\chapter{Produit scalaire}


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\begin{exointro}{Lycée Hoche, Versailles}
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1~;-1~;0)$, $B(3~;0~;1)$, $C(1~;1~;0)$ et $D(3~;1~;-2)$. On nomme $I$ le milieu de $[AD]$.

\begin{questions}
\item Démontrer que les droites $(AC)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer, par un calcul vectoriel, que pour tout point $M$ de l'espace, 
\[ \gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=MI^2-IA^2.\]
 
\item En déduire une équation cartésienne de l'ensemble  $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$, et le caractériser.
\item Les points $B$ et $C$ appartiennent-ils à cet ensemble $\mathcal{E}$ ?
\end{questions}
\end{exointro}

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\section{Produit scalaire et norme}

\subsection{Produit scalaire dans l'espace}

\begin{defin}
Le produit scalaire dans l'espace de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans tout plan contenant ces vecteurs.
\end{defin}

\Par

Il en découle que le produit scalaire dans l'espace a les mêmes propriétés que le produit scalaire dans le plan. Il faudra seulement penser à introduire la troisième coordonnée lorsqu'on fait du calcul analytique.

\newpage

\begin{prop}[Expression du produit scalaire]
Dans un repère orthonormé de l'espace, le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées respectives
 \ $\vec{u}(x~;y~;z)$ et $\vec{v}(x'~;y'~;z')$ est :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v}=xx'+yy'+zz'. \] 
\end{prop}

\begin{prop}
Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs, $a$ et $b$ deux réels,
\begin{align*}
\vec{u} \cdot \vec{v}&=\vec{v} \cdot \vec{u}\qquad\text{(symétrie)}\\
\left(a\vec{u}+b\vec{v}\right) \cdot\vec{w}&=a\left(\vec{u} \cdot \vec{w}\right)+b
\left(\vec{v} \cdot \vec{w}\right) \qquad\text{(linéarité)}.
\end{align*}
\end{prop}

\subsection{Norme et distance de deux points}

\begin{prop}
\[ \lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}  = \sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
\end{prop}

\begin{prop}
Soit $A$ et $B$ deux points, 
\[
\gvec{AB} \cdot \gvec{AB}=\|\gvec{AB}\|^2=AB^2\quad\qquad\text{(carré scalaire).}
\]
\end{prop}

Une sphère étant un ensemble de point équidistants d'un point fixe, on obtient le théorème suivant :

\begin{thm}
Soit $A(x_0~;y_0~;z_0)$ un point de l'espace et $R$ un réel positif. 
\par
La sphère de centre $A$ et de rayon $R$ admet pour équation cartésienne :
\[
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.
\]
\end{thm}


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\section{Orthogonalité dans l'espace}

\subsection{Orthogonalité de deux droites}
\begin{defin} 
On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.
\end{defin}

\begin{prop} 
Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux.
\end{prop}

\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}
\begin{prop}
Soit $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$, et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par le couple de vecteur $(\vec{v}, \vec{v'})$. La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{v'} = 0.$
\end{prop}

\begin{prop}
$\mathcal{D}$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}$, orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Alors pour tous points $M$ et $N$ de $\mathcal{P}$ on a :
\[ \vec{u} \cdot \gvec{MN} =0. \]
\end{prop}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $\gvec{AC}$ a pour coordonnées $(0~;2~;0)$ et $\gvec{DC}$ a pour coordonnées $(-2~;0~;2)$. On constate donc que $\gvec{AC}\cdot\gvec{DC}=0$, ce qui signifie que les vecteurs directeurs des droites $(AC)$ et $(BC)$  sont orthogonaux. Les deux droites sont donc orthogonales. Elles sont même perpendiculaires car elles sont sécantes en $C$.

\item Comme $I$ est le milieu de $[AD]$, on a $\gvec{ID}=\gvec{AI}$.

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

\begin{align*}
\gvec{MD}\cdot\gvec{MA} & = \left(\gvec{MI}+\gvec{ID}\right)\cdot\left(\gvec{MI}+\gvec{IA}\right)\\
& = \gvec{MI}\cdot\gvec{MI}+\gvec{MI}\cdot\left(\gvec{ID}+\gvec{IA}\right)+\gvec{AI}\cdot\gvec{IA}\\
& = MI^2-IA^2
\end{align*}
 
\item Les coordonnées de $I$ étant $(2~;0~;-1)$, on a :
\[ AI=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^3}=\sqrt{3}.\]
En notant $(x~;y~;z)$ les coordonnées du point $M$, la condition $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$ qui équivaut à $MI^2-IA^2=0$ devient :
\[ (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=3.\]
\BreakWithoutItem
On reconnaît l'équation d'une sphère de centre $I(2~;0~;-1)$  et de rayon $\sqrt{3}$.

\item Pour savoir si les points $B$ et $C$ appartiennent à cette sphère, on teste si les coordonnées de ces points vérifient l'équation.

\begin{itemize}
\item Pour $B$ : $(3-2)^2+0^2+(1+1)^2=5$, donc $B$ n'appartient pas à la sphère.
\item Pour $C$ : $(1-2)^2+1^2+(0+1)^2=3$, donc le point $C$ appartient à la sphère.
\end{itemize}

\begin{attention}
Une erreur classique est d'oublier que l'on est dans l'espace, et de parler de cercle au lieu de sphère.
\end{attention}

\end{questions}
\end{solintro}

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\section{\'Equation cartésienne d'un plan}

\begin{exointro}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal $(O~;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(3~;0~;0)$, $B(0~;6~;0)$, $C(0~;0~;4)$ et $D(-5~;0~;1)$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(4~;2~;3)$ est normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation du plan $(ABC)$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $D$.
\item En déduire les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
\item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

\subsection{Vecteur normal à un plan}

\begin{defin}
Soit $\mathcal{P}$ un plan dans l'espace. Un vecteur non nul $\vec{v}$ est dit \emph{vecteur normal} de $\mathcal{P}$ si pour tous points $M$ et $N$ de $\mathcal{P}$ on a :
\[
\vec{v} \cdot \gvec{MN}=0. 
\]
On peut dire aussi que $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\gvec{v}$. 
\end{defin}
%
%
\begin{center}
\includegraphics{12-cours-fig1}
\end{center}


\subsection{\'Equation cartésienne d'un plan}
\begin{thm}
Soit $A (x_0~;y_0~;z_0)$ un point de l'espace et $\vec{v}(a~; b~; c)$ 
un vecteur non nul. 
\par
Il existe un unique plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et orthogonal à $\vec{v}$. 
On a :
\[
M\in\mathcal{P} \iff \gvec{AM} \cdot \vec{v}=0.
\]
\end{thm}

\begin{props}
\begin{itemize}
\item Le plan $\mathcal{P}$ admet donc une équation cartésienne de la forme\linebreak[4] $ax+by+cz=d$.
\item Réciproquement, si $\mathcal{P}$ est un plan de l'espace d'équation cartésienne :
\[
ax+by+cz=d,
\] 
alors le vecteur $\vec{n}(a~;b~;c)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

\item Si $a'x+b'y+c'z=d'$ est une équation cartésienne d'un plan $\mathcal{P}'$, alors les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles si et et seulement si un vecteur normal de $\mathcal{P}$ est colinéaire à un vecteur normal de $\mathcal{P}'$, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $\lambda\neq 0$ tel que $a=\lambda a'$, $b=\lambda b'$, $c=\lambda c'$.
%\Break
\item 
En conséquence, $a'x+b'y+c'z=d'$ est une autre équation cartésienne de $\mathcal{P}$ si et seulement si les deux équations sont proportionnelles, c'est-à-dire si et seulement si il existe un réel $\lambda\neq 0$ tel que $a=\lambda a'$, $b=\lambda b'$, $c=\lambda c'$ et $d=\lambda d'$. 
\end{itemize}
\vspace*{-.8em}
\end{props}

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\section{Intersection}


\subsection{Intersection d'une droite et d'un plan}
%
\begin{props} 
Soit $\mathcal{P}$ un plan de vecteur normal  $\vec{n}$ et $\mathcal{D}$ une droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
\begin{questions}
\item 
Si $\vec{n}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux, alors $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont parallèles.
\par
De plus, si $A\in\mathcal{P}$, alors $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$,
\par
et si $A\notin\mathcal{P}$, alors $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun.
\item
Si $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont pas orthogonaux, alors $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont sécants.
\end{questions}
\end{props}
%

\subsection{Intersection de deux plans}
\begin{prop}[Point de vue géométrique]
Soient $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ deux plans distincts de vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n'}$.
\begin{itemize}
\item
Si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires, alors $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ sont strictement parallèles : ils n'ont aucun point commun.
\item
Si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ ne sont pas  colinéaires, alors $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ sont sécants. Leur intersection est une droite.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[Point de vue algébrique]
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P'}$ d'équation respective $ax+by+cz+d=0$ et \\
$a'x+b'y+c'z+d'=0$ sont sécants si et seulement si les triplets $(a~;b~;c)$ et $(a'~;b'~;c')$ ne sont pas proportionnels.
\end{prop}



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\subsection{Position relative de trois plans}
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Déterminer l'intersection $\mathcal{L}$ des trois plans :
\begin{align*}
&\mathcal{P}_1\quad:\quad a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\quad (E_1)\\
&\mathcal{P}_2\quad:\quad a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\quad (E_2)\\
&\mathcal{P}_3\quad:\quad a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0\quad (E_3)
\end{align*}
revient à résoudre le \emph{système linéaire} $(\Sigma)$ constitué par les équations $(E_1)$, $(E_2)$, $(E_3)$. 
\Par
Le système est dit compatible si et seulement si $\mathcal{L}\neq\varnothing$. L'intersection peut être alors :
\begin{itemize} 
\item un point (le système admet alors une unique solution),
\item une droite, 
\item un plan.
\end{itemize}
%
Dans ces deux derniers cas, on parle de système \emph{indéterminé}. 
%
\subsubsection{1\ier{} cas : $\mathcal{L}\neq\varnothing$}
%
$\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2$ est alors une droite $\mathcal{D}$. 
\par
On est ramené à étudier $\mathcal{D}\cap\mathcal{P}_3$, une bonne méthode pour cela étant de chercher une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$. 
\begin{itemize}
\item Si $\mathcal{D}\cap\mathcal{P}_3$ est réduit à un point $P$, on dit que les trois plans sont \emph{concourants}. 
\item Sinon on a $\mathcal{D}\subset\mathcal{P}_3$ et donc $\mathcal{L}=\mathcal{D}$. Le système est équivalent au système obtenu en supprimant l'une quelconque des trois équations. On obtient un \emph{système d'équations cartésiennes} de la droite $\mathcal{D}$. 
\end{itemize}
%
\subsubsection{2\ieme{} cas : $\mathcal{L}=\varnothing$}
%
Le système est incompatible dans les trois configurations suivantes :
\begin{itemize}
\item Les trois plans sont deux à deux strictement parallèles. 
\item Deux plans sont strictement parallèles, par exemple $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Alors $\mathcal{P}_3$ coupe $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ suivant des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ parallèles.
\item Les plans sont deux à deux sécants et les droites d'intersection sont strictement parallèles. 
\end{itemize}


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\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $(-3~;6~;0)$ et $\gvec{AC}$ a pour coordonnées $(-3~;0~;4)$. Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Cela montre que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan et il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à ces deux vecteurs pour montrer qu'il est normal au plan $(ABC)$.

\[ \vec{n}\cdot\gvec{AB}=4\times(-3)+2\times6+3\times0=0\]
et
\[
\vec{n}\cdot\gvec{AC}=4\times(-3)+2\times0+3\times4=0.
\]
Le vecteur $\vec{n}$ est donc bien un vecteur normal au plan $(ABC)$.

\item Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme\linebreak $4x+2y+3z=d$, avec $d$ tel que les coordonnées de $A$ par exemple vérifient l'équation, donc $12=d$. Cela donne donc :
\[ 4x+2y+3z=12.\]
\end{questions}
\Break
\item
\begin{questions}
\item La droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABC)$ a pour vecteur directeur $\vec{n}$ et passe par le point $D$, donc une représentation paramétrique de cette droite peut être :
\[
\begin{cases}
x=-5+4t\\
y=2t\\
z=1+3t\\
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

\item Le point $H$ appartient à $\Delta$ et à $(ABC)$ si et seulement si il existe une valeur du paramètre $t$ tel que  :
\[
\begin{cases}
x=-5+4t\\
y=2t\\
z=1+3t\\
4x+2y+3z=12
\end{cases}
\]

En remplaçant $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t$ dans la dernière équation on trouve la condition :
\[ 4(-5+4t)+2\times2t+3(1+3t)=12\;,\]
d'où $t=1$ et les coordonnées du point $H$ sont donc : $(-1~;2~;4)$.
\item La distance de $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $DH$ puisque $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$. On trouve :
\begin{align*}
DH&=\sqrt{(-1+5)^2+(2-0)^2+(4-1)^2}\\
&=\sqrt{29}\;.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput