\devoirsynthese{Bac Blanc}{Baccalauréat blanc}

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% ex 1


\begin{exobb}{Exercice 1 (Polynésie, 2013)}{Commun à tous les candidats --- 4 points}{2}{50}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\begin{questions}
\item Soient $z_1=\sqrt{6}\nep^{\im\frac{\pi}{4}}$ et $z_2=\sqrt{2}\nep^{-\im\frac{\pi}{3}}$. la forme exponentielle de $\im\dfrac{z_1}{z_2}$ est :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix{} $\sqrt{3}\nep^{\im\frac{19\pi}{12}}$ &
\choix{} $\sqrt{12}\nep^{-\im\frac{\pi}{12}}$ &
\choix{} $\sqrt{3}\nep^{\im\frac{7\pi}{12}}$ &
\choix{} $\sqrt{3}\nep^{\im\frac{13\pi}{12}}$
\end{tabularx}

\item L'équation $-z=\overline{z}$ d'inconnue complexe $z$, admet :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{}X@{}}
\choix{}~&une solution \\
\choix{}~&deux solutions \\
\choix{}~&une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.\\
\choix{}~&une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
\end{tabularx}

\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;2~;3)$, $B(-1~;5~;4)$ et $C(-1~;0~;4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :\par\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{}$\begin{cases}
x=-2t-1\\
y=3t\\
z=t+4
\end{cases}\;,\;t\in\R$ & 
\choix{}$\begin{cases}
x=-1\\
y=7t\\
z=7t+4
\end{cases}\;,\;t\in\R$ \\[25pt]
\choix{}$\begin{cases}
x=-1-2t\\
y=5+3t\\
z=4+t
\end{cases}\;,\;t\in\R$ &
\choix{}$\begin{cases}
x=2t\\
y=-3t\\
z=-t
\end{cases}\;,\;t\in\R$ 
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $D(-1~;2~;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3~;-5~;1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases}
x=t-2\\
y=t+3\\
z=2t+5
\end{cases}\;,\;t\in\R$.\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{}X@{}}
\choix{}~&La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.\\
\choix{}~&La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathcal{P}$\\
\choix{}~&La droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.\\
\choix{}~&La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exobb}


\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. En effet,
\begin{align*}
\im\dfrac{z_1}{z_2} & = \nep^{\im\frac{\pi}{2}}\times\dfrac{\sqrt{6}\nep^{\im\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\nep^{-\im\frac{\pi}{2}}}\\
& = \sqrt{3}\nep^{\im\frac{13\pi}{12}}.
\end{align*}

\item Réponse \choix[c]. On notant $z=x+\im y$, l'équation donne :
\[ -x-\im y=x-\im y\;,\]
c'est-à-dire $x=0$.

Les solutions ont pour points images l'ensemble des points de la droite d'équation $x=0$.

\item  Réponse \choix[a]. Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ a pour coordonnées $(-2~;3~;1)$ ; les systèmes \choix[a], \choix[c] et \choix[d] pourraient convenir. Puis si on remplace $t$ par 0 dans le système \choix[a], on obtient le point de coordonnées $(-1~;0~;4)$, c'est-à-dire le point $C$.

\item Réponse \choix[b]. La droite $\Delta$ a un vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(1~;1~;2)$. On a $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.

La droite $\Delta$ est donc parallèle au plan $\mathcal{P}$ ou incluse dans ce plan. Soit $A(-2~;3~;5)$ le point de $\Delta$ de paramètre 0.  $A\in\mathcal{P}$ si et seulement si $\gvec{AD}$ est orthogonal à $\vec{n}$. Or, $\gvec{AD}$ a pour coordonnées $(1~;-1~;-2)$, donc $\gvec{AD}\cdot\vec{n}=3+5-6\neq0$. Par conséquent, $A\notin\mathcal{P}$, ce qui prouve que $\Delta$ n'est pas incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\end{corrigebb}


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% ex 2

\begin{exobb}{Exercice 2 (Antilles-Guyane, 2013)}{Commun à tous les candidats --- 6 points}{3}{80}

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\subsubsectionnn{Partie A}

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que:
\[
f(x)=(x+1)\nep^{x}.
\]

\begin{questions}
\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=(x+2)\nep^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

On définit la fonction $g_m$ sur par :
\[
g_m(x)=x+1-m\nep^{-x}\;,
\]

et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(O~;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ du plan.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que $g_m(x)=0$ si et seulement si $f(x)=m$.
\item Déduire de la partie A sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
\end{questions}

\item On a représenté en annexe (voir page suivante) les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\nep}$ et $\mathcal{C}_{-\nep}$  (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\nep$ et $-\nep$).

En justifiant, identifier chacune de ces courbes.

\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite d'équation $y=x+1$ suivant les valeurs du réel $m$.

\item
\begin{questions}
\item On appelle $\mathscr{D}_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\nep}$, $\mathcal{C}_{-\nep}$, l'axe $(Oy)$ et la droite d'équation $x=2$.  Hachurer $\mathscr{D}_2$ sur la figure précédente. (à rendre avec la copie)
\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif,  $\mathscr{D}_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\nep}$, $\mathcal{C}_{-\nep}$, l'axe $(Oy)$ et la droite d'équation $x=a$. On désigne par $\mathscr{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.

Démontrer que pour tout réel $a$ positif : $\mathscr{A}(a)=2\nep-2\nep^{1-a}$.

En déduire la limite de $\mathscr{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bb_fonct_02}
\end{center}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item Il est immédiat que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

D'autre part, on sait que $\lim\limits_{x\to-\infty} x\nep^x=0$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

\item D'après la formule de dérivation d'un produit :
\begin{align*}
f'(x) & = \nep^x+(x+1)\nep^x\\
& = (x+2)\nep^x.
\end{align*}

\item La dérivée $f'(x)$ est du signe de $x+2$. On obtient donc le signe de $f'(x)$ ainsi que le tableau de variation de $f$ : \emph{(voir pagne suivante)}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-2$ &  & $+\infty$\\
\hline
$f'(x)$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
 & $0$ &  &  &  & $+\infty$ \\
$f(x)$& & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
& & & $-\nep^{-2}$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $g_m(x)=0$ équivaut à $x+1-m\nep^{-x}=0$, c'est-à-dire $x+1=m\nep^{-x}$.

Ce qui revient à $(x+1)\nep^x=m$, c'est-à-dire $f(x)=m$.

\item Un point d'intersection de $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses correspond à une solution de l'équation $g_m(x)=0$, c'est-à-dire aussi de l'équation $f(x)=m$.

D'après le tableau de variation de $f$, on obtient que :
\begin{itemize}
\item si $m<-\nep^{-2}$, il n'y a pas de point d'intersection ;
\item si $m = -\nep^{-2}$, il y a un point d'intersection ;
\item si $-\nep^{-2}<m<0$, il y a deux points d'intersection ;
\item si $m\geqslant 0$, il y a un point d'intersection.
\end{itemize}
\end{questions}

\item Comme  $-\nep<-\nep^{-2}$, la courbe $\mathcal{C}_{-\nep}$ ne coupe pas l'axe des abscisses, c'est la courbe 1.

L'équation de $\mathcal{C}_0$ est $y=x+1$ ; $\mathcal{C}_0$ est donc une droite : c'est la courbe 2.

La courbe 3 correspond donc à $\mathcal{C}_{\nep}$.

\item $g_m(x)-(x+1)=-m\nep^{-x}$. La différence est donc du signe opposé à $m$.

Si $m>0$, la courbe est sous la droite, si $m<0$ la courbe est au-dessus de la droite, et si $m=0$, la courbe est confondue avec la droite.

\item
\begin{questions}
\item Nous avons le graphique suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bb_corr2_01}
\end{center}

\item Comme $\mathcal{C}_{-\nep}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{\nep}$, on a :

\begin{align*}
\mathscr{A}(a) & = \int_0^a g_{-\nep}(x)-g_{\nep}(x)\dd x\\
& = \int_0^a \left( \nep\times\nep^{-x}+\nep\times\nep^{-x} \right)\dd x\\
& = \int_0^a 2\nep^{1-x}\dd x\\
& = \left[ -2\nep^{1-x} \right]_0^a\\
& = 2\nep-2\nep^{1-a}.
\end{align*}
 
Lorsque $a$ tend vers $+\infty$, $\nep^{1-a}$ tend vers 0, donc $\mathscr{A}(a)$ tend vers $2\nep$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 3

\begin{exobb}{Exercice 3 (Liban, 2013)}{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité --- 5 points}{3}{60}
On considère la suite numérique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_0=1\\
v_{n+1}=\dfrac{9}{6-v_n}\;.
\end{array}
\right.
\]

\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\Par

\begin{minipage}{0.33\linewidth}
Algorithme 1.

\begin{algorithme}
\fontsize{8}{10}\selectfont
Variables
\hspace*{1mm} v est un réel
\hspace*{1mm} i et n sont des
\hspace*{8mm}entiers naturels
Début de l'algorithme
\hspace*{1mm} Lire n
\hspace*{1mm} v prend la valeur 1
\hspace*{1mm} Pour i allant de 1 à n
\hspace*{1mm} Faire
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} v prend la valeur $\frac{9}{6-v}$
\hspace*{1mm} Fin pour
\hspace*{1mm} Afficher v
Fin algorithme
\vspace*{2.5ex}
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
Algorithme 2.

\begin{algorithme}
\fontsize{8}{10}\selectfont
Variables
\hspace*{1mm} v est un réel
\hspace*{1mm}i et n sont des 
\hspace*{8mm}entiers naturels
Début de l'algorithme
\hspace*{1mm} Lire n
\hspace*{1mm} Pour i allant de 1 à n
\hspace*{1mm} Faire
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} v prend la valeur 1
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} Afficher v
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} v prend la valeur $\frac{9}{6-v}$
\hspace*{1mm} Fin pour
Fin algorithme
\vspace*{2.5ex}
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
Algorithme 3.

\begin{algorithme}
\fontsize{8}{10}\selectfont
Variables
\hspace*{1mm} v est un réel
\hspace*{1mm} i et n sont des
\hspace*{8mm}entiers naturels
Début de l'algorithme 
\hspace*{1mm} Lire n 
\hspace*{1mm} v prend la valeur 1
\hspace*{1mm} Pour i allant de 1 à n
\hspace*{1mm} Faire
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} Afficher v
\hspace*{1mm}\hspace*{1mm} v prend la valeur $\frac{9}{6-v}$
\hspace*{1mm} Fin pour
\hspace*{1mm}Afficher v
Fin algorithme
\end{algorithme}
\end{minipage}

\item Pour $n=10$, on obtient l'affichage suivant :

\Par

\hspace*{-1.5em}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|*{10}{Sc|}}
\hline
1&
1,800&
2,143&
2,333&
2,455&
2,538&
2,600&
2,647&
2,684&
2,714\\\hline
\end{tabular}}

\Par

Pour $n=100$, les derniers termes affichés sont :

\Par

\hspace*{-1.5em}
\scalebox{0.855}{%
\begin{tabular}{|*{10}{Sc|}}
\hline
2,967&
2,968&
2,968&
2,968&
2,969&
2,969&
2,969&
2,970&
2,970&
2,970\\\hline
\end{tabular}}

\Par 

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(v_n)$ ?

\item
\begin{questions}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak $0 < v_n < 3$.  
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 
\[ v_{n+1}-v_n=\dfrac{(3-v_n)^2}{6-v_n}. \]
 
La suite $(v_n)$ est-elle monotone ? 

\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.
\end{questions}
\end{questions}

\vspace*{5mm}

\subsubsectionnn{Partie B : Recherche de la limite de la suite $(v_n)$}

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $w_n=\dfrac{1}{v_n-3}$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
\item En déduire l'expression de $w_n$ puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item L'algorithme 1 ne convient pas car il n'affiche que le dernier terme $v_n$.

L'algorithme 2 ne convient pas non plus, car pour chaque passage dans la boucle, il redonne à $v$ la valeur 1.

En revanche, l'algorithme 3 réalise bien la tâche demandée.

\item La suite $(v_n)$ semble croissante et converger vers 3.

\item
\begin{questions}
\item Démontrons que pour tout entier $n$, on a $0<v_n<3$.
\begin{itemize}
\item Initialisation : comme $v_0=1$, la proposition est vraie au rang 0.
\item Hérédité : supposons que pour un certain entier $k$, $0 < v_k < 3$, alors successivement on a :
\begin{align*}
-3<-v_k<0\\
3<6-v_k<6\text{ (ajouter 6)}\\
\dfrac{1}{6}<\dfrac{1}{6-v_k}<\dfrac{1}{3}\text{ (prendre l'inverse)}\\
\dfrac{3}{2}<\dfrac{9}{6-v_k}<3\text{ (multiplier par 9)}.
\end{align*}

Cela montre que $0<v_{k+1}<3$.
\end{itemize}

La proposition est donc vraie pour tout entier $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1}-v_n & = \dfrac{9}{6-v_n}-v_n\\
& =\dfrac{9-6v_n+v_n^2}{6-v_n}\\
& = \dfrac{\left(3-v_n\right)^2}{6-v_n}.
\end{aligned}$

Comme pour tout $n$, $v_n<3$, la différence précédente est toujours positive, ce qui montre que la suite $(v_n)$ est croissante.

\item La suite étant croissante et majorée par 3, elle est convergente.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
w_{n+1}-w_n & = \dfrac{1}{v_{n+1}-3}-\dfrac{1}{v_n-3}\\
& = \dfrac{1}{\frac{9}{6-v_n}-3}-\dfrac{1}{v_n-3}\\
&= \dfrac{6-v_n}{-9+3v_n}-\dfrac{1}{v_n-3}\\
&=\dfrac{3-v_n}{-9+3v_n}\\
& = -\dfrac{1}{3}.
\end{aligned}$

La suite $(w_n)$ est donc arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$.

\item $\begin{aligned}[t]
w_n & = w_0+nr\\
    & = -\dfrac{1}{2}-\dfrac{n}{3}\\
    & = -\dfrac{3+2n}{6}.
\end{aligned}$

$v_n=\dfrac{1}{w_n}+3=-\dfrac{6}{3+2n}+3$.
 
\item Comme la limite de $\dfrac{6}{3+2n}$ en $+\infty$ est 0, on en déduit que la limite de $(v_n)$ est 3.
\end{questions}
\end{corrigebb}

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% ex 3 bis

\newpage

\begin{exobb}{Exercice 4 (Asie, 2013)}{Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité --- 5 points}{3}{60}
Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.
 
Ainsi, le rectangle initial $OEFG$ est transformé en un rectangle $OE'F'G'$, appelé image de $OEFG$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bb_exo3spe_01}
\end{center}

L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

\subsubsectionnn{Partie A}

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$.
 
Les points $E$, $F$ et $G$ ont pour coordonnées respectives $(2~;2)$, $(-1~;5)$ et $(-3~;3)$.
 
La transformation du logiciel associe à tout point $M(x~;y)$ du plan le point $M'(x'~;y')$ image du point $M$ tel que: 
\[
\begin{cases}
x'=\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}y\\[6pt]
y'=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}y
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item Calculer les coordonnées des points $E'$, $F'$ et $G'$ images des points $E$, $F$ et $G$ par cette transformation. 
\item Comparer les longueurs $OE$ et $OE'$ d'une part, $OG$ et $OG'$ d'autre part.
\item Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$ telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $F$ du rectangle $OEFG$ lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

\begin{questions}
\item On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
 
Une erreur a été commise.
 
Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad Saisir un entier naturel non nul N
Initialisation
\qquad Affecter à x la valeur -1
\qquad Affecter à y la valeur 5
Traitement
\qquad Pour i allant de 1 à N
\qquad\qquad Affecter à a la valeur $\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}y$
\qquad\qquad Affecter à b la valeur $\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}y$
\qquad\qquad Affecter à x la valeur a
\qquad\qquad Affecter à y la valeur b
\qquad Fin pour
Sortie
\qquad Afficher x , afficher y.
\end{algorithme}

\item On a obtenu le tableau suivant :

\hspace*{-1.6em}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|*7{Sc|}}
\hline\tabulartitle
$i$&1&2&3&4&5&10&15\\\hline
$x$ & 2,5 & 7,25 & 15,625 & \numprint{31,8125} & \numprint{63,9063} & \numprint{2047,9971} & \numprint{65535,9999}\\\hline
$y$ & 5,5 & 8,75 & 16,375 & \numprint{32,1875} & \numprint{64,0938} & \numprint{2048,0029} & \numprint{65536,0001}\\
\hline
\end{tabular}}

\hspace*{-3ex}Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point $F$. 
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie C}

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $E$ du rectangle $OEFG$. On définit la suite des points $E_n(x_n~;y_n)$ du plan par $E_0=E$ et la relation de récurrence : $\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n
\end{pmatrix}$, où $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ représentent les coordonnées du point $E_{n+1}$. Ainsi $x_0=2$  et $y_0=2$.

\begin{questions}
\item On admet que, pour tout entier $n\geqslant1$, la matrice $A^n$ peut s'écrire sous la forme :
\[
A^n=\begin{pmatrix}
\alpha_n & \beta_n\\
\beta_n & \alpha_n
\end{pmatrix}.
\]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a : 
\[
\alpha_n=2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\quad\text{et}\quad
\beta_n=2^{n-1}-\dfrac{1}{2^{n+1}}.
\]

\item
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_n$ est situé sur la droite d'équation $y=x$.
		 
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$,  les coordonnées $(x_n~;y_n)$ du point $E_n$ vérifient :
$
\begin{pmatrix}
x_n\\y_n
\end{pmatrix}=A^n\dbinom{2}{2}.
$

\item Démontrer que la longueur $OE_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{questions} 
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item $E'(4~;4)$, $F'(2,5~;5,5)$ et $G'(-1,5~;1,5)$.
\item $OE=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ et $OE'=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$, donc\\ $OE'=2OE$.

$OG=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ et $OG'=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$, donc\\ $OG'=\dfrac{1}{2}OG$.

\item $A=\begin{pmatrix}
\frac{5}{4} & \frac{3}{4}\\[6pt]
\frac{3}{4} & \frac{5}{4}
\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Il faut faire afficher $x$ et $y$ avant de sortir de la boucle, c'est-à-dire avant la ligne \og Fin pour \fg, et supprimer l'instruction de sortie finale.

\item Les coordonnées des images successives de $F$ semblent tendre vers $+\infty$, mais aussi leurs valeurs se rapprochent. Il semble donc que les images successives de $F$ se rapprochent de la droite d'équation $y=x$, en s'éloignant de plus en plus de l'origine dans le quart de plan $x>0$ et $y>0$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie C}

\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Initialisation :  $A^1=A=\begin{pmatrix}
\frac{5}{4} & \frac{3}{4}\\[6pt]
\frac{3}{4} & \frac{5}{4}
\end{pmatrix}$.

Or,
\[2^0+\dfrac{1}{2^2}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}=\alpha_1\]
et 
\[
2^0-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=\beta_1.
\]
La proposition est donc vraie au rang 1.

\item Hérédité : Supposons que la proposition soit vraie à un certain rang $k\geqslant1$.

En effectuant le produit des matrices, on trouve :
\[
\alpha_{k+1}=\dfrac{5}{4}\alpha_k+\dfrac{3}{4}\beta_k
\]
et  
\[
\beta_{k+1}=\dfrac{3}{4}\alpha_k+\dfrac{5}{4}\beta_k.
\]

Alors : 
\begin{align*}
\alpha_{k+1} & =\dfrac{5}{4\left(2^{k-1}+\frac{1}{2^{k+1}} \right)}+\dfrac{3}{4}\left(2^{k-1}-\dfrac{1}{2^{k+1}}\right)\\
& = \dfrac{8}{4}\times2^{k-1}+\dfrac{2}{4}\times\dfrac{1}{2^{k+1}}\\
& = 2^{(k+1)-1}+\dfrac{1}{2^{(k+1)-1}}
\end{align*}

et 

\begin{align*}
\beta_{k+1} & = \dfrac{3}{4\left(2^{k-1}+\frac{1}{2^{k+1}} \right)}+\dfrac{5}{4}\left(2^{k-1}-\dfrac{1}{2^{k+1}}\right)\\
& = \dfrac{8}{4}2^{k-1}-\dfrac{2}{4}\times\dfrac{1}{2^{k+1}}\\
& = 2^{(k+1)-1}-\dfrac{1}{2^{(k+1)-1}}
\end{align*}
\end{itemize}

Cela montre donc que la proposition est vérifiée pour tout $n\geqslant1$.

\item
\begin{questions}
\item D'après la formule $\begin{pmatrix}x_n\\y_n
\end{pmatrix}=A^n\dbinom{2}{2}$, on trouve : \[
x_n=2\alpha_n+2\beta_n
\]
et
\[
y_n=2\beta_n+2\alpha_n\;,
\]
ce qui montre que pour tout $n$, $x_n=y_n$. 

Tous les points $E_n$ sont donc sur la droite d'équation $y=x$.

\item $\begin{aligned}[t]
x_n&=2\left(2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)+2\left(2^{n-1}-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)\\
&=2^{n+1}\\
&=y_n.
\end{aligned}$.

Alors $OE_n=2^{n+1}\sqrt{2}$. Donc $OE_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex 5

\begin{exobb}{Exercice 5 (Métropole, 2013)}{Commun à tous les candidats --- 5 points}{2}{50}
Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces. 

\begin{questions}
\item La machine A assure 40\% de la production et la machine B en assure 60\%.
 
On estime que 10\% des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9\% des pièces issues de la machine B ont un défaut.
 
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item $A$ : « La pièce est produite par la machine A ».
\item $B$ : « La pièce est produite par la machine B ».
\item $D$ : « La pièce a un défaut ».
\item $\overline{D}$  : « L'événement contraire de l'événement $D$ ».
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré .
\item Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.
\item Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l'événement $D$ est égale à 0,094. 
\item On constate que la pièce choisie a un défaut.			 
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
\end{questions}

\item On estime que la machine A est convenablement réglée si 90\% des pièces qu'elle fabrique sont conformes.
 
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
 
On note $X_n$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l'échantillon de $n$ pièces, et $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ la proportion correspondante.

\begin{questions}
\item Justifier que la variable aléatoire $X_n$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
\item Dans cette question, on prend $n = 150$.	
	 
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de 95\% de la variable aléatoire $F_{150}$.

\item Un test qualité permet de dénombrer 21 pièces non conformes sur un échantillon de 150 pièces produites.
		 
Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item L'arbre est le suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bb_arbre_04}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(A\cap D)&=P(A)\times P_A(D)\\
&=0,4\times0,1\\
&=0,04.
\end{aligned}$

\item Comme $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)\\
&=0,04+0,6\times0,09\\
&=0,094.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
P_D(A)&=\dfrac{P(D\cap A)}{P(D)}\\
&=\dfrac{0,04}{0,094}\\
&=\dfrac{20}{47}\\
&\approx0,426.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Les tirages étant assimilés à des tirages successifs indépendants avec remise, on a $n$ répétitions d'une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès (pièce conforme) est 0,9 si la machine est bien réglée.

$X_n$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et 0,9.

\item Ici $n>30$, $np>5$ et $n(1-p)>5$, on peut donc appliquer la formule de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la proportion 0,9 dans un échantillon de 150 individus :
\[
I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]\;,
\]
ce qui donne environ $[0,852~;0,948]$.

\item Lors du test, la proportion de pièces conformes est $\dfrac{129}{150}\approx0,86$. Cette valeur étant dans l'intervalle de fluctuation, il n'y a pas lieu de remettre en cause le réglage de la machine.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}


\thumb

\AfficheCorrigeBB

\endinput


