\chapter{Intervalle de fluctuation et estimation}

\begin{exointro}{Lycée Léonard de Vinci, Blanquefort}
Une médium affirme être capable de deviner sans être sur place si une lampe est allumée dans une pièce ou non. Lors d'une expérience effectuée dans des conditions surveillées, la médium répond correctement 16 fois sur 25. 
\begin{questions}
\item La médium affirme qu'elle répond correctement dans 75 \% des cas.
\begin{questions}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la proportion de réponses correctes selon la médium.
\item \'Enoncer une règle de décision. Que peut-on conclure ?
\end{questions}

\item Une personne qui ne croit pas aux phénomènes paranormaux affirme que, compte tenu des résultats de l'expérience, on peut tout aussi bien affirmer que la personne n'a aucun don particulier.
\begin{questions}
\item Si la personne n'a aucun don particulier, quelle devrait être la proportion $p$ de réponses correctes ?
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de $p$.
\item \'Enoncer la règle de décision et l'appliquer. Conclure.
\end{questions}

\item Comment peut-on réduire le risque d'arriver à ces deux conclusions différentes ?
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

\section{Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%}

\begin{defin} 
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n~;p)$ avec\linebreak $p\in]0~;1[$. L'intervalle :
\[
I_n=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~; p+ 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]
\]
est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la variable aléatoire fréquence $F_n=\dfrac{X_n}{n}$.
\end{defin}

On admet (mais cela peut se démontrer) que lorsque $n$ tend vers $+\infty$, la probabilité que $F_n$ prenne ses valeurs dans $I_n$ tend vers $0,95$.

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item On peut considérer que cet intervalle est utilisable si $n\ge 30$, $np \ge 5$ et\linebreak $n(1-p) \ge 5$.
\item On a déjà rencontré le nombre $1,96$ : si $Z$ est une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(0~;1)$, $P(-1,96 \le Z \le 1,96) \approx 0,95$.

\item Il est facile de montrer que l'intervalle de fluctuation $\left[ p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ~; p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$, vu en seconde, contient l'intervalle de fluctuation asymptotique $\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$, donc il n'y a pas contradiction entre les deux énoncés, celui de seconde étant seulement un énoncé simplifié.
\end{itemize}
\end{Remarques}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Estimation}

On utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique quand on connaît une proportion \og théorique \fg dans une population et qu'on veut savoir si un échantillon peut être considéré comme issu de cette population.\\
Dans ce paragraphe, la proportion théorique $p$ de la population est inconnue et on cherche à l'estimer à partir d'un échantillon.

\newpage

\subsection{Intervalle de confiance}

\begin{defin} 
Soit $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n~;p)$ avec $p\in]0~;1[$ et $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

Soit $f$ la fréquence observée dans un échantillon. On appelle intervalle de confiance de la proportion inconnue $p$ avec un niveau de confiance $0,95$ l'intervalle $\left[ f- \dfrac{1}{\sqrt{n}} ~; f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$.
\end{defin}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item On admet (mais on peut démontrer) que l'intervalle $\left[ F_n- \dfrac{1}{\sqrt{n}} ~; F_n+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion inconnue $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$. L'intervalle $\left[ f- \dfrac{1}{\sqrt{n}} ~; f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est une réalisation de cet intervalle obtenue à partir d'un échantillon.
\item On peut considérer que cet intervalle est utilisable si $n\ge 30$, $nf \ge 5$ et\linebreak[4] $n(1-f) \ge 5$.
\item On utilise aussi l'intervalle $\left[ f-1,96 \dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} ~; f+1,96 \dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} \right]$, au même niveau de confiance, dans certaines disciplines.
\item \`A ce niveau de confiance, l'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. En jouant sur $n$, on peut obtenir un intervalle de longueur donné $a$ : il suffit que $n$ soit supérieur ou égal à $\dfrac{4}{a^2}$.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{solintro}
Ici, la fréquence observée est $\dfrac{16}{25}=0,64$.
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On a : 
\[
I_n = \left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~; p+ 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right].
\]
Ici : 	
\[
\begin{aligned}
I&=\left[ 0,75-1,96 \sqrt{\dfrac{0,75 \times 0,25}{25}} ~; 0,75+1,96 \sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{25}} \right] \\
&\approx [0,58 ~; 0,92].
\end{aligned}
\]
\Break
\item Si la proportion de réponses correctes n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, on rejette l'hypothèse que la médium répond correctement dans 75\% des cas.

\par 

Ici, la fréquence observée est 0,64. Elle appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique. On ne rejette donc pas l'hypothèse que la médium répond correctement dans 75\% des cas.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Si la personne répond au hasard, elle a une chance sur 2 de répondre correctement, donc la proportion de réponses juste devrait être $0,5$.
\item Si la proportion de réponses correctes n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique autour de 0,5, on rejette l'hypothèse que la médium répond au hasard.  On a :\\
\[
\begin{aligned}
 J &= \left[ 0,5-1,96 \sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{25}} ; 0,5+1,96 \sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{25}} \right] \\
 &\approx [0,304 ; 0,696]. 
\end{aligned}
\]
\item Comme 0,64 appartient à $J$, on ne peut rejeter l'hypothèse que la médium répond au hasard.
\end{questions}

\item La seule façon de parvenir à une unique conclusion est d'augmenter la taille de l'échantillon jusqu'à obtenir des intervalles $I$ et $J$ disjoints.
\end{questions}
\end{solintro}

\endinput