\chapter{Lois de probabilités continues}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
\begin{questions}
\item Trouver $k$ pour que la fonction définie par $f(x)=kx^2$ soit une densité de probabilité sur $[0~;3]$.
\item Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[0~;3]$.
\begin{questions}
\item Calculer $P(0,3 < X < 2)$.
\item Quelle est la probabilité que $X$ soit supérieure à $1$ sachant que $X$ est inférieure à $2$ ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}


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\section{Généralités sur les lois continues}
\subsection{Variable aléatoire continue}
\begin{defin} 
Une variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience, associe un nombre réel d'un intervalle de $\R$ (qui peut être $\R$ tout entier).
\end{defin}

\subsection{Loi de probabilité à densité}

Soit $X$ une variable aléatoire continue définie sur un intervalle $[a~;b]$ et $x_0$ un nombre réel de l'intervalle $[a~;b]$. Alors :
\begin{itemize}
\item $P(X=x_0) = 0$ pour tout $x_0$.
\item Il existe une fonction $f$ continue et positive telle que $\int_a^bf(x)\dd x =1$ et pour tous $c$ et $d$ de $[a~;b]$ avec $c<d$,
\[ P(c<X<d) = \int_c^df(x) \dd x. \]
\end{itemize}

\begin{Remarque}
puisque $P(X=x_0)=0$, cela ne change rien de mettre les inégalités strictes ou larges dans $P(c<X<d)$.
\end{Remarque}

On en déduit donc que $P(c<X<d)$ est l'aire sous la courbe représentative de $f$ entre les droites d'équation $x=c$ et $x=d$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14-Cours-fig1}
\end{center}
\[\text{On a : }\qquad A = P(c<X<d) = P(c \le X \le d) \]

Si $X$ est définie sur un intervalle de la forme $[a~;+\infty[$, alors pour tout $c \ge a$, on a :
\[ P(X > c) = 1 - P(a < X < c) \qquad \text{(en raisonnant sur les aires)} \]

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14-Cours-fig2}
\end{center} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On doit avoir $\displaystyle\int_0^3 kx^2\dd x =1$, et $f$ positive sur cet intervalle.
\begin{align*}
\int_0^3 kx^2\dd x =1 & \Leftrightarrow \left[\dfrac{kx^3}{3}\right]_0^3=1\\
& \Leftrightarrow \dfrac{k\times3^3}{3}=1\\
& \Leftrightarrow k=\dfrac{1}{9}.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P(0,3 < X < 2) & = \int_{0,3}^2 f(x)\dd x\\
& = \left[\dfrac{1}{9}\times\dfrac{x^3}{3}\right]_{0,3}^2\\
& = \dfrac{2^3}{27}-\dfrac{0,3^3}{27}\\
& = \dfrac{7,973}{27}\\
&\approx 0,30.
\end{aligned}$

\item Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle : on cherche $P_{(X<2)}(X>1)$.
\begin{align*}
P_{(X<2)}(X>1) & = \dfrac{P\big[(X<2)\cap(X>1)\big]}{P(X<2)}\\
& = \dfrac{P(1<X<2)}{P(X<2)}\\
& = \dfrac{\left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2}{\left[\frac{x^3}{27}\right]_0^2}\\
& = \dfrac{\frac{8}{27}-\frac{1}{27}}{\frac{8}{27}}\\
& = \dfrac{\frac{7}{27}}{\frac{8}{27}}\\
& = \dfrac{7}{8}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Loi uniforme sur un intervalle}


\subsection{Loi uniforme sur $[a~;b]$}
\begin{defin}
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, on dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~;b]$ si sa densité de probabilité est une fonction $f$ constante sur $[a~;b]$.
\end{defin}

\begin{prop}
Soit $f$ la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $[a~;b]$, alors, pour tout réel $x$ de $[a~;b]$ :
\[
f(x)=\frac{1}{b-a}\;,
\]
\[
P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}.
\]
\end{prop}

\begin{defin} 
L'espérance d'une variable aléatoire de densité $f$ sur un intervalle $[a~;b]$ est le nombre réel $E(X)$ tel que : 
\[ E(X) = \int_a^b tf(t) \dd t. \]
En utilisant cette formule pour la loi uniforme on obtient :
\[
E(X)=\frac{a+b}{2}.
\]
\end{defin}

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\section{Loi exponentielle}

\begin{exointro}{Lycée Lafayette, Clermont-Ferrand}
On sait que, pour un certain composant mécanique, la durée de vie moyenne est de \numprint{1600} jours et que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de jours de bon fonctionnement peut être modélisée par une loi exponentielle.

\begin{questions}
\item Donner le paramètre $\lambda$ de cette loi. On donnera la valeur exacte, qu'on utilisera dans la suite de l'exercice, puis une valeur arrondie à $10^{-4}$.
\end{questions}

\Break

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis eu centième.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item Quelle est la probabilité qu'un de ces composants, choisi au hasard, ait une durée de vie inférieure à 2 années (non bissextiles) ?
\item Quelle est la probabilité qu'un de ces composants, choisi au hasard, ait une durée de vie supérieure à 4 ans (dont une bissextile) ?
\item Sachant qu'un composant est encore en état de bon fonctionnement au bout de \numprint{1000} jours, quelle est la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout du double ?
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\R_+$}

\begin{defin}
On appelle loi exponentielle de paramètre $\lambda$ la loi de densité $f$ définie sur $\R_+$ par $f(x)=\lambda\nep^{-\lambda x}$, $\lambda$ étant un réel strictement positif.
\end{defin}

\begin{prop}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout intervalle $[a~;b]$ inclus dans $[0~;+\infty[$ :
\begin{itemize}
\item $P(c<X<d)=\nep^{-\lambda c} - \nep^{-\lambda d}$.
\item $P(X>c) = \nep^{-\lambda c}$.
\end{itemize}
\end{prop}

On a :
\[ E(X)=\lim_{t\to+\infty}\int_0^tx\times\lambda\nep^{-\lambda x}\dd x =\frac{1}{\lambda}. \]


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item D'après le cours, $\lambda=\dfrac{1}{\numprint{1600}}\approx\numprint{0,0006}$.

\item Il y a 730 jours dans deux années non bissextiles. On cherche donc $P(X < 730)$.
\begin{align*}
P(X < 730) & =\int_0^{730}\lambda\nep^{-\lambda x}\dd x\\
& = \left[-\nep^{-\lambda x}\right]_0^{730}\\
& = 1-\nep^{-\frac{730}{\numprint{1600}}}\\
& \approx 0,37.
\end{align*}
\vspace*{-3em}
\Break
\item On cherche $P(X > \numprint{1461})$.
\begin{align*}
P(X > \numprint{1461}) & = 1 - P(X < \numprint{1461})\\
& = 1 -\left[-\nep^{-\lambda x}\right]_0^{\numprint{1461}}\\
& = 1-\left(1-\nep^{-\frac{\numprint{1461}}{\numprint{1600}}}\right)\\
& = \nep^{-\frac{\numprint{1461}}{\numprint{1600}}}\\
& \approx 0,40.
\end{align*}

\item Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle : on cherche $P_{(X>\numprint{1000})}(X<\numprint{2000})$. 
\begin{align*}
P_{(X>\numprint{1000})}(X<\numprint{2000}) & \dfrac{P\big[(X>\numprint{1000})\cap(X<\numprint{2000})\big]}{P(X>\numprint{1000})}\\
& = \dfrac{P(\numprint{1000}<X<\numprint{2000})}{P(X>\numprint{1000})}\\
& = \dfrac{\left[-\nep^{-\lambda x}\right]_{\numprint{1000}}^{\numprint{2000}}}{1-\left[-\nep^{-\lambda x}\right]_{0}^{\numprint{1000}}}\\
& = \dfrac{\nep^{-\frac{\numprint{1000}}{\numprint{1600}}}-\nep^{-\frac{\numprint{2000}}{\numprint{1600}}}}{\nep^{-\frac{\numprint{1000}}{\numprint{1600}}}}\\
& \approx 0,46.
\end{align*}

\begin{methode}
En fait, cette probabilité n'est autre que $P(X<\numprint{1000})$.

Ceci ne devrait pas vous étonner : la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement : la probabilité que l'objet soit \og vivant \fg{} au temps $t+h$ sachant qu'il est \og vivant \fg{} au temps $t$ ne dépend que de $h$ et pas de $t$, donc la probabilité, ici, que le composant soit \og vivant \fg{} au temps \numprint{2000} sachant qu'il était \og vivant \fg{} au temps \numprint{1000} est la même que la probabilité qu'il soit \og vivant \fg{} au temps \numprint{1000} (sachant qu'il était \og vivant \fg{} au temps 0).
\end{methode}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

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\section{Loi normale centrée réduite}

\begin{exointro}{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond}
D'après Wikipédia, concernant le quotient intellectuel (QI) : \og La moyenne du QI standard est fixée à 100 pour des raisons historiques. L'écart type à 15 est arbitraire, mais il correspond à un écart probable de 10, ce qui veut dire qu'entre un QI de 90 et de 110, il y a 50\% de la population. Pour les psychologues américains "un individu sur deux est normal", donc entre 90 et 110 se situe la zone de normalité. \fg.

\begin{questions}
\item Est-il exact qu'avec une moyenne (ou espérance) égale à 100 et un écart-type égal à 15, 50\% de la population a un QI compris entre 90 et 110 ?

Justifier.
\item Quelle est la probabilité, pour un individu choisi au hasard, d'avoir un QI inférieur à 80 ?

\item Une association de bienfaisance veut aider les personnes mentalement déficientes. Elle a décidé de s'occuper des 5\% de personnes ayant le plus bas QI. Quel sera le QI maximal pour pouvoir être aidé par cette association ?
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Définition} \label{item4.1}

\begin{defin}
Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite notée $\mathcal{N}(0~;1)$ alors sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ 
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \nep ^{-\frac{x^2}{2}}.
\]
\end{defin}

\subsection{Propriétés sur la fonction de densité}

Soit $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{N}(0~;1)$.
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $\R$ (composée de fonctions continues).
\item D'après la définition d'une loi de densité de probabilité, pour tous nombres réels $a$ et $b$ avec $a<b$, $P(a<X<b) = \displaystyle\int_a^b f(x) \dd x$. Cependant, on ne connaît pas de primitive de cette fonction.
\item D'après les propriétés des lois de densité, $f$ étant définie sur $\R$, l'aire totale sous la courbe représentative de $f$ est égale à 1. Elle représente $P(X\in \R)$.
\item La courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela entraîne que :
\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] $P(X \in [0~;+\infty[) = P(X \in ]-\infty~;0]) = 0,5$.
\item[$\rightarrow$] $P(X < -u)  = P(X>u)$.
\item[$\rightarrow$] $P(X<-u) = 1 - P(X<u)$.
\end{itemize}
\end{itemize}


\subsection{Propriété et valeurs particulières}
\begin{prop}
Pour tout nombre réel $\alpha$ appartenant à $]0~;1[$, il existe un unique nombre réel $u_\alpha > 0$ tel que $P(-u_\alpha \le X \le u_\alpha) = 1-\alpha$.
\end{prop}

On en déduit que $P(X \le u_\alpha) = 1-\dfrac{\alpha}{2}$.\\
\\
Valeurs à connaître :
\begin{itemize}
\item Si $\alpha = 5\%, P(-u_\alpha \le X \le u_\alpha)  = 0,95$, et à l'aide de la calculatrice, on trouve $u_{0,05} \approx 1,96$.
\item Si $\alpha = 1\%, P(-u_\alpha \le X \le u_\alpha)  = 0,99$, et à l'aide de la calculatrice, on trouve $u_{0,01} \approx 2,58$.
\end{itemize}
On verra dans le chapitre suivant l'importance de ces valeurs.

\subsection{Espérance et variance}
Si $X$ suit $\mathcal{N}(0~;1)$, $E(X)=0$ et $V(X)=1$.

\begin{Remarque}
par analogie avec les variables aléatoires discrètes, 
\[ V(X) = E[X^2]-[E(X)]^2. \]
\end{Remarque}


\subsection{Théorème de Moivre Laplace}

\begin{thm}[admis]
Pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, $X_n$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n~;p)$.

$Z_n = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ est appelée variable normale centrée réduite associée à $X_n$.


Pour tous nombres $a$ et $b$ tels que $a<b$, $P(a \le Z_n \le b)$ tend vers $\displaystyle\int_a^b f(x) \dd x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $f$ étant la fonction définie au paragraphe \refitem{item4.1}.
\end{thm}

\section{Lois normales $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$}


\subsection{Définition}
Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$ signifie que la variable aléatoire $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;1)$.

\subsection{Propriété}
Si $X$ suit $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$, alors $E(X)=\mu$ et $V(X)=\sigma^2$.

\subsection{Valeurs à connaître}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$. Alors :
\begin{itemize}
\item $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0,68$.
\item $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$.
\item $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0,997$.
\end{itemize}

\subsection{Remarques}
\begin{itemize}
\item On peut toujours si nécessaire (voir exercice \ref{exLoiCentreeReduite}) se ramener à la loi $\mathcal{N}(0~;1)$ en utilisant la définition.
\item $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ signifie que la probabilité d'obtenir une valeur de $X$ en dehors de l'intervalle $[\mu-3\sigma ~; \mu+3\sigma]$ est quasiment nulle.
\item La fonction densité de toute loi normale est représentée par une courbe \og en cloche \fg. Le sommet (d'abscisse $\mu$) est d'autant plus haut que $\sigma$ est petit, et la \og cloche \fg est d'autant plus élargie que $\sigma$ est grand.
\end{itemize}

Ici sont représentées les lois normales d'espérance nulle et d'écart-type 2 (la plus plate), 1 et $0,2$ (la plus pointue).


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14-Cours-fig3}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale $\mathcal{N}(100~;15)$,  
$P(90 < X < 110)\approx 0,495$, donc on n'est pas très loin du 50\%.

\item Toujours à la calculatrice, $P(X < 80) \approx 0,09$.

\begin{methode}
Il convient de bien connaître le fonctionnement de sa calculatrice. Par exemple, pour un calculatrice TI83, La commande est la suivante :

\begin{center}
\begin{Ecran}[23x3]
normalcdf(-1{\fontsize{7}{9}\selectfont E}99,80,100,15)
\begin{flushright}
.0912112819
\end{flushright}
\end{Ecran}
\end{center}

Le \og $-10^{99}$ \fg{} traduit le fait qu'on commence à $-\infty$, la loi étant définie sur $\R$, pour aller jusqu'à 80. Les paramètres de la loi normale sont ensuite donnés.
\end{methode}

\item On cherche $u$ tel que $P(X < u) = 0,05$.

\`A la calculatrice, on obtient sur une TI83 :

\begin{center}
\begin{Ecran}[23x3]
invNorm(.05,100,15)
\begin{flushright}
75.32719561
\end{flushright}
\end{Ecran}
\end{center}

Donc on aidera les personnes dont le QI est inférieur à 75 (en arrondissant à l'unité).
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput