\thumb


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1


\begin {qcm} {Intervalles de fluctuation asymptotique} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Une maladie touche 5 \% de la population d'un pays. On prélève au hasard un échantillon de 100 personnes de cette population. L'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de personnes atteintes par la maladie dans cet échantillon est, au centième près : \\
	\choix $[0,04 ~; 0,06]$ \\
	\choix $[0,01 ~; 0,09]$ \\
	\choix Aucune de ces deux réponses
	\resetchoix

\item Lorsqu'on multiplie la taille d'un échantillon par deux, l'amplitude de l'intervalle de fluctuation asymptotique est :\\
	\choix divisé par 2 \\
	\choix multiplié par $\sqrt{2}$ \\
	\choix divisé par $\sqrt{2}$ 
	\resetchoix
	
\item On sait que, si on lance un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 6 est $\dfrac{1}{6}$. Carole a lancé 80 fois un dé et obtenu 20 fois 6. Elle peut en conclure, au seuil de 95 \% :\\
	\choix que le dé est sans doute équilibré \\
	\choix que le dé est pipé \\
	\choix rien du tout 
	\resetchoix
	
\item Quelle serait la réponse si Carole obtient la même proportion de 6 mais en ne lançant le dé que 20 fois ?\\
	\choix que le dé est sans doute équilibré \\
	\choix que le dé est pipé \\
	\choix rien du tout 
	\resetchoix
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b] en utilisant la formule du cours.
\item Réponse \choix[c]. L'intervalle de fluctuation a pour amplitude $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, donc si on multiplie la taille de l'échantillon par 2, l'amplitude est divisée par  $\sqrt{2}$.
\item Réponse \choix[b]. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la proportion $\dfrac{1}{6}$ dans un échantillon de taille 80 est $[0,085~; 0,248]$ . Il ne contient pas la proportion $0,25$ obtenue.
\item La réponse \choix[a]. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% pour un échantillon de taille 20 est $[0,003~; 0,33]$. Il contient la proportion $0,25$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2
\begin {qcm} {Intervalles de confiance} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Dans un village de Chine, on a observé 600 naissances de garçons sur 1000 naissances.
On peut en conclure, au niveau de confiance 0,95, que :\vspace*{-1em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] Il y a autant de naissances de filles que de garçons.
\item[\choix] Il y a une différence significative entre le nombre de naissances de filles et de garçons.
\item[\choix] Rien du tout.
\end{enumerate}
\end{tabularx}

\newpage

\item Lors d'un sondage entre le premier tour et le deuxième tour d'une élection présidentielle, le candidat X a été crédité de 51,5\% des intentions de votes. On négligera les votes blancs et les abstentions pour simplifier.

La taille minimale de l'échantillon  du sondage tel que X soit \og presque \fg sûr de gagner est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix \numprint{1000} &
	\choix 82 &
	\choix \numprint{4445}
\end{tabularx}
	
	\resetchoix

\item On a étudié, dans deux populations différentes $A$ et $B$, la prévalence d'une maladie sur deux échantillons de taille 100.\\
Pour la population $A$, on a trouvé $0,48$\% de malades, et pour la population $B$ on a trouvé $0,33$\% de malades.

On peut alors considérer que :\\
	\choix La population $A$ est beaucoup plus atteinte que la population $B$.	\\
	\choix Il n'y a pas de différence significative entre les deux populations. \\
	\choix On ne peut rien dire.
	\resetchoix

\item Si, dans un échantillon de 1000 personnes, 60 \% affirment qu'elles préfèrent la marque de jeans $A$, alors : \vspace*{-1em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] On peut quasiment affirmer qu'entre 56\% et 64\% de la population préfère cette marque.
\item[\choix] On ne peut rien affirmer du tout.
\item[\choix] On peut quasiment affirmer qu'entre 60\% et 80\% de la population préfère cette marque, et rien de plus.
\end{enumerate}
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b] L'intervalle de confiance de la proportion du nombre de garçons est environ $[0,568~;0,632]$. Cet intervalle ne contient pas $0,5$, donc il n'y a pas autant de naissances de filles que de garçons.
\item Réponse  \choix[c]. Si la proportion observée est 0,515, la borne inférieure de l'intervalle de confiance est $0,515-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Pour être presque sûr de gagner, il suffit que 0,5 soit inférieur à cette borne, donc il suffit que $\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,015$. Cela donne $n\geqslant\numprint{4445}$.

\item Réponse \choix[b]. Pour la population $A$, l'intervalle de confiance de la prévalence de la maladie est, au niveau de confiance $0,95$, $[0~;\numprint{0,1048}]$. En effet, on ne peut pas donner ici des pourcentages négatifs. \\
Pour la population $B$, l'intervalle de confiance de la prévalence de la maladie est, au niveau de confiance $0,95$, $[0~;\numprint{0,1033}]$.\\
Ces deux intervalles ayant une intersection non vide, il n'y a pas de différence significative entre les prévalences de la maladie dans ces deux populations.

\item Réponse \choix[a]. En effet, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est environ $[0,568~;0,632]$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin {qcm} {Quel intervalle ?} {20}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Un professeur a constaté sur un trimestre que sur les 60 élèves interrogés, 40 n'avaient pas correctement appris leur leçon. Le professeur peut en conclure, au niveau de confiance $0,95$, que :\\
	\choix Au moins 54\% des élèves n'avaient pas appris leur leçon.	\\
	\choix $\dfrac{2}{3}$ des élèves n'avaient pas appris leur leçon. \\
	\choix Ni l'un ni l'autre.
	\resetchoix
	
\item Dans une classe préparatoire aux grandes écoles scientifiques, il y a 10 filles et 20 garçons. \`A la fin de la première année, 4 filles et 10 garçons intègrent une des écoles les plus renommées (Polytechnique, Écoles normales, École des Mines). On peut considérer que :\vspace*{-1.2em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] Il n'y a pas de différences entre les chances de réussite des filles et des garçons.
\item[\choix] Les garçons réussissent mieux que les filles.
\item[\choix] On ne peut rien dire.
\end{enumerate}
\end{tabularx}\vspace*{-1.5em}


\item Avant le deuxième tour d'une élection présidentielle, le candidat favori a commandé à deux instituts de sondage les intentions de votes de ses concitoyens.
Le premier institut le donne gagnant avec 54\% des voix sur un échantillon de 300 personnes, et le deuxième le donne favori avec\linebreak[4] 52\% des voix sur un échantillon de 10000 personnes. Le candidat préfère :\\	\resetchoix
	\choix Le premier sondage car le pourcentage est plus élevé.\\
	\choix Le deuxième sondage car l'échantillon est plus grand. \\
	\choix Le deuxième sondage pour une autre raison.
	\resetchoix

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. Le professeur ne sait pas le nombre exact d'élèves n'ayant pas appris leur leçon. on ne peut donc utiliser qu'un intervalle de confiance, au niveau de confiance $0,95$. On obtient :  $I \approx [0,538~;0,796]$.

\item Réponse \choix[c]. On ne peut rien conclure car les conditions d'utilisation des intervalles de confiance ne sont pas remplies ($n\geqslant30$, $nf\geqslant5$ et $n(f-1)\geqslant5$).

\item Réponse \choix[c]. En effet, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ a pour borne inférieure $0,51$, ce qui lui prédit une victoire.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin {qcm} {Conditions d'utilisation} {20}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.

\begin{questions}
\item Dans une population, la fréquence de la présence d'un gène est $0,005$. On étudie un échantillon de 900 personnes. Alors :\vspace*{-1.2em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] On peut définir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.
\item[\choix] On ne peut définir aucun intervalle de fluctuation.
\item[\choix] On peut définir un intervalle de fluctuation.
\end{enumerate}
\end{tabularx}
	\resetchoix
	
\item Dans un échantillon de 100 personnes issues d'une population, on a trouvé que 10\% avaient les yeux bleus. Alors :\vspace*{-1.2em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] On peut définir un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$.
\item[\choix] On ne peut pas définir un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$.
\item[\choix] Compte tenu de l'énoncé, on ne sait pas si on peut définir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.
\end{enumerate}
\end{tabularx}
	\resetchoix
	
\item L'intervalle de fluctuation $I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ vu en seconde :\vspace*{-1.2em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}p{1pt}X}
&
\begin{enumerate}
\item[\choix] est inclus dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.
\item[\choix] Contient l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.
\item[\choix] Ni l'un ni l'autre.
\end{enumerate}
\end{tabularx}
	\resetchoix
	
\item Le maximum de la fonction qui à $x$ associe $f(x) = \dfrac{\sqrt{x(1-x)}}{\sqrt{n}}$ est atteint sur $[0~;1]$ pour : \\
	\choix $x=0$ \qquad
	\choix $x=1$ \qquad
	\choix Une autre valeur à préciser.
	\resetchoix
	
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Les conditions ne sont pas remplies pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique car $900\times0,005=4,5<5$ et l'intervalle de fluctuation étudié en seconde ne s'applique pas non plus car $p$ doit appartenir à $[0,2~;0,8]$, ce qui n'est pas le cas.

\item Réponse \choix[a]. 
$\begin{array}{ c c c }
n\geqslant30 \qquad&\qquad nf\geqslant5 \qquad&\qquad n(1-f)\geqslant5
\end{array}$

On ne connaît pas la proportion théorique donc on ne peut pas déterminer un intervalle de fluctuation.

\item Réponse \choix[b]. \'Etudions la fonction $f$ qui à tout réel $p$ de $[0 ~; 1]$ associe $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$. On calcule :
$f'(p) = \dfrac{\frac{1-2p}{n}}{2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$, donc :
\[ f'(p) > 0 \iff 1-2p>0 \iff p<\dfrac{1}{2}. \]
La fonction $f$ atteint son maximum pour $p =\dfrac{1}{2}$  et ce maximum est égal à $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ .\\
Donc : $p+1,96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ a pour maximum $0,5 + \dfrac{0,98}{\sqrt{n}}$ et $p-1,96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ a pour minimum $0,5-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} = 1-\dfrac{0,98}{\sqrt{n}}$.

\item Réponse \choix[c]. D'après l'étude de la question 3, le maximum est atteint pour $x = 0,5$.

\end{questions}
% \newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5

\begin{exo}{\'Elections}{Lycée Léonard de Vinci, Blanquefort}{1}{15}
Un sondage réalisé avant le premier tour de l'élection présidentielle de 2002 sur un échantillon représentatif de la population française en âge de voter donnait : 20 \% pour J. Chirac, 18 \% pour L. Jospin, et 14 \% pour J.M. Le Pen. L'échantillon comportait 989 personnes.\\
Comme on le sait si on fait une recherche sur le sujet, les deux candidats au deuxième tour ont été J. Chirac et J.M. Le Pen. 

\begin{questions}
\item Donner, pour chaque candidat, un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $0,95$, de la proportion de personnes votant pour ce candidat.
\item Peut-on s'étonner de ce qui s'est passé ? 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour J. Chirac : $I_1 \approx  [0,168~; 0,232]$.\\
Pour L.  Jospin : $I_2 \approx  [0,148 ~; 0,212]$.\\
Pour J.M. Le Pen : $I_3  \approx [0,108 ~; 0,172]$.

\item Ces intervalles ont une intersection non vide, donc on ne peut pas s'étonner de ce qui s'est passé.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6

\begin{exo}{Taille d'échantillon}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{10}
\begin{questions}
\item Un candidat à une élection a commandé un sondage portant sur \numprint{1000} personnes choisies au hasard. La proportion de personnes votant pour ce candidat dans l'échantillon est $0,53$. Expliquer pourquoi le candidat n'est pas sûr d'être élu.

\item Quel devrait être la taille de l'échantillon pour que, avec la même proportion de personnes favorables au candidat, le candidat soit quasiment sûr d'être élu ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'intervalle de confiance au niveau de confiance $0{,}95$ est environ\linebreak[4]  $[0,498~; 0,562]$. Cet intervalle contenant $0,5$, le candidat n'est pas sûr d'être élu.
\item Il faudrait que $0,53-\dfrac{1}{\sqrt{n}} > 0,5 \iff \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0,03 \iff n > \numprint{1112}$.
\end{questions}
\end{corrige}

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% ex7
\begin{exo}{Pièce normale ou pas ?}{Lycée Henri Matisse, Cugnaux}{1}{15}
\begin{questions}
\item On jette 100 fois une pièce et on obtient 59 fois face.
Peut-on considérer la pièce comme équilibrée ?

\item La réponse serait-elle la même en gardant la même proportion de faces avec \numprint{1000} lancers ?
\item Quel est le nombre minimal de lancers qui permettra, en conservant la même proportion de face, de décider que la pièce n'est pas équilibrée ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{questions}
\item Si la pièce est équilibrée, la probabilité d'obtenir face est $0,5$. On utilise donc l'intervalle de fluctuation asymptotique. $I =[0,402~; 0,598]$.\\
Le nombre $0,59$ appartient à cet intervalle, donc on peut considérer la pièce comme équilibrée.

\item Avec \numprint{1000} lancers, l'intervalle de fluctuation asymptotique est environ $[0,469~; 0,531]$. Le nombre 0,59 n'appartient plus à cet intervalle, donc on ne peut plus considérer la pièce comme équilibrée.

\item Il faut que : $\begin{aligned}[t]
0,5+1,96\dfrac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{n}} < 0,59 &\iff 0,09 > 1,96 \dfrac{0,5}{\sqrt{n}} \\
&\iff \sqrt{n} > 10,88 \\
&\iff n>119.
\end{aligned}$

Il faudrait donc 119 lancers pour être quasiment sûr que la pièce n'est pas équilibrée.
\end{questions}
\end{corrige}

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% ex8 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Marge d'erreur}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{15}
\begin{questions}
\item Pour un sondage portant sur \numprint{1000} personnes, on parle parfois de \og marge d'erreur de 3\% \fg{} au niveau de confiance de 95\%. Comment pouvez-vous expliquer cette expression ?

\item Sur combien de personnes doit porter un sondage pour que l'on puisse de la même manière parler de \og  marge d'erreur de 1\% \fg{} au niveau de confiance de 95\% ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Au niveau de confiance de 95\%, la demi-amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Lorsque $n=\numprint{1000}$, cela donne une demi-amplitude de $\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\approx0,03$. Cela signifie que, au niveau de confiance de 95\%, la fréquence estimée dans la population  diffère de celle obtenue d'au plus 3\%.

\item Pour avoir une marge d'erreur de 1\%, il faut que  $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant0,01$, donc $n\geqslant\numprint{10000}$. Il peut être très co\^uteux de faire une estimation sur \numprint{10000} individus ...
\end{questions}
\end{corrige}

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% ex9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Retraits d'argent}{Lycée Guynemer, Compiègne}{1}{15}
Une étude sur un distributeur de billets a montré que 65\% des retraits effectués sont compris entre cinquante et quatre-vingt euros.

\begin{questions}
\item Sur une certaine journée, il a été effectué 150 retraits. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la proportion de retraits compris entre cinquante et quatre-vingt euros pour cette journée.
\item Dans quel intervalle peut-on estimer se trouver le nombre de retraits entre cinquante et quatre-vingt euros lors de cette journée ? 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Ici, $n=150$ et $p=0,65$. Les conditions sont donc remplies pour calculer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%.

\[
I=\left[0,65-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,65\times0,35}{150}}~;0,65+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,65\times0,35}{150}}\right].
\]

Donc $I\approx[0,574~;0,726]$.

\item Sur un total de 150 retraits, cela représente entre 87 et 108 retraits.
\end{questions}
\end{corrige}



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% ex10 (anc. 9)

\begin{exo}{Barème d'un concours}{Lycée Pape-Clément, Pessac}{1}{15}
Lors d'un écrit à un concours, on souhaite que environ 70\% des personnes s'étant présentées à l'écrit soient admissibles pour passer l'oral. On note $a$ le pourcentage d'admissibles.
\begin{questions}
\item On corrige, dans toutes les matières de l'écrit, les copies de 50 candidats, et parmi eux 27 sont admissibles. Expliquer pourquoi le jury décide de modifier les barèmes dans les différentes matières.
\item Avec les nouveaux barèmes, sur 60 candidats, 35 sont admissibles. Expliquer pourquoi le jury accepte ce barème.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Sur l'échantillon, la proportion d'admissibles est 54\%. L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 de cette proportion est environ  $[0,399~; 0,682]$. Cet intervalle ne contient pas le pourcentage 70\%, donc les barèmes ne conviennent pas.
\item Maintenant, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est environ $[0,454~;0,712]$. Cet intervalle contient 70\%, donc est acceptable.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11 (anc. 12)

\begin{exo}{Espérance de vie}{Lycée Léonard de Vinci, Blanquefort}{2}{20}
\begin{questions}
\item Dans un  certain pays, en 1980, la proportion de femmes vivant au-delà de 75 ans était, d'après un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard, 60\%.\\
Celle des hommes, pour un échantillon de même taille, était 53\%. \\
Peut-on dire, au niveau de confiance $0,95$, qu'en 1980, il y avait une différence significative pour l'espérance de vie des hommes et des femmes ?

\item Trente ans plus tard, sur des échantillons de même taille, la proportion de femmes vivant au-delà de 77 ans est 60\%, et celle des hommes vivant au-dessus de 77 ans est 57\%.\\
Peut-on dire, au niveau de confiance $0,95$, qu'en 2010 il y a une différence significative pour l'espérance de vie des hommes et des femmes ?
%\item Avancer des raisons qui peuvent justifier cette différence.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ était en 1980, pour les femmes, environ $[0,568~;0,632]$. Celui des hommes était environ $[0,498~;0,562]$.

Ces deux intervalles n'ayant pas de valeur commune, on peut dire qu'il y avait une différence significative en 1980.
\item L'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ est, en 2010, pour les femmes, environ $[0,568~;0,632]$ et pour les hommes $[0,538~;0,602]$.

Cette fois-ci les intervalles ont une intersection non vide, donc on ne peut pas dire, au seuil de $0,95$, qu'il y ait une différence significative entre les hommes et les femmes.
%\item Durant ces trente années, les femmes se sont mises à fumer et boire beaucoup plus que par le passé.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex12 [nouveau 2014]
\newpage
\begin{exo}{N'oubliez pas la première !}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
Dans une population de \numprint{100000} personnes, une proportion $p$ valant 35\% de la population achètent régulièrement leurs chaussures sur internet. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'individus, dans un échantillon de \numprint{1000} personnes tirées au hasard, achetant régulièrement leurs chaussures sur internet. Soit $F=\dfrac{X}{\numprint{1000}}$ la fréquence de ces individus dans l'échantillon. On admet que, compte tenu du nombre de personnes sondées par rapport à la taille de la population, on peut assimiler le tirage à un tirage avec remise.

\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?
\item Déterminer la loi de $F$.
\item Dans quel intervalle fluctue $F$,
\begin{questions}
\item avec une probabilité de 95\%, en utilisant la loi binomiale ?
\item en utilisant l'approximation par la loi normale et l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X$ suit la loi binomiale de paramètres \numprint{1000} et 0,35.
\item $F$ prend les \numprint{1001} valeurs de la forme $\dfrac{k}{\numprint{1000}}$, où $k$ varie de 0 à \numprint{1000}, et $P\big((F=\dfrac{k}{\numprint{1000}}\big)=P(X=k)$.
\item 
\begin{questions}
\item D'après le cours de première, $F$ fluctue dans l'intervalle $\left[\frac{a}{\numprint{1000}}~;\frac{b}{\numprint{1000}}\right]$, où $a$ est le plus petit entier tel que $P(X<a)\geqslant0,025$, et $b$ le petit entier tel que $P(X<b)\geqslant0,975$.

Il faut donc utiliser la table de la loi binomiale de paramètres \numprint{1000} et 0,35.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\tabulartitle
$c$ & $P(X<c)$\\
\hline
%318	& \numprint{0,017845963}\\
%\hline
%319	 & \numprint{0,021019925}\\
%\hline
320	 & \numprint{0,02465701}\\
\hline\tabulartitle
321	 & \numprint{0,02880571}\\
\hline
322	 & \numprint{0,033516359}\\
\hline
%323	 & \numprint{0,038840658}\\
%\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\tabulartitle
$c$ & $P(X<c)$\\
\hline
%377	& \numprint{0,965315632}\\
%\hline
%378 & \numprint{0,970052162}\\
%\hline
379 & \numprint{0,974237842}\\
\hline\tabulartitle
380 & \numprint{0,977921071}\\
\hline
381 & \numprint{0,981148452}\\
\hline
%382 & \numprint{0,983964449}\\
%\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

On trouve $a = 321$ et $b = 380$, donc $F$ fluctue dans l'intervalle $[0,320~;0,380]$.

\item En utilisant l'approximation par la loi normale, l'intervalle de fluctuation d'une proportion de 0,35 dans un échantillon de \numprint{1000} individus est :
\[
\left[ 0,35-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,35\times0,65}{\numprint{1000}}}~;0,35+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,35\times0,65}{\numprint{1000}}}\right]\;,
\]

c'est-à-dire environ $[\numprint{0,3204}~;\numprint{0,3796}]$. Ce résultat est pratiquement identique à celui obtenu avec la loi binomiale.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex13 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Sondages multiples}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{25}
Lors d'un scrutin électoral, 6 instituts de sondages ont mené des enquêtes afin de connaître les intentions de vote en faveur d'un certain candidat « M ». 

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|M{2.1cm}|*6{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Institut & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
Taille de\newline l'échantillon & \numprint{1200} & \numprint{1050} & \numprint{900} & \numprint{1070} & \numprint{1020} & \numprint{1100}\\
\hline
Pourcentage en faveur de M & 45,7 & 48,1 &50,2 & 48,3 & 46,9 & 53,1\\
\hline
Intervalle de confiance & & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{questions}
\item Compléter ce tableau par les intervalles de confiance à 95\% pour les estimations de chaque institut.
\item Un institut peut-il affirmer que le candidat M atteindra fort probablement la majorité absolue  (plus de 50\% des votes), ou, au contraire, ne l'atteindra pas ?
\item On considère que les 6 enquêtes ont été menées de façon indépendante. 
	\begin{questions}
	\item Quel est la proportion de votes en faveur du candidat M parmi la totalité des personnes sondées par les 6 instituts ? 
	\item Fournir un intervalle de confiance à 95\% de la proportion de vote en faveur du candidat M pour l'estimation regroupant les résultats des 6 instituts. 
D'après vous, le candidat obtiendra-t-il la majorité ?
	\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item En appliquant la formule du cours,  
\[
I= \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\;,
\]
et on obtient :

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
1 & 2&3\\
\hline$[0,428~;486]$
&
$[0,450~;0,512]$
&
$[0,469~;0,535]$
\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
4&5&6\\
\hline
$[0,452~;0,514]$
&$
[0,438~;0,500]$
&
$[0,501~;0,561]$\\
\hline
\end{tabularx}

\item Lorsque l'intervalle de confiance contient des valeurs inférieures et supérieures à 50\%. Il n'est donc pas possible de se prononcer, avec un risque inférieur à 5\%, sur le fait que le candidat M atteindra ou non la majorité absolue.

L'institut 1 peut annoncer que selon ses estimations, le candidat n'obtiendra pas la majorité, alors que l'institut 6 peut affirmer le contraire !

\item
\begin{questions}
\item On calcule le nombre total de réponses en faveur du vote pour le candidat A :
\[
\dfrac{\numprint{1200}\times45,7+\cdots+\numprint{1100}\times 53,1}{100}\approx\numprint{3085}.
\]

Cela représente une proportion d'environ 48,4\% des \numprint{6370} personnes interrogées.

\item Un intervalle de confiance au seuil de 95\% de cette proportion est :
\[ 
[0,474~;0,499].
\]

Avec l'ensemble des résultats, il semble donc que le candidat M n'obtienne pas la majorité.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex14 (anc. 13)

\begin{exo}{Un sujet complet}{Nouvelle-Calédonie}{2}{50}

\emph{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.}

\emph{On précise que les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
 
Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l'industrie automobile.
 
\subsubsectionnn{Partie A. Loi binomiale}
 
On note $E$ l'événement : \og une plaque prélevée au hasard dans la production d'une journée est défectueuse \fg. 

On suppose que $P(E) = 0,02$.
 
On prélève au hasard $50$~plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$~plaques.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses. 
\begin{questions}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer les probabilités $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux plaques soient défectueuses.
\end{questions}
 
\subsubsectionnn{B. Loi normale} 

Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur $L$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[548~;552]$. Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur $\ell$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[108~;112]$.
 
\begin{questions}
\item On note $L_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur $L$. On suppose que la variable aléatoire $L_{1}$ suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart type 1. Calculer $P(548 \le  L_{1} \le 552)$. 

\item  On note $L_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur $\ell$. On admet que :

$P(108 \le L_{2} \le 112) = 0,95$. 

On suppose que les variables aléatoires $L_{1}$ et $L_{2}$ sont indépendantes. Ce qui signifie que :
\[ 
\begin{aligned}
&P\big((548\le L_1\le 552) \cap (108 \le L_2 \le 112)\big) \\
=~& P(548 \le L_1 \le 552)\times P(108 \le L_2 \le 112).
\end{aligned}
\]

On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. 
\end{questions}
 
\subsubsectionnn{C. Intervalle de confiance}

Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques. On considère un échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
 
On constate que $94$~plaques sont sans défaut. 
\begin{questions}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des plaques de cette livraison qui sont sans défaut. 
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence des plaques de cet échantillon qui sont sans défaut. 

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des plaques de la livraison qui sont sans défaut.
 
Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\%. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A. Loi binomiale}
\begin{questions}
\item Les tirages pouvant être considérés comme indépendants, on peut considérer qu'il y a répétition d'un schéma de Bernoulli 50 fois, la probabilité de \og succès \fg (plaque défectueuse) étant $0,02$. Donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(50~; 0,02)$.

\item On a : $P(X=0) = (1-0,02)^{50} \approx 0,364$ et\\ $P(X=1) = \binom{50}{1}\times 0,02 \times (1-0,02)^{50-1} \approx 0,372. $

\item On a : $P(X=2)= \binom{50}{2}\times 0,02^2 \times 0,98^{48}\approx 0,186$ et\\ $P(X\le 2)= P(X=0) + P(X=1) +P(X=2)\approx 0,922$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{B. Loi normale} 

\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, on trouve : $
P(548\le L_1 \le 552) \approx \numprint{0,9545}$.
Mais on peut aussi utiliser le résultat du cours en remarquant que :
\[ 548=\mu -2\sigma\qquad\text{et}\qquad 552 = \mu+2\sigma\;,\]
et la valeur approchée de cet probabilité est 0,95. 

\item La probabilité que la pièce soit conforme est $\numprint{0,9545} \times 0,95$, soit environ $0,907$. 
\end{questions}

\subsubsectionnn{C. Intervalle de confiance}

\begin{questions}
\item On a : $p=0,94$.
\item En appliquant la formule du cours qui donne l'intervalle de confiance au seuil de 0,95, on trouve :
\begin{align*}
I &\approx \left[ 0,94 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,94 \times 0,06}{100}} ~; 0,94+ 1,96 \sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{100}} \right] \\
& \approx [0,893 ~; 0,987]. 
\end{align*}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Comme on ne connaît pas $p$, on l'estime par la fréquence observée sur l'échantillon.
\item L'intervalle $\left[ p-\frac{1}{\sqrt{n}}~; p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right] = [0,93 ; 0,95]$ convient aussi.
\end{itemize}
\end{Remarques}

%\begin{Remarque}
%cet intervalle de confiance est celui qui est le plus souvent utilisé en BTS (ceci est un sujet de BTS).\\Mais 
%\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

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\thumb
\AfficheCorrige
\endinput