%%%%%%%%%%%%%%%
%% Exercice 

\begin{exo}{Utiliser une représentation graphique}{Lycée Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{20}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2\, ; 4]$.

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

La courbe admet au point A d'abscisse $-$1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ en B$(0\,;2)$ passe par D$(2\,; 0)$.

\begin{center}
\image{4cm}{02 fig 06} % faire un quadrillage complet du graphique
%\includegraphics{02_fig_06}
\end{center}

\begin{questions}
\item En utilisant les données graphiques, donner, sans justifier :
\begin{questions}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle $[-2\,;4]$ de l'équation $f(x)=1$ et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.
\item La valeur de $f '(-1)$.
\item Le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\,;4]$.
\end{questions}

\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner en justifiant :
\begin{questions}
\item Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$.
\item Celle des trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ données ci-dessous qui représente la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\begin{center}
\image{3cm}{02 fig 07}
\includegraphics{02_fig_07} % chaque illus. fera 3cm x 3 cm, séparée par 1 mm
\end{center}

\'Ecrire $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ sous les courbes.
\end{exo}

%%%% CORR EX 

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Il y a deux solutions : ce sont les abscisses $a$ et $b$ des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = 1$.

En traçant cette droite, on peut voir que $-2 < a < -1,75$ et $1 < b < 1,25$.

\item $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-$1. Puisque la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, $f'(-1) = 0$.

\item Sur $[-2\,; -1]$, la fonction est croissante donc la dérivée est positive.

Sur $[-1\,; 4]$, la fonction est décroissante donc la dérivée est négative. La dérivée s'annule pour $x=-1$.
\end{questions}

\item
\begin{question}
\item\label{ch2qa} Le coefficient directeur est égal à $-1$.

\item Puisque $f$ est croissante sur $[-2\, ; -1]$, la dérivée doit être positive (donc la représentation doit être au-dessus de l'axe des abscisses) sur cet intervalle.

Puis, comme $f$ est décroissante sur $[-1\,; 4]$, la dérivée doit être négative sur cet intervalle, donc la courbe représentative de $f'$ doit rester sous l'axe des abscisses.

Ceci élimine la courbe $\mathcal{C}_2$.

Par ailleurs, d'après la question \ref{ch2qa}, $f'(0) = -1$ car le coefficient directeur de la tangente est égal au nombre dérivé.

La bonne courbe est donc la courbe $\mathcal{C}_3$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Exercice 

\begin{exo}{Un problème complet}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{30}
L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1~m de large et pour une longueur $x$ exprimée en kilomètres, $x$ étant compris entre 0 et 10.

Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donnée en fonction de la longueur $x$ par la formule :
\[
C(x) = 15x^3 - 120 x² + 500 x + 750.
\]
Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique de la fonction C.

Les graduations sur l'axe vertical sont en milliers d'euros.

\begin{center}
\image{8cm}{02 fig 08}
\includegraphics{02_fig_08}
\end{center}

Les deux parties A et B de cet exercices sont indépendantes.

\subsubsectionnn{Partie A : étude du bénéfice}

Si le marché offre un prix $p$ en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité $x$ est égale à $R(x) = px$.

\begin{questions}
\item Tracer sur le graphique ci-dessus la droite $\mathcal{D}_1$ d'équation $y = 400x$.

Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix $p$ du marché est à 400 euros.

\item Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
\begin{questions}
\item Tracer sur le graphique ci-dessus la droite d'équation $y = 680x$.

Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le graphique) pour quelles quantités produites et vendues l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix $p$ du marché est 680 euros.

\item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0\, ; 10]$ par $B(x) = 680x - C(x)$.

Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0\, ; 10]$, on a : $B'(x) = -45x² + 240 x + 180$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $B$ sur $[0\, ; 10]$. Dresser son tableau de variations complet.

En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : \'Etude du coût moyen}

On rappelle que le coût moyen de production $C_M$ mesure le coût par unité produite. On considère la fonction $C_M$ définie sur $[0\, ; 10]$ par :
\[
CM(x) = .????????????????????
\]
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\, ; 10]$, on a : ??????????????

\item
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\, ; 10]$, $C'_M(x)$ est du signe de $x-5$.

En déduire les variations de la fonction $C_M$ sur l'intervalle $]0\, ; 10]$.

\item Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimal ? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%%%% CORR EX

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La figure ci-dessous sert pour les questions 1. et 2. La droite d'équation $y = 400 x$ est celle en trait fin.

\begin{center}
\image{8cm}{02 fig 09}
%\includegraphics{02_fig_09}
\end{center}

On constate que la courbe représentant la recette est toujours en dessous de celle qui représente les coûts. Par conséquent on ne peut réaliser ainsi un bénéfice.

\item
\begin{questions}
\item La droite d'équation $y = 680 x$ est en gras.
Cette fois ci, elle coupe la courbe qui représente les coûts.

On réalise un bénéfice dès lors que la recette est supérieure aux coûts, soit approximativement pour une quantité produite comprise entre 2 et 8,8 km.

\item On a $B(x) = 680x - C(x) = -15x^3 + 120 x² + 180 x - 750$.

Donc $B'(x) = -45x² + 240 x + 180$.

\item $=240² + 4 × 45 \times 180 = \numprint{90000}$.

Les deux racines du trinôme B'(x) sont donc :
\[
x_1=\qquad\text{et}\qquad x_2=.
\]
Par conséquent, en utilisant la règle du signe du trinôme, $B'(x)$ est positif pour $x$ appartenant à $[0\, ; 6]$ et négatif pour $x$ appartenant à $[6\, ; 10]$.

$B(0) = -750$ ; $B(6) = \numprint{1410}$ ; $B(10) = -\numprint{1950}$.

On obtient donc le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 6 &  & 10\\
\hline
B'(x) &    & +  &                  &  - &  \\
\hline
      &    &    &  \numprint{1410} &    &   \\
B(x) &    &  \nearrow &            & \searrow &  \\
     &-750&           &            &          &-\numprint{1950}\\
     \hline
\end{array}
\]
Le bénéfice est donc maximal pour une vente de 6 km, et il est égal à \numprint{1410} euros.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item 
Donc .
Or,
\begin{align*}
30(x-5)(x² + x + 5)& = (30x-150)(x² + x + 5)\\
&  = 30x^3 + 30x² + 150x - 150x² - 150x - 750\\
&  = 30x^3- 120x² - 750.
\end{align*}

Donc on a bien ?????????????.

\item 
\begin{questions}
\item 30 et $x²$ sont évidemment positifs.

De plus, le discriminant de $x² + x + 5$ est $-19$, donc ce trinôme est toujours positif (du signe de 1, coefficient de $x²$).

Donc $C'_M$ est bien du signe de $x-5$.

Par conséquent, $C_M$ est décroissante sur $[0\,;5]$ et croissante sur $[5\,;10]$.

\item Le coût moyen de production est donc minimal pour une production de 5 km de tissu.

Le coût moyen vaut alors $C_M(5) = 425$, et le coût total $C(5) = \numprint{2125}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% S'il reste de la place, on peut ajouter après le 14 :

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Exercice 

\begin{exo}{Point mort}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{15}
En situation de monopole pur, les points morts d'une firme correspondent aux quantités pour lesquels le bénéfice de la firme est nul.

Le coût de fabrication d'un produit est composé d'un coût fixe de \numprint{20000}~\euro{} et d'un coût variable de 100~\euro{} par unité produite.

Le revenu, en euros, pour ce produit, est donné par $R(q) = q(750 - 5q)$ pour une quantité $q$ variant de 0 à 100 unités.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer l'expression du coût total $C(q)$ en fonction de la quantité $q$.
\item Exprimer le bénéfice $B(q)$ de cette firme pour une quantité $q$ produite et vendue.
\end{questions}

\item Déterminer les points morts de la firme.

\item Déterminer la quantité produite pour laquelle le bénéfice est maximum, et la valeur de ce bénéfice.
\end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $C(q) = \numprint{20000} + 100 q$.
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = q(750 - 5q) - C(q)\\
&  = 750q - 5q² - \numprint{20000} -100q\\
&  = -5q² + 650 q - \numprint{20000}.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item Il faut résoudre $B(q) = 0$ soit :
\[
\Delta = 650² - 4 \times 5 \times\numprint{20000} = \numprint{22500} = 150².
 \]
Il y a donc deux solutions :
\[
q_1=\qquad\text{et}\qquad q_2= .
\]
Les deux points morts correspondent à une production de 50 ou 80 unités.

\item On a $B'(q) = -10q + 650$.

$B'(q) > 0 -10 q + 650 > 0 q < 65$. ?????????

La fonction $B$ est donc croissante pour $q < 65$ et décroissante ensuite.

Le bénéfice est donc maximal pour $q  = 65$.

On a alors $B(65) = \numprint{1125}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}