\end{cases}
\]

La droite $\mathcal{D}$ admet comme représentation paramétrique : 
\[
\mathcal{D}\;:\;
\begin{cases}
x&=-2+t\\
y&=-t\\
z&=-1-t
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item Démontrer qu'une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$ est : 
\[
\begin{cases}
x&=t+2t'\\
y&=1-t+t'\\
z&=-1-t
\end{cases}
\]

\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est une droite du plan $\mathcal{P}$.

\item Étudier la position relative des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{S}$. Le cas échéant, donner une représentation paramétrique de leur intersection.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La représentation paramétrique proposée est une représentation du plan $\mathcal{P}$ si et seulement si les coordonnées exprimées en fonction de $t$ et $t'$ vérifient l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ pour toutes valeurs de $t$ et $t'$.

Donc on remplace :
\[ 
t + 2t' - 2(1 -t + t') + 3(-1 - t) + 5 = 0t + 0t' - 5 + 5 = 0.\]

L'équation est vérifiée quelles que soient les valeurs de $t$ et $t'$, donc on a bien une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.

\item Là encore, on remplace dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ : si, pour tout $t$, les coordonnées des points de $\mathcal{D}$ vérifient l'équation de $\mathcal{P}$, cela signifiera que $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$.

\begin{Remarque}
les deux autres cas de figure sont :
\begin{itemize}
\item les coordonnées des points de $\mathcal{D}$ ne vérifient l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ pour aucune valeur de $t$ : alors la droite est parallèle au plan $\mathcal{P}$ ;
\item il existe une unique valeur de $t$ qui convient : alors la droite $\mathcal{D}$ est sécante au plan $\mathcal{P}$.
\end{itemize}
\end{Remarque}

En remplaçant, il vient : 
\[ -2 + t -2(-t) + 3(-1- t) + 5 = 0t - 5 + 5 = 0.\]

Donc ici aussi, toute valeur de $t$ convient, donc la droite $\mathcal{D}$ est une droite du plan $\mathcal{P}$.

\item Cherchons à quelle condition un point de $\mathcal{S}$ appartient à $\mathcal{P}$, en remplaçant $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ par leur expression dans la représentation paramétrique de $\mathcal{S}$ :

\begin{align*}
&-2 + t + 2t' -2(-t - 2t') + 3(-1 - t + 3t') + 5 = 0\\
\Longleftrightarrow\ & 0t + 15 t' = 0\\
\Longleftrightarrow\ & t' = 0.
\end{align*}

On obtient alors l'équation de l'intersection en remplaçant $t'$ par 0 dans la représentation paramétrique de $\mathcal{S}$.

La droite  intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{S}$ a pour représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x=-2+t\\
y=-t\\
z=-1-t
\end{cases}
\]

C'est en fait la droite $\mathcal{D}$.
\end{questions}
\end{corrige}
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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput