\chapter{Matrices et suites (Spécialité)}

\begin{exointro}{Lycée Charlemagne, Paris}
\begin{questions}
\item Soient $A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}$  et $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
\begin{questions}
\item Calculer $A^2$.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[ \left(I_2+A\right)^n=I_2+nA.
\]
\end{questions}

\item Application.
\begin{questions}
\item Soit $M_1=\begin{pmatrix}3&4\\-1&-1\end{pmatrix}$. Calculer, pour tout entier naturel $n$ non nul, la matrice $M_1^n$.
\item Même question pour la matrice $M_2=\begin{pmatrix}-2&1\\-9&4\end{pmatrix}$.
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{exointro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Matrices et opérations}

\subsection{Matrices}
\begin{defin} 
Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels strictement positifs.\\
Une matrice de format $(m, n)$ est un tableau à $m$ lignes et $n$ colonnes de nombres réels appelés coefficients.\\
La position d'un coefficient est indiquée en indice : $a_{ij}$ est le coefficient qui se trouve à l'intersection de la $i$\ieme{} ligne et de la $j$\ieme{} colonne.\\
Une matrice $A$ dont les coefficients sont $a_{ij}$  est parfois notée $(a_{ij})$.
\end{defin}


\newpage
\subsection{Matrices particulières}
\begin{defin} 
Une matrice de format $(n , n)$ est appelée matrice carrée d'ordre $n$.\\
Une matrice  de format $(m,1)$  est appelée  matrice colonne.\\
Une  matrice de format $(1, n)$ est appelée matrice ligne.
\end{defin}

\subsection{Somme et produit par un réel}

Soient $A$ la matrice de format $(m,n)$ de coefficients $a_{ij}$, et $B$ la matrice de format $(m,n)$ de coefficients $b_{ij}$.

\begin{defin} 
La somme $A+B$ des deux matrices $A$ et $B$ est la matrice $C$ de format $(m,n)$, de coefficients  $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.\\
Le produit $kA$ de la matrice $A$ par un réel $k$ est la matrice $D$ de format $(m, n)$ et de coefficients $d_{ij} = ka_{ij}$.
\end{defin}

\subsection{Produit de deux matrices}

\begin{defin} 
Soient $n$, $m$ et $p$ des entiers strictement positifs.\\
Soient $A$ une matrice de format $(m, p)$ et $B$ une matrice de format $(p, n)$.\\
Le produit $A\times B$ (aussi noté $AB$) est la matrice de format $(m, n)$ dont le coefficient $c_{ij}$ est le produit terme à terme des coefficients de la $i$\ieme{} ligne de $A$ par les coefficients de la $j$\ieme{} ligne de $B$ :
\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj}. \]
\end{defin}

Le schéma suivant indique comment on obtient le coefficient  $c_{12}$ de la matrice produit de $A=
\left( \begin{array}{ c c }
     7 & 2 \\
     3 & 4
  \end{array} \right)
$ par $B=
\left( \begin{array}{ c c c}
     1 & 3 & 0 \\
     -2 & 5 & 2
  \end{array} \right)
  $ :
 
\vspace*{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{17-Cours-fig2}
\end{center}
\vspace*{0.2cm}

Le produit $A\times B$ est alors $
\left( \begin{array}{ c c c}
     3 & 31 & 4 \\
     -5 & 29 & 8
  \end{array} \right)$.
  
\begin{prop} 
Lorsqu'on fait le produit de deux matrices carrées d'ordre $n$, on obtient une matrice carrée d'ordre $n$.\\
Lorsqu'on fait le produit d'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ avec une matrice colonne $P$ de format $(n,1)$ on obtient une matrice colonne de format $(n,1)$.
\end{prop}


\subsection{Cas particulier des matrices carrées}

\begin{prop} 
Le produit de deux matrices carrées de même ordre est une opération associative et distributive par rapport à l'addition.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices carrées de même ordre, alors :
\[
\begin{aligned}
A \times (B\times C) &= (A \times B) \times C \\
A \times (B + C) &= A \times C + A \times B.
\end{aligned}
\]
\end{prop}

\begin{defin} 
Soit $A$ une matrice carrée. Pour tout nombre entier strictement positif on appelle puissance $n$\ieme{} de $A$ et on note $A^n$ le produit de $n$ matrices égales à $A$.
\[
     A^1 = A \qquad A^2 = A \times A \qquad A^{n+1} = A \times A^n = A^n \times A.
\]
\end{defin}


\begin{defin} 
La matrice carrée $I_n$ (parfois simplement notée $I$) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1 est appelée matrice identité d'ordre $n$.
\end{defin}

\begin{prop} 
Pour toute matrice carrée d'ordre $n$,  $A \times I_n = I_n \times A = A$.
\end{prop}

\begin{attention}
Alors que l'addition de matrices carrées d'ordre $n$ a les mêmes propriétés que l'addition des nombres réels, il n'en va pas de même pour la multiplication.\\

En particulier :\\
Il existe  des matrices carrées $A$ et $B$ telles que $A\times B \neq B\times A$  (produit non commutatif).
Il existe des matrices carrées $A$, $B$ et $C$ non nulles telles que $A \neq B$  mais $A\times C = B\times C$.
\end{attention}

\subsection{Inverse d'une matrice carrée}

\begin{defin} 
On dit qu'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible quand il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que :
\[ A\times B = B\times A = I_n. \]
La matrice $B$ s'appelle la matrice inverse de la matrice $A$ et se note $A^{-1}$.
\end{defin}

\begin{defin} 
Soit $A=
\left( \begin{array}{ c c }
     a & c \\
     b & d
  \end{array} \right)$
 une matrice carrée d'ordre 2.\\
Le déterminant de $A$  est le nombre $ad - bc$.
\end{defin}

\begin{thm}
La matrice $A$ d'ordre 2 égale à 
$\left( \begin{array}{ c c }
     a & c \\
     b & d
  \end{array} \right)$ 
  est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.\\
Sa matrice inverse est alors :   $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}
\left( \begin{array}{ c c }
     d & -c \\
     -b & a
  \end{array} \right)$.
\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item %1
\begin{questions}
\item %1a
$A^2=\begin{pmatrix}
2\times2+4\times(-1) & 2\times4+4\times(-2)\\
-1\times2-2\times(-1) & -1\times4-2\times(-1)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

\item\label{exointro1q1b}%1b
\begin{itemize}
\item Initialisation.

Pour $n=1$, on a évidemment $I_2+A=I_2+A$. Donc la propriété est vraie au rang 1.

\item Hérédité.

Supposons que, pour un entier non nul $k$, $\left(I_2+A\right)^k=I_2+kA$. Montrons qu'alors :
\[
\left(I_2+A\right)^{k+1}=I_2+(k+1)A.
\]
On a :
\begin{align*}
\left(I_2+A\right)^{k+1}&=\left(I_2+A\right)\left(I_2+A\right)^{k}\\
& = \left(I_2+A\right)\left(I_2+kA\right)\\
& = I_2^2+kI_2\times A+A\times I_2+kA^2\\
& = I_2+kA+A\\
& = I_2+(k+1)A.
\end{align*}
\end{itemize}
\BreakWithoutItem
On a donc bien, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ \left(I_2+A\right)^{kn}=I_2+nA.\]
\end{questions}

\item %2
\begin{questions}
\item %2a
On remarque que $M_1 = I_2 + A$.
Donc d'après la question \refitem{exointro1q1b} :
\[
M_1^n=I_2+nA=\begin{pmatrix}
2n+1 & 4n\\
-n & 1-2n
\end{pmatrix}.
\]

\item %2b
Ici, $M_2 = I_2 + B$ avec $B = \begin{pmatrix}
-3&1\\-9&3\end{pmatrix}$.

On peut constater facilement que $B^2 =\begin{pmatrix}
0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

Par conséquent, en s'inspirant du travail fait en \refitem{exointro1q1b}, on a :
\[
\left(I_2+B\right)^n=I_2+nB\;,\]
et donc :
\[
M_2^n=I_2+nB=\begin{pmatrix}
-3n+1&n\\
-9n&3n+1
\end{pmatrix}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Systèmes linéaires}

\begin{exointro}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}
\begin{questions}
\item Écrire le système suivant sous forme matricielle :
\[
\begin{cases}
x+2y-z&=1\\
3x+2y-2z&=4\\
x-y+z&=-2
\end{cases}
\]

\item Résoudre le système à l'aide de la calculatrice.
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

\subsection{\'Ecriture matricielle d'un système linéaire}

\begin{defin} 
Un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, $x_1$ , $x_2$, \dots $x_n$  est de la forme :
\[ \left\{
\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2 \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\dots \dots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \dots + a_{nn} x_n = b_n 
\end{aligned} \right.
\]
On appelle matrice du système la matrice carrée $A$ d'ordre $n$  définie par :
\[ 
A = \left( \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{matrix} \right)  
\]
En posant $X= \left(
 \begin{matrix}
  x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\x_n
 \end{matrix} \right)$ 
et $B = \left(
 \begin{matrix}
  b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n
 \end{matrix}\right)$, on obtient l'écriture matricielle du système : $A\times X = B$.
\end{defin}


\begin{prop} 
Lorsque $A$ est une matrice carrée, le système d'équations linéaires dont l'écriture matricielle est $A\times X = B$, admet une solution unique si et seulement si $A$ est inversible.\\
La solution est alors  $X = A^{-1} \times B$.
\end{prop}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item L'écriture matricielle du système est : $A\times X = B$ avec :
\[
A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&2&-2\\1&-1&1\end{pmatrix}\quad,\quad X=\begin{pmatrix}
x\\y\\z\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad B=\begin{pmatrix}
1\\4\\-2\end{pmatrix}.
\]

\item La calculatrice donne $\det(A)=-5$, donc la matrice est inversible.
\[
AX=B \Leftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \Leftrightarrow X=A^{-1}B.
\]
La calculatrice donne $X=\begin{pmatrix}
0\\-1\\-3\end{pmatrix}$ donc $S =\big\{(0~; -1~; -3)\big\}$.
\end{questions}
\end{solintro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Marche aléatoire. \'Etude asymptotique}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
Voici un graphe probabiliste. 

On considère dans l'ordre les positions A, B et C.

L'état probabiliste initial est $P_0 = \begin{pmatrix}
0,3 & 0,4 & 0,3\end{pmatrix}$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{17_fig_01}
\end{center}


\begin{questions}
\item Écrire la matrice de transition $A$ du graphe probabiliste.
\item \`A l'aide de la calculatrice, conjecturer l'état probabiliste au bout d'un grand nombre d'étapes.
\item On suppose que la suite des états probabilistes converge vers un état stable. Le déterminer par le calcul.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Marche aléatoire}

\begin{defin} 
Un processus aléatoire composé de $N$ états, numérotés de 1 à $N$, est modélisé par une marche aléatoire sur un graphe.
La probabilité de passer à l'état $j$ sachant qu'on est à l'état $i$ est notée $a_{ij}$. Cela définit une matrice $A = (a_{ij})$ appelée matrice de transition du graphe. La matrice $A$ est carrée d'ordre $N$.\\
La matrice $P_n$ est la matrice ligne de format $(1,N)$ dont le coefficient de la colonne $k$ est la probabilité d'être dans l'état $k$ à la $n$\ieme{} étape.\\
La suite $(P_n)$ vérifie la relation de récurrence  $P_{n+1} = P_n \times A$  avec $P_0$ qui est donné par  l'état initial.
\end{defin}

\begin{Remarque}
pour tout entier naturel $n$, les $N$ coefficients de $P_n$ sont positifs et leur somme est 1.\\
Pour tous entiers $i$ et $j$ compris entre 0 et $N$, les coefficients $a_{ij}$ sont compris entre 0 et 1 et la somme des $N$ coefficients de chaque ligne de $A$ vaut 1.
\end{Remarque}

\begin{Remarque}
dans certains contextes, les matrices d'état sont des matrices colonnes.
Dans ce cas, chaque coefficient $(a_{ij})$ de la matrice de transition est la probabilité  de passer à l'état $i$ sachant qu'on est à l'état $j$, et alors $P_{n+1} = A \times P_n$.
Pour tous entiers $i$ et $j$ compris entre 0 et $N$, les coefficients $a_{ij}$ sont compris entre 0 et 1 et la somme des $N$ coefficients de chaque colonne de $A$ vaut 1.
\end{Remarque}


\subsection{\'Etude asymptotique}

\begin{defin} 
Dire qu'une suite de matrices $(U_n)$  converge vers une matrice $L$ de même format signifie que les suites des coefficients de mêmes indices des matrices $U_n$ convergent vers le coefficient de mêmes indices de la matrice $L$. 
\end{defin}

\begin{prop} 
La suite $(P_n)$ des états est définie par la relation de récurrence $P_{n+1} = P_n \times A$  et $P_0$ est défini par l'état initial.\\
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $P_n = P_0 \times A^n$  (on pose par convention $A^0 = I_N$).\\
Si la suite des états est une matrice colonne, on obtient $P_n = A^n \times P_0$.
\end{prop}


Pour étudier la convergence de la suite $(P_n)$, il suffit donc théoriquement d'étudier la convergence de la suite  des matrices $A^n$, ce qui n'est pas toujours aisé. 

\begin{defin} 
Dire qu'une matrice ligne $S$ est un état stable du processus  modélisable par une marche aléatoire de matrice de transition $A$ signifie que :
\[  S = S \times A \qquad \text{(ou $S=A \times S$ pour les matrices colonnes).} \]
\end{defin}

\begin{prop} 
Lorsque la suite $(P_n)$ converge, elle converge vers un état stable du processus.
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $A=\begin{pmatrix}
0,2 & 0,4 & 0,4\\
0,7 & 0,1 & 0,2\\
0,1 & 0,6 & 0,3
\end{pmatrix}$.

\item Si on calcule $P_0\times A^{10}$, on obtient $P_{10}\approx\begin{pmatrix}0,347 & 0,354 & 0,299\end{pmatrix}$. Si on calcule $P_{20}$, on obtient $P_{20}\approx\begin{pmatrix}0,347 & 0,354 & 0,299\end{pmatrix}$.

Donc l'état semble se stabiliser autour de ces valeurs.

\Break

\item Soit $S$ l'état stable. $S$ vérifie $S = SA$, donc \scalebox{0.9}{$S×(I_3-A)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$}.

On a :\vspace*{-0.7em}
\[
I_3-A=\begin{pmatrix}
0,8 & -0,4 & -0,4\\
-0,7 & 0,9 & -0,2\\
-0,1 & -0,6 & 0,7
\end{pmatrix}.
\]

Posons $S = \begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}$.

$S×(I_3-A)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ conduit donc au système : 
\[
\begin{cases}
0,8x-0,7y-0,1z&=0\\
-0,4x+0,9y-0,6z&=0\\
-0,4x-0,2y+0,7z&=0
\end{cases}\;
\]

On sait de plus que $x + y + z = 1$.

En remplaçant $z$ par $1-x-y$ dans les deux premières équations, on obtient :
\begin{align*}
\begin{cases}
0,9x-0,6y&=0,1\\
0,2x+1,5y&=0,6
\end{cases}
&
\Leftrightarrow
\begin{cases}
9x-6y&=1\\
2x+15y&=6
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
y=\dfrac{9x-1}{6}\\[8pt]
2x+\dfrac{45x-5}{2}=6
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow
\begin{cases}
y=\dfrac{9x-1}{2}\\[8pt]
49x-5=12
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow\begin{cases}
x&=\dfrac{17}{49}\\[8pt]
y&=\dfrac{52}{147}
\end{cases}
\end{align*}
On a donc $z=1-x-y=\dfrac{44}{147}$.

On vérifie dans la troisième équation du système : 
\[
-0,4\times\dfrac{17}{49}-0,2\times\dfrac{52}{147}+0,7\times\dfrac{44}{147}=0.
\]

L'état stable est donc $S=\begin{pmatrix}
\dfrac{17}{49} & \dfrac{52}{147} & \dfrac{44}{147}
\end{pmatrix}$.

On peut vérifier que $x\approx0,347$, $y\approx0,354$ et $z\approx0,299$. On retrouve les valeurs approchées trouvées précédemment.
\end{questions}
\vspace*{-0.7em}
\end{solintro}
\vspace*{-3.5em}
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Suites de matrices}

\begin{exointro}{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond}
La suite de matrices colonnes $(U_n)$ est définie par la donnée de $U_0$ et la relation $U_{n+1} = AU_n+B$, avec : $A=\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&-1\\4&-2&1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1\\-3\\5
\end{pmatrix}$.

Trouver l'état stable de la suite.
\end{exointro}


\subsection{\'Etat stable}
On définit une suite $(U_n)$ de matrices colonnes de format $(N, 1)$ par la relation de récurrence  $U_{n+1} = A \times  U_n + B$  et le premier terme $U_0$.

\begin{defin} 
Un état stable est une suite constante $S$ qui vérifie la relation de récurrence, c'est-à-dire $S = A\times S+B$.
\end{defin}

\begin{prop}
Il existe un état stable $S$ pour la relation de récurrence si et seulement si la matrice $(I-A)$ est inversible  et $S =  (I-A)^{-1} \times B$. 
\end{prop}

En effet, si $(I-A)$ est inversible,
\[ 
\begin{aligned}
S =A\times S+B &\iff I\times S - A\times S = B \\
&\iff (I-A) \times S = B \\
&\iff S = (I-A)^{-1} \times B. 
\end{aligned}
\]

\subsection{\'Etude de la convergence de $(U_n)$}


\begin{Remarque}
la situation ressemble à celle rencontrée pour les suites réelles arithmético-géométriques.
\end{Remarque}
S'il existe un état stable $S$, on peut étudier la suite $(V_n)$ de terme général\linebreak[4] $V_n= U_n - S$ et montrer qu'ainsi on se ramène à une suite vérifiant la relation de récurrence $V_{n+1}= A \times V_n$.\\
L'étude de la convergence de la suite $(V_n)$ se fait alors en étudiant la convergence des $N$ suites des coefficients de $A_n \times V_0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{solintro}
La matrice colonne $S$ est un état stable de la suite si et seulement si :
\[
S = A\times S + B\;,
\] 
c'est-à-dire :
\[
(I_3-A)\times S = B.
\]

Si la matrice est inversible, on aura alors :
\[
S = (I_3-A)^{-1}\times B.
\]

La calculatrice nous permet de savoir que :
\[
\det(I_3-A) = 8\;,
\]
donc cette matrice est inversible.

\Par

On calcule alors, à la calculatrice, $(I_3-A)^{-1}\times B$, et on obtient comme état stable :
\[ S = \begin{pmatrix}0,625\\3,75\\-6,125\end{pmatrix}.\]
\end{solintro}




\endinput