\thumb


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1

\begin {vf} {Matrice} {10}
Soient $A$, $B$ et $C$ des matrices.\\
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item Si $A\times B = A \times C $ alors $B=C$.
\item Si on peut calculer $A\times B$ et $B\times A$, alors $A$ et $B$ sont des matrices carrées de même ordre.
\item 
Si $A=
\left( \begin{matrix}
2 & 4 \\ 2 & 2
\end{matrix}\right)$,
alors $A^{-1} = 
\left( \begin{matrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{matrix}\right)$.

\item $(A+B)^2 =A^2 + 2 A\times B + B^2$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. Par exemple si $A =
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$, $B = 
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)$ et $C =
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)$ alors $AB = AC =
\left( \begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right)$ mais $B \neq C$. Par contre cette implication est vraie si $A$ est inversible.

\item Faux. Il suffit que $A$ soit de format $(m , n )$ et $B$ de format $(n, m)$ pour qu'on puisse calculer les deux produits quels que soient les entiers positifs $m$ et $n$.

\item Faux. On applique la formule du cours pour calculer l'inverse de la matrice carrée d'ordre 2. Le déterminant de $A$ est $2 \times 2-2  \times 4 = -4$. Donc :
\[ 
A^{-1} =\dfrac{1}{-4}
\left( \begin{matrix}
2 & -4 \\
-2 & 2
\end{matrix}\right)
= \left( \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 1\\[6pt]
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{matrix}\right). \]

\item Faux.  En appliquant la règle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on obtient :  $(A+B)^2=A^2 + AB + BA + B^2$.  Mais comme la multiplication n'est pas commutative, $AB + BA$ n'est en général pas égal à $2AB$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2

\begin {vf} {Systèmes} {10}
Soient $a$, $b$ et $c$ des réels. On considère le système d'inconnues $x$, $y$ et $z$ :
\[ \left\{
\begin{aligned}
2x+y=a \\
x-2z = b \\
x+y+z = c
\end{aligned} \right.
\] 
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item La matrice du système est $\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$.
\item Le système admet un triplet unique solution quelles que soient les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\item Si $A$ est la matrice du système, alors la matrice des solutions est :\\ 
$\begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix} \times A^{-1}$.

\item Si $P$ est solution du système $A \times X=B$ et du système $A'X=B'$, alors $P$ est solution du système $(A+A')\times X = B + B' $.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. La matrice associée est 
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$.

\item Vrai. La calculatrice montre que la matrice associée est inversible, donc que le système a une solution unique pour toutes valeurs données aux constantes $a$, $b$ et $c$.
\item Faux. Dans un système linéaire, on utilise des matrices colonnes. La matrice solution est alors $A^{-1}\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}$.

\item Vrai. Si $P$ est solution de chacun des systèmes, alors $AP=B$ et\linebreak[4] $A'P=B'$.
Or,  $(A+A')P=AP+AP'=B+B'$, ce qui montre que $P$ est solution de $(A+A')X=B+B'$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3

\begin {vf} {Suite de matrices} {10}
Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de format $(N, 1)$, qui vérifie la relation de récurrence $U_{n+1}= A \times U_n + B$.
\begin{questions}
\item La matrice $A$ est de format $(1, N)$.
\item La matrice $B$ est de format $(N, 1)$.
\item La matrice $A$ est inversible.
\item La relation admet un état stable.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Faux. La matrice $A$ est carrée de format $(N,N)$.
\item Vrai. La matrice $B$ a le même format que $U_n$, donc est de format $(N,1)$.
\item Faux. La matrice $A$ pourrait être la matrice nulle (tous les coefficients égaux à 0) qui n'est clairement pas inversible. Dans ce cas la suite $(U_n)$ serait la suite constante égale à $B$.
\item  Faux. Si $A$ est la matrice identité et les coefficients de $B$ ne sont pas tous nuls, alors la relation devient $U_{n+1} = U_n + B$. L'équation $S = S+B$ n'a pas de solution.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4


\begin {vf} {QCM 4} {10}
Une puce saute d'un sommet à l'autre d'un triangle. Arrivée à un sommet, elle saute sur un des deux autres choisis au hasard.\\
Les sommets sont numérotés 1, 2 et 3. On considère $X_n$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet atteint au $n$\ieme{} saut.\\
On note $P_n$ la matrice ligne  $\begin{pmatrix}
P(X_n =1) & P(X_n =2) & P(X_n=3)
\end{pmatrix}$.\\
La puce part du sommet 1.

\begin{questions}
\item La matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire est :
\[ 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[6pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[6pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} 
\end{pmatrix}.
\]

\item $P_0 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

\item $P_1 = \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$.

\item Après un grand nombre de sauts, la puce a moins de chance de se retrouver au sommet de départ qu'aux autres sommets.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{17-Corriges-fig3}
\end{center}
\begin{questions}
\item Faux. La puce n'a le choix qu'entre deux directions à partir de chaque sommet.
\[
M = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix} \]

\item Faux. $P_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$. 

\item Vrai. $P_1 = P_0 \times M = 
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$. 

\item Faux. Si $S = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}$ est un état stable du système, alors $S = SM$ et $a$, $b$ et $c$ sont solution du système :
\[ \left\{
\begin{aligned}
2a &= b+c \\
2b &= a+c, \text{ avec $a+b+c=1$.} \\
2c &= a+b
\end{aligned} \right.
\]
Chaque équation étant obtenue à partir d'une autre par permutation de $a$, $b$, $c$, on voit que  s'il y a des solutions, alors $a=b=c$. Donc l'état stable correspond à l'équiprobabilité des 3 positions.
Si l'état probabiliste converge, c'est vers l'état stable, donc au bout d'un grand nombre de sauts, la puce n'a donc pas plus de chance d'être sur un sommet plutôt qu'un autre.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Encore un Vrai/Faux}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{20}
Dire, pour chacune des propositions ci-dessous, si elles sont vraies ou fausses. Justifier.

\begin{questions}
\item Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a : \[ A^2 - B^2 = (A + B)(A -B).\]
\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ et $I$ la matrice identité d'ordre $p$. On a : $A^2 - I^2 = (A-I)(A + I)$.
\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre 2 telle que $A^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

Alors la matrice $A$ est nécessairement la matrice nulle.

\item Soit $a$ un nombre réel et $A$ la matrice carrée définie par $A = \begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}$.

La matrice $A$ est inversible pour tout réel $a$.

\item Une écriture matricielle du système $\begin{cases}
x+z&=-1\\
x-2y&=0\\
y+3z&=1
\end{cases}$ est : \[\begin{pmatrix}
1&0&1\\1&-2&0\\1&3&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\]

\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ inversible.

On a : $A^3 \times A^{-1} = A^2$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Faux. $(A + B)(A-B)=A^2- AB + BA - B^2$.

Mais en général, $AB\neq BA$, donc l'identité proposée est fausse. 

\item Vrai. $(A-I)(A + I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 + A - A - I^2 = A^2 - I^2$.

\item Faux. Par exemple, si $A = \begin{pmatrix}
-2&-4\\1&2\end{pmatrix}$, $A^2 = \begin{pmatrix}
0&0\\0&0\end{pmatrix}$.

\item Faux. Le déterminant de $A$ est $a^2 - 1$, et il s'annule pour $a = 1$ et $a = -1$.

\item Faux. La matrice carrée est : $\begin{pmatrix}
1&0&1\\1&-2&0\\0&1&3\end{pmatrix}$.

\item Vrai. En effet, $A^3 \times A^{-1} = A^2 \times A \times A^{-1} = A^2 \times I = A^2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex6 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Systèmes d'équations linéaires}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{15}
Donner l'écriture matricielle de chacun des systèmes suivants, puis les résoudre en effectuant des calculs matricielles à la calculatrice.

\begin{questions}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $S_1\;:\;\begin{cases}
y+z&=1\\
x+z&=1\\
x+y&=1
\end{cases}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item $S_2\;:\;\begin{cases}
2x-y+z&=7\\
x+y-z&=4\\
4x+7y+2z&=0
\end{cases}$
\end{minipage}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'écriture matricielle de $S_1$ est : $A\times X = B$ avec :
\[
A = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\quad,\quad X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B = \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}.
\]

$X = A^{-1}\times B$, et la calculatrice donne : 
\[ S = \big\{(0,5~; 0,5~; 0,5)\big\}. \]

\item L'écriture matricielle de $S_2$ est $A\times X = B$ avec :

\[
A = \begin{pmatrix}2&-1&1\\1&1&-1\\4&7&2\end{pmatrix} \quad , \quad X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}  \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix}7\\4\\0 
\end{pmatrix}.\]

$X = A^{-1}\times B$.

\`A la calculatrice, on obtient :
\[ S = \left\{\left(\dfrac{11}{3}~;-\dfrac{14}{9}~; -\dfrac{17}{9}\right) \right\}.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex7 [nouveau 2014]

\begin{exo}{États probabilistes}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
Deux fabricants de parfums lancent simultanément leur nouveau produit qu'ils appellent Aurore et Boréale.

Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité. L'un d'eux contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires. Chaque semaine, il interroge les mêmes personnes qui toutes se prononcent en faveur de l'un de ces deux produits.

Au début de la campagne, 20\% des personnes interrogées préfèrent Aurore (et les autres préfèrent Boréale).

Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10\% des personnes interrogées préférant Aurore et 15\% des personnes interrogées préférant Boréale changent d'avis d'une semaine sur l'autre.

La semaine du début de campagne est notée semaine 0.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste la semaine $n$, où $a_n$ désigne la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine $n$ et $b_n$ la probabilité qu'une personne choisie au hasard préfère Boréale la semaine $n$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Donner la matrice $P_0$.
\item Cette situation peut être assimilée à une marche aléatoire sur un graphe à deux sommets.

Écrire la matrice de transition $M$ entre les états de cette marche aléatoire.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Calculer $P_1$ à la main, en détaillant le calcul.
\item Exprimer, pour tout $n$, $P_n$ en fonction de $P_0$ et $n$.
\item En déduire $P_4$ à l'aide de la calculatrice (on donnera des valeurs approchées au centième) et interpréter ce résultat.
\end{questions}

\item Que fait l'algorithme suivant ?

\begin{algorithme}
La matrice ligne $P$ prend la valeur $(0,2 \quad 0,8)$.
$p_1$ prend la valeur 0,2
$p_2$ prend la valeur 0,8
La matrice carrée $M$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,9 \quad 0,1\\0,15 \quad 0,85\end{pmatrix}$
Le nombre entier Semaine prend la valeur 0
Tant que $p_1 < p_2$ ou Semaine $<$ 10 faire
\qquad $P$ prend la valeur $P \times M$
\qquad Semaine prend la valeur Semaine + 1 
Fin de Tant que
Si Semaine $<$ 10
\qquad Afficher : \og le parfum Aurore sera préféré au parfum
\qquad Boréale après un nombre de semaine égale à : \fg
\qquad Afficher Semaine
Sinon 
\qquad Afficher : \og durant les dix premières semaines suivant
\qquad le début de la campagne, le parfum Aurore ne sera pas
\qquad préféré au parfum Boréale \fg
Fin si
\end{algorithme}

\item Le fabricant de parfum qui a lancé la campagne estime qu'en fait chaque semaine seuls 80\% des consommateurs voient leur comportement influencé comme décrit ci-dessus par la publicité. Les 20\% restants choisissent de façon équiprobable un des deux parfums.
On garde les notations des autres questions ($P_n$ et $M$)

\begin{questions}
\item Établir, pour tout $n\geqslant0$, une relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$ faisant intervenir la matrice $M$ et la matrice ligne $N = \begin{pmatrix}0,5&0,5 \end{pmatrix}$.

\item Si les conditions initiales sont celles du début du problème, déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'état probabiliste des choix de parfums après 4 semaines de publicité (arrondir les résultats au centième).
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $P_0=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
\item $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P_1&=P_0\times M=\begin{pmatrix}
0,2\times0,9+0,8\times0,15 & 0,2\times0,1+0,8\times0,85
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}.
\end{aligned}$
\item $P_n=P_0\times M^n$.
\item $P_4=P_0\times M^4\approx\begin{pmatrix}0,47 & 0,53\end{pmatrix}$.

Au bout de 4 semaines, la probabilité qu'une personne interrogée préfère le parfum Aurore est environ 0,47, et la probabilité qu'elle préfère Boréale est environ 0,53.
\end{questions}

\item Cet algorithme détermine au bout de combien de semaines la probabilité que le parfum Aurore soit préféré par une personne prise au hasard devient supérieure ou égale à celle que la personne préfère Boréale, si cela arrive avant la dixième semaine.

\item 
\begin{questions}
\item $P_{n+1}=0,8\times P_n\times M+0,2\times N$.

\item On obtient successivement : 
\begin{itemize}
\item $P_1=\begin{pmatrix}0,34 & 0,66\end{pmatrix}$ ;
\item $P_2=\begin{pmatrix}0,424 & 0,576\end{pmatrix}$ ;
\item $P_3=\begin{pmatrix}\numprint{0,4744} & \numprint{0,5256}\end{pmatrix}$ ;
\item $P_4\approx\begin{pmatrix}0,50 & 0,50\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex8 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Suites et matrices}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{25}
On considère la suite $u$ définie par : 
\[
\begin{cases}
u_0=3\\
u_1=8\\
u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\quad,\quad\forall n\in\N.
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
\item Pour tout entier naturel $n\geqslant2$, on souhaite calculer $u_n$ à l'aide de l'algorithme page suivante.

\Par

\begin{algorithme}
Variables
\qquad a, b et c des nombres réels
\qquad i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou
\qquad égaux à 2
Initialisation
\qquad a prend la valeur 3
\qquad b prend la valeur 8
Traitement
\qquad Saisir n
\qquad Pour i allant de 2 à n faire
\qquad\qquad c prend la valeur a
\qquad\qquad a prend la valeur b
\qquad\qquad b prend la valeur ...
\qquad\qquad Fin de Pour
Sortie
\qquad Afficher b
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Recopier la ligne de cet algorithme qui comporte des pointillés et la compléter.
\item On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
$n$ & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\
\hline
$u_n$ & \numprint{4502} & \numprint{13378} & \numprint{39878} & \numprint{119122} & \numprint{356342} \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
$n$ &12&13&14&15\\
\hline
$u_n$ & \numprint{1066978} & \numprint{3196838} & \numprint{9582322} & \numprint{28730582}\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Quelle conjecture peut-on émettre sur la monotonie de la suite ?
\end{questions}

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$.

On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1} = AC_n$.

Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n$, $C_n = A^nC_0$.

\item Soient $P=\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}-1&3\\1&-2\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Calculer $QP$.
\item On admet que $A = PDQ$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \[ A^n = PD^nQ.\]
\end{questions}

\item \`A l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, qu'on admet : pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
A^n=\begin{pmatrix}
-2^{n+1}+3^n & 3\times2^{n+1}-2\times3^{n+1}\\
-2^n+3^n & 3\times2^n-2\times3^n
\end{pmatrix}.
\]

En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

La suite $u$ a-t-elle une limite ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient : $u_1 = 22$ et $u_2 = 62$.
\item
\begin{questions}
\item On veut obtenir $u_{n+2}$ à partir des termes précédents qui s'appellent ici : $a$ pour $u_{n+1}$ et $c$ pour $u_n$. Donc la ligne complétée de l'algorithme est : \og {\makeatletter\PM@AlgoFont b prend la valeur 5a-6c\makeatother} \fg.
\item La suite semble croissante (et semble tendre vers $+\infty$).
\end{questions}

\item $A =\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}$.

Le résultat est assez évident, mais par rigueur on peut faire une récurrence.

\begin{itemize}
\item La propriété est évidemment vraie au rang 0.
\item Supposons la propriété vraie au rang $k$, c'est-à-dire $C_k = A^kC_0$.

On a $C_{k+1} = AC_k$, donc $C_{k+1}=A\times A^kC_0 = A^{k+1}C_0$.
\end{itemize}

On a montré que la propriété est vraie au rang 0, et que, si elle est vraie à un rang $k$ quelconque, elle est aussi vraie au rang $k + 1$, elle est donc vraie pour tout $n$.

\item 
\begin{questions}
\item $QP=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$. Cela signifie que $Q$ est l'inverse de $P$.

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : $A^1 = PDQ$ : c'est ce qu'on admet d'après l'énoncé donc la propriété est vraie au rang 1.
\item Hérédité : supposons la propriété vraie à un rang $k$ supérieur ou égal à 1, c'est-à-dire : $A^k = PD^kQ$.
\begin{align*}
A^{k+1} & = A \times A^k\\
& = PDQ \times PD^kQ\\
& = PD\times(QP)\times D^kQ\\
& = P\times D\times D^k \times Q\quad\text{car }QP=I_2\\
& = P\times D^{k+1}\times Q
\end{align*}
\end{itemize}

Donc pour tout $n$, $A^n = PD^nQ$.
\end{questions}

\item D'après ce qui précède on a :
\[
\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_1\\u_0\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}
8\\3\end{pmatrix}.
\]

De plus, $D^n =\begin{pmatrix}2^n & 0\\0 & 3^n\end{pmatrix}$ (si vous n'êtes pas convaincus, cela se démontre aisément par récurrence).

On peut en déduire $A^n$, dont seuls deux termes nous intéressent. On en déduit donc en effectuant partiellement le produit matriciel : 
\[
u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times2^n-2\times3n)=2^n+2\times3^n.
\]
2 et 3 étant supérieurs à 1, $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=\lim\limits_{n\to+\infty}3^n=+\infty$. 

Par conséquent, la suite diverge vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex9 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Suite de matrices}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile AFR et BFM se partagent le marché.

En 2005, AFR en contrôlait 80\%, et BFM 20\%. Mais la concurrence fait rage. On a observé, dans les années suivantes, que d'une année sur l'autre :

\begin{itemize}
\item 60\% de la clientèle de AFR lui reste fidèle, tandis que 40\% passent chez BFM.
\item 70\% de la clientèle de BFM lui reste fidèle, tandis que 30\% passe chez AFR.
\end{itemize}

Ces proportions sont stables ; il n'y a pas de fuite de clientèle vers des opérateurs étrangers, et il n'y a pas d'abandon de consommation de ces produits.

Pour tout entier naturel $n$, on note respectivement $a_n$ et $b_n$ les parts de marché de AFR et BFM en l'année $(2005+n)$. Ainsi, $a_0=0,8$ et $b_0=0,2$.

\begin{questions}
\item Traduire l'énoncé pour obtenir le système d'équations donnant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item On pose $(U_n)$ la suite de matrices colonnes telle que $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Traduire le système d'équations sous forme matricielle\linebreak $U_{n+1}=AU_n$. Donner $A$.
\item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $U_0$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, donner les parts de marché de AFR et BFM en 2020.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item De la relation $a_n+b_n=1$, déterminer les matrices $D$ et $E$ telles que : $U_{n+1}=DU_n+E$, où $D$ est une matrice diagonale et $E$ une matrice colonne.
\item Déterminer la matrice colonne $C$ telle $C=DC+E$.
\item On pose la suite de matrices $(X_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$, $X_n=U_n-C$.

Montrer que $X_{n+1}=DX_n$.
\item En déduire l'expression de $X_n$, puis de $U_n$, en fonction de $n$.
\item Montrer alors que $U$ converge vers $C$. Interpréter.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, on a : 
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases}\;
\]

\item
\begin{questions}
\item On a : $U_{n+1} = AU_n$ avec $A = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,3\\
0,4 & 0,7
\end{pmatrix}$.

\begin{Remarque}
ceci diffère de la présentation du cours, où on avait plutôt $U_{n+1} = U_nA$. Il faut savoir s'adapter !
\end{Remarque}

\item On a donc : $U_n = A^nU_0$.

\item On obtient alors $U_{15}\approx\begin{pmatrix}0,43\\0,57\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item En utilisant $a_n+b_n=1$, on obtient :
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases} &
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3(1-a_n)\\
b_{n+1} = 0,4(1-b_n)+0,7b_n
\end{cases}\\
&
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,3a_n+0,3\\
b_{n+1} = 0,3b_n+0,4
\end{cases}
\end{align*}
Donc,
\[
\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\b_n
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}.
\]
On a donc :
\[
D =\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad E = \begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}.
\]

\item On pose $C = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
\[
C=DC+E\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0,3a\\0,3b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,3\\0,4
\end{pmatrix}.
\]
On a donc : $a = 0,3a + 0,3$ et $b = 0,3 b + 0,4$, donc $a = \dfrac{3}{7}$ et $b =\dfrac{4}{7}$, et donc $C = \begin{pmatrix}
\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}$.

\item On a : 
\begin{align*}
X_{n+1} &  = U_{n+1} - C \\
        & = DU_n +E- C \\
        & = DU_n-DC\\
        & = D(U_n-C)\\
        & = DX_n.
\end{align*}

\item Par analogie avec les suites géométriques, on a donc :
\[
X_n = D^nX_0 =\begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\dbinom{\frac{13}{35}}{-\frac{13}{35}}\]  
car :
\[
X_0 = U_0 - C = \begin{pmatrix}0,8\\0,2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}.
\]
On a ensuite : 
\begin{align*}
U_n &= X_n + C\\
& = \begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{3}{7}\\[6pt]-\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{4}{7}\end{pmatrix}.
\end{align*}

\item 0,3 est strictement compris entre $-1$ et 1, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0,3^n=0$.

On peut donc en conclure que $\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix} = C$.

Ceci signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années, le marché va se stabiliser, AFR ayant 3 parts sur 7 et BFM 4 parts sur 7.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex10 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Puissances d'une matrice}{Lycée Charlemagne, Paris}{3}{30}
Soit la matrice définie par $A=\begin{pmatrix}
0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$. 

$I$ est la matrice identité d'ordre 3.

\begin{questions}
\item %1
\begin{questions}
\item Calculer $A^2$ et montrer que $A^2 = A + 2I$.
\item En déduire $A^3$ en fonction de $A$ et de $I$.
\end{questions}

\item Pour tout entier $n\geqslant1$, montrer par récurrence qu'il existe des réels $u_n$ et $v_n$ tels que : $A^n = u_nA + v_nI$.

On précisera la valeur de $u_1$ et $v_1$ et on exprimera $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.

\item Écrire un algorithme calculant et affichant, pour un entier $n$ non nul donné, les valeurs de $u_n$ et $v_n$.

\item Déterminer la matrice carrée $M$ d'ordre 2 telle que :
\[
\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\times\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}.
\]

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[
M^n=\dfrac{2^n}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^n}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}.
\]

\item On admet que, pour tout entier $n$ non nul, $\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix} = M^{n-1}\times\begin{pmatrix}u_1\\v_1\end{pmatrix}$.

Calculer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire l'expression de $A^n$ pour tout entier $n$ non nul.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $A^2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}$.

$\begin{aligned}[t]
A+2I&=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}\\
&=A^2.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
A^3 &=A\times A^2\\
&=A\times(A+2I)\\
&=A^2+2AI\\
&=A+2I+2A\
&= 3A + 2I.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : on a $A^1 = A = 1A + 0I$.
\item Supposons qu'à un rang $k$, $A^k = u_k A + v_kI$.
\begin{align*}
A^{k+1} &  = A\times A^k\\
&  = A(u_k A + v_kI)\\
& = u_kA^2 + v_kAI\\
& = u_k(A + 2I) + v_kA\\
& = (u_k + v_k)A + 2u_k I.
\end{align*}
Il existe donc bien deux réels $u_{k+1}$ et $v_{k+1}$ tels que :
\[
A^{k+1} = u_{k+1} A + v_{k+1} I.
\]
\end{itemize}

Donc pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = u_n A + v_n I$, et d'après ce qui précède on a : 
\[
u_{n+1} = u_n + v_n\qquad\text{et}\qquad v_{n+1} = 2u_n.
\]

\item Voici un algorithme possible :

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad Saisir la valeur de n
Initialisation
\qquad u prend la valeur 1
\qquad v prend la valeur 0
Traitement
\qquad Pour i allant de 2 à n
\qquad\qquad c prend la valeur u + v
\qquad\qquad v prend la valeur 2u
\qquad\qquad u prend la valeur c
\qquad Fin de Pour
Sortie
\qquad Afficher u et v
\end{algorithme}

\item $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_n\\v_n\end{pmatrix}$.

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : 
\begin{align*}
& \dfrac{2^1}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\\
= & \begin{pmatrix}
\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\\[6pt]
\frac{4}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\[6pt]
\frac{2}{3} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix}\\
= & \begin{pmatrix}
1&1\\2&0
\end{pmatrix}\\
=&M.
\end{align*}

Ainsi, l'égalité est vraie au rang 1.

\item Hérédité : Supposons que, pour un rang $k$, 
\[
M^k=\dfrac{2^k}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^k}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}.
\]

Alors,

\begin{align*}
M^{k+1} &  =  M^k\times M\\
& = \dfrac{2^k}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
1&1\\2&0\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^k}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
1&1\\2&0\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{2^k}{3}\begin{pmatrix}4&2\\4&2\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^k}{3}\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{2^{k+1}}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^k}{3}(-1)\begin{pmatrix}
1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\\
& = \dfrac{2^{k+1}}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^{k+1}}{3}\begin{pmatrix}
1&-1\\-2&2\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{itemize}

Donc on a bien pour tout $n$ : $M^n=\dfrac{2^n}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^n}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix} & = 
\left[\dfrac{2^{n-1}}{3}\begin{pmatrix}2&1\\2&1 \end{pmatrix}+\dfrac{(-1)^{n-1}}{3}\begin{pmatrix}
1&-1\\-2&2\end{pmatrix} \right]\begin{pmatrix}
1\\0\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
\frac{2^n}{3} & \frac{2^{n-1}}{3}\\[6pt]
\frac{2^n}{3} & \frac{2^{n-1}}{3}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\frac{(-1)^{n-1}}{3} & \frac{(-1)^n}{3}\\[6pt]
\frac{2(-1)^n}{3} & \frac{2(-1)^{n-1}}{3}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
\frac{2^n}{3}\\[6pt]\frac{2^n}{3}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{(-1)^{n-1}}{3} \\[6pt] \frac{2(-1)^n}{3}
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
\frac{2^n}{3}+\frac{(-1)^{n-1}}{3} \\[6pt] 
\frac{2^n}{3}+\frac{2(-1)^n}{3}
\end{pmatrix}
\end{aligned}$
 

On a donc $A^n =\left(\frac{2^n}{3}+\frac{(-1)^{n-1}}{3}\right)A + \left(\frac{2^n}{3}+\frac{2(-1)^n}{3}\right)I$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex11 [nouveau 2014]

\begin{exo}{Famille de matrices}{Lycée Hoche, Versailles}{3}{25}
Soit $E$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$, $a$ et $b$ étant deux réels.

\begin{questions}
\item Prouver que la somme de deux matrices de $E$ est une matrice de $E$, de même que le produit.
\item \`A quelle condition une matrice de $E$ est-elle inversible ?

Donner alors son inverse.
\item Résoudre en étudiant tous les cas le système : $\begin{cases}
ax+by&=c\\
bx+ay&=d
\end{cases}$ d'inconnues $x$ et $y$.

\item
\begin{questions}
\item On pose $M=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$. Déterminer $M^{-1}$.

Calculer $B=M^{-1}\times A\times M$.

Conjecturer l'expression de $B^n$, $n$ étant un entier naturel non nul.

Pour la suite, on admet la conjecture.

\item Prouver par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
A^n = M\times B^n\times M^{-1}.
\]

En déduire l'expression de $A^n$.
\end{questions}

\item On suppose maintenant que $A$ est une matrice de transition probabiliste.

\begin{questions}
\item Que peut-on en déduire pour $a$ et $b$ ?
\item Que devient alors l'expression de $A^n$ ?
\item Si $P_0 =\begin{pmatrix}x_0 & y_0\end{pmatrix}$ est l'état initial, donner $P_1$ et $P_2$.
\item Quel est l'état $P_n$ ? Que devient $P_n$ pour $n$ très grand ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soient $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix}a'&b'\\b'&a'\end{pmatrix}$ deux matrices de $E$.
\begin{itemize}
\item $A+A'=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\ b+b' & a+a'
\end{pmatrix}$.

Les éléments situés sur la même diagonale sont égaux, donc $A + A'$ est bien une matrice de E.

\item $A\times A'=\begin{pmatrix}aa'+bb' & ab'+ba' \\a'b+b'a & aa'+bb'\end{pmatrix}$.

Les éléments situés sur la même diagonale sont égaux, donc $A\times A'$ est une matrice de E.
\end{itemize}

\item Le déterminant de $A$ est $a^2-b^2$. Donc la matrice est inversible si $b$ est différent de $a$ et de $-a$.

Posons $A^{-1} = \begin{pmatrix}g & h\\ i & j\end{pmatrix}$. On doit avoir : 
\[
\begin{pmatrix}
a & b\\b & a
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
g & h\\i & j
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
On obtient donc le système : 
\[
\begin{cases}
ag+bi & =1\\
ah+bj & =0\\
bg+ai & = 0\\
bh+aj&=1
\end{cases}
\]
De la deuxième équation, on tire $j=-\dfrac{ah}{b}$, et en reportant dans la quatrième : 
\begin{align*}
bh-\dfrac{a^2h}{b}=1 & \Leftrightarrow \dfrac{h(b^2-a^2)}{b}=1\\
& \Leftrightarrow h=\dfrac{b}{b^2-a^2}.
\end{align*}

On obtient alors :
\[
j=\dfrac{-ab}{b(b^2-a^2)}=\dfrac{a}{a^2-b^2}.
\]
De la troisième équation, on tire $i=-\dfrac{bg}{a}$, et en reportant dans la première équation :

\begin{align*}
ag-\dfrac{b^2g}{a}=1 & \Leftrightarrow \dfrac{g(a^2-b^2)}{a}=1\\
& \Leftrightarrow g=\dfrac{a}{a^2-b^2}.
\end{align*}

Et finalement,
\[
i=\dfrac{-ba}{a(a^2-b^2)}=\dfrac{b}{b^2-a^2}.
\]

Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{a}{a^2-b^2} & \frac{b}{b^2-a^2}\\[6pt]
\frac{b}{b^2-a^2} & \frac{a}{a^2-b^2}
\end{pmatrix}$.

\begin{Remarque}
cette matrice est aussi un élément de E.
\end{Remarque}

\item
\begin{itemize}
\item Si la matrice est inversible, c'est-à-dire si $a^2\neq b^2$, on peut résoudre de façon matricielle le système : $AX = B\Leftrightarrow X = A^{-1}B$.

On obtient donc ici :
\[
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{a}{a^2-b^2} & \frac{b}{b^2-a^2}\\[6pt]
\frac{b}{b^2-a^2} & \frac{a}{a^2-b^2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}.
\]

Donc $S = \left\{ \left( \dfrac{ac-bd}{a^2-b^2} ~; \dfrac{ad-bc}{a^2-b^2} \right) \right\}$.

\item Si $a = b$, le système devient : $\begin{cases}
ax+ay=c\\
ax+ay=d
\end{cases}$.

Plusieurs cas se présentent :

\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] si $c = d$, et si $a\neq 0$, le système a une infinité de solutions.
\[ S = \left\{ \left( x~;\dfrac{c}{a}-x \right)\;,\;x\in\R \right\}.\]
\item[$\rightarrow$] si $c = d = 0$ et si $a = 0$, $S = \R^2$.
\item[$\rightarrow$] si $c = d\neq 0$ et si $a = 0$, $S = \varnothing$. 
\item[$\rightarrow$] si $c\neq d$, $S = \varnothing$.
\end{itemize}

\item Si $b = -a$, le système devient : $\begin{cases}
ax-ay=c\\
-ax+ay=d
\end{cases}$. 

Là encore, il y a plusieurs cas :

\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] si $c = -d$ et $a\neq0$, le système a une infinité de solutions. 
\[ S = \left\{ \left(x~;x-\dfrac{c}{a} \right)\;,\; x\in\R \right\}.\]
\item[$\rightarrow$] si $c = -d = 0$ et $a = 0$, on est dans un cas déjà vu. $S = \R^2$.
\item[$\rightarrow$] si $c = -d\neq 0$ et si $a = 0$, $S = \varnothing$. 
\item[$\rightarrow$] si $c\neq -d$, $S = \varnothing$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\item
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice : $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[6pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$.

$B = \begin{pmatrix}a-b & 0 \\ 0 & a+b\end{pmatrix}$.

On peut conjecturer que $B^n = \begin{pmatrix}
(a-b)^n & 0\\0 & (a+b)^n\end{pmatrix}$.

(On peut calculer $B^2$ et $B^3$ pour s'en convaincre).

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : on a $B=M^{-1}\times A\times M$, donc :
\[ M\times B=M\times M^{-1}\times A\times M=A\times M\] et enfin :
\[ M\times B\times M^{-1} = A\times M\times M^{-1} = A.\]

\item Hérédité : supposons que, pour $k$ entier naturel non nul,\\ $A^k = M\times B^k\times M^{-1}$.
\begin{align*}
A^{k+1} & = A\times A^k \\
& = M\times B\times M^{-1}\times M\times B^k\times M^{-1}\\
& = M\times B\times B^k\times M^{-1}\\
& = M\times B^{k+1}\times M^{-1}.
\end{align*}
\end{itemize}

Donc pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = M\times B^n\times M^{-1}$.

On a donc :
\[
M\times B^n = \begin{pmatrix}
(a-b)^n & (a+b)^n\\
-(a-b)^n & (a+b)^n
\end{pmatrix}\;,
\]
d'où :
\begin{align*}
& M\times B^n\times M^{-1}\\
=&~A^n\\
=& \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\left[(a-b)^n+(a+b)^n\right] & 
-\frac{1}{2}\left[-(a-b)^n+(a+b)^n\right] \\[6pt]
-\frac{1}{2}\left[-(a-b)^n+(a+b)^n\right] & 
\frac{1}{2}\left[(a-b)^n+(a+b)^n\right] 
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On a ici $a + b = 1$, donc $b = 1-a$.
\item $A^n$ s'écrit donc uniquement en fonction de $a$ et de $n$ :
\[
A^n=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\left[(2a-1)^n+1\right] & 
\frac{1}{2}\left[-(2a-1)^n+1\right] \\[6pt]
\frac{1}{2}\left[-(2a-1)^n+1\right] & 
\frac{1}{2}\left[(2a-1)^n+1\right] 
\end{pmatrix}.
\]

\item 
\begin{itemize}
\item $P_1=P_0\times A = \begin{pmatrix}ax_0+by_0 & bx_0+ay_0\end{pmatrix}$.
\item $\begin{aligned}[t]
P_2& = P_1\times A\\
& = \begin{pmatrix}x_0(a^2+ab)+y_0(ab+b^2) & x_0(ab+b^2)+y_0(a^2+ab)\end{pmatrix}.\end{aligned}$
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
P_n & = P_0 A^n  \\
& = \big(
\frac{1}{2}x_0\left[(2a-1)^n+1\right]+\frac{1}{2}y_0\left[-(2a-1)^n+1\right] \\
& \hspace*{20mm}
\frac{1}{2}x_0\left[-(2a-1)^n+1\right]+\frac{1}{2}y_0\left[(2a-1)^n+1 \right]\big).
\end{aligned}$

$a$ est une probabilité donc $0 < a < 1$ (il ne peut y avoir égalité avec 0 ou 1 car sinon il n'y aurait pas de transition).

On a donc $-1 < 2a - 1 < 1$. 

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty}(2a-1)^n=0$ et donc, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} P_n=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}x_0 & \dfrac{1}{2}y_0\end{pmatrix}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



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% S'il reste de la place, mettre l'exo supplémentaire
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput