\chapter{Probabilités conditionnelles}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
Un laboratoire propose un test de dépistage d'une maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu atteint de cette maladie ait un test positif est $0{,}95$.
\item la probabilité qu'un individu non atteint par cette maladie ait un test négatif est aussi $0{,}95$.
\end{itemize}
On choisit un individu au hasard et on note $M$ l'événement \og l'individu est malade \fg et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.

\begin{questions}
\item On réalise un dépistage dans une population donnée dans laquelle la proportion d'individus atteints de la maladie est $0{,}001$.
\begin{questions}
\item Construire un arbre représentant cette situation.
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Calculer la probabilité qu'un individu présentant un test positif soit atteint de la maladie. Cette probabilité est appelée valeur prédictive du test.
\end{questions}

\item On veut étudier les variations de cette valeur prédictive selon la proportion d'individus atteints de la maladie dans la population.
\begin{questions}
\item On considère une population à risque pour la maladie considérée : dans cette population, un quart des individus sont atteints. Quelle est alors la valeur prédictive du test ?
\item On considère maintenant une population dans laquelle la proportion d'individus atteints de la maladie est $x$. Déterminer en fonction de $x$ la valeur prédictive du test pour cette population.\\
Pour quelle valeur de $x$ un individu dont le test est positif a-t-il autant de chance d'être malade que d'être sain ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}
%


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\section{Probabilités conditionnelles}

\begin{defin}
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$ et $A$ un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement $B$, on appelle probabilité de $B$ sachant $A$ le réel :
\[
P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
\]
\end{defin}
%
\begin{thm}
Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A)\neq 0$. Alors : 
\[
P_A(B)+P_A(\Moy{B})=1.
\]
\end{thm}



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\section{Indépendance}%

\begin{defin}
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$.
Deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles sont indépendants si et seulement si :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
\]
\end{defin}

L'indépendance peut résulter d'un dispositif expérimental : il faut y être vigilant en lisant  l'énoncé. Par exemple, on peut effectuer des \emph{expériences indépendantes}, simultanées ou successives. On attend d'un élève qu'il \emph{mentionne} clairement cette indépendance dans sa copie avant d'appliquer la formule ci-dessus.

\begin{prop}
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si :
\[
P_A(B)=P(B)
\]
ou
\[
P_B(A)=P(A).
\]
\end{prop}

\begin{prop}
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$, $A$ et $\bar{B}$, et $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont aussi.
\end{prop}

\newpage
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\section {Formule des probabilités totales}
\begin{defin}
Les événements $E_1, \dots,E_m$ forment une partition de $\Omega$ si et seulement si
\begin{itemize}
\item 
les $E_i$ sont deux à deux incompatibles.
\item 
aucun des $E_i$ n'est impossible.
\item 
la réunion des $E_i$ est l'univers.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Remarque}
on dit aussi que $(E_1, \dots,E_m)$ forment un système complet d'événements.
\end{Remarque}
%
\begin{thm}
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$ et  $E_1,\dots, E_m$ un système complet d'événements, alors pour tout événement $B$ :
\[
P(B)=P(B\cap E_1)+P(B\cap E_2)+\cdots P(B\cap E_m).
\]
C'est l'importante \emph{formule des probabilités totales}, qu'il faut écrire, quand c'est utile, directement sous la forme suivante :
\[
P(B)=P_{E_1}(B)\,P(E_1)+P_{E_2}(B)\,P(E_2)+\cdots P_{E_m}(B)P(E_m). 
\]

\end{thm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}

\begin{questions}
\item \label{ch13exsolq1}
\begin{questions}
\item On peut représenter la situation par l'arbre ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{13-Cours-fig1}
\end{center}


\item On calcule :
\[
\begin{aligned} P(T) &= P(M\cap T)+P(\overline{M} \cap T) \\
&= 0{,}001 \times 0{,}95 + 0{,}999 \times 0{,}05 \\
&= 0{,}0509. 
\end{aligned} \]

\item On a : $P_T(M) = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
 = \dfrac{0{,}001 \times 0{,}95}{0{,}0509} \approx 0{,}0187$.
\end{questions}

\Break
\item 
\begin{questions}
\item \label{ch13exsolq2a}On obtient le nouvel arbre : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{13-Cours-fig2}
\end{center}

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient : 
\[ 
P_T(M) =  \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
= \dfrac{0{,}25 \times 0{,}95}{0{,}25 \times 0{,}95 + 0{,}75 \times 0{,}05} \approx 0{,}864. \]
 
\item\label{ch13exsolq2b} On obtient maintenant cet arbre : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{13-Cours-fig3}
\end{center}

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient :

\[\kern-2em P_T(M) =  \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
= \dfrac{x \times 0{,}95}{x \times 0{,}95 +(1-x) \times 0{,}05}=\dfrac{0,95x}{0,05+0,9x}.\]

\[
\begin{aligned}
 \dfrac{0,95x}{0,05+0,9x} = 0,5   
 &\iff 0{,}95x = 0{,}45x+0{,}025 \\
 &\iff 0{,}5x = 0{,}025 \\
 &\iff x = 0{,}05.
\end{aligned} \]

Conclusion : un individu dont le test est positif a autant de chance d'\^etre malade que sain lorsque 5\% de la population est atteinte par cette maladie.
\end{questions}
\end{questions}
%\begin{methode}
%\`A la question \refitem{ch13exsolq1}, un taux de malades de 0,1\% donnait une valeur prédictive d'environ 1,87\%. \`A la question \refitem{ch13exsolq2a}, un taux de malades de 25\% donnait une valeur prédictive d'environ 87\%. Il est logique à la question \refitem{ch13exsolq2b} de trouver la valeur intermédiaire de 5\% pour une valeur prédictive également intermédiaire de 50\%.
%\end{methode}
\end{solintro}
\endinput


