\chapter{Suites numériques}

\begin{exointro}{Cité scolaire Internationale, Grenoble}

\begin{questions}
\item Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :\[ u_n=\dfrac{n(n+1)}{2}.\]
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_n=u_{n+1}-u_n\;.\]
Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.

\item Montrer que la suite de terme général $w_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^{2n+1}}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.

\item La suite de terme général $3^{n+1}-3^n$ est-elle arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre ?
\end{questions}
\end{exointro}

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\section{Suites arithmétiques (Rappels)}

\begin{defin}
Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$ de $\N$, $ u_{n+1} = u_n +r$ ; $r$ est appelé la raison de la suite.
\end{defin}

\begin{prop}
Une suite arithmétique est telle que, pour tout $n$,
  \[ 
  u_{n+1}-u_n=\text{constante}.
  \]
\end{prop}

\begin{methode}
Utilisez la propriété ($u_{n+1}-u_n=\text{constante}$) pour démontrer qu'une suite est arithmétique ou non.
\end{methode}

\newpage

\begin{prop}
  Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. Alors, pour tous $n$ et $p$ de $\N$,
  \[ 
  u_n=u_0+nr \text{ et } u_n=u_p+(n-p)r.
  \]
\end{prop}

\begin{prop}
Les entiers positifs forment une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.

La somme des $n+1$ premiers entiers est égale à :
\[
S=0+1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\;.
\]
\end{prop}

\enlargethispage*{3em}
\section{Suites géométriques}

\subsection{Rappels}

\begin{defin}
Une suite $(u_n)$ est une suite géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$ de $\N$, $u_{n + 1} =u_n \times q$ ; $q$ est appelé la raison de la suite.
\end{defin}

\begin{prop}
Une suite géométrique non nulle est telle que, pour tout $n$ de $\N$,
\[ \dfrac{u_{n + 1}}{u_n}=\text{constante}. \]
\end{prop}

\begin{methode}
Utilisez la propriété $\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\right)$ pour démontrer qu'une suite est géométrique ou non.
\end{methode}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Alors, pour tous $n$ et $p$ de $\N$,
\[ 
u_n=u_0 \times q^n\quad \text{ et }\quad u_n=u_p \times q^{n-p}. 
\] 
\end{prop}

\begin{prop}
Si $ (u_n) $ est une suite telle que, pour tout $ n $ de $\N $, $ u_n = a q^n $, $ a $ étant un nombre réel, alors $ (u_n) $ est une suite géométrique de raison $ q $.
\end{prop}

Cette propriété permet dans certains cas de reconnaître une suite géométrique sans calculs.

\subsubsectionnn{Somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique}

\begin{thm}
$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1-q^{n + 1} }{1-q}$.
\end{thm}

\begin{thm}
La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
\[ S= u_0 + u_1 + \dots + u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n + 1}}{1-q}. \]
\end{thm}

\begin{aretenir}
$ S = \text{premier terme}\times\dfrac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$.
\end{aretenir}

\begin{Remarque}seule la somme $ 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1-q^{n + 1} }{1-q}$ est au programme, mais celle donnée ici s'en déduit facilement.
\end{Remarque}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ajout 2012
\subsection{Sens de variation (rappel)}

\begin{prop}
Soit la suite $ (u_n) $ définie sur $\N $ par $ u_n = q^n $, $ q $ étant un nombre réel strictement positif.
\begin{itemize}
\item Si $ 0 < q < 1 $, alors la suite $ (u_n) $ est décroissante.
 \item Si $ q > 1 $, alors la suite $ (u_n) $ est croissante.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Remarque}on peut en déduire facilement le sens de variation de toute suite géométrique.
\end{Remarque}

\subsection{Limite d'une suite géométrique de raison q \textgreater~0}

Plusieurs cas se présentent :
\begin{itemize}
\item si $ 0 < q < 1 $, alors le terme général de la suite devient de plus en plus proche de $ 0 $ quand $ n $ devient de plus en plus grand : on dit que $ u_n $ tend vers $ 0 $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty$ et on note $\dlim_{n\to + \infty} u_n = 0$.

\item si $q = 1$, la suite est constante et égale au premier terme.

\item si $ q > 1 $ et $ u_0 > 0 $, le terme général de la suite devient de plus en plus grand lorsque $ n $ devient de plus en plus grand : on dit que $ u_n $ tend vers $ + \infty$ et on note $\dlim_{n\to + \infty} u_n = + \infty$.

\item si $ q > 1 $ et $ u_0 < 0 $, le terme général de la suite de la suite devient de plus en plus \og grand \fg{} négatif lorsque $ n $ devient de plus en plus grand  : on dit que $ u_n $ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $ + \infty$ et on note $\dlim_{n\to + \infty} u_n = - \infty$.
\end{itemize}

\subsection{Limite de la somme des termes d'une suite géométrique}

On ne s'intéressera ici qu'au cas où la raison $ q $ vérifie $ 0 < q < 1 $. On sait alors que $\dlim_{n\to + \infty} u_n = 0$. 

On obtient alors, dans ce cas, $\dlim_{n\to + \infty} S = u_0 \,\dfrac{1}{1-q}$.

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Pour montrer que la suite est arithmétique, on peut montrer que la différence de deux termes consécutifs est une constante :
\begin{align*}
v_{n+1}-v_n & = u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\\
& = \dfrac{(n+2)(n+3)-2(n+1)(n+2)+n(n+1)}{2}\\
& = \dfrac{n^2+5n+6-2n^2-6n-4+n^2+n}{2}\\
& = 1.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison 1. Son premier terme est $v_0=u_1-u_0=1-0=1$.

\Par

Une autre méthode serait de chercher à exprimer $v_n$ en fonction de $n$ :
\begin{align*}
v_n & = u_{n+1}-u_n\\
& = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}-\dfrac{n(n+1)}{2}\\
& = (n+1)\dfrac{n+2-n}{2}\\
& = n+1.
\end{align*}
On obtient la forme générale d'une suite arithmétique ($u_0+nr$). 

Cela montre que la suite $(v_n$) est la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1.

\begin{Remarque}$(u_n)$ est la somme des entiers naturels de 1 à $n$ (voir propriété 2).
\end{Remarque}
\vspace*{-1.5em}

\Break

\item Ici aussi, on peut utiliser deux méthodes :
\begin{itemize}
\item Puisqu'aucun terme de la suite $(w_n)$ ne s'annule :
\begin{align*}
\dfrac{w_{n+1}}{w_n} & =\dfrac{2^{n+2}}{3^{2(n+1)+1}}\times\dfrac{3^{2n+1}}{2^{n+1}}\\[6pt]
 & =\dfrac{2}{3^2}\\[6pt]
 & =\dfrac{2}{9}.
\end{align*}
Comme le quotient de deux termes consécutifs est constant, cela montre que la suite $(w_n)$ est géométrique, de raison $\dfrac{2}{9}$.

\item On peut aussi écrire :
\begin{align*}
w_n & = \dfrac{2^{n+1}}{3^{2n+1}}\\[6pt]
& = \dfrac{2\times2^n}{3\times\big(3^2\big)^n}\\[6pt]
& = \dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{9}\right)^n\;.
\end{align*}
Cette écriture est de la forme $u_0q^n$, ce qui montre que la suite $(w_n)$ est géométrique, de raison $\dfrac{2}{9}$ et de premier terme $\dfrac{2}{3}$.
\end{itemize}

\item Les trois premiers termes de cette suite sont 2, 6 et 18.

Comme $6-2\neq 18-6$, cette suite ne peut pas être arithmétique.

Par contre, $\dfrac{6}{2}=\dfrac{18}{6}=3$, cette suite pourrait être géométrique.

On remarque que :
\[ 
3^{n+1}-3^n=3^n(3-1)=2\times3^n\;.
\]
Cela montre que cette suite est bien géométrique, de premier terme 2 et de raison 3.

\begin{Remarque}seule une suite constante non nulle est à la fois arithmétique (de raison 0) et géométrique (de raison 1).
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{Suites arithmético-géométriques}

\begin{exointro}{Lycée Victor Duruy, Paris}
On pose :
\[
\begin{cases}
V_1=120\\
V_{n+1}=\dfrac{1}{4}V_n+120.
\end{cases}
\]
\begin{questions}
\item Calculer $V_2$ et $V_3$.
\item Montrer que la suite $(V_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
\item On pose $W_n=160-V_n$.
\begin{questions}
\item Calculer $W_1$.
\item Montrer que $W_{n+1}=\dfrac{1}{4}W_n$.
\item Exprimer $W_n$ puis $V_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\begin{defin}
Une suite $ (u_n) $ arithmético-géométrique est une suite définie par son premier terme et par la relation de récurrence : $ u_{n + 1} = a u_n + b $, $ a $ et $ b $ étant des réels non nuls, et $ a $ étant de plus différent de $ 1 $.
\end{defin}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Si $ a $ était égal à $ 0 $, on aurait une suite constante.
\item Si $ b $ était égal à $ 0 $, on aurait une suite géométrique.
\item Si $a$ était égal à $1$, on aurait une suite arithmétique.
\end{itemize}
\end{Remarques}

Il n'y a pas de résultat de cours à connaître sur ces suites, mais il est utile de savoir les reconnaître pour comprendre la démarche décrite dans un exercice.

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $V_2=\dfrac{1}{4}V_1+120=150$ et $V_3=\dfrac{1}{4}V_2+120=157,5$.
\item $V_2-V_1=30$ et $V_3-V_2=7,5$. 

Cela montre que la suite n'est pas arithmétique.
\Par
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{150}{120}=1,25$ et $\dfrac{V_3}{V_2}=\dfrac{157,5}{150}=1,05$. 

La suite n'est donc pas non plus géométrique. 
\vspace*{-1.5em}
\Break
\item
\begin{questions}
\item $W_1=160-V_1=160-120=40$.
\item $\begin{aligned}[t]
W_{n+1} & = 160-V_{n+1}\\
& = 160-\dfrac{1}{4}V_n-120\\[6pt]
& = 40-\dfrac{1}{4}V_n\\[6pt]
& = 40-\dfrac{1}{4}\big(160-W_n\big)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{4}W_n\;.
\end{aligned}$
\item Cela montre que la suite $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$, comme son terme de rang 1 est 40, on a $W_n=40\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.

Puis on calcule $V_n=160-W_n=160-40\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}
\endinput