% Remplacement "," par ";" ok
\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1


\begin {vf} {Généralités } {10 }

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de l'espace et $k$ un réel non nul, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\gvec{AM}=k\cdot\gvec{AB}$ est la droite $(AB)$.

\item
Si $A, B, C$  sont trois points distincts de l'espace et $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ alors
$\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AH}$.

 \item
 Si $A, B, C, D$  sont quatre points distincts de l'espace tels que\linebreak[4] $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AD}$ alors les vecteurs  $\gvec{AB}$ et  $\gvec{CD}$ sont colinéaires.
 
\item
Le plan d'équation $x-2y+2z-7=0$ est tangent à la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-6y-4z+4=0$ au point $A$ de coordonnées $(1~;1~;4)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. Si $k$ est non nul, le point $M$ ne pourra jamais être confondu avec $A$. L'ensemble obtenu sera donc la droite $(AB)$ privée de $A$.

\item
Vrai. Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ alors $C=H$ et l'égalité est vraie. Sinon, $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AH}+\gvec{AB}\cdot \gvec{HC}$. Or, les droites $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales donc $\gvec{AB}\cdot \gvec{HC}=0$.\\ 
Par suite, $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AH}$.

\item
Faux. $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AD}$ équivaut à  $\gvec{AB}\cdot \gvec{DC}=0$ donc les vecteurs  $\gvec{AB}$ et  $\gvec{CD}$ sont orthogonaux et non colinéaires.

\item
Vrai. On commence par transformer l'équation de la sphère en\linebreak[4] $x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=9$. La sphère est de centre $I(0~;3~;2)$ et de rayon 3.

On s'assure que le point $A$ appartient bien à cette sphère puisque ses coordonnées vérifient l'équation trouvée. Le plan tangent à la sphère au point $A$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\gvec{AM}\cdot \gvec{IA}=0$. En calculant ce produit scalaire, on obtient ainsi une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ :  $x-2y+2z-7=0$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2

\begin{vf} {Produit scalaire dans l'espace} {10 }
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O~; \vec{i}, \vec{j},\vec{k})$,  on considère le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(0~;1~;2)$.

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Il existe un unique vecteur $\vec{v}$ de l'espace tel que $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ et $\vec{v}\cdot \vec{\imath}=0$.

\item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vec{u}\cdot\gvec{OM}=0$ est un plan.

 \item
 L'ensemble des vecteurs $\vec{v}$ de l'espace tels que $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ et
 $\vec{v}\cdot \vec{\imath}=-1$ et $\vec{v}\cdot \vec{\jmath}=0$ est vide.
 
\item
 L'ensemble des vecteurs $\vec{v}$ de l'espace tels que $\vec{u}\cdot \vec{v}=1$ $\vec{v}\cdot \vec{\imath}=1$ et $\vec{v}\cdot \vec{\jmath}=1$ est vide.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. Les vecteurs de coordonnées $(0~;2~;-1)$ et $(0~;6~;-3)$ vérifient tous les deux les conditions demandées.

\item Vrai. L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;y~;z)$ tels que\linebreak $\vec{u}\cdot\gvec{OM}=0$ forme le plan d'équation : $y+2z=0$.

\item
Faux. Le vecteur de coordonnées $(-1~;0~;0)$ convient.

\item
Faux. Le vecteur de coordonnées $(1~;1~;0)$ convient.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin {vf} {Positions relatives de plans de l'espace } {10}

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Soient $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{R}$ trois plans tels que $\mathcal{P} \cap \mathcal{Q} \cap \mathcal{R} = \varnothing$, alors le système  formé par les équations cartésiennes de ces trois plans n'admet aucune solution.

\item
Soient $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{R}$ trois plans tels que $\mathcal{P} \cap \mathcal{Q} \cap \mathcal{R} = \varnothing$, alors le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $\mathcal{Q}$ et le plan $\mathcal{Q}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$.

 \item
 Si $\mathcal{P} \cap\mathcal{Q} \neq \varnothing$ et $\mathcal{R} \cap\mathcal{Q} \neq \varnothing$ alors $\mathcal{P} \cap\mathcal{Q} \cap\mathcal{R} \neq \varnothing$.
 
\item
Soit $m$ un réel, l'ensemble des points $M$ de l'espace de coordonnées $(m~;m~;0)$ est le plan d'équation cartésienne $x-y=0$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. Un triplet $(a~;b~;c)$ est solution du système formé par les équations cartésiennes de ces trois plans si et seulement si il vérifie ces trois équations, ce qui équivaut à dire que le point de coordonnées $(a~;b~;c)$ appartient simultanément aux trois plans. Or, par hypothèse, l'intersection des trois plans est vide.

\item
Faux. Considérons les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{R}$ d'équations cartésiennes respectives $x+y=2$, $y+z=3$ et $x+2y+z=0$. L'intersection de ces trois plans est clairement vide cependant ces plans ne sont pas parallèles.

\item
Faux.  Considérons les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{R}$ d'équations cartésiennes respectives $x=0$, $x+y=2$ et $x=3$.  On a  $\mathcal{P} \cap \mathcal{Q} \neq \varnothing$ puisque, par exemple le point de coordonnées $(0~;2~;0)$ appartient à la fois à $\mathcal{P}$ et à $\mathcal{Q}$. De même, on a 
 $\mathcal{R} \cap \mathcal{Q} \neq \varnothing$ puisque le point de coordonnées $(3~;-1~;0)$ appartient simultanément aux plans $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{R}$.
 
 Cependant $\mathcal{P} \cap \mathcal{Q} \cap \mathcal{R} =\varnothing$ puisqu'on ne peut avoir simultanément $x=0$ et $x=3$.


\item
Faux. Le point de coordonnées $(1~;1~;1)$ appartient au plan d'équation cartésienne $x-y=0$ mais ses coordonnées ne sont pas de la forme $(m~;m~;0)$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin {vf} {Droites et plans de l'espace } {10}
L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère quatre points $A(2~;4~;1)$, $B(0~;4~;-3)$, $C(3~;1~;-3)$ et $D(1~;0~;-2)$.

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x+2y-z=11$.

\item
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

 \item
 Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est :
 \[
\begin{cases}x=-1+2t\\y=-1+t\\z=1-t\end{cases} \qquad,\qquad t\in\R.
\]

\item
Le point $I$ de coordonnées $\left(\dfrac{3}{5}~;4~;-\dfrac{9}{5}\right)$ appartient à la droite $(AB)$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Vrai. On commence par vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés puisque les vecteurs  $\gvec{AB}(-2~;0~;-4)$ et $\gvec{AC}(1~;-3~;-4)$ ne sont pas colinéaires. Par suite, il existe un unique plan contenant les points $A$, $B$ et $C$. Il ne reste plus qu'à s'assurer que les coordonnées des trois points vérifient l'équation proposée, ce qui est le cas.

\item
Vrai. D'après la question précédente, les coordonnées du vecteur  $\gvec{AB}$ sont $(-2~;0~;-4)$.

On calcule de même celles du vecteur $\gvec{CD}$ soit $(-2~;-1~;1)$. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul donc ils sont orthogonaux et les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.


\item
Faux. Le point $D$ n'appartient pas à la droite proposée. En effet, les équations $t-1=0$ et $1-t=-2$ sont incompatibles.

\item
Vrai. On connaît les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$. On calcule celles du vecteur $\gvec{AI}$ soit  $\left(-\dfrac{7}{5}~;0~;-\dfrac{14}{5}\right)$. On a donc  $\gvec{AI}=\dfrac{7}{10} \gvec{AB}$. Par suite, ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $I$ et $B$ sont alignés.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5


\begin{exo}{Avec un cube}{Lycée Carnot, Dijon}{1}{20}%

Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube d'arête $a$, où $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ et $(DD')$ sont parallèles.
\par
Calculer les produits scalaires suivants en fonction de $a$.
\[
\begin{gathered}
\gvec{AB} \cdot \gvec{AA'}\quad, \quad \gvec{AB} \cdot \gvec{CC'}\quad, \quad \gvec{AB} \cdot \gvec{DC'}\quad, \quad \gvec{AB} \cdot \gvec{CD'}\quad, \\
\gvec{AD} \cdot \gvec{BC'}\quad, \quad \gvec{AC} \cdot \gvec{DB'}\quad, \quad \gvec{AC'}\cdot\gvec{DB'}\quad,
\quad \gvec{AC'} \cdot \gvec{A'C'}.
\end{gathered}
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\gvec{AB} \cdot  \gvec{AA'}=0$
\item $\gvec{AB} \cdot  \gvec{DC'}= \gvec{AB} \cdot  \gvec{DC}=a^2$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\gvec{AB} \cdot  \gvec{CC'}=0$
\item $\gvec{AB} \cdot  \gvec{CD'}= \gvec{AB} \cdot  \gvec{CD}=-a^2$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{itemize}
\item $\gvec{AD} \cdot  \gvec{BC'}= \gvec{AD} \cdot  \gvec{BC}=a^2$
\item $\gvec{AC} \cdot  \gvec{DB'}= \gvec{AC} \cdot ( \gvec{DB}+ \gvec{BB'})= \gvec{AC} \cdot
 \gvec{DB}+ \gvec{AC} \cdot  \gvec{BB'}=0$
 \item $\gvec{AC'} \cdot  \gvec{DB'} =( \gvec{AC}+ \gvec{CC'}) \cdot ( \gvec{DB}+ \gvec{BB'})= \gvec{CC'} \cdot  \gvec{BB'}=a^2$
 \item $\gvec{AC'} \cdot  \gvec{A'C'}=( \gvec{AC}+ \gvec{CC'}) \cdot \gvec{A'C'}= \gvec{AC} \cdot  \gvec{A'C'}=2a^2$
\end{itemize}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{\'Etude d'un quadrilatère}{Lycée  Pasteur, Dole}{1}{15}


Soit l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les $4$
points\linebreak $A(13~;-11~;10)$, $B(13~;9~;25)$, $C(-7~;18~;13)$ et $D(-7~;-2~;-2)$.
\par
Quelle est la nature de la figure $ABCD$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Calculons les coordonnées des vecteurs $ \gvec{AB}$, $ \gvec{DC}$ et $ \gvec{BC}$:
\[
 \gvec{AB}(0~;20~;15)
\quad ; \quad
 \gvec{DC}(0~;20~;15)
\quad \text{et} \quad
 \gvec{BC} (-20~;9~;-12).
\]
Comme $ \gvec{AB}= \gvec{DC}$, $ABCD$ est un parallélogramme. Calculons $ \gvec{AB}\cdot \gvec{BC}$ :
\[
 \gvec{AB} \cdot  \gvec{BC}=0\times (-20)+20\times
9+15\times(-12)=0.
\]
Comme $ \gvec{AB}\cdot \gvec{BC}=0$, les vecteurs $ \gvec{AB}$ et
$ \gvec{BC}$ sont orthogonaux, donc  $ABCD$ est un rectangle.
\par
Enfin, $\bigl\| \gvec{AB}\bigr\|=\bigl\| \gvec{BC}\bigr\|=25$, donc
$ABCD$ est un carré.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7

\begin{exo}{Arêtes orthogonales d'un tétraèdre}{Lycée  Guy de Maupassant, Fécamp}{1}{15}


\begin{questions}
\item Montrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ de l'espace, on a : 
\[
\gvec{DA} \cdot \gvec{BC}+\gvec{DB} \cdot \gvec{CA}+\gvec{DC} \cdot \gvec{AB}=0.
\]
\item En déduire que, si dans un tétraèdre deux couples d'arêtes opposées sont formés d'arêtes orthogonales, il en est de même du troisième.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
On décompose les vecteurs $ \gvec{DB}$ et
$ \gvec{DC}$ à l'aide de la relation de Chasles en introduisant le point $A$ :
\[
\begin{aligned}
 \gvec{DA} \cdot  \gvec{BC}+ \gvec{DB} \cdot  \gvec{CA}+ \gvec{DC} \cdot  \gvec{AB}
&= \gvec{DA} \cdot \left( \gvec{BC}+ \gvec{CA}+ \gvec{AB}\right)\\
&\hphantom{=}+ \gvec{AB}
\cdot  \gvec{CA}+ \gvec{AC} \cdot  \gvec{AB}\\
&= \gvec{DA} \cdot  \gvec{0}- \gvec{AB} \cdot  \gvec{AC}+ \gvec{AC} \cdot  \gvec{AB}\\
&=0.
\end{aligned}
\]
\item Les trois couples d'arêtes opposées sont  $([DA],[BC])$,
$([DB],[AC])$ \linebreak et $([DC],[AB])$.
\par
On applique alors l'égalité ci-dessus
en supposant deux des trois produits scalaires nuls : le troisième est
alors nul.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8


\begin{exo}{Base orthonormée}{Lycée  Condorcet, Paris}{1}{10}
On se place dans un repère orthonormé $\left(O~;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. Soient :
\[
\vec{u}\left(-\dfrac{4}{9}~;\dfrac{1}{9}~;\dfrac{8}{9}\right)
\quad ; \quad 
\vec{v}\left(\dfrac{4}{9}~;\dfrac{8}{9}~;\dfrac{1}{9}\right) 
\quad
\text{et}
\quad
\vec{w}\left(\dfrac{7}{9}~;-\dfrac{4}{9}~;\dfrac{4}{9}\right).
\]
Démontrer que $\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right)$ est une base orthonormée. 
\end{exo}

\begin{corrige}
Vérifions d'abord que les vecteurs sont unitaires :
\[
\begin{aligned}
\left\| \gvec{u}\right\|^2
&=\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{1}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{8}{9}\right)^2
=\dfrac{16+1+64}{81}=1\;,\\
\left\| \gvec{v}\right\|^2
&=\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{8}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{1}{9}\right)^2
=\dfrac{16+64+1}{81}=1\;,\\
\left\| \gvec{w}\right\|^2
&=\left(\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{4}{9}\right)^2
=\dfrac{49+16+16}{81}=1.
\end{aligned}
\]
Ensuite, calculons les produits scalaires suivants pour montrer que
ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux :
\[
\begin{aligned}
\vec{u} \cdot \vec{v}&=\dfrac{(-4)\times 4+1\times 8+8\times 1}{9\times  9}=0\;,\\
\vec{u} \cdot \vec{w}&=\dfrac{(-4)\times 7+1\times (-4)+8\times 4}{9\times  9}=0\;,\\
\vec{v} \cdot \vec{w}&=\dfrac{4\times 7+8\times (-4)+1\times 4}{9\times9}=0.
\end{aligned}
\]
Alors la famille de vecteurs $\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right)$ est une base orthonormée.

\begin{methode}
Pour prouver qu'une famille $\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right)$ de trois vecteurs est une base orthonormée de l'espace, on montre que les normes des trois vecteurs sont égales à 1 (on dit alors que les vecteurs sont normés ou unitaires) puis que les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
\end{methode}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex9


\begin{exo}{\'Equation cartésienne d'un plan}{Lycée Victor Hugo, Besançon}{1}{15}%
Soit l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les $2$ points $A(-1~;0~;1)$ et $B(0~;3~;1)$.
\begin{questions}
\item Donner une équation cartésienne du plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(0~;1~;1)$.
\item Donner une équation cartésienne du plan parallèle au plan d'équation $x+y-2z=4$ et passant par $B$.
\item Donner une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AB]$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan cherché, une équation cartésienne de celui-ci est : 
\[
y+z=d\;,
\] 
où $d$ est déterminé par le fait que $A$ appartient au plan cherché, soit :
\[
0+1=d.
\]
Le plan cherché admet donc pour équation cartésienne : 
\[
y+z=1.
\]
\item Un plan parallèle au plan d'équation :
\[
x+y-2z=4
\] 
admet pour équation  :
\[
x+y-2z=a\;,
\] 
où $a$ est déterminé par le fait que $B$
appartient au plan, soit  :
\[
3-2=a.
\]
Le plan cherché admet donc pour équation cartésienne : 
\[
x+y-2z=1.
\]
\item Le plan médiateur du segment $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet $ \gvec{AB}$ comme vecteur normal.

Calculons les coordonnées du milieu de $[AB]$ ainsi que celles du  vecteur $ \gvec{AB}$ :
\[
\text{Milieu de }[AB] :  
\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{3}{2}~;1\right) ;\quad
\text{le vecteur } \gvec{AB} : (1~;3~;0).
\]
Le plan médiateur du segment $[AB]$ a donc pour équation : 
\[
x+3y=c\;,
\]
avec :
\[
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}=c\quad,\quad\text{donc } c=4.
\]
Cette équation cartésienne est donc $x+3y=4$.
\end{questions}
%
\begin{methode}
  La première et la troisième question peuvent aussi être résolues avec
  les méthodes suivantes :
\begin{itemize}
\item Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est   l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\gvec{AM}\cdot\vec{n}=0$. Si le point $M$ a pour coordonnées $(x~;y~;z)$, on calcule alors les coordonnées du vecteur $ \gvec{AM}$ puis on effectue le
produit scalaire.
\item Le plan médiateur du segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants de $A$ et de $B$. Si le point $M$ a pour  coordonnées $(x~;y~;z)$, on calcule alors les distances $MA$ et $MB$ et on écrit l'égalité $MA^2=MB^2$ qui après simplification fournira l'équation cherchée.
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10

\begin{exo}{Droites et plans de l'espace}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{1}{25}%
L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
\par
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives :
\[
\left(-1~;0~;2\right)\quad,\quad\left(3~;2~;-4\right)\quad,\quad\left(1~;-4~;2\right)\quad\text{et}\quad\left(5~;-2~;4\right).
\]
On considère les points $I$, $J$, $K$ définis par : I milieu du segment $[AB]$, $K$ milieu du segment $[CD]$ et $\gvec{BJ}=\dfrac{1}{4}\gvec{BC}$.

\begin{questions}
\item Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est :
\[
8x+9y+5z-12=0.
\]
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AD)$ et démontrer que le plan $(IJK)$ et la droite $(AD)$ sont sécants en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
\item Montrer que $\gvec{AL}=\dfrac{1}{4}\gvec{AD}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Les coordonnées respectives des points $I$ et $K$ sont :
\[
I(1~;1~;-1) \qquad \text{et} \qquad K(3~;-3~;3).
\]
Le point $J$ est défini par la relation vectorielle $\gvec{BJ}=\dfrac{1}{4}\gvec{BC}$.

\par

Soient $(x~;y~;z)$ les coordonnées du point $J$. Alors, les coordonnées du vecteur $\gvec{BJ}$ sont $(x-3~;y-2~;z+4)$.

\par 

Les coordonnées du vecteur $\gvec{BC}$ sont $(-2~;-6~;6)$.

\par 

Les coordonnées du point $J$ s'obtiennent en résolvant le système :
\[
\begin{cases}
x-3=-\dfrac{1}{2}\\[10pt] 
y-2=-\dfrac{3}{2}\\[10pt]
z+4=\dfrac{3}{2}
\end{cases}
\]
Le point $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2}~;\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{5}{2}\right)$.

\item
\begin{questions}
\item
Les vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$ sont pour coordonnées respectives $(2~;-4~;4)$ et $\left(\dfrac{3}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;- \dfrac{3}{2}\right)$. Comme il n'existe pas de réel $k$ tel que\linebreak[4] $\gvec{IJ}=k\gvec{IK}$, on en déduit que les vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$ ne sont pas colinéaires donc les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.

\item
Considérons le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne  :
\[ 8x+9y+5z-12=0.\]
Il contient le point $I$ puisque $8\times1+9\times1+5\times(-1)-12=0$. On montre de même que le plan $\mathcal{P}$ contient aussi les points $J$ et $K$. Or, d'après la question précédente, les points $I$, $J$, $K$ ne sont pas alignés donc ils déterminent un plan. Ce plan n'est donc autre que le plan $\mathcal{P}$. Par conséquent, une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $8x+9y+5z-12=0$.

\begin{methode}
Pour résoudre cette question, on aurait pu aussi procéder de la manière suivante :\par
On commence par déterminer un vecteur $\vec{n}$ à la fois orthogonal aux vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$. Un tel vecteur est donc un vecteur normal au plan $(IJK)$. Le plan $(IJK)$ est donc l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vec{n}\cdot\gvec{IM}=0$. 
\end{methode}

\item
Le vecteur $\gvec{AD}$ a pour coordonnées $(6~;-2~;2)$.\par
Un point $M$ de coordonnées $(x~;y;z)$ appartient à la droite $(AD)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\gvec{AM}=t\gvec{AD}$.\Par
Une représentation paramétrique de la droite $(AD)$ est donc :
\[
\begin{cases}x=-1+6t\\y=-2t\\z=2+2t\end{cases} \quad,\quad t\in\R.
\]
Un point $M$ de la droite $(AD)$ appartient au plan $(IJK)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $8(6t-1)-18t+5(2t+2)-12=0$. En résolvant cette équation, on obtient $t=\dfrac{1}{4}$.\Par
Le plan $(IJK)$ et la droite $(AD)$ sont sécants en un point $L$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{5}{2}\right)$.
%
\item
Le vecteur $\gvec{AD}$ a pour coordonnées $(6~;-2~;2)$ et le vecteur $\gvec{AL}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$, ce qui établit la relation demandée.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11


\begin{exo}{Aires et volumes}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{1}{45}%
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(3~;0~;1)$, $B(0~;-1~;2)$, $C(1~;-1~;0)$ et $D(1~;1~;-2)$.
\begin{questions}

\item \label{chap12ex11_1}
\begin{questions}
\item
Démontrer que les vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$ sont orthogonaux.
\item
En déduire la nature du triangle $ABC$.
\item
Calculer l'aire de ce triangle.
\end{questions}

\item \label{chap12ex11_2}
\begin{questions}
\item
Vérifier que $\vec{u}(2~;-5~;1)$ est un vecteur normal du plan $(ABC)$.
\item
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\item
On admet le résultat suivant :\\
Soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz=d$. 
\par
Si $M$ est un point quelconque, de coordonnées $(x~;y~;z)$, on a :
\[
d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
Déterminer la distance de $D$ au plan $(ABC)$.
\end{questions}

\item
En utilisant les questions \refitem{chap12ex11_1} et \refitem{chap12ex11_2}, déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
%
\item
\begin{questions}
\item
Déterminer un vecteur $\vec {n}$ tel que $\vec {n}\cdot \gvec{BC}=0$ et $\vec {n}\cdot \gvec{CD}=0$.
\item
En déduire une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
\end{questions}
%
\item
Exprimer le volume du tétraèdre $ABCD$ en fonction de l'aire du triangle $BCD$.
\item
Déterminer l'aire du triangle $BCD$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
%
\begin{questions}
\item
Les vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$ ont pour coordonnées respectives\linebreak $(-2~;-1~;-1)$ et $(1~;0~;-2)$. On calcule leur produit scalaire :
\[
\gvec{AC}\cdot \gvec{BC}= (-2)+(-1)\times(-2)=0.
\]
On en déduit que les vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$  sont orthogonaux.
%
\item
On déduit de la première question que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
%
\item
L'aire du triangle $ABC$ est :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}AC\times BC\;,
\]
soit :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\times\sqrt{5}.
\]
L'aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item
On a vu que les poins $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. Pour prouver que le vecteur $\vec {u}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, il suffit de prouver que ce vecteur est orthogonal à la fois aux vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$. En effet, on sait d'après le cours que tout vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

On vérifie que $\gvec{BC}\cdot\vec{u}=\gvec{AC}\cdot\vec {u}=0$ ce qui achève la preuve.

\item
Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace de coordonnées $(x~;y~;z)$ tels que $\gvec{AM}\cdot\vec {u}=0$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est \[2x-5y+z=7.\]

\item\label{ch12ex11q2c}
Pour déterminer la distance de $D$ au plan $(ABC)$, il suffit d'appliquer la formule donnée dans l'énoncé :
soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz=d$. 
\par
Si $M$ est un point quelconque, de coordonnées $(x~;y~;z)$, on a :
\[
d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
On en déduit que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est $\dfrac{|-12|}{\sqrt{30}}$ soit $\dfrac{2\sqrt{30}}{5}.$
\end{questions}

\item

On considère comme base du tétraèdre $ABCD$ le triangle $BCA$. Son volume est alors :
\[
\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times\dfrac{2\sqrt{30}}{5}\;,
\]
soit $\mathscr{V}=2$.
%
\item
\begin{questions}

\item
Soit $\vec{n}$ un vecteur de coordonnées $(a~;b~;c)$.\par
En calculant ces produits scalaires, on montre que $\vec {n}\cdot \gvec{BC}=0$ et $\vec {n}\cdot \gvec{CD}=0$ équivaut à :
\[
\begin{cases}a-2c=0\\2b-2c=0.\end{cases} 
\]
On peut donc choisir par exemple $\vec{n}(2~;1~;1)$.

\begin{attention}
Il existe une infinité de vecteurs  $\vec{n}$ répondant à la question !
\end{attention}

\item
Remarquons que les points $B$, $C$, $D$ ne sont pas alignés (les vecteurs $\gvec{BC}$ et $\gvec{CD}$ ne sont pas colinéaires) donc ils déterminent un plan.\par
Le plan $(BCD)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace de coordonnées $(x~;y~;z)$ tels que $\gvec{BM}\cdot\vec {n}=0$.
Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est $2x+y+z=1$.
\end{questions}

\item
On considère comme base du tétraèdre $ABCD$ le triangle $BCD$. Son volume est alors donné par la formule :
\[
\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}' \times d\;,
\]
où $\mathscr{A}'$ représente l'aire du triangle $BCD$ et $d$ la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.\par
On calcule cette distance en utilisant la m\^eme formule qu'à la question \refitem{ch12ex11q2c}.
\[ d=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}.\]
On a donc:
\[
\mathscr{V}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\mathscr{A}'.
\]

\item
Le volume du tétraèdre ayant été calculé antérieurement, on peut ainsi déterminer l'aire du triangle $BCD$.
\par
On a :
\[
2=\mathscr{A}'\times\dfrac{\sqrt{6}}{3}.
\]
On en déduit :
\[
\mathscr{A}'= \sqrt{6}.
\]
%
\end{questions}
%
\begin{methode}
On retiendra la méthode utilisée dans cet exercice (un grand classique des sujets de baccalauréat antérieurs).
\par
On considère un tétraèdre et, en calculant  son volume de deux manières différentes, on déduit, selon les problèmes, soit l'aire d'une des faces triangulaires du tétraèdre soit la distance d'un des sommets au plan contenant la face opposée à ce sommet.
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12


\begin{exo}{Configuration remarquable}{Lycée de Montgeron}{2}{10}


L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O~;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
\par
On considère le point $H$ de coordonnées $(a~;b~;c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $abc \neq 0$.
\par
On pose $S=a^2+b^2+c^2$.
\begin{questions}
\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par $H$ et orthogonal à la droite $(OH)$.
\item Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ d'intersection de $\mathcal{P}$ avec les axes  $x'Ox$, $y'Oy$ et $z'Oz$.
\item Vérifier que :
\[
\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{1}{OH^2}.
\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Remarquons tout d'abord que comme $abc \neq 0$, les trois 
r\'eels $a$, $b$ et $c$ sont non nuls.\\
Le vecteur $\gvec{OH}$ de coordonnées $(a~;b~;c)$ est normal au plan $\mathcal{P}$, qui a donc une équation du type :
\[
ax+by+cz=d.
\]
De plus, $H \in \mathcal{P}$ donc $ax_{H}+by_{H}+cz_{H}=d$. 
\par 
Après calcul,  $d=a^2+b^2+c^2=S$, d'où :
\begin{equation}
ax+by+cz=S. \quad \tag{$\mathcal{P}$}
\end{equation}
\item Équation :
\[
\begin{aligned}
\text{de}
\quad
x'Ox \quad : \quad
y&=z=0 \\
\text{de}
\quad
y'Oy \quad : \quad
x&=z=0 \\
\text{de}
\quad
z'Oz \quad : \quad
x&=y=0 
\end{aligned}
\]
Or, $A \in \mathcal{P} \cap (x'Ox)$ donc $y_A=z_A=0$ et $ax_A=S$, d'où $A \left( \dfrac{S}{a}~; 0~; 0\right)$.
\par
De façon analogue, on trouve : 
$\quad B \left( 0~; \dfrac{S}{b}~; 0 \right) \quad \text{et} \quad
C \left( 0~; 0~; \dfrac{S}{c} \right)$.
%
\item On a $\quad OA^2=\dfrac{S^2}{a^2}, \quad OB^2=\dfrac{S^2}{b^2}, \quad
OC^2=\dfrac{S^2}{c^2}$.
\par
Donc $\quad \dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}
=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{S^2} =\dfrac{S}{S^2} = \dfrac{1}{S}.$
\par
Or, $\quad OH^2=S\quad$ \ donc \ $\quad \dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{S}$. \ Finalement on a bien :
\[
\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}
=\dfrac{1}{OH^2}.
\]
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13


\begin{exo}{Algorithme}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
On considère une droite $\mathcal{D}$ passant par le point $A(a~;b~;c)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(m~;n~;p)$, ainsi qu'un point $P(x~;y~;z)$.

On appelle distance de $P$ à $\mathcal{D}$ le minimum de la longueur $PM$ lorsque le point $M$ décrit la droite $\mathcal{D}$.

\begin{questions}
\item \'Ecrire une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
\item Calculer l'expression de la distance $MP$ pour un point $M$ quelconque de $\mathcal{D}$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Initialisation
\qquad t=0
\qquad r=0,01
Entrées
\qquad Donner les valeurs de a, b, c, m, n, p, x, y, z
Traitement
\qquad Donner à $I$ la valeur (x-a)$^2$+(y-b)$^2$+(z-c)$^2$ 
\qquad Donner à D la valeur (x-a-rm)$^2$+(y-b-rn)$^2$+(z-c-rp)$^2$ 
\qquad Si D$>I$ alors 
\qquad\qquad remplacer r par $-$r
\qquad\qquad Donner à D la valeur (x-a-rm)$^2$+(y-b-rn)$^2$+(z-c-rp)$^2$ 
\qquad Fin Si
\qquad Tant que D$<I$ Faire
\qquad\qquad Donner à T la valeur t+r
\qquad\qquad Donner à $I$ la valeur D
\qquad\qquad Donner à D la valeur (x-a-tm)$^2$+(y-b-tn)$^2$+(z-c-tp)$^2$
\qquad Fin de tant que
Sortie
\qquad Afficher $\sqrt{I}$
\end{algorithme}

\Par

Que fait calculer cet algorithme aux lignes (1) et (2) du traitement ?

Expliquer quelle méthode il utilise pour obtenir une valeur approchée de la distance de $P$ à $\mathcal{D}$.

Que peut-on craindre avec cette méthode ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= a+tm \\
y &= b+tn  \\
z &= c+tp
\end{aligned}\right.\quad,\quad t\in \R.
\] 			

\item $PM=\sqrt{(x-a-tm)^2 +(y-b-tn)^2 +(z-c-tp)^2}$.

\item La ligne (1) calcule le carré de la distance de $P$ à $A$.

La ligne (2) calcule le carré la distance de $P$ au point $M$ de $\mathcal{D}$ de paramètre $r=0,01$.

Le test permet de voir si $PM^2$ est plus grand que $PA^2$. 

Dans ce cas, le point paramétré par $t$ sur $\mathcal{D}$ s'écarte, lorsque $t$ augmente, de la position qui réalise la distance minimale $PM$. Alors on donne à $r$ la valeur $-0,01$, ce qui fait \og bouger \fg $M$ dans l'autre sens.

On fait varier $t$ de $r$ à chaque boucle, et dès que la valeur $D$ cesse de diminuer, on considère que la valeur précédente réalise à peu près la distance de $P$ à la droite $\mathcal{D}$.

Avec ce procédé, on risque :

\begin{itemize}
\item soit d'obtenir un résultat assez éloigné du résultat exact si la norme du vecteur $\vec{u}$ est grande, car les points choisis sur $\mathcal{D}$ sont éloignés les uns des autres ;
\item soit d'avoir un test très long à réaliser si au contraire la norme du vecteur $\vec{u}$ est très petite.
\end{itemize}
On peut essayer de corriger ce défaut en modifiant correctement la valeur de $r$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput