\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin {qcm} {Généralités} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Soit $f(x)$ la fonction définie sur $[0~;2]$ par $f(x)=kx+1$. La valeur de $k$ telle que $f$ est une densité de probabilité est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $k=-\dfrac{1}{2}$ &
\choix $k=\dfrac{1}{2}$ &
\choix $k=0$
\end{tabularx}

\item La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2x-1$. Alors la fonction $f$ peut être une fonction de densité de probabilité sur :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\left[ 1~;\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ &
\choix $[1~;2]$ &
\choix $\left[ 0~;\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ \end{tabularx}
	
\item Soit $f$ une fonction de densité de probabilité définie sur $[0~;1]$ par\linebreak[4] $f(x) = 3x^2$. $X$ est une variable aléatoire suivant cette loi sur $[0~;1]$. Alors $E(X)=$ vaut :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $\dfrac{1}{2}$ &
	\choix $\dfrac{3}{4}$ &
	\choix $\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
	
\item Soit $f$ une fonction de densité de probabilité définie sur $[2~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{k}{x^2}$. Alors $k$ vaut :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix 1 &
	\choix $-2$ &
	\choix 2
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. En effet :
\[ \int_0^2 (-\dfrac{1}{2}x+1) \dd x = \left[-\dfrac{x^2}{4}+x \right]_0^2 = 1. \]


\item Réponse \choix[a]. En  effet, sur $\left[ 0~;\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, la fonction n'est pas toujours positive, donc ne peut être une fonction densité de probabilité.

En revanche, $f$ est positive pour $x>0,5$, et :
\[
\int_1^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(2x-1)\dd x=\big[x^2-x\big]_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=1.
\]

\item Réponse \choix[b]. En effet, $\displaystyle \int_0^1 x \times 3x^2 \dd x = \left[\dfrac{3x^4}{4} \right]_0^1 = \dfrac{3}{4}$.

\item Réponse \choix[c]. En effet, $\displaystyle\int_2^a \dfrac{k}{x^2} \dd x = \left[-\dfrac{k}{x} \right]_2^a = -\dfrac{k}{a}+\dfrac{k}{2}$ et\linebreak $\lim\limits_{a \to +\infty} -\dfrac{k}{a}=0$ donc il faut que $\dfrac{k}{2} = 1$ d'où $k=2$.
\begin{Remarque}
la réponse \choix[b] est absurde car elle donne une fonction négative.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2
\begin {qcm} {Loi uniforme}  {20}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[-2~;2]$. Alors $E(X)$ vaut :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{4.6cm}@{}}
	\choix 0 &
	\choix 2 &
	\choix $-2$
\end{tabularx}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[2~;7]$. Alors $P_{(X>4)}(X<6)$ est égale à :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{4.6cm}@{}}
	\choix $\dfrac{2}{3}$ &
	\choix $0,8$ &
	\choix $0,4$
\end{tabularx}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[2~;3]$. Alors la probabilité que le chiffre des centièmes de sa valeur soit 3 est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{4.6cm}@{}}
	\choix 0 &
	\choix $0,1$ &
	\choix aucune de ces deux réponses
\end{tabularx}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[-1~;3]$. Alors la probabilité que $X$ soit positive sachant que $X$ est inférieure à $1,5$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{4.6cm}@{}}
	\choix $0,375$ &
	\choix $0,5$ &
	\choix $0,6$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. C'est le cours.
\item Réponse \choix[a]. On a :
\[
\begin{aligned} 
P_{(X>4)}(X<6) &= \dfrac{P\big((X>4) \cap (X<6)\big)}{P(X>4)} \\
&= \dfrac{P(4<X<6)}{P(X>4)} \\
&= \dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}\\
& = \dfrac{2}{3}.
\end{aligned} \]

\item Réponse \choix[b]. Le chiffre des centièmes est 3 sur les intervalles $[2,03~;2,04[$, $[2,13~;2,14[$, \dots , $[2,93~;2,94[$, soit sur 10 intervalles d'amplitudes $0,01$. Donc la probabilité est $\dfrac{10 \times 0,01}{1} = 0,1$.

\item Réponse \choix[c]. On cherche :
\[ 
\begin{aligned}
P_{(X<1,5)} (X>0) &= \dfrac{P\big((X < 1,5) \cap (X > 0)\big)}{P(X<1,5)} \\
&= \dfrac{P(0<X<1,5)}{P(X<1,5)} \\
&= \dfrac{\frac{1,5}{4}}{\frac{2,5}{4}}\\
&= \dfrac{1,5}{2,5}\\
&= 0,6.
\end{aligned}
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin {qcm} {Loi exponentielle}  {1}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.

Un robot a une durée de vie aléatoire exprimée en heures qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{\numprint{2000}}$.
\begin{questions}
\item La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à 2500 heures est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\nep^{-\frac{\numprint{2500}}{\numprint{2000}}}$ &
\choix $\nep^{\frac{5}{4}}$ \\
\choix $1-\nep^{-\frac{\numprint{2500}}{\numprint{2000}}}$ &
\choix $\nep^{-\frac{\numprint{2000}}{\numprint{2500}}}$
\end{tabularx}

\item La durée moyenne de vie d'un de ces robots est :
\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix \numprint{2000} h &
	\choix $\numprint{0,0005}$ \\
	\choix environ \numprint{1386} h &
	\choix \numprint{1500} h
\end{tabularx}

\item La limite de l'intégrale $\displaystyle\int_0^t \lambda x\nep^{-\lambda x} \dd x$ quand $t$ tend vers $+\infty$ est égale à :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $\nep^{-\frac{\numprint{2500}}{\numprint{2000}}}$ &
	\choix \numprint{2000} \\
	\choix $\numprint{2000} \ln 2$ &
	\choix $\numprint{0,0005}$
\end{tabularx}

\item Sachant qu'un robot fonctionne encore après \numprint{2500} heures, la probabilité qu'il fonctionne \numprint{2500} heures de plus est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $\nep^{-\frac{\numprint{2500}}{\numprint{2000}}}$ &
	\choix très inférieure à $\nep^{-\frac{\numprint{2500}}{\numprint{2000}}}$ \\
	\choix $\nep^{-\frac{\numprint{5000}}{\numprint{2000}}}$ &
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. C'est le cours.
\item Réponse \choix[a]. C'est le cours aussi.
\item Réponse \choix[b]. Cela vient de la définition générale de l'espérance d'une variable aléatoire, donc de sa valeur moyenne.
\item Réponse \choix[a]. Cela vient du fait que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin {qcm} {Lois normales}  {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.\\
Ce QCM est à traiter sans calculatrice.
\begin{questions}
\item Si $Z$ suit la loi normale centrée réduite, alors la variable $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $X=\sigma Z+\mu$ &
\choix $X=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$ \\
\choix Aucune de ces deux réponses &
\end{tabularx}

\item Si $X$ suit la loi normale de paramètre 10 et $2^2$, alors :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $P(X<12) > 0,68$ &
	\choix $P(X>12) \approx 0,32$ \\
	\choix $P(6<X<14) \approx 0,68$ &
\end{tabularx}

\item Si $X$ suit la loi normale de paramètres 10 et $2^2$, la valeur approchée de $u$ tel que $P(0<X<u)=0,475$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix 14 & \choix 12
\end{tabularx}
\choix impossible à trouver sans calculatrice 

\item Si $X$ est une variable suivant la loi normale centrée réduite. On pose\linebreak[4] $F(t)=P(X<t)$, alors :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $P(X<-t) = -F(t)$ &
	\choix $P(X>t)=1-2F(t)$ \\
	\choix $P(-t<X<t) = 2F(t)-1$    &
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. Cela vient de la définition.
\item Réponse \choix[a]. En effet, on sait d'après le cours que :
\[
P(8<X<12) \approx 0,68\text{ (un écart-type de part et d'autre de l'espérance),}
\] 
donc $P(X<12)>0,68$.\\
Pour les autres réponses, d'après les valeurs à connaître :\\
$P(X>12) \approx 0,16$ et $P(6<X<14) \approx 0,95$ (deux écarts-types de part et d'autre de l'espérance).
 
\item Réponse \choix[a]. En effet, si $P(0<u) =0,475$, $P(-u<X<u)=0,95$, et on sait que cette valeur correspond à un intervalle d'amplitude deux écart-types de part et d'autre de la moyenne, donc $u=14$.
\item  Réponse \choix[c]. $P(X>t)=1-F(t)$ et par symétrie, \[ P(X<-t)=1-F(t)\;,\] donc :
\begin{align*}
P(-t<X<t)&=F(t)-(1-F(t))\\& = 2F(t) -1. \end{align*}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Lecture graphique de probabilité}{Lycée Jean Rostand, Villepinte}{1}{10}

La variable aléatoire $X$ a pour densité de probabilité la fonction $f$ représentée ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14_fig_01}
\end{center}


\begin{questions}
\item Justifier que cette fonction définit bien une densité de probabilité.

\item Donner les probabilités suivantes :
\begin{questions}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\item $P(X\leqslant2)$ & \item $P(X=1)$ & \item $P(X\in[-2~;0])$\\
\item $P(-2\leqslant X\leqslant 2)$ & \item $P(X\geqslant1)$ & \item $P(0\leqslant X\leqslant 2)$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Tout d'abord, $f$ est partout positive. Elle est intégrable car continue. De plus, l'aire sous la courbe est l'aire d'un triangle de base 4 et de hauteur 0,5, elle est donc bien égale à 1. Les conditions sont remplies pour que $f$ puisse être une densité de probabilité.

\item
\begin{questions}
\item $P(X\leqslant2)=1$ puisqu'on prend toute l'aire sous la courbe.
\item $P(X = 1) = 0$. C'est une propriété du cours.
\item Il nous faut trouver l'ordonnée $y$ du point d'intersection de la courbe représentative de la fonction $f$ avec l'axe des ordonnées. On peut par exemple utiliser le théorème de Thalès : 
\[\dfrac{OH}{BC}=\dfrac{AO}{AC}\]
et donc :
\[ OH=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.\]

Par conséquent, 
\[
P(X\in[-2~;0])=\dfrac{2\times\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}.
\]

\item $P(-2\leqslant X\leqslant 2)=1$ puisqu'on prend là aussi toute l'aire sous la courbe.

\item $P(X\geqslant1)=\dfrac{1\times\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$.

\item $P(0\leqslant X\leqslant2)=1-P(X\in[-2~;0])=\dfrac{2}{3}$.

\begin{Remarque}
on aurait pu également ici faire la somme de l'aire d'un trapèze et d'un triangle, mais c'était plus long !
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Fonction densité de probabilité}{Lycée  Jean Rostand, Villepinte}{2}{20}
On considère la fonction $f$ définie par : 
\[
\begin{cases}
f(x)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}x^2 & \text{si }x\in[-1~;1]\\[8pt]
f(x)=0 & \text{sinon}
\end{cases}
\] 

\begin{questions}
\item Calculer $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\dd x$. Justifier que $f$ peut être une densité de probabilité.
\item Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$.

Calculer $E(X) = \displaystyle\int_{-1}^1 xf(x)\dd x$.

\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de $L$ au centième près telle que l'intervalle $I$ de centre 0 et de longueur $2L$ soit tel que\linebreak $P(X\in I)=0,5$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\dd x=\left[\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{12}x^3\right]_{-1}^1=2\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{12}\right)=1$. (On a utilisé le fait que la primitive choisie est impaire pour alléger le calcul).

La fonction $f$ est positive ou nulle sur $\R$. De plus, l'aire sous sa courbe représentative est égale à 1 donc elle peut être une densité de probabilité.

\item $\displaystyle\int_{-1}^1 xf(x)\dd x=\int_{-1}^1\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}x^3\right)\dd x$. La fonction à intégrer étant impaire, et l'intervalle d'intégration étant symétrique par rapport à 0, cette intégrale est nulle, donc $E(X) = 0$.

\item On veut trouver $L$ tel que $P(-L\leqslant X\leqslant L)=0,5$.

Ceci se traduit par : $\displaystyle\int_{-L}^L f(x)\dd x=0,5$, ce qui équivaut à :
\begin{align*}
\left[\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}x^3\right]_{-L}^L=0,5 & \Leftrightarrow 2\left(\dfrac{1}{4}L+\dfrac{1}{4}L^3\right)=0,5\\
& \Leftrightarrow L+L^3=1\\
& \Leftrightarrow L^3+L-1=0.
\end{align*}

Posons $g(x) = x^3 + x - 1$.

L'intervalle $I$ cherché est de la forme $[-L~;+L]$ d'après l'énoncé. Donc $L$ est un nombre de l'intervalle $[0~;1]$, puisque $P(-1 < X < 1) = 1$.

Résoudre le problème revient à trouver une valeur $L$ comprise entre 0 et 1 telle que $g(L) = 0$.

$g'(x) = 3x^2 + 1$, donc $g'$ est positive et la fonction $g$ est strictement croissante. Elle est continue car c'est une fonction polynôme. De plus, $g(0) = -1$ et $g(1) = 1$, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution entre 0 et 1.

\`A la calculatrice, on voit successivement que $g(0,6) < 0$ et\linebreak $g(0,9) > 0$, puis que $g(0,68) < 0$ et $g(0,69) > 0$, donc une valeur approchée de $L$ est $0,68$.
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7 [nouveau 2017]

\begin{exo}{Fonction uniforme}{Lycée  Jean-Pierre Vernant, Pin-Justaret}{1}{10}
On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[3~;7]$.

$X$ est la variable aléatoire égale au nombre choisi.

Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

\begin{questions}
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
\item Quelle est sa fonction de densité ?
\item Calculer l'espérance de $X$.
\item Calculer la probabilité de choisir un nombre strictement inférieur à 5,5.
\item On sait qu'une personne a choisi un nombre supérieur à 5. Quelle est la probabilité que ce nombre soit inférieur à 6,2 ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Puisqu'on choisit le nombre au hasard, la loi de probabilité de $X$ est la loi uniforme sur $[3~;7]$.

\item L'intervalle a pour amplitude 4, donc la fonction densité est $f(x)=\dfrac{1}{4}$ sur l'intervalle $[3~;7]$ (et 0 ailleurs).

\item D'après le cours, $E(X)=\dfrac{3+7}{2}=5$.

\item $P(X<5,5)=\dfrac{5,5-3}{4}=\dfrac{2,5}{4}=\dfrac{5}{8}$.

\begin{Remarque}
le \og strictement \fg{} ne change rien au résultat.
\end{Remarque}

\item Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle :
\begin{align*}
P_{(X>5)}(X<6,2) & = \dfrac{P\big((X>5)\cap(X<6,2)\big)}{P(X>5)}\\
& = \dfrac{P(5<X<6,2)}{P(X>5)}\\
& = \dfrac{\frac{6,2-5}{4}}{\frac{7-5}{4}}\\
& = \dfrac{3}{5}.
\end{align*}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Temps d'attente}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{10}
Suite à un problème sur sa liste téléphonique, Christophe contacte le service après-vente de son opérateur. Le conseiller l'informe qu'un technicien le contactera pour une intervention à distance entre 18 et 19 heures.

Sachant que le technicien appelle de manière aléatoire sur le créneau indiqué, quelle est la probabilité que Christophe attende entre 15 et 40 min ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Appelons $X$ la variable aléatoire donnant le temps d'attente de Christophe.

Puisque l'opérateur appelle de façon aléatoire sur le créneau indiqué, la loi suivie par $X$ est la loi uniforme sur $[18~;19]$.

Christophe attend entre 15 et 40 minutes si $19~\text{h}~15<X<19~\text{h}~40$.
\[
P(19~\text{h}~15<X<19~\text{h}~40)=\dfrac{19~\text{h}~40-19~\text{h}~15}{1~\text{h}}\;,\]
et en passant en minutes :
\[
P(19~\text{h}~15<X<19~\text{h}~40)=\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12}.
\]
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{\fontsize{11}{13}\selectfont Trouver le paramètre d'une loi exponentielle}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois}{1}{15}
Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé \og temps de fonctionnement \fg.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

On admet que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{questions}
\item On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 h est égale à 0,6.

Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est 0,131.
\end{questions}

\emph{Dans la suite de l'exercice on prendra 0,131 comme valeur approchée de $\lambda$ et on donnera les résultats à $10^{-2} près$.}

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est 0,52.

\item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

\item Sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des 4 premières heures, calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune panne pendant 5 heures supplémentaires.

\item Déterminer le réel $a$ tel que $P(X > a) =P(X < a)$.

\item On prélève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants.

Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ?
\item Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.
\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$ (on arrondira à l'entier le plus proche).
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P(X<7)=0,6 & \Leftrightarrow \int_0^7 \lambda\nep^{-\lambda x}\dd x=0,6\\
& \Leftrightarrow \left[-\nep^{-\lambda x}\right]_0^7=0,6\\
& \Leftrightarrow 1-\nep^{-7\lambda}=0,6\\
& \Leftrightarrow \nep^{-7\lambda}=0,4\\
& \Leftrightarrow -7\lambda=\ln 0,4\\
& \Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{\ln 0,4}{7}
\end{aligned}$

Ce qui donne en effet $\lambda\approx0,131$.

\item\label{ch14ex9q2}$P(X>5)=\nep^{-5\lambda}$ d'après le cours, donc $P(X>5)\approx0,52$.

\item $\begin{aligned}[t]
P(6<X<10)&=\displaystyle\int_6^{10}\lambda\nep^{-\lambda x}\dd x\\
& =\left[-\nep^{-\lambda x}\right]_6^{10}\\
&=-\nep^{-10\lambda}+\nep^{-6\lambda}\\
&\approx0,19\text{ (en utilisant la valeur approchée de $\lambda$ proposée)}.
\end{aligned}$ 

\item Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle. On cherche $P_{(x>4)}(X>9)$.

\begin{align*}
P_{(x>4)}(X>9) & = \dfrac{P\big((X>4)\cap(X>9)\big)}{P(X>4)}\\
& = \dfrac{P(X>9)}{P(X>4)}\\
& = \dfrac{\nep^{-9\lambda}}{\nep^{-4\lambda}}\\
& = \nep^{-5\lambda}\\
& \approx 0,52.
\end{align*}

\begin{Remarque}
cette probabilité est égale à la probabilité qu'il n'y ait pas de panne durant les 5 premières heures, ce qui justifie l'appellation de \og loi de durée de vie sans vieillissement \fg.
\end{Remarque}

\item $\begin{aligned}[t]
P(X > a) =P(X < a) & \Leftrightarrow \nep^{-a\lambda}=1-\nep^{-a\lambda}\\
& \Leftrightarrow \nep^{-a\lambda}=\dfrac{1}{2}\\
& \Leftrightarrow -a\lambda=-\ln 2\\
& \Leftrightarrow a=\dfrac{\ln2}{\lambda}
\end{aligned}$

\begin{Remarque}
cette valeur $a$ est appelée \emph{durée de demi-vie}.
\end{Remarque}

\item
\begin{questions}
\item Il y a répétitions de façon indépendante d'une épreuve de Bernoulli, le succès étant \og avoir une durée de vie supérieure ou égale à 5 heures \fg.

$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $(8~;0,52)$ d'après la question \refitem{ch14ex9q2}.

\item $P(Y=3)=\dbinom{8}{3}\times0,52^3\times(1-0,52)^{8-3}\approx0,20$.

\item D'après le cours de première, $E(Y)=8\times0,52\approx4$.

\begin{Remarque}
cette question se rapporte au cours de première, qu'il convient donc de ne pas avoir oublié !
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Durée de vie moyenne}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil ménager avant sa première panne est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre~$\lambda$.

Une étude statistique montre qu'environ 22\% des appareils tombent en panne avant la fin de la deuxième année.

\begin{questions}
\item %1
\begin{questions}
\item Déterminer une valeur approchée de $\lambda$.
\item Quelle est la probabilité qu'un de ces appareils fonctionne pendant au moins 10 ans ?
\item Quelle est la durée de vie moyenne de ces appareils ?
\end{questions}
\item On considère que la durée de vie d'un de ces appareils est indépendante de celle des autres appareils. Un magasin d'électroménager a acheté dix de ces appareils.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces appareils ait une durée de vie supérieure à 15 ans ?
\item Déterminer le nombre minimal d'appareils que le magasin devrait acheter pour que la probabilité qu'au moins un d'entre eux fonctionne correctement pendant plus de quinze ans soit supérieure à 0,999.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item %1
	\begin{questions}
		\item %1a
		L'énoncé nous dit que $P(X < 2) = 0,22$ (approximativement). Donc :
\begin{align*}
\int_0^2\lambda\nep^{-\lambda x}\dd x=0,22 & \Leftrightarrow \left[-\nep^{-\lambda x}\right]_0^2=0,22\\
& \Leftrightarrow 1-\nep^{-2\lambda}=0,22\\
& \Leftrightarrow \nep^{-2\lambda}=0,78\\
& \Leftrightarrow -2\lambda=\ln0,78\\
& \Leftrightarrow\lambda=-\dfrac{\ln0,78}{2}.
\end{align*}

On a donc $\lambda\approx0,124$.

	\item %1b
	$P(X > 10)=\nep^{-10\lambda}\approx0,289$.

	\item %1c
	La durée moyenne de vie de ces appareils est, d'après le cours, $\dfrac{1}{\lambda}\approx8$.
\end{questions}

	\item %2
\begin{questions}
\item %2a
Dans cette question, on fait appel à des notions vues en classe de première, ce qui montre qu'il ne faut pas avoir oublié ce qui a été appris l'année précédente (comme dans l'exercice précédent d'ailleurs).

La façon la plus simple de répondre à cette question est de passer par l'événement contraire : en effet, le contraire de \og au moins un appareil a une durée de vie supérieure à 15 ans \fg{} est l'événement noté $A$ : \og tous les appareils ont une durée de vie inférieure à 15 ans \fg.

Il faut donc trouver la probabilité qu'un de ces appareils ait une durée de vie inférieure à 15 ans.
\[ P(X < 15) = 1- \nep^{-15\lambda}\approx 0,844.\]
Il y a 10 appareils, donc la probabilité que tous aient une durée de vie inférieure à 15 ans est :
\[ P(A) = (0,844)^{10}\approx 0,183.\]
Donc la probabilité qu'au moins un ait une durée de vie supérieure à 15 ans est :
\[ 1-P(A)\approx 0,817.\]

\item Il faut ici que $1-0,844^n > 0,999$.
\begin{align*}
1-0,844^n>0,999 & \Leftrightarrow 0,844^n<0,001\\
& \Leftrightarrow n\ln0,844<\ln0,001\\
\intertext{car $\ln$ est strictement décroissante sur $\R_+$}\\
& \Leftrightarrow n>\dfrac{\ln0,001}{\ln0,844}\text{ car }\ln0,844<0.
\end{align*}

$n$ étant un nombre entier, il faut donc que $n$ soit au moins égal à 41.

\begin{methode}
Dans toute question de probabilités contenant l'expression \og au moins \fg, il faut envisager d'utiliser l'événement contraire.

Le piège dans le type de calcul ci-dessus est d'oublier de se poser la question du signe du nombre par lequel on divise les deux membres d'une inéquation.

Il faut garder à l'esprit que si $0 < x < 1$, $\ln x<0$.
\end{methode}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Fonctions et probabilités}{Lycée Claude Monet, Paris}{2}{20}
Soit $\lambda$ un réel strictement positif et $f$ la fonction définie sur $[0~;+\infty[$ par $f(x)=\lambda\nep^{-\lambda x}$.

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

\begin{questions}
\item \'Etudier les variations de $f$ et sa limite en $+\infty$.
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $L$ d'abscisse 0.
\item Calculer l'abscisse du point $E$ intersection de $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
\item Expliquer où peut se lire sur la courbe représentative de $f$ la valeur du paramètre $\lambda$.
\item Représenter $E$, $L$ et $\mathcal{T}$ puis, à main levée, tracer la courbe $\mathcal{C}$, dans le cas où  $\lambda=0,5$.
\item $X$ suit la loi de densité $f$. Interpréter graphiquement la probabilité\linebreak $P(X < 1)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(x)=-\lambda^2\nep^{-\lambda x}$. Donc, $f'(x)<0$ sur $\R_+$,  et $f$ est strictement décroissante.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^{-\lambda x}=0$ car $\lambda>0$ donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0$.

\item $f(0)=\lambda$ ; $f'(0)=-\lambda^2$.

Donc l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ au point $L$ d'abscisse 0 est :
\[
y=-\lambda^2x+\lambda.
\]

\item $x_E$ est telle que $y_E=0$, donc $-\lambda^2x_E+\lambda=0$. On a donc :
\[
x_E=\dfrac{-\lambda}{-\lambda^2}=\dfrac{1}{\lambda}.
\]

\item $\lambda$ est l'ordonnée du point $L$ puisque $f(0)=\lambda$.

\item On a le graphique suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14_fig_02}
\end{center}

La droite $\mathcal{T}$ est la droite $(LE)$.

\item La partie colorée sous la courbe représente $P(X<1)$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec une ROC}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois}{2}{25}

\subsubsectionnn{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\emph{Pré-requis :}
\begin{itemize}
\item $X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
\item La fonction densité de probabilité de $X$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;+\infty[$ par : $f(x)=\lambda\nep^{-\lambda x}$.
\item L'espérance de $X$ est donnée par $E(X)=\lim\limits_{x\to+\infty} xf(x)\dd x$.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $G$ définie par\linebreak $G(x)= (ax + b)\nep^{-\lambda x}$ soit une primitive sur $[0~;+\infty[$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=\lambda x\nep^{-\lambda x}$.
\item Montrer que $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. 
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

Un magasin vend des moteurs électriques, tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir qu'un moteur tombe en panne en moyenne au bout de 8 ans. On note $X$ la variable aléatoire donnant la durée de vie, exprimée en années, sans panne, de chaque moteur électrique.
On suppose que $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\begin{questions}
\item Déterminer $\lambda$.
\end{questions}

\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda=0,125$.}

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer $P(X < 1)$ et interpréter le résultat.
\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
G'(x) & = a\nep^{-\lambda x}+(ax+b)\left(-\lambda\nep^{-\lambda x}\right)\\
& = \nep^{-\lambda x}\left(-\lambda ax+a-\lambda b\right).
\end{aligned}$

On souhaite que $G'(x)=g(x)$, donc :
\[ \nep^{-\lambda x}\left(-\lambda ax+a-\lambda b\right)=\lambda x\nep^{-\lambda x}.\]
En identifiant les coefficients, on obtient : $	-\lambda a=\lambda$, donc $a=-1$, et $a-\lambda b = 0$ donc $b = -\dfrac{1}{\lambda}$.

Par conséquent, $G(x) = \left(-x-\dfrac{1}{\lambda}\right)\nep^{-\lambda x}$.

\item $\begin{aligned}[t]
E(X)=\int_0^t xf(x)\dd x & = \int_0^t g(x)\dd x\\
 & = \big[G(x)\big]_0^t\\
 & = \left(-t-\dfrac{1}{\lambda}\right)\nep^{-\lambda t}+\dfrac{1}{\lambda}\\
 & = -t\nep^{-\lambda t}-\dfrac{1}{\lambda}\nep^{-\lambda t}+\dfrac{1}{\lambda}.
\end{aligned}$

D'après le cours, on sait que $\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^{-\lambda x}=0$.

De plus, pour $\lambda > 0$, 

\[
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to+\infty}(-\lambda x)=-\infty\\
\lim\limits_{a\to-\infty}(a\nep^a)=0
\end{array}
\right\rbrace \text{d'où } \lim\limits_{x\to+\infty}(-\lambda x\nep^{-\lambda x})=0\;,
\]
et donc $\lim\limits_{x\to+\infty}(x\nep^{-\lambda x})=0$ en divisant par $\lambda$.

Donc $\lim\limits_{t\to+\infty}\displaystyle\int_0^t  xf(x)\dd x=\dfrac{1}{\lambda}$, c'est-à-dire $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
Ce résultat est un résultat à retenir, mais ici, il s'agit d'une ROC !
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item La notion de moyenne est similaire à celle d'espérance mathématique, donc on a $E(X) = 8$ (environ).

Donc d'après le résultat de la question de cours, 
\[ \lambda=\dfrac{1}{E(X)}=\dfrac{1}{8}=0,125. \]

\item $P(X < 1) =\displaystyle\int_0^1 \lambda\nep^{-\lambda x}\dd x=\left[-\nep^{-\lambda x}\right]_0^1=-\nep^{-\lambda}+1\approx0,118$.

Cela signifie que la probabilité qu'un moteur tombe en panne au cours de la première année est environ égale à 0,118.

\item On cherche $P(X > 3)$.
\[P(X > 3) = \nep^{-3\lambda}\approx0,687.\]

\item Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle :
On cherche :
\begin{align*}
P_{(X>1)}(X>4) & = \dfrac{P\big((X>1)\cap(X>4)\big)}{P(X>1)}\\
& = \dfrac{P(X>4)}{P(X>1)}\\
& = \dfrac{\nep^{-4\lambda}}{\nep^{-\lambda}}\\
& = \nep^{-3\lambda}\\
& \approx 0,687.
\end{align*}

\begin{Remarque}
on retrouve le résultat précédent ce qui est une propriété de la loi de durée de vie sans vieillissement.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Contrôle de production}{Lycée Claude Monet, Paris}{2}{20}
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le périmètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que l'écart suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=1,5$.

Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80\% des cas. Si l'écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

\begin{questions}
\item On prélève au hasard un cylindre dans la production.
\begin{questions}
\item Montrer que la probabilité qu'il soit accepté avec ou sans modification est égale à 0,915 à $10^{-3}$ près.
\item Sachant qu'il est accepté, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectification ?
\end{questions}
\item On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité pour que les dix cylindres soit acceptés ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un cylindre soit refusé ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Soit $A$ l'événement \og le cylindre est accepté \fg, $B$ l'événement \og le cylindre a un écart à la valeur de réglage inférieur à 1 \fg{} et $C$ l'événement \og le cylindre a un écart à la valeur de réglage compris entre 1 et 2 \fg.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
P(B)&=\displaystyle\int_0^1\lambda\nep^{-\lambda x}\dd x\\
& =\displaystyle\int_0^1 1,5\nep^{-1,5 x}\dd x\\
& = \left[-\nep^{-1,5 x}\right]_0^1\\
& =-\nep^{-1,5}+1\\
& \approx0,777.
\end{aligned}$

\item $P(C)=\left[-\nep^{-1,5 x}\right]_1^2=-\nep^{-1,5\times2}+\nep^{-1,5}\approx0,173$.

\item $P(A)=P(B)+0,8\times P(C)\approx0,915$.
\end{itemize}

\item On cherche ici $P_A(C)$.
\[
P_A(C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}=\dfrac{P(C)}{P(A)}\approx0,189.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item La probabilité qu'un cylindre soit accepté est $P(A)$. Les tirages étant supposés indépendants, la probabilité que les dix cylindres soient acceptés est :
\[ \big(P(A)\big)^{10}\approx0,411.\]

\item Il s'agit ici de l'événement contraire du précédent, donc sa probabilité est :
\[ 1 - \big(P(A)\big)^{10}\approx0,589.\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex14 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Loi normale centrée réduite}{Lycée  Guynemer, Compiègne}{1}{10}
La variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite. Les résultats seront arrondis au millième.
\begin{questions}
\item Calculer :
\vspace*{-1em}
\begin{questions}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\item $P(X = 1)$ &
\item $P(-1,5 < X < 2,2)$ \\
\item $P(X < 1,3)$ &
\item $P(X > 0,22)$
\end{tabularx}
\end{questions}

\item On note $A$ l'événement \og $X > -0,38$ \fg{} et $B$ l'événement \og $X < 1,02$ \fg.

Calculer $P_A(B)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $P(X = 1) = 0$ : comme pour toute loi continue, la probabilité d'obtenir une valeur précise est nulle.
\item \`A la calculatrice, $P(-1,5 < X < 2,2)\approx 0,919$.
\item De m\^eme, $P(X < 1,3)\approx 0,903$.
\item De m\^eme, $P(X > 0,22)\approx 0,413$.
\end{questions}
\item $P_A(B) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(-0,38<X<1,02)}{P(X>-0,38)} \approx\dfrac{0,494}{0,648}\approx0,762$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex15 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Qualité de l'eau}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{5}
Une étude menée sur l'eau du robinet provenant d'un certain captage affirme que la quantité en milligrammes par litre (mg.L$^{-1}$) de nitrates suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart type 8. Selon le code de santé publique, la teneur en nitrates doit être inférieure à 50 mg.L$^{-1}$ afin d'assurer la protection des femmes enceintes et des nouveaux nés.

Quelle est la probabilité, à $10^{-4}$ près, que l'eau provenant de ce captage présente, par sa teneur élevée en nitrates, un risque pour la santé ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Si on appelle $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en nitrates, on cherche $P(X > 50)$.

\`A la calculatrice, on obtient \numprint{0,0062}.	
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex16 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Approximation de la loi binomiale}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres}{1}{25}
Une entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite, on admet que la probabilité $p$ qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant une période d'épidémie est égale à 0,05.

On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item\label{ch14ex16q1b} Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
\end{questions}

\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire de paramètres 0 et 1.

Le tableau suivant donne les probabilités de l'événement \og $Z < x$ \fg{} pour quelques valeurs du nombre réel $x$.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*6{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
$x$ & $-1,55$ & $-1,24$ & $-0,93$ & $-0,62$ & $-0,31$ & $0$\\\hline
$P(Z<x)$ & 0,061 & 0,108 & 0,176 & 0,268 & 0,378 & 0,5 \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*5{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
$x$ & 0,31 & 0,62 & 0,93 & 1,24 & 1,55\\\hline
$P(Z<x)$ & 0,622 & 0,732 & 0,823 & 0,893 & 0,939\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question \refitem{ch14ex16q1b}, une valeur approchée à 
$10^{-2}$ près de la probabilité de l'événement \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item On a 220 répétitions de façon indépendante d'une épreuve de Bernoulli dont le succès \og le salarié est malade \fg, a pour probabilité 0,05.

Par conséquent $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(220~;0,05)$.

\item $\mu=E(X) = 220 \times 0,05 = 11$.

$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{220\times0,05\times0,95}=\sqrt{10,45}\approx3,233$.
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
7\leqslant X\leqslant 15 & \Leftrightarrow 7-11\leqslant X-\mu\leqslant 15-11\\
& \Leftrightarrow -4\leqslant X-\mu\leqslant 4\\
& \Leftrightarrow -\dfrac{4}{\sigma}\leqslant\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leqslant\dfrac{4}{\sigma}\\
& \Leftrightarrow -\dfrac{4}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{4}{\sigma}
\end{aligned}$

on cherche donc $P\left(-\dfrac{4}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{4}{\sigma}\right)$, $Z$ étant une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Or, $\dfrac{4}{\sigma}\approx1,24$. D'après le tableau précédent, 
\[ 
P\left(-\dfrac{4}{\sigma}\leqslant Z\leqslant \dfrac{4}{\sigma}\right)\approx0,893-0,108\approx0,785.
\]

Donc la probabilité qu'entre 7 et 15 salariés soient absents au cours d'une semaine donnée est environ 0,785.

\begin{Remarque}
cette valeur est assez éloignée de celle obtenue en calculant directement avec la loi binomiale (0,84). Il ne faut pas oublier que, dans le théorème de Moivre, on précise bien que $n$ tend vers $+\infty$. Ici, $n~=~220$.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex17 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Chaîne d'embouteillage}{Lycée Jules Ferry, Paris}{2}{20}\label{exLoiCentreeReduite}
Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité $X$ (en cl) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance maximum 110 cl peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma= 2$.

La législation impose qu'il y ait moins de 0,1\% de bouteilles contenant moins d'un litre.

\begin{questions}
\item \`A quelle valeur de la moyenne $\mu$ doit-on régler la machine pour respecter cette règle ?
\item La machine étant réglée sur $\mu = 106,18$, quelle est la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On veut $P(X < 100) < 0,001$. Mais $\mu$ est inconnue. Il va donc falloir passer par la loi normale centrée réduite. On pose $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}
$. $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

\begin{align*}
P(X<100) & = P(X-\mu<100-\mu)\\
& = P\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}<\dfrac{100-\mu}{\sigma}\right)\\
& = P\left(Z<\dfrac{100-\mu}{\sigma}\right).
\end{align*}

\`A la calculatrice, on trouve $P(Z < t) =0,001$ pour $t\approx -3,090$, donc $\dfrac{100-\mu}{\sigma}\approx-3,090$, et donc $100-\mu\approx2\times(-3,090)$. On obtient donc $\mu\approx106,18$~cl (on arrondit par excès pour être sûr que la probabilité sera bien inférieure à 1).

\item On cherche ici $P(X > 110)$, connaissant les paramètres de la loi normale. On peut donc utiliser directement la calculatrice.

On obtient $P(X > 110)\approx 0,028$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex18

\begin{exo}{Loi $\mathcal{N}(\mu~;\sigma^2)$}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{10}
Une usine fabrique des composants mécaniques dont la durée de vie $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance 5 ans et d'écart-type 6 mois.\\
Quelle est la probabilité qu'un composant pris au hasard ait une durée de vie :
\begin{questions}
\item inférieure à 4 ans et 3 mois ?
\item supérieure à 5 ans et 3 mois ?
\item comprise entre 4 ans et 6 mois et 6 ans ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a ici $\sigma=0,5$, d'où $P(X<4,25) \approx 0,067$.
\item \`A la calculatrice, $P(X>5,25) \approx 0,309$.
\item De m\^eme, $P(4,5 < X < 6) \approx 0,819$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex19 (anc. 21)

\begin{exo}{Le paradoxe de Bertrand}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{30}
Dans certains cas, l'expression \og choisi au hasard \fg est trop imprécise pour répondre.\\
Voici la question posée à Bertrand : quelle est la probabilité qu'une corde choisie au hasard dans un cercle ait une longueur supérieure au côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle.
\begin{questions}
\item On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ et un triangle équilatéral $ABC$ inscrit dans ce cercle. On trace la perpendiculaire à $[AB]$ passant par $O$. Elle coupe $[AB]$ en $H$.
\begin{questions}
\item Prouver que $H$ est le milieu de $[AB]$.
\item Exprimer $OH$ en fonction de $R$.
\item Donner, en degrés, la mesure de $\widehat{AOB}$.
\end{questions}

\item Il y a plusieurs façons de choisir une corde \og au hasard \fg. On peut choisir un point $M$ sur un rayon $[OP]$ quelconque et tracer la corde perpendiculaire à $(OM)$ en $M$.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la longueur $OM$.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?
\item Quelle est la probabilité que cette corde ait une longueur supérieure au côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle ?
\item Obtient-on le même résultat si on choisit $M$ au hasard sur un diamètre ?
\end{questions}

\item Une autre façon de choisir une corde au hasard est de choisir un nombre $Z$ au hasard entre 0 et 180, et de construire un angle au centre de mesure $Z$. La corde choisie au hasard est celle qui intercepte cet angle.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $Z$ ?
\item Quelle est la probabilité que cette corde ait une longueur supérieure au côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle ?
\end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Le triangle $ABC$ est équilatéral. Par conséquent, $(AH)$, hauteur, est aussi médiane et médiatrice. Donc $H$ est le milieu de $[AB]$.
\item On sait que $[HC]$ est une médiane du triangle $ABC$, $O$ est son centre de gravité, donc $OH=\dfrac{1}{3}HC = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{2}R$.
\item L'angle $\widehat{AOB}$ est l'angle au centre interceptant l'arc $\wideparen{AB}$. Il mesure donc le double de l'angle au sommet $ABC$ interceptant le même arc, donc $120^\circ$, puisque le triangle $ABC$ est équilatéral.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On a choisi un point quelconque sur un rayon de longueur $R$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi uniforme sur $[0~;R]$.
\item La corde aura une longueur supérieure au côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle si $OM<OH$.
\[ P(X<OH)=\dfrac{\frac{1}{2}R}{R} = \dfrac{1}{2}. \]
\item Appelons $Y$ la variable aléatoire $Y$ qui donne l'abscisse du point $M$ sur la droite $(BH)$ munie d'un repère telle que l'abscisse de $D$ soit $R$. Si on choisit $M$ sur le diamètre, la loi suivie par $Y$ est la loi uniforme sur $[-R~;R]$.
\[ P\left( -\dfrac{1}{2}R < Y < \dfrac{1}{2}R \right) = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}. \]
Cela ne change pas la probabilité de choisir $M$ au hasard sur un diamètre.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item La variable aléatoire $Z$ suit la loi uniforme sur $[0~;180]$. 
\item La corde aura une longueur supérieure à celle du côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle si $X>120$.
\[ P(Z>120) = \dfrac{180-120}{180} = \dfrac{1}{3}. \]
\end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex20 (anc. 24)

\begin{exo}{Variance et loi exponentielle}{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond}{2}{15}
On a vu dans le cours que l'espérance d'une variable aléatoire continue $X$ de fonction de densité $f$ est donnée par $E(X)=\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\int_0^x tf(t) \dd t$, par analogie à la définition de l'espérance pour une variable aléatoire discrète.\\
On sait que, pour une variable aléatoire discrète, la variance peut se calculer par :
\[ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. \]
Il semble donc logique de définir la variance d'une variable aléatoire continue par une formule analogue, le signe $\Sigma$ étant remplacé par le signe $\int$, et la fonction densité $f$ jouant le rôle des $p_i$ de la formule discrète.\\
Alors,
\[ 
V(X) = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^x t^2 f(t) \dd t - [E(X)]^2.
\]
On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a donc :
\[ 
V(X) = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^x t^2f(t) \dd t - \left( \dfrac{1}{\lambda} \right) ^2.
\]
\begin{questions}
\item Trouver $a$, $b$ et $c$ tels que $(at^2+bt+c)\nep^{-\lambda t}$ soit une primitive de $t^2\lambda \nep^{-\lambda t}$.
\item En déduire la variance, puis l'écart-type, d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $F(t) = (at^2+bt+c)\nep^{-\lambda t}$ est une primitive de $t^2\lambda \nep^{-\lambda t}$ si et seulement si $F'(t) = t^2 \lambda \nep^{-\lambda t}$. On a :
\[
\begin{aligned}
F'(t) = t^2 \nep^{-\lambda t} 
&\iff [2at+b-\lambda(at^2+bt+c)] \nep^{-\lambda t} = t^2\lambda \nep^{-\lambda t} \\
&\iff -\lambda at^2 +t(2a-\lambda b)+b-\lambda c = t^2\lambda
\end{aligned}
\]
En identifiant les coefficients, on obtient :
\[ \left\{
\begin{aligned}
-\lambda a &= \lambda \\
2a-\lambda b &= 0 \\
b-\lambda c &=0 
\end{aligned}\right.
\iff
\left\{
\begin{aligned}
a &= -1 \\
b&=-\dfrac{2}{\lambda} \\
c &= -\dfrac{2}{\lambda^2} .
\end{aligned}\right.
\] 		

\item 
On a donc  $F(t)= -\left( t^2+\dfrac{2}{\lambda}t + \dfrac{2}{\lambda^2} \right) \nep^{-\lambda t}$.\\
Par conséquent :
\[
\begin{aligned}
V(X) &= \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x t^2f(t) \dd t - [E(X)]^2 \\
& = \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x t^2 f(t) \dd t -\left(\dfrac{1}{\lambda} \right)^2 \\
&= \lim\limits_{x \to +\infty} \left[ -\left(t^2+\dfrac{2}{\lambda}t+\dfrac{2}{\lambda^2} \right) \nep^{-\lambda t} \right]_0^x - \left(\dfrac{1}{\lambda} \right) ^2 \\
&= \dfrac{2}{\lambda^2}-\dfrac{1}{\lambda^2}\\
& = \dfrac{1}{\lambda^2}.
\end{aligned}
\]
Donc $V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ et l'écart-type est donc égal à $\dfrac{1}{\lambda}$ ($\lambda$ est par définition un nombre positif).
\end{questions}
\end{corrige}

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% ex21 (anc .28)

\begin{exo}{Rencontre et loi uniforme}{Lycée Virlogeux, Riom}{3}{30}
Deux amis Claire et Patrick ont décidé de se rencontrer entre 12 h et\linebreak[4] 13 h, mais n'ont pas donné plus de précision, et arriveront l'un comme l'autre aléatoirement dans cette tranche horaire. Aucun des deux n'est très patient : Claire a décidé qu'elle n'attendrait pas plus de 10 min et Pierre qu'il n'attendrait pas plus d'un quart d'heure.\\
Quelle est la probabilité que les deux amis se rencontrent ?
\end{exo}

\begin{corrige}
On peut considérer que l'heure d'arrivée de Claire suit une loi uniforme sur $[0~;1]$, et celle de Patrick aussi. On peut donc représenter l'espace possible de leur rencontre par un carré de côté 1.

Si on appelle $X$ l'heure d'arrivée (aléatoire) de Claire, et $Y$ l'heure d'arrivée (aléatoire) de Pierre, l'énoncé nous dit que :

\begin{itemize}
\item $0<X<1$ (en considérant que 12h = 0h).
\item $0<Y<1$
\item $Y<X+\dfrac{1}{6}$, puisque Claire ne veut pas attendre plus de 10 minutes.
\item $X<Y+\dfrac{1}{4}$, puisque Pierre ne veut pas attendre plus de 15 minutes.
\end{itemize}

Ceci permet de déterminer l'espace des rencontres possibles de Claire et Patrick, et donc la probabilité qu'ils se rencontrent.\\
On obtient le graphique page suivante.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{14-Corriges-fig7}
\end{center}

La partie non hachurée correspond à la possibilité d'une rencontre.\\
On trouve la probabilité d'une rencontre en faisant le rapport entre l'aire de cette portion de plan et l'aire du carré correspondant à la présence de l'un ou de l'autre, qui est égale à 1. Le polygone $ABCDEF$ est constitué de deux trapèzes.\\
La droite $(EB)$ est d'équation $y=x$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{14-Corriges-fig8}
\end{center}

Pour calculer la probabilité que Claire et Patrick se rencontrent, il faut ajouter les aires des triangles $EFH$ et $ABH'$ (de même aire), $EKD$ et $CK'B$ (de même aire) et des rectangles $FHH'A$ et $DKK'C$.\\
L'ordonnée de $F$ est $\dfrac{1}{6}$, donc $2FH^2 = \dfrac{1}{36}$ et $FH=\dfrac{1}{6\sqrt{2}}$, donc la somme des aires des deux triangles $EFH$ et $ABH'$ est $\dfrac{1}{72}$.\\
L'abscisse de $D$ est $\dfrac{1}{4}$ donc $2KD^2=\dfrac{1}{16}$ et la somme des aires des triangles $EKD$ et $CK'B$ est $\dfrac{1}{32}$.\\
Le rectangle $FHH'A$ a pour hauteur $HF=\dfrac{1}{6\sqrt{2}}$ et pour longueur :
\[ HH' = EB-2EH = \sqrt{2} - \dfrac{1}{3\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{6} = \dfrac{5\sqrt{2}}{6}. \]
Son aire est donc $\dfrac{1}{6\sqrt{2}} \times \dfrac{5\sqrt{2}}{6}= \dfrac{5}{36}$.\\
Le rectangle $KDCK'$ a pour hauteur $KD=\dfrac{1}{\sqrt{32}} =\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$ et pour longueur $DC$.\\
$D\left( \dfrac{1}{4}~;0\right)$ et $C\left(1~;\dfrac{3}{4} \right)$ car $C$ est sur la droite d'équation $y=x- \dfrac{1}{4}$.\\
Donc $CD=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 +\left(\dfrac{3^2}{4}\right)} = \sqrt{\dfrac{9}{8}} = \dfrac{3}{2\sqrt{2}}$.\\
L'aire de $KDCK'$ est donc $\dfrac{1}{4\sqrt{2}} \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3}{16}$.\\
Finalement, la probabilité que Claire et Patrick se rencontrent est :
\[ \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{32} + \dfrac{5}{36} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{107}{288} \approx 0,37. \]
\end{corrige}


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% ex22 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée Buffon, Paris}{2}{30}
\begin{questions}
\item Dans un lycée donné, on sait que 55\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\% des filles et 30\% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

\item Une variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres 20 et 0,2.

Écrire une formule donnant la probabilité que $Y$ soit supérieure ou égale à 2. Donner ensuite la valeur approchée du résultat à 10$^{-3}$ près.

\item On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. 
\begin{questions}
\item Donner, sans utiliser la calculatrice, à $10^{-2}$ près si nécessaire, les probabilités $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)$  et $P(X\geqslant\mu+\sigma)$.

\item Déterminer dans chaque cas, en fonction de $\sigma$, le réel $r$ tel que :
\begin{itemize}
\item $P(\mu-r\leqslant X\leqslant\mu+r)=0,95$
\item $P(\mu-r\leqslant X\leqslant\mu+r)=0,99$
\end{itemize}
\end{questions}

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
A et C sont des entiers naturels
Initialisation
\qquad C prend la valeur 0
Traitement
\qquad Pour i allant de 1 à 9
\qquad\qquad A prend une valeur aléatoire entre 1 et 7
\qquad\qquad Si A $>$ 5
\qquad\qquad\qquad Alors C prend la valeur C + 1
\qquad\qquad Fin Si
\qquad Fin Pour
Sortie
\qquad Afficher C
\end{algorithme}

\Par

Dans l'expérience aléatoire simulée dans l'algorithme ci-dessus, on appelle $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $C$ affichée.

Quelle loi suit la variable $X$ ? Préciser le cas échéant ses paramètres.
\end{questions}
\vspace*{-2em}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{Remarque}
cet exercice balaye les programmes de première et de terminale, ce qui fait toute sa difficulté !
\end{Remarque}
\begin{questions}
\item On note :

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{itemize}
\item F : \og l'élève est une fille \fg ;
\item C : \og l'élève mange à la cantine \fg.
\end{itemize}

\Par

L'analyse de l'énoncé conduit\\
à l'arbre ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{14_fig_03}
\end{center}
\end{minipage}

On cherche $P\left(\overline{C}\right)$. D'après la formule des probabilités totales :
\[
P\left(\overline{C}\right)=P\left(\overline{C}\cap F\right)+P\left(\overline{C}\cap \overline{F}\right)
\]

car $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers.

On a donc :
\[
P\left(\overline{C}\right) = 0,55\times 0,65 + 0,45\times 0,7 = \numprint{0,6725}.\]

\item $\begin{aligned}[t]
P(Y\geqslant2) & = 1-P(Y < 2)\\
& =  1 - P(Y = 0) -P(Y = 1)\\
& = 1 - 0,8^{20} - \dbinom{20}{1}\times0,2\times0,8^{19}\\
& \approx 0,931.
\end{aligned} $

L'utilisation de l'événement contraire permet d'écrire une formule \og relativement \fg{} simple.

\item 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Ceci est une propriété du cours :$P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0,68$.
\item $P(X\geqslant\mu+\sigma)=\dfrac{1-P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)}{2}\approx0,16$.
\end{itemize}


On peut éventuellement s'aider de la fonction densité de probabilité d'une loi normale pour visualiser ce calcul.

\item Là aussi il s'agit du cours :

\begin{itemize}
\item $P(\mu-r\leqslant X\leqslant\mu+r)=0,95 \Leftrightarrow r\approx2\sigma$.
\item $P(\mu-r\leqslant X\leqslant\mu+r)=0,99\Leftrightarrow r\approx3\sigma$ .
\end{itemize}
\end{questions}

\item \`A chaque étape du \og Pour \fg, on choisit un nombre entier parmi les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Donc la probabilité, à chaque étape, qu'il soit strictement supérieur à 5 est $\dfrac{2}{7}$.

On répète donc 9 fois une expérience de Bernoulli où le succès est obtenir un nombre strictement supérieur à 5, dont la probabilité est $\dfrac{2}{7}$. $C$ compte le nombre de succès, donc $C$ suit la loi binomiale de paramètres 9 et $\dfrac{2}{7}$.
\end{questions}
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
