\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% QCM 1
\begin{qcm}{Propriétés d'une suite géométrique}{15}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 2$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

\begin{questions}
\item $u_{n + 1}$ est égal à:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $u_n + \dfrac{1}{2}$ & 
\choix $\dfrac{1}{2}u_n $ & 
\choix $\big(u_n \big)^{\frac{1}{2}}$
\end{tabularx}

\item $u_n $ est égal à :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $2 + \dfrac{1}{2}n$ & 
\choix $2^{1-n}$ & 
\choix $2^{n + 1}$
\end{tabularx}
           
\item $u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}$ est égal à : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\dfrac{31}{8}$ & 
\choix $ 15 $ & 
\choix $\dfrac{15}{8}$
\end{tabularx}

\item $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n $ est égal à :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $ + \infty$ & 
\choix $ 0 $ & 
\choix $ 2 $
\end{tabularx}

\item Soit $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Alors $\lim\limits_{n\to \infty} S_n$ est égal à :\resetchoix
       
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $ + \infty$ & 
\choix $ 0 $ &
\choix $ 4 $
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%%%%% CORR QCM1

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]: $(u_n )$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_n $.
\item Réponse \choix[b]: $(u_n )$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 2$ et de raison $ \dfrac{1}{2} $, donc, pour tout entier naturel $n$ :
	\[ u_n = 2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{2}{2^{n}} = 2^{1-n}.\]
\item Réponse \choix[a]:
\begin{align*}
u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} & = 2\times
\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}}{1-\dfrac{1}{2}}\\
& = 2\times \dfrac{31}{32}\times \dfrac{2}{1} = \dfrac{31}{8}.
\end{align*}

\item Réponse \choix[b]: La suite géométrique $(u_n)$ a pour raison $\dfrac{1}{2}$ et $0 < \dfrac{1}{2} < 1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = 0$.

\item Réponse \choix[c] :
\[ 
S_n = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_n = 2\times \dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = 0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = 2\times\dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 4$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% QCM 2

\begin{qcm}{Suites arithmétiques et géométriques}{15}

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
\item La suite $u$ définie pour tout $n\in\N$ par $u_{n} = 2n^2 + 2$ est une suite :

\choix{} arithmétique.
\choix{} géométrique.
\choix{} minorée.
\choix{} décroissante.

\item Le premier janvier 2010, Julie a placé \nombre{5000} \euro{} à intérêts composés, au taux de 3~\%. On note $C_{n}$ le capital de Julie au 1\ier{} janvier (2010 + $n$).\resetchoix

\choix{} Les intérêts acquis durant l'année 2011 se montent à 150 \euro.

\choix{} Pour tout entier positif $n$,  $C_{n} =
\numprint{5000} + 150n$.

\choix{} Le 1\ier{} janvier 2016, Julie pourra disposer de plus de \nombre{6000} \euro.

\choix{} Le 1\ier{} janvier 2021, Julie disposera de moins de \numprint{7000} \euro.

\item La suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par $v_{n} =  -2\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ est une suite :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} décroissante & \choix{} minorée\\
\choix{} croissante & \choix{} définie par récurrence
\end{tabularx}

\item Soit $u$ la suite arithmétique de raison $-3$ telle que $u_{1} = 77$.\\ 
$u_{50}$ est égal à :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix{} 73 &
\choix{} $-73$ &
\choix{} $-83$ &
\choix{} $-70$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM 2

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c] : Pour tout entier naturel $n$, $2n^2{\geq}0$ donc $2n^2+2{\geq}2$. La suite $u$ est donc minorée par 2.

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
    \item $u$ n'est pas arithmétique car $u_{n}$ n'est pas de la forme $u_{n}=an+b$.
    \item $u$ n'est pas géométrique car $u_{n}$ n'est pas de la forme  $u_{n}=a\times q^n$.
    \item $u$ est croissante car, pour tout $n$, $u_{n}=f(n)$ avec $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+2$, or la fonction $f$ est croissante sur $[0~;+\infty[$ donc la suite $u$ est croissante.
    \end{itemize}
  \end{Remarques}


\item Réponse \choix[d] : Le placement étant un placement à intérêts composés au taux de 3~\%, pour tout entier naturel $n$, les intérêts acquis l'année $n+1$ sont égaux à ${I_{{n+1}}=C_{{n}}\times 0,03}$ et donc le capital l'année $n+1$ est égal à ${C_{{n+1}}=C_{{n}}+I_{{n+1}}=C_{{n}}\times(1+0,03)=1,03C_{{n}}}$.

La suite $(C_{n})$ est donc une suite géométrique de raison 1,03 ~; comme son premier terme $C_{0}$ est égal à \nombre{5000}, alors, pour tout entier naturel $n$, ${C_{{n}}=\numprint{5000}\times (1,03)^n}$.

Alors, le capital dont Julie peut disposer en 2011 est égal à : \\
$\numprint{5000}\times 1,03=\numprint{5150}$, les intérêts acquis durant l'année 2011 sont donc égaux à $\numprint{5150}\times 0,03=154,50$ \euro.

\begin{attention}
La question posée est : \og quels sont les intérêts acquis durant l'année 2011 ? \fg{} et non  \og durant l'année 2010 \fg. Il faut donc calculer les intérêts sur le capital dont Julie dispose en 2011 pour déterminer ces intérêts.
\end{attention}

Le 1\ier{} janvier 2016 $(n=6)$, Julie pourra disposer de :
\[\numprint{5000}\times
  (1,03)^6 \approx \numprint{5970} \text{ \euro}.\]

Le 1\ier{} janvier 2021 $(n=11)$, Julie pourra disposer de :
\[\numprint{5000}\times
  (1,03)^{11} \approx \numprint{6921} \text{ \euro}.\]

\item Réponse \choix[a] : $v_{n}$ est de la forme $a\times q^n$ avec $a=-2$ et $q=\dfrac{3}{2}$, donc la suite $v$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{3}{2}$. Comme $1<\dfrac{3}{2}$, cette suite diverge.
 
La suite de terme général $\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ est une suite croissante, donc\linebreak $-2\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ est le terme général d'une suite décroissante.

Cette suite n'est pas minorée car sa limite est $-\infty$ donc il y a toujours des termes plus petits que n'importe quel nombre choisi. Elle n'est pas non plus définie par récurrence puisqu'elle est définie de façon explicite en fonction de $n$.
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Toute suite convergente est bornée.
\item La suite $v$ n'est pas définie par récurrence.
\end{itemize}
\end{Remarques}

Une suite est définie par récurrence si le terme ${u_{{n+1}}}$ de rang $n+1$ est donné en fonction du terme ${u_{{n}}}$ de rang $n$.

\newpage

\item Réponse \choix[d] : Pour toute suite arithmétique de raison $r$, on a, pour
  tous entiers $n$ et $p$, ${u_{{n}}=u_{{p}}+(n-p)\times r}$.

  La suite $u$ est la suite arithmétique de raison $-3$ telle que $u_1 = 77$, donc :
\[
{u_{{\text{50}}}=u_{{1}}+(\text{50}-1)\times
(-3)=\text{77}+\text{49}\times (-3)=-\text{70}}.
\]
%\newpage
\begin{attention}
L'énoncé donne $u_{1}$ et non $u_{0}$.
\end{attention}
\end{questions}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% QCM 3

\begin{qcm}{Bac La Réunion juin 2007}{20}

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
\item La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel $n$, par :

\[{u_{{n}}=1-\dfrac{6}{n-10,5}}\]

\choix{} La suite $(u_{n})$ est croissante à partir du rang 11.

\choix{} La suite $(u_{n})$ est décroissante.

\choix{} La suite $(u_{n})$ est monotone pour tout $n$.


\item La suite $(u_{n})$ est définie par :\resetchoix

$u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n$,
${u_{{n+1}}-u_{{n}}=0,1\times u_{{n}}}$

\choix{} La suite $(u_{n})$ est arithmétique.

\choix{} La suite $(u_{n})$ n'est ni arithmétique,
ni géométrique.

\choix{} La suite $(u_{n})$ est géométrique.

\item Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2\,\% chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine, il s'en était vendu dix mille exemplaires.

Arrondi à l'unité, le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} \nombre{23900}  &
\choix{} \nombre{718927} &
\choix{} \nombre{743306}
\end{tabularx}



\item La suite $(u_{n})$ est définie par :\resetchoix

Pour tout entier naturel $n$,  ${u_{{n}}=\nep^{{-n\ln2}}}$ :

\choix{} $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison ${\dfrac{1}{2}}$.

\choix{} $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\ln2$.

\choix{} $(u_{n})$ n'est pas une suite géométrique.
\end{questions}
\end{qcm}

%%%% CORR QCM 3

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a] : calculons ${u_{{n+1}}-u_{{n}}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
  \[{u_{{n+1}}-u_{{n}}=\left(1-\dfrac{6}{(n+1)-10,5}\right)-\left(1-\dfrac{6}{n-10,5}\right)},\]
soit :
\begin{align*}
u_{{n+1}}-u_{{n}} & = 6\left(\dfrac{-1}{n-9,5}+\dfrac{1}{n-10,5}\right)\\
& =\dfrac{6\left(-n+10,5+n-9,5\right)}{(n-9,5)(n-10,5)}\\
& =\dfrac{6}{(n-9,5)(n-10,5)}.
\end{align*}

${u_{{n+1}}-u_{{n}}}$ est donc du signe de $(n-9,5)(n-10,5)$.

Pour $n{\leqslant}9$, ${u_{{n+1}}-u_{{n}}}>0$ ~; pour $n{\geqslant}11$, ${u_{{n+1}}-u_{{n}}}>0$, mais pour $n=10$, ${u_{{n+1}}-u_{{n}}}<0$, la suite $(u_{n})$ n'est donc pas monotone pour tout $n$.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang 11.

\begin{Remarque}si vous cherchez avec votre calculatrice, les valeurs de $u_{9}$, $u_{10}$ et $u_{11}$, vous trouvez  $u_{9}=5$, $u_{10}=13$, $u_{11}=-11$, ce qui confirme le fait que la suite $(u_{n})$ n'est pas monotone.
\end{Remarque}

\item Réponse \choix[c] :  pour tout entier naturel $n$,
 \[u_{{n+1}}-u_{{n}}=0,1\times u_{{n}}\Leftrightarrow
u_{{n+1}}=0,1\times u_{{n}}+u_{{n}}\Leftrightarrow u_{{n+1}}=1,1\times
u_{{n}}.\]
La suite $(u_{n})$ est donc la suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme $u_{0}=2$.

\item Réponse \choix[b] : soit $u_{n}$ le nombre de romans vendus la $n$-ième semaine.

D'après l'énoncé, le nombre de romans vendus la $(n+1)$-ième semaine est en augmentation de 2~\% par rapport au nombre de romans vendus la $n$-ième
semaine ce qui se traduit par : $u_{n+1}=u_{n}\times 1,02$. La suite $(u_{n})$ ainsi définie est donc la suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $u_{1}=\numprint{10000}$.
\[{u_{{1}}+\cdots+u_{{n}}=u_{{1}}\times
\left(\dfrac{1-q^{{n}}}{1-q}\right)}.\]
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :

${S=u_{{1}}+u_{{2}}+\cdots}+u_{45}=\numprint{10000}\times\dfrac{1-\left(1,02\right)^{45}}{1-1,02}$
soit $S\approx\numprint{718927}$.

\begin{attention}
Ici, le premier terme est $u_{1}$ : le nombre de termes est donc 45.
\end{attention}


\item Réponse \choix[a] : pour tout entier naturel $n$,
\[u_{{n}}=\text{e}^{{-n\ln2}}\Leftrightarrow
u_{{n}}=(\text{e}^{{-ln2}})^{n}\Leftrightarrow
u_{{n}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{{n}}.\] 
La suite $(u_{n})$ est donc une suite géométrique de raison ${\dfrac{1}{2}}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% QCM 4

\begin{vf}{Vrai ou faux}{15}
Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes et justifier.

La suite $(u_n)$ est définie sur $\N$ par $u_{n + 1} = 0,5 u_n + 4$ et $u_0 = 9$.
\begin{questions}
\item La suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $ v_n = u_n - 8 $ est géométrique.

\item La suite $(v_n)$ tend vers $ + \infty$.

\item La suite $(u_n)$ a pour limite $8$.

\item $v_n$ est inférieur à $10^{-4} $ dès que $n$ est supérieur ou égal à $13$.
\end{questions}
\end{vf}

%%%%%% CORR QCM 4

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Vrai. En effet, $v_{n + 1} = u_{n + 1}-8 = 0,5 u_n + 4 - 8 = 0,5 (u_n-8) = 0,5 v_n$.

    \item Faux. La raison de cette suite géométrique est $ 0,5 $, donc comprise entre $ 0 $ et $ 1 $, par conséquent $ (v_n) $ tend vers $ 0 $.

    \item Vrai. $ u_n = v_n + 8 $ ~; or, $ (v_n) $ tend vers $ 0 $, donc $ (u_n) $ tend vers $ 8 $.

    \item Faux. On peut soit afficher les termes successifs de la suite à la calculatrice, soit, si le chapitre a été traité, utiliser la fonction logarithme népérien : $v_n = v_0\, 0,5 ^n$ et $v_0 = u_0-8 = 1$, donc :
            \begin{align*}
                v_n < 10^{-4} & \Leftrightarrow 0,5 ^n < 10^{-4} \Leftrightarrow n\,\ln( 0,5 ) < \ln(10^{-4}) \\
                 & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(10^{-4})}{\ln( 0,5 )}.
            \end{align*}
        $n$ doit être supérieur ou égal à $14$.

             \begin{attention}
                $\ln ( 0,5 )$ est négatif, donc quand on divise par $\ln (0,5)$, on doit changer le sens de l'inégalité.
             \end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 5 (new 215)

\begin{vf}{Logique}{15}
$(u_n)$ est une suite définie par $u_0=500$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,5u_n$.

Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\begin{questions}
\item Il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $u_n<100$.
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n<100$.
\item Il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $u_n=0$.
\item Il existe un nombre entier naturel $p$ tel que pour tout entier naturel $n$ supérieur à $p$, on a $u_n<5$.
\end{questions}
\end{vf}

%%% CORR EX 5

\begin{corrige}
Le terme général de cette suite est $u_n=500\times0,5^n$.
\begin{questions}
\item Vrai : par exemple $u_3=500\times0,5^3=62,5$.
\item Faux puisque  au moins $u_0>100$.
\item Faux car $500\times0,5^n$ ne s'annule jamais.
\item Vrai : la suite est strictement décroissante puisque sa raison est strictement inférieure à 1 et son premier terme positif.

On constate que, par exemple, $u_7\approx3,9$  donc $u_7<5$, et pour tout $n\geqslant7$, on a $u_n\leqslant u_7<5$.
\end{questions}

\begin{methode}
Pour montrer :
\begin{itemize}
\item « il existe un nombre$\ldots$ », il suffit de trouver un exemple pour montrer que c'est vrai.
\item « pour tout nombre$\ldots$ », il suffit de trouver un contre-exemple pour prouver que c'est faux.
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 6 (new 215)

\begin{qcm}{Interprétation de l'affichage}{10}
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=1,2$. On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
U prend la valeur 1
S prend la valeur 1
Pour I entier variant de 1 à 5 Faire
\qquad	U prend la valeur U
\qquad	S prend la valeur S+U
Fin Pour
Afficher S
\end{algorithme}

\Par

Cet algorithme affiche : (désigner la bonne réponse en justifiant)\resetchoix

\choix{} le 5\ieme{} terme de la suite $(u_n)$.

\choix{} le 6\ieme{} terme de la suite $(u_n)$.

\choix{} La somme des 5 premiers termes de la suite $(u_n)$.

\choix{} La somme des 6 premiers termes de la suite $(u_n)$.
\end{qcm}

%%% CORR EX 6

\begin{corrige}
Réponse \choix[d].

Lors de l'initialisation, U et S prennent la valeur $u_0=1$.

Dans la boucle, U rend successivement les valeurs $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ qui sont ajoutées à S.

Donc en sortie de boucle, $S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 7 (new 2015)

\begin{qcm}{Variations en pourcentage}{15}
Pour chacune des questions, déterminer les réponses exactes. Justifier.
\begin{questions}
\item Océane vend un article par correspondance au prix unitaire de 10 \euro. Elle en vend \numprint{1000}. Chaque mois, elle diminue son prix unitaire de 21\,\% et en contre partie, la quantité vendue augmente de 26\,\%.

La valeur de ses ventes au bout de $n$ mois est : 
\[
V_n=\text{prix unitaire}\times\text{quantité vendue}.
\]
Alors :\resetchoix

\choix{} La suite $(V_n)$ est croissante.

\choix{} La suite $(V_n)$ est décroissante.

\choix{} \`A long terme, la valeur de $V_n$ est nulle.

\item Anatole achète sa moto \numprint{10000} \euro. Il apprend que sa valeur diminue de 10\,\% chaque année.\resetchoix
\Par
\choix{} Sa valeur est nulle au bout de 10 ans.

\choix{} Cinq ans après son achat, elle vaut \numprint{5900} \euro{} à 10 euros près.

\choix{} \`A long terme, sa valeur devient constante.
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR EX 7

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Chaque mois le prix unitaire est diminué de 21\,\%, donc multiplié par 0,79. Au bout de $n$ mois, il devient donc $10\times0,79^n$.

La quantité vendue augmente de 26\,\%, donc devient $\numprint{1000}\times1,26^n$.

Alors,
\[
V_n=10\times0,79^n\times\numprint{1000}\times1,26^n=10^4\times\numprint{0,9954}^n\;.
\]
$(V_n)$ est une suite géométrique de premier terme positif et de raison strictement inférieure à 1, elle est donc décroissante.

Sa limite est nulle, mais $V_n$ n'est jamais nul. 

($V_n$ représentant une somme en euros, sera inférieur à 1 centime d'euro pour $n$ de l'ordre de \numprint{3000}, soit après 250 ans, on ne peut donc pas invoquer un arrondi pour dire qu'à long terme la valeur s'annule.)


\item Réponse \choix[b]. 

La valeur de la moto au bout de $n$ années est $\numprint{10000}\times0,9^n$.

Cette valeur n'est jamais nulle, même si elle est strictement décroissante et tend vers 0.

Pour $n=5$, on trouve $\numprint{10000}\times0,9^5\approx\numprint{5904,9}$, c'est-à-dire \numprint{5900} à 10~euros près.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Suites géométriques}

%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Exercice 8 (new 2015)

\begin{exo}{Suite géométrique}{Lycée Lamartine, Paris}{1}{10}
\'Ecrire les trois premiers termes des suites définies ci-après.

Peuvent-elles être géométriques ? Justifier.

Si la suite est géométrique, donner sa raison.
\begin{questions}
\item $u_n=3^n+4n+1$ pour tout $n$ de $\N$.
\item $u_n=\dfrac{2^n}{3^{n+1}}$ pour tout $n$ de $\N$.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 8

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_0=2$, $u_1=3+4+1=8$ et $u_2=9+8+1=18$.

Comme $\dfrac{8}{2}\neq\dfrac{18}{8}$, cette suite ne peut pas être géométrique.

\item $u_0=\dfrac{1}{3}$, $u_1=\dfrac{2}{9}$ et $u_3=\dfrac{4}{27}$.

On constate que $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{2}{9}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{4}{27}\times\dfrac{9}{2}=\dfrac{2}{3}$. 

Cette suite pourrait donc être géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.

Pour le prouver, en remarquant qu'aucun terme de la suite n'est nul, on fait le quotient de deux termes consécutifs pour $n$ quelconque :
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{3^{n+2}}\times\dfrac{3^{n+1}}{2^n}=\dfrac{2}{3}.
\]
Ceci prouve que la suite est bien géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 9 (new 2015)

\begin{exo}{Critère de choix}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{10}
Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0=2$, $u_1=8$ et $u_2=32$.

Indiquer la bonne réponse sur la copie :
\begin{questions}
\item Est-on sûr que la suite $(u_n)$ est ou n'est pas une suite arithmétique?
\item Est-on sûr que la suite $(u_n$) est ou n'est pas une suite géométrique ?
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_1-u_0=6$ et $u_2-u_1=24$. Comme la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante, on peut être sûr que la suite n'est pas arithmétique.\enlargethispage*{2em}
\item $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{8}{2}=4$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{32}{8}=4$. Comme ces deux quotients sont égaux, la suite pourrait être géométrique, mais on n'en est pas sûr car on ne connaît rien sur les autres termes.
\end{questions}

\begin{methode}
Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou géométrique), il suffit de trouver trois termes consécutifs  $a$, $b$  et $c$ tels que $b-a\neq c-b$  (ou $\dfrac{b}{a}\neq\dfrac{c}{b}$). Il suffit donc de trouver un contre exemple.\\[4pt]
Par contre, pour montrer qu'une suite est arithmétique (ou géométrique), il faut démontrer que la différence (ou le quotient) de deux termes consécutifs quelconques est constante (constant).
\end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 10 (new 2015)

\begin{exo}{Suites et puissances}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{1}{15}
\begin{questions}
\item Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme $u_0=4$.

Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=2^{u_n}$.
\begin{questions}
\item Déterminer les trois premiers termes de la suite $(v_n)$.
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique et donner sa raison.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 10

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_1=u_0+2=6$, $u_2=u_1+2=8$ et $u_3=u_2+2=10$.
\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}la forme générale de $u_n$ est $u_n=4+2n$, ce qui sera utile pour la suite.
\item
\begin{questions}
\item $v_0=2^{u_0}=2^4=16$ ; $v_1=2^{u_1}=2^6=64$ ; \mbox{$v_2=2^{u_2}=2^8=256$.}
\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est non nul  et  :
\[
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{2^{u_{n+1}}}{2^{u_n}}=\dfrac{2^{4+2(n+1)}}{2^{4+2n}}=2^2=4.
\]
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 4.
\end{questions}
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 11 (new 2015)

\begin{exo}{Modifier un algorithme}{Lycée Victor Duruy, Paris}{1}{20}
On pose :
\[
S=1+\dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{4}{3}\right)^n\;.
\]
On se propose de trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $S$ soit supérieur ou égal à A, où A est un nombre donné à l'avance.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Saisir A
N prend la valeur 0
S prend la valeur 1
Tant que S$<$A faire
\qquad N prend la valeur N+1
\qquad S prend la valeur S+$\left(\dfrac{4}{3}\right)^\text{N}$
Fin tant que
Afficher N
Afficher S
\end{algorithme}

\Par

Pour $\text{A}=4$, détailler le déroulement de l'algorithme.

Indiquer la plus petite valeur de $n$ telle que $S$ soit supérieur ou égal à 4.

Quelle valeur de $n$ obtient-on pour $\text{A}=10$ ? Justifier.
\end{exo}

%%%%% CORR EX 11

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}S{X}|}Sc|S{X}|}
\hline\tabulartitle
Initialisation & & N & \hspace*{3.5em}$S$\\
\hline
$\text{A}=4$ &  & 0 & 1\\
\hline\tabulartitle
Boucle \og Tant que \fg{}  & Test $S<\text{A}$ &  & \\
\hline
 & $1<4$ : vrai & 1 & $1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3}$\\
 \hline
 & $\dfrac{7}{3}<4$ : vrai & 2 & $\dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{37}{9}$\\
 \hline
 & $\dfrac{37}{9}<4$ : faux & & Fin de boucle\\
 \hline
\end{tabularx}

\Par

L'algorithme affiche N, la plus petite valeur de $n$ telle que $S>4$. On a ici $S=\dfrac{37}{9}$  pour $n=2$.

Si $\text{A}=10$, il faut modifier le test en comparant $S$ à 10. Les premiers calculs sont identiques au cas précédent, puis :

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*1{>{\centering\arraybackslash}S{X}|}c|S{X}|}
\hline\tabulartitle
Test $S<A$ & N & \hspace*{4.5em} $S$\\
\hline
 $\dfrac{37}{9}<10$ : vrai & 3 & $\dfrac{37}{9}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{175}{27}$\\
\hline
 $\dfrac{175}{27}<10$ : vrai & 4 & $\dfrac{175}{27}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^4=\dfrac{781}{81}$\\
 $\dfrac{781}{81}<10$ : vrai & 5 & $\dfrac{781}{81}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^5=\dfrac{\numprint{3367}}{243}$\\
 $\dfrac{\numprint{3367}}{243}<10$ : faux &  & Fin de boucle\\
\hline
\end{tabularx}
\Par
L'affichage est donc $\text{N}=5$.
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 12 (anc. 6)

\begin{exo}{Suite logarithmique}{Lyc\'ee Chaptal, Paris}{1}{30} 

On consid\`ere la suite $ (u_{n}) $ de nombres r\'eels d\'efinie par :
\[
\begin{cases}
u_{0}=2\\
\ln\big(u_{n+1}\big)=1+\ln{u_{n}}.
\end{cases}
\]
On note $\nep$ le nombre de Neper, tel que $\ln\nep=1$.
\begin{questions}
\item Donner les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ en fonction de $\nep$.
\item Montrer que:
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\nep.
\]

En d\'eduire $ u_{n} $ en fonction de $n$.

\item Pr\'eciser le sens de variation de la suite $ (u_{n}) $ et calculer:
\[
\lim_{n\to+\infty}u_{n}.
\]

\item D\'eterminer le plus petit entier $ n_{0} $ tel que $ u_{n_{0}}>10^{10} $.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 12

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{itemize}
\item $ \ln{u_{1}}=1+\ln{2}=\ln{\nep}+\ln{2}=\ln{2\nep} $.

Par stricte monotonie de $\ln$  :  $ u_{1}=2\nep $.

\item $ \ln{u_{2}}=1+\ln{u_{1}}
=\ln{\nep}+\ln{2\nep}= \ln(\nep \times 2\nep) = \ln\big(2\nep^2\big)$.

D'o\`u : $ u_{2}=2\nep^2$.

\item $ \ln{u_{3}}=1+\ln{u_{2}}
=\ln{\nep}+\ln{2\nep^2}= \ln\big(\nep \times 2\nep^2\big)  = \ln\big(2\nep^3\big)$.

D'o\`u : $ u_{3}=2\nep^3$.
\end{itemize}

\item  De fa\c{c}on g\'en\'erale :
\begin{gather*}
	\ln(u_{n+1})=1+\ln(u_{n})  =  \ln{\nep}+\ln(u_{n})
	= \ln(\nep \times u_{n}) \\
	\iff   u_{n+1} =  \nep \times u_{n}
	\iff \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \nep.
\end{gather*}
Cette relation de r\'ecurrence d\'efinit $(u_n)$ comme une suite
g\'eom\'etrique. $(u_{n})$ est donc la suite g\'eom\'etrique  de premier terme 2 et de raison $\nep$:
\[
u_{n}=2\nep^{n} \quad \text{ pour tout } n \in \N.
\]

\item Comme la raison est sup\'erieure \`a $1$ ($\nep>1$) et que les termes sont positifs   :
\[
	u_{n}  < \nep \times u_{n}
	\Longrightarrow   u_{n}   < u_{n+1}   \quad (n \in \N).
\]
La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante et divergente:
\[
	\lim_{n\to+\infty}\nep^{n}=+\infty
	\Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty.
\]

\item On cherche $n$ tel que  $u_{n}>10^{10}$, c'est-\`a-dire : $2\nep^{n}>10^{10}$.

Sachant que $\ln$ est strictement croissante:
\begin{align*}
2\nep^{n}>10^{10} & \iff \ln(2\nep^{n}) > \ln\big(10^{10}\big)
	\iff   \ln{2}+ n \underbrace{\ln{\nep}}_{1}>10\ln{10} \\
	&  \iff   n > 10\ln{10}-\ln{2} \iff    n >  22{,}3
	\text{ \`a $10^{-1}$ pr\`es. }
\end{align*}
Le plus petit entier naturel qui satisfait la derni\`ere condition est \mbox{$n_0=23$}.
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 13 (anc. 7)

\begin{exo}{Comparaison de deux placements}{Lycée Gabriel Fauré, Paris}{1}{30} %

Au 1\ier janvier 2004, Marcel place \nombre{10000}\,\euro{} à un taux de 3\,\%. Au 1\ier janvier 2004, Édith place 9000\,\euro{} à un taux 4\,\%. Les deux placements se font à intérêts annuels composés.

    On note $u_n $ (respectivement $v_n $) le capital dont dispose Marcel (resp. Édith) au 1\ier janvier de l'année 2004 + $n$.
    \begin{questions}
        \item Quel est le capital pour chacun au 1\ier janvier 2005 ?

        \item Déterminer la nature des suites ($u_n $) et ($v_n $).

        \item Exprimer les termes $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.

        \item Au bout de combien d'années le placement d'Édith sera-t-il plus rentable que celui de Marcel ?
    \end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX 13

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Au 1\ier janvier de l'année 2005, Marcel dispose de son capital de départ, soit \nombre{10000}~euros, augmentés des intérêts sur un an, soit 3\,\% de \nombre{10000}~euros :
\[ 	
u_{1} = \nombre{10000} + \nombre{10000}\times\dfrac{3}{100} = \nombre{10000} + 300 = \nombre{10300}\text{\,\euro}. 
\]
De même, Édith dispose alors de :
 \[ 	
 v_{1} = \numprint{9000} + \numprint{9000}\times\dfrac{4}{100} = \numprint{9000} + 360 = \numprint{9360}\text{\,\euro{}}. 
 \]

\item Au début de l'année $2004 + n + 1$, Marcel dispose du capital $u_n $ de l'année $2004 + n$ augmenté des intérêts (3\,\% de $u_n$), soit:
\[
\begin{cases}
u_{0} &= \nombre{10000} \\
u_{n + 1} &= u_n + 0,03 \, u_n = 1,03 \, u_n.
\end{cases}
\]
Il s'agit d'une suite géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0 = \nombre{10000}$.

De même pour Édith:
\[
\begin{cases}
v_{0} & = \numprint{9000} \\
v_{n + 1} & = v_n + 0,04 \,v_n = 1,04 \, v_n.
\end{cases}
\]
Il s'agit d'une suite géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0 = \numprint{9000}$.

\item Les expressions des termes en fonction de $n$ sont :
\[ 	
u_n = u_0\times(1,03)^n \qquad v_n = v_0\times(1,04)^n. 
\]

\item Il s'agit de trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n < v_n$. On résout cette inéquation d'inconnue $n$ en utilisant la croissance de la fonction logarithme :
\begin{align*}
    	u_n < v_n & \iff
    	\nombre{10000}\times( 1,03 )^n < 9000\times(1,04)^n \\
       & \iff \left(\dfrac{1,04}{1,03}\right)^n
    	> \dfrac{\nombre{10000}}{9000}\\
       & \iff \ln\left[\left( \dfrac{1,04}{1,03}\right)^n\right]
    	> \ln \dfrac{10}{9} \\
    	& \iff n \times\underbrace{\ln\left(\dfrac{1,04}{1,03}\right)}_{a> 0 }
    	> \ln\left(\dfrac{10}{9}\right)\\
    &	\iff n > \underbrace{\ln\left(\dfrac{10}{9}\right)\times
    	\left(\ln \dfrac{1,04}{1,03}\right)^{-1}.}_{\approx 10,9}
    \end{align*}
Les solutions entières de cette inéquation vérifient donc $n\ge 11$. C'est donc au bout de 11 années de placement qu'Édith disposera d'un capital plus important que Marcel. Elle a placé moins d'argent, mais l'a mieux placé !

Si le chapitre logarithme n'a pas été traité, on peut aussi utiliser les tables de la calculatrice pour déterminer l'année où le capital d'Édith dépasse celui de Marcel. Ensuite, on est sûr qu'il restera supérieur puisque ses intérêts sont supérieurs.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 14 (new 2015)

\begin{exo}{Trouver la raison}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{15}
\begin{questions}
\item La suite $(u_n)$ est une suite géométrique décroissante telle que $u_5=10$. Que peut-on dire de sa raison ?
\item La suite $(u_n)$ est une suite géométrique décroissante telle que $u_5=-10$. Que peut-on dire de sa raison ?
\end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX 14

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si la suite est décroissante, alors $u_6<u_5$, mais aussi $u_7<u_6$ donc $10q^2<10q$, c'est-à-dire $q^2<q$, soit $q(q-1)<0$. Cela montre que $0<q<1$. 

Cette condition est suffisante car si $u_5=10$, alors:
\[
u_n=10\times q^{n-5}=\dfrac{10}{q^5}\times q^n\;. 
\]

La suite $\big(q^n\big)$  est décroissante car $0<q<1$  et on obtient $u_n$ en multipliant $q^n$ par un nombre positif, donc la suite $(u_n)$ est bien aussi décroissante. 

Dans ce cas, la condition $0<q<1$ est nécessaire et suffisante.

\item Ici aussi la suite est décroissante donc $u_6<u_5$, c'est-à-dire \mbox{$-10q<-10$}, ce qui donne $q>1$.

On a alors $u_n=\dfrac{-10}{q^5}\times q^n$. Comme $q>1$, la suite $(u_n)$ est croissante, et multipliée par un nombre négatif, elle donne bien une suite décroissante. Cela montre que la condition $q>1$ est nécessaire est suffisante.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 15 (new 2015)

\begin{exo}{Retrouver la suite}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{25}
$a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique croissante tels que :
\begin{equation}
\begin{cases}
a+b+c=19\\
2a+b-c=5
\end{cases}\tag{S}\label{ex15syst}
\end{equation}
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi $b^2=ac$.
\item On note $q$ la raison de cette suite géométrique.

Expliquer pourquoi  $q>0$.
\item Montrer que le système \ref{ex15syst} est équivalent à :
\begin{equation}
\begin{cases}
a(1+q+q^2)=19\\
a(3+2q)=24
\end{cases}\tag{S'}\label{ex15syst2}
\end{equation}

\item Résoudre ce système \ref{ex15syst} et déterminer les valeurs des nombres réels $a$, $b$ et $c$.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 15

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme la suite est géométrique, en notant $q$ la raison, on a $b=aq$ et $c=aq^2$, donc :
\[b^2=(aq)^2=a\times aq^2=ac.\]

\item  Si $q$ était négatif, les termes de la suite seraient alternativement positifs et négatifs. Dans ce cas, la suite ne peut pas être croissante. De plus, $q\neq0$ sinon la suite serait constante à partir du rang 1. Par conséquent, $q>0$.

\item Si $q$ est la raison, alors $b=aq$ et $c=aq^2$. 

En remplaçant la seconde équation de \ref{ex15syst} par la somme des deux équations de départ, on a :
\[
\begin{cases}
a+b+c=19\\
3a+2b=24
\end{cases}
\]
Puis, en exprimant $b$ et $c$ en fonction de $a$ :
\[
\begin{cases}
a+aq+aq^2=19\\
3a+2aq=24
\end{cases}
\]
On obtient alors :
\[
(\text{S}')\quad\begin{cases}
a(1+q+q^2)=19\\
a(3+2q)=24
\end{cases}
\]

\item De ces deux équations, on déduit, par produit en croix :
\[
24a(1+q+q^2)=19a(3+2q)\;,
\]
et comme $a\neq0$ (sinon la suite serait constante), on obtient :
\[
24q^2-14q-33=0\;.
\]
Les deux solutions de cette équation sont : $\dfrac{14+58}{48}$ et $\dfrac{14-58}{48}$. 

Comme $q>0$, on en déduit que $q=\dfrac{3}{2}$.

Alors, d'après la seconde équation de \ref{ex15syst2} :  $a\left(3+2\times\dfrac{3}{2}\right)=24$.\\
On trouve $a=4$, puis $b=4\times\dfrac{3}{2}=6$ et $c=6\times\dfrac{3}{2}=9$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 16 (new 2015)

\begin{exo}{Suite décrite par un algorithme}{Lycée Albert de Mun, Nogent-sur-Marne}{2}{25}
On donne l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
U prend la valeur 2
Pour i variant de 1 à 3
\qquad U prend la valeur $\dfrac{4}{3}$U
Fin Pour
Afficher U
\end{algorithme}
\begin{questions}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Modifier cet algorithme pour qu'il donne le 5\ieme{} terme de la suite géométrique de premier terme 100 et de raison 1,2.
\item On considère la suite géométrique de premier terme $u_0=100$ et de raison $q=1,2$.
\begin{questions}
\item Exprimer, sans justifier, pour tout $n$ de $\N$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de cette suite quand $n$ tend vers $+\infty$.
\item Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_5$ des six premiers termes de cette suite.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 16

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'algorithme affiche le terme $u_3$  de la suite géométrique de terme $u_0=2$ et de raison $\dfrac{4}{3}$.

L'affichage sera donc : $2\times\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{128}{27}$.

\item Le 5\ieme{} terme de la suite est le terme de rang 4 donc on modifie l'algorithme de la façon suivante :

\begin{algorithme}
U prend la valeur 100
Pour i variant de 1 à 4
\qquad U prend la valeur 1,2U
Fin Pour
Afficher U
\end{algorithme}

\item
\begin{questions}
\item $u_{n+1}=1,2u_n$ et $u_n=100\times1,2^n$.
\item Comme $1,2 >1$, on sait que $1,2^n$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. En multipliant par 100, qui est un nombre positif, on trouve que la limite de $(u_n)$ est aussi $+\infty$.
\item $\begin{aligned}[t]
S & = u_0+u_1+\cdots+u_5\\
& = 100+100\times1,2+100\times1,2^2+\cdots + 100\times1,2^5\\
& = 100\big(1+1,2+1,2^2+1,2^3+1,2^4+1,2^5\big)\\
& = 100\times\dfrac{1-1,2^6}{1-1,2}\\
& = 500\times\big(1,2^6-1\big)\\
& = 992,992.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 17 (anc. 8)

\begin{exo}{Recherche de taux}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{2}{30}
Le 1\ier janvier 2002, René a placé \nombre{5000}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de~3\,\%. On note $C_n$ le capital de René disponible au 1\ier janvier de l'année 2002 + $n$.
\begin{questions}
\item \begin{questions}

\item Calculer $C_1$ et $C_2$.

\item Exprimer $C_{n + 1}$ en fonction de $C_n$ et montrer que $C_n$ peut s'écrire :
    \[ C_n = 1,03^n\times \nombre{5000}. \]%
\end{questions}

\item Au 1\ier janvier 2010, René aura besoin d'une somme de \nombre{7000}~\euro.
\begin{questions}
\item Le capital disponible au 1\ier janvier 2010 sera-t-il suffisant pour subvenir à cette dépense?

\item À quel taux minimal René aurait-il dû placer son capital le 1\ier janvier 2002 pour disposer d'au moins \numprint{7000}~\euro{} au 1\ier janvier 2010 ?
Arrondir le résultat au dixième.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 17

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Après un an de placement, le capital disponible $C_{1}$ est la somme du capital initial $C_{0}$, et des d'intérêts, $ 0,03 \times C_0$.
Donc
    \[ C_{1} = 1,03 \times C_0 = \numprint{5150} \text{ (en euros).} \]%
De même:
    \[ C_{2} = C_1 + 0,03 \times C_1 = 1,03 \times C_1 = \nombre{5304,5} \text{ (en euros).} \]%

\item De façon générale, le capital disponible après $n$ années de placement $C_{n + 1}$ est égal au capital disponible l'année précédente, $C_n $, augmenté des 3\,\% d'intérêts, $0,03 \times C_n$. D'où la relation de récurrence:
    \[ C_{n + 1} = 1,03\times C_n, \]%
pour tout entier naturel $n$, qui prouve que $(C_n)$ est la suite géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $C_0 = \numprint{5000}$. Le terme général $C_n$ s'exprime donc en fonction de $n$ par:
    \[ C_n = \numprint{5000} \times 1,03^n. \]%
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le capital disponible au 1\ier janvier 2010 correspond à $C_8$. On le calcule à l'aide de la formule précédente. On constate qu'il est inférieur à la somme désirée.
    \[ C_8 = \numprint{5000} \times 1,03^8 \approx \numprint{6334}\ (\text{euros}). \]%

\item Supposons que René place \numprint{5000} euros le 1\ier janvier 2002 un placement au taux de $t$\,\% (où $t$ est un réel strictement positif). La nouvelle suite $(C'_n)$ des capitaux est définie par la relation de récurrence :
    \[ C'_{n + 1} = \Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr) C'_n. \]
Cette suite est donc géométrique de raison $ 1 + \dfrac{t}{100} $ et l'on a :
    \[ C'_n = \numprint{5000}\Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr)^n \text{ pour tout } n \in \N. \]
On recherche le plus petit taux $t>0$ tel que $C'_{8} \geqslant\numprint{7000}$:
    \begin{align*}
    \numprint{5000}\Bigl(1 & + \dfrac{t}{100}\Bigr)^8 \geqslant\numprint{7000}
     \iff\Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr)^8 \geqslant \dfrac{7}{5} \\
    	 & \iff \ln\left( \Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr)^8 \right) \geqslant \ln\Bigl(\dfrac{7}{5}\Bigr)\\
    	 & \iff 8 \ln\Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr) \geqslant \ln 7 - \ln 5 \\
    	& \iff \ln\Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr) \geqslant \dfrac{\ln 7 - \ln 5}{8}\\
    	 & \iff 1 + \dfrac{t}{100} \geqslant \exp{\left(\dfrac{\ln 7 - \ln 5}{8}\right)} \\
    & \iff t \geqslant 4,3\ \quad(\text{à 0,1 près}).
    \end{align*}

René aurait donc dû placer son capital au taux d'au moins 4,3\,\%.
\medskip

Comme dans l'exercice précédent, si le chapitre sur les logarithmes n'a pas été traité, on peut programmer la fonction $\numprint{5000}\Bigl(1 + \dfrac{t}{100}\Bigr)^8$ et faire afficher une table de valeurs avec la précision souhaitée pour obtenir le taux minimal nécessaire.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 18 (new 2015)

\begin{exo}{\fontsize{13}{15}\selectfont Exponentielle d'une suite arithmétique}{Lycée Victor Duruy, Paris}{3}{30}
\emph{Comme son titre l'indique, cet exercice ne pourra être traité qu'après avoir étudié la fonction exponentielle.}
\begin{questions}
\item On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $-1$­.
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire $u_{15}$.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Variable d'entrée
\qquad N réel
Variables de sortie
\qquad S, A réels
Traitement
\qquad Saisir N
\qquad A prend la valeur 2
\qquad S prend la valeur 2
\qquad Pour i= 1 à N faire
\qquad\qquad A prend la valeur A-1
\qquad\qquad S prend la valeur S+A
\qquad FinPour
Sortie			
\qquad Afficher A
\qquad Afficher S
\end{algorithme}

\Par

Quels résultats obtient-on pour N=1, N=2 et N=3 ?

Que se passe-t-il si N=0 ?

Que représentent les valeurs A et S ?

\item \label{ex18q1d} On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$. Démontrer que : \[ S_n=\dfrac{(n+1)(4-n)}{2}.\]
\end{questions}

\item On pose $v_n=\nep^{u_n}$.
\begin{questions}
\item Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison $q$.
\item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}

\item Soit $P_n=v_0\times v_1\times\cdots\times v_n$.

En utilisant le résultat de la question \ref{ex18q1d}, exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

%%%%%%% CORR EX 18

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $u_1=2-1=1$ et $u_2=1-1=0$.
\item $u_n=u_0+nr=2-n$ donc $u_{15}=2-15=-13$.
\item 
\begin{itemize}
\item Pour N=1, A=1 et S=3.
\item Pour N=2, A=0 et S=3.
\item Pour N=3, A=$-1$ et S=2.
\end{itemize}
Si N=0,  A et S prennent la valeur 2 et gardent cette valeur : on n'entre pas dans la boucle car i ne peut pas prendre de valeur entre 1 et 0. 
\Par
A est la valeur du terme de rang N de la suite arithmétique.

S est la somme des termes de rangs 0 à N de cette suite.
\item $\begin{aligned}[t]
S & = (u_0-0)+(u_0-1)+(u_0-2)+\cdots+(u_0-n)\\
& = (n+1)u_0-(0+1+2+\cdots+n)\\
& = (n+1)u_0-\dfrac{n(n+1)}{2}\\
& = (n+1)\left(2-\dfrac{n}{2}\right)\\
& = \dfrac{(n+1)(4-n)}{2}
\end{aligned}$
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item $v_0=\nep^{u_0}=\nep^2$, $v_1=\nep^{u_1}=\nep^1=\nep$ et $v_2=\nep^{u_2}=\nep^0=1$.
\item Pour tout $n$, $v_n$ est non nul donc : 
\[
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{\nep^{u_{n+1}}}{\nep^{u_n}}=\nep^{-1}=\dfrac{1}{\nep}.
\]
Le quotient de deux termes consécutifs est constant, la suite $(v_n)$ est donc géométrique, de raison $\dfrac{1}{\nep}$.
\item $v_n=v_0\times\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^n=\dfrac{\nep^2}{\nep^n}=\nep^{2-n}$.
\item $\begin{aligned}[t]
P_n & = v_0\times v_1\times v_2\times\cdots\times v_n\\
& = \nep^{u_0}\times\nep^{u_1}\times\cdots\times\nep^{u_n}\\
& = \nep^{u_0+u_1+\cdots+u_n}\\
& = \nep^{S_n}\\
& = \nep^{\frac{(n+1)(4-n)}{2}}\;.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 19 (anc. 10)

\begin{exo}{Suites extraites}{Lyc\'ee Pierre de Fermat, Toulouse}{3}{60} 

Pour l'ann\'ee en cours, le prix d'un objet est $P_{0}$ (\euro). Suite à l'inflation, le prix augmente chaque année.
%L'inflation des prix est estim\'ee \`a $3$~\% (les prix dans un an subiront une hausse de $3$~\%). On note $P_{n}$ le prix de ce m\^eme objet dans $n$ ann\'ees.
\begin{questions}
\item On suppose une inflation des prix constante,  de $3$~\% par an, pour les ann\'ees \`a venir.
\begin{questions}
\item Exprimer le prix $P_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'ann\'ees le prix de l'objet aura-t-il doubl\'e?
Le temps de doublement  d\'epend-il du prix initial $P_{0}$?
\end{questions}

\item  On suppose maintenant qu'\`a une ann\'ee d'inflation \`a $3$~\% succ\`ede une
ann\'ee de d\'esinflation de $3$~\% (les prix baissent de $3$~\%) et vice-versa.
Les taux d'inflation (en~\%) forment donc une suite altern\'ee  (3,-3,3,-3,...).
\begin{questions}
\item  Exprimer $P_2$ en fonction de $P_0$.

\item  Exprimer de m\^eme le prix  $P_{2n+2}$ en fonction de  $P_n$.
En d\'eduire  que la suite $(P_{2n})$ est g\'eom\'etrique.

\item Exprimer  $P_{2n}$ et  $P_{2n+1}$ en fonction de $n$ et de $P_0$.

\item  Reprendre la question pr\'ec\'edente  en supposant que les taux d'inflation
et de d\'esinflation sont respectivement de $i$\,\% et $-i$\,\%.

\item \'Etudier les variations des suites ($P_{2n}$) et  ($P_{2n+1}$).
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 19

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'une ann\'ee \`a l'autre le prix augmente de 3\%,
c'est-\`a-dire est multipli\'e par $1{,}03$ ~; la suite des prix est en
progression g\'eom\'etrique de raison $1{,}03$.
\[
P_{n+1}  =  P_{n}+0{,}03\times P_{n}= 1{,}03\times P_{n}
\quad \text{ donc }  \quad
P_{n} =  1{,}03^{n} \times P_{0}
\]
On cherche $n$ tel que $P_{n}\geq 2P_{0}$, c'est-\`a-dire:
$1{,}03^{n}P_{0}\geq 2P_{0}$.
On simplifie d'abord  cette in\'equation par $P_{0}$ (sans en changer le
sens puisque $P_{0}$ est strictement positif). On r\'esout en utilisant la
stricte croissance de la fonction logarithme:
\begin{align*}
	1{,}03^{n}\geq 2
	& \iff    \ln(1{,}03^{n})   \geq \ln 2\\
	& \iff n\underbrace{\ln{1{,}03}}_{> 0}\geq \ln{2}\\
	& \iff n\geq \underbrace{\dfrac{\ln{2}}{\ln{1{,}03}}}_{\approx 23{,}45 }
\end{align*}
Le plus petit entier naturel $n_{0}$ qui satisfasse  cette condition est donc:
$n_{0}=24 $. Le prix double au bout de 24 ans.
D'apr\`es la r\'esolution pr\'ec\'edente, la solution est ind\'ependante de $P_0$.

\item Les prix ne suivent plus une progression g\'eom\'etrique puisque les taux
changent d'une ann\'ee \`a l'autre.
\begin{questions}
\item  On sait que  $P_{1}=1{,}03P_{0}$ et   $P_{2}=0{,}97P_{1}$.
 En  substituant  $P_1$ dans la deuxi\`eme \'egalit\'e:
\[
P_{2}  =  1{,}03\times0{,}97\times P_{0} =  0{,}9991 P_{0}
\]

\item Pour un couple d'ann\'ee $(2n+1,2n+2)$ :
\[
	\left\{
	\begin{aligned}
		P_{2n+1}&=1{,}03P_{2n}\\
		P_{2n+2}&=0{,}97P_{2n+1}
	\end{aligned}\right.
	\ \text{ donc } \
	P_{2n+2} = 0,9991P_{2n}
\]
On en d\'eduit la relation de r\'ecurrence suivante :
\[
u_{n+1} = 0,9991u_{n} \quad \text{ avec } u_n = P_{2n}
\]
La suite $(u_n)$, \'egale \`a la suite $(P_{2n})$, est donc g\'eom\'etrique de raison
0{,}9991 et de premier terme $P_0$.

\item $P_{2n} = 0,9991^nP_{0}$ \;  et
$P_{2n+1} = 1,03P_{2n} = 0,9991^n\times1,03P_{0}$.

\item En g\'en\'eralisant avec un taux d'inflation de $i$\% suivi d'une
d\'esinflation de  $-i$\%:
\[
	\left\{
	\begin{aligned}
		P_{2n+1}&=\dfrac{100+i}{100}P_{2n}\\
		P_{2n+2}&=\dfrac{100-i}{100}P_{2n+1}
	\end{aligned}\right.
	\ \text{ donc } \
	P_{2n+2} = \left(1-\left(\dfrac{i}{100}\right)^2\right)P_{2n}
\]
On obtient comme relation de r\'ecurrence  :
\[
u_{n+1} = qu_{n} \quad \text{ avec } u_n = P_{2n} \quad
q = \left(1-\left(\dfrac{i}{100}\right)^2\right)
\]
La suite des prix ($P_{2n}$) est g\'eom\'etrique de raison $q$ et de premier
terme $P_0$. Par suite :
\begin{align*}
	P_{2n}&=\left(1-\left(\dfrac{i}{100}\right)^{2}\right)^{n}P_{0} \\
	P_{2n+1}&=\left(1+\dfrac{i}{100}\right)P_{2n} \\
	& =\left(1+\dfrac{i}{100}\right)\left
	(1-\left(\dfrac{i}{100}\right)^{2}\right)^{n}P_{0} \\
	& =\left(1-\left(\dfrac{i}{100}\right)^{2}\right)^{n}P_{1}
\end{align*}

\item La raison $q$ est positive et strictement plus petite que 1, donc
la suite $(q^n)$ d\'ecro\^it et  les deux  suites de prix $(P_{2n})$ et $(P_{2n+1})$ aussi.
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 20 (new 2015)

\begin{exo}{\'Etude d'un algorithme}{Lycée Victor Duruy, Paris}{1}{15}
On considère l'algorithme suivant où N désigne un entier naturel.

\begin{algorithme}
Entrée
\qquad Saisir la valeur de N
Initialisation
\qquad Affecter à I la valeur 0
\qquad Affecter à P la valeur 63,2
Traitement
\qquad Tant que I$<$N
\qquad\qquad Affecter à I la valeur I+1
\qquad\qquad Affecter à P la valeur 1,002P+0,1
Sortie
\qquad Afficher P
\end{algorithme}

\Par

Détailler le fonctionnement de l'algorithme pour $N=4$ et donner la valeur affichée en sortie, arrondie au millième.
\end{exo}

%%% CORR EX 20

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}m{1.7cm}|Sc|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|S{X}|}
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{} & I & \hspace*{5em} P\\
 \hline\tabulartitle
Initialisation & &  & \\
\hline
               & N=4 & 0 & 63,2\\
\hline\tabulartitle
Entrée dans la boucle & Test I$<$N & & \\
\hline
1 & $0<4$ Vrai  & 1 & $1,002\times63,2+0,1\approx63,426$\\
\hline
2 & $1<4$ Vrai & 2 & $1,002\times P+0,1\approx63,653$\\
\hline
3 & $2<4$ Vrai & 3 & $1,002\times P+0,1\approx63,881$\\
\hline
4 & $3<4$ Vrai & 4 & $1,002\times P+0,1\approx64,108$\\
\hline
5 & $4<4$ Faux & Sortie de la boucle & Affichage du résultat 64,108\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

La valeur affichée est donc, arrondie au millième, 64,108. 

\begin{Remarque}c'est le 4\ieme{} terme de la suite arithmético-géométrique : 
\[
P_{n+1}=1,002P_n+0,1\;,\qquad\text{avec }P_0=63,2.
\]
\end{Remarque}

Attention à l'utilisation de la calculatrice : si à chaque étape, on utilise la valeur arrondie de $P_n$, on accumule les erreurs d'arrondi. Il est donc préférable de reprendre la valeur exacte trouvée par la calculatrice (touche \T{ANS} en général).
\end{corrige}

\sectionnn{Suites arithmético-géométriques}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 21 (anc. 13)

\begin{exo}{Suite arithmético-géométrique}{Lycée Henri IV, Paris}{2}{30}

Une observation faite par un journal sur ses abonnés a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement voisin de 80\,\%, ainsi que l'apparition d'environ 5000 nouveaux abonnés.

On note $a_n $ le nombre d'abonnés après $n$ années et on précise que \mbox{$a_0 = \nombre{10000}$}.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$,
    \[
    a_{n + 1} = 0,8\, a_n + 5000.
    \]

\item Soit $ (u_n ) $ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par :
\[ u_n = \nombre{25000}-a_n. \]
\begin{questions}
\item En exprimant $ u_{n + 1} $ en fonction de $ u_n $, montrer que $(u_n )$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire que :
\[ 
a_n = \nombre{25000}-\nombre{15000}\times 0,8^{n}.
\]

\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.
\end{questions}

\item \begin{questions}
\item Résoudre sur $\N$ l'inéquation \; $\nombre{25000}-\nombre{15000}\times0,8^{x}>\nombre{22000}$.

\item En déduire le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'abonnés dépasse \nombre{22000}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX 21

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a 80\,\% de réabonnements par an soit, $\dfrac{80}{100}\,a_n = 0,8\,a_n $. Il y a en outre \numprint{5000} nouveaux adhérents par an. Soit en tout,
\begin{align*}
a_{n + 1} & = \underbrace{\text{ anciens lecteurs qui se réabonnent}}_{ = ~0,8\,a_n}+ \underbrace{\text{ nouveaux abonnés }}_{ = ~5000}\\
& = 0,8\,a_n + \numprint{5000}.
\end{align*}

\item
    \begin{questions}
    \item On sait que : $ u_n = \nombre{25000}-a_n \iff a_n = \nombre{25000}-u_n $.

    On cherche à écrire une relation entre $u_{n + 1}$ et $u_n$:
        \begin{align*}
        	u_{n + 1} & = \nombre{25000}-a_{n + 1}
        	 = \nombre{25000}-(0,8\,a_n + 5000) \\
        	& = \nombre{25000}-0,8\,a_n -5000
        	 = \nombre{20000}-0,8(\nombre{25000}-u_n ) \\
        	& = \underbrace{\nombre{20000}-0,8\times
        	\nombre{25000}}_{ = ~0} + 0,8\, u_n \\
        	& = 0,8\,u_n.
        \end{align*}
    $(u_n)$ est donc la suite géométrique de raison $ 0,8 $ et de premier terme:
        \[ u_0 = \nombre{25000}-a_0 = \nombre{25000}-\nombre{10000} = \nombre{15000}. \]

    \item Le terme général $u_n$ s'exprime en fonction de $n$ par:
\[ u_n = u_0\times 0,8^n = \nombre{15000}\times 0,8^n. \]
On en déduit l'expression de $a_n$ en fonction de $n$:
\[ a_n = \nombre{25000}-u_n = \nombre{25000}-\nombre{15000}\times 0,8^n. \]

\item La raison $q$ de la suite géométrique $(u_n)$ vérifie $0 < q < 1$, donc $(u_n)$ converge vers zéro:
\[ \lim\limits_{n\to\infty}0,8^n = 0 \]
Par conséquent :
\begin{align*}
\lim\limits_{n\to\infty}a_n & = \lim\limits_{n\to\infty}\left(\nombre{25000}-\nombre{15000}\times 0,8^n\right) \\[6pt]
& = \nombre{25000}-0 = \nombre{25000}.
\end{align*}
\end{questions}

\item \enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
& \nombre{25000}-\nombre{15000}\times 0,8^{x}>\nombre{22000} \\[6pt]
        	\iff~ & 0,8^{x}< \dfrac{\nombre{25000}-\nombre{22000}}{\nombre{15000}}\\[6pt]
        	\iff~ & 0,8^{x} < \dfrac{1}{5} \\[6pt]
        	\iff~ & \ln\big(0,8^x\big) < \ln\dfrac{1}{5}\qquad
        	 \text{(la fonction logarithme est croissante)}\\[6pt]
        	\iff~ & x \ln(0,8) < \ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \qquad
        	 \text{(attention en divisant : } \ln(0,8) < 0)\\[6pt]
        	 \iff~ & x>\dfrac{\ln\frac{1}{5}}{\ln(0,8)}.
        	 \end{aligned}$
 
 \Par
 
Les solutions sont donc tous les entiers strictement supérieurs à 7.

\Par

    \item Le nombre $n$ d'années recherché doit être solution de l'inéquation précédente : $n > 7,21$. Or le plus petit entier satisfaisant cette condition est : $n = 8$. On en conclut que $8$ années sont nécessaires pour que le nombre d'abonnés dépasse $\nombre{22000}$. On peut aussi tabuler la suite sur la calculatrice, ce qui donne le même résultat.
    \end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Ex 22 (anc. 14)

\begin{exo}{Représentation graphique}{Lycée Joliot-Curie, Nanterre}{2}{30} %

Soit la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ 
u_0 = 0 \qquad , \qquad u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1. 
\]
\enlargethispage*{2em}

\begin{questions}
\item Calculer les valeurs exactes de $ u_1$, $u_2$, $u_3$. La suite est elle arithmétique ? géométrique ?

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(0~;\vec{\imath}~; \vec{\jmath}{})$, d'unité 2~cm, tracer les droites
$\Delta $ d'équation $y = x$ et D d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. Déterminer par le calcul les coordonnées de leur point d'intersection $I$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on construit le point $ A_n (u_n,0) $, puis le point $ M_n $ de D ayant pour abscisse $u_n $, puis le point $ R_n $ de $\Delta$ ayant pour ordonnée celle de $M_n $, puis le point $A_{n + 1}$ et ainsi de suite.

    \begin{questions}
    \item Construire les points $ A_0, A_1, A_2, A_3$ ainsi que $M_0, M_1, M_2, M_3$.

    \item Que peut-on conjecturer quant à la limite de la suite $(u_n)$ ?

    \end{questions}
\newpage
\item On considère maintenant la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n -2$, pour tout entier naturel~$n$.
    \begin{questions}
    \item Calculer $v_0$ et montrer que pour tout $ n\in \N$, $2v_{n + 1} = v_n $.

    \item En déduire la nature de la suite $(v_n)$ et exprimer $v_n$ en fonction de~$n$.

    \end{questions}

\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ puis celle de $(u_n)$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX 22

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique (resp. arithmétique) il suffit de montrer que \emph{deux rapports particuliers}
$\dfrac{u_{n + 1}}{u_n}$ (resp. deux différences $u_{n + 1}-u_n$) ne sont pas égaux.
\[
\begin{cases}
u_1 & = \dfrac{1}{2} \,u_0 + 1 = 1 \\[8pt]
u_2 & = \dfrac{1}{2}\,u_1 + 1 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} \\[8pt]
u_3 & = \dfrac{1}{2}\,u_2 + 1 = \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{7}{4}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{3}{2} \enspace \text{ et } \enspace \dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{7}{6}\\[8pt]
u_2 - u_1 = \dfrac{1}{2} \enspace \text{ et } \enspace u_3 - u_2 = \dfrac{1}{4}	
\end{cases}
\]
\[
\dfrac{u_2}{u_1} \neq \dfrac{u_3}{u_2} \quad \text{ et } \quad u_2 - u_1 \neq u_3 - u_2.
\]
Donc la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

\item La figure suivante montre la construction des droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$. Les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\Delta$ s'obtiennent en résolvant le système suivant:
\[ 
\begin{cases}
y=x\\[6pt]
y=\dfrac{1}{2}x+1
\end{cases}
\Leftarrow
\begin{cases}
y & = x\\[6pt]
x & = \dfrac{1}{2}x + 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
y &= x\\[6pt]
\dfrac{1}{2}x &= 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
y &= 2\\
x &= 2
\end{cases}
\]
$I$ a donc pour coordonnées le couple $(2~;\,2)$.
\begin{center}
\includegraphics{01_suite_05}
\end{center}

\item
    \begin{questions}
    \item Voir la figure précédente.

    \item On conjecture grâce à la figure que la limite de la suite $(u_n)$ vaut $2$.
    \end{questions}

\item
\begin{questions}
\item On sait que :
\[
\begin{cases}
v_n & = u_n -2,\text{\ et donc : } u_n = v_n + 2. \\
v_0 & = u_0-2 = -2.
\end{cases}
\]
On cherche une relation de récurrence pour $v_{n + 1}$ ($v_{n + 1}$ en fonction de $v_n$):
\begin{align*}
v_{n + 1} & = u_{n + 1}-2\\
& = \left(\dfrac{1}{2}u_n + 1\right)-2\\
& = \dfrac{1}{2}u_n -1 \\
& = \dfrac{1}{2}(v_n + 2) - 1\\
& = \dfrac{1}{2}v_n + 1 - 1.
\end{align*}
D'où : $v_{n + 1} = \dfrac{1}{2}v_n$.

\item $(v_n)$ est donc la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $ -2 $. On a $v_n = -2 \left( \dfrac{1}{2} \right) ^n$.
\end{questions}

\item $0 < \dfrac{1}{2}< 1$, donc $ \lim\limits_{n\to + \infty}v_n = 0$, d'où :
\[ \lim\limits_{n\to + \infty}u_n = \lim\limits_{n\to + \infty}(v_n + 2) 	 = \bigl(\lim\limits_{n\to + \infty}v_n \bigr) + 2 = 0 + 2 = 2. \]
Finalement, la suite $ (v_n) $ converge vers $0$ et la suite $(u_n)$ converge donc vers $2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 23 (anc. 15)

\begin{exo}{Double récurrence}{Lycée Henri IV, Paris}{2}{45} 
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
\[ 
u_0 = 1\,, \quad u_1 = 3\,, \quad u_{n + 2} = \dfrac{1}{2}a^2 u_{n + 1} + (a-3)u_n \quad \text{ pour tout } n \in \N.
\]
Soit la suite $(v_n)$ définie par $ v_n = u_{n + 1}-u_n $ ($n\in\N$).

\begin{questions}
\item On pose d'abord $a = 2$. On a donc $ u_{n + 2} = 2u_{n + 1}-u_n $.
    \begin{questions}
    \item Vérifier que la suite $(v_n)$ est constante.

    \item Déduire que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison 2.\\
    Exprimer le terme $ u_n $ puis $ S_n = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_n $, en fonction de~$n$ en observant que $u_1 = u_0 + r$, $u_2 = u_0 + 2r$, \dots , $u_n = u_0 + n r$.
	%On admettra que la somme des $n$ premiers entiers positifs est égale à $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

    \item En déduire la somme des entiers naturels impairs inférieurs à 100.
    \end{questions}

\item On pose maintenant $a = -4$.
    \begin{questions}
    \item Vérifier que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 7.

    Exprimer $ v_n $ en fonction de $n$.

    \item Calculer $ T_n = v_{0} + v_{1} + \ldots + v_n $ en fonction de $n$.

    \item Montrer que pour tout $ n\in \N$, $T_n = u_{n + 1}-1. $

    En déduire $ u_n $ en fonction de $n$. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
    \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX 23

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
    \begin{questions}
    \item Avec $a = 2$, on a donc : $ u_{n + 2} = 2u_{n + 1}-u_n $.

    Exprimons $v_{n + 1}$ en fonction de $v_n$ :
        \[
        v_{n + 1} = u_{n + 2}-u_{n + 1} = (2u_{n + 1}-u_n ) - u_{n + 1} = u_{n + 1}-u_n = v_n.
        \]
    De $v_{n + 1} = v_n$ pour tout entier $n$, on déduit:
        \[
        v_{n + 1} = v_n = v_{n-1} = v_{n-2} \ldots = v_{1} = v_0.
        \]

    La suite $(v_n)$ est constante et tous ses termes sont égaux à $v_0$ c'est-à-dire à 2.

    \item D'après la question précédente, on a :
        \[
        v_n = 2 = u_{n + 1}-u_n \quad\text{donc}\quad u_{n + 1} = u_n + 2.
        \]
    Ceci prouve que $(u_n)$ est la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1, donc : $u_n = 1 + 2n$ pour tout $n \in\N$.
    \newpage
    D'après les formules de somme :
        \begin{align*}
        S_n & = u_0 + u_0 + r + u_0 + 2r + u_0 + 3r + \dots + u_0 + nr\\
     & = (n+1) u_0 + r (1 + 2 + 3 + \dots + n)\\
      & = (n+1) u_0 + r\dfrac{n(n + 1)}{2} = (n+1) + n(n + 1) = (n + 1)^2.
        \end{align*}

    \item $(u_n)$ est la suite arithmétique de raison $ 2 $ et de premier terme $ 1 $, c'est-à-dire la suite des nombres impairs : $ 1, 3, 5, 7, 9, $ etc.

    Pour $n = 49$, $ u_{49} = 1 + 2\times 49 = 99 < 100 $.
    Les entiers impairs inférieurs à 100 correspondent donc aux termes de la suite de $ u_{0} $ à $ u_{49} $.
        \[ 1 + 3 + \cdots + 99 = S_{49} = 50^2 = 2500. \]
    \end{questions}

\item
    \begin{questions}
    \item Avec $a = -4$ on obtient : $ u_{n + 2} = 8u_{n + 1}-7u_n $.

    Comme dans la question précédente, on cherche à déterminer une relation de récurrence pour $(v_n)$ (écrire $v_{n + 1}$ en fonction de $v_n$):
        \[ v_{n + 1} = u_{n + 2}-u_{n + 1} = 8u_{n + 1}-7u_n -u_{n + 1} = 7u_{n + 1}-7u_n = 7 v_n. \]
    Ainsi, $(v_n)$ est la suite géométrique de raison 7 et de premier terme $v_{0} = 2$. Son terme de rang $n$ s'exprime en fonction de $n$ par\linebreak $v_n = 2\times 7^n$.

\item $\begin{aligned}[t]
T_n & = v_0 + v_{1} + \ldots + v_n\\
& = 2 + 2\times 7^1 + 2\times 7^2 + \cdots + 2\times7^n\\
& = 2\times \bigl(1 + 7^1 + 7^2 + \cdots + 7^{n} \bigr)\\
&  = 2\times \dfrac{1-7^{n + 1}}{1-7} \\
& = 2\times \dfrac{7^{n + 1}-1}{7-1}\\
& = \dfrac{7^{n + 1}-1}{3}.
\end{aligned}$

\item En écrivant différemment la somme $T_n$, on obtient :
\begin{align*}
T_n & = v_{0} + v_{1} + v_{2} + \ldots + v_n \\
& = u_{1}-u_{0} + u_{2}-u_{1} + u_{3}-u_{2} + \ldots + u_{n + 1}-u_n.
\end{align*}
    Tous les termes sauf $ u_{n + 1} $ et $ -u_{0} $ se compensent ($u_{1}-u_{1} $ par exemple). Il ne reste donc finalement que:
        \[ T_n = u_{n + 1}-u_{0} = u_{n + 1}-1. \]
    D'après la question précédente :
        \begin{gather*}
        	 T_n = u_{n + 1}-1 = \dfrac{7^{n + 1}-1}{3} \\
         \mbox{}\Rightarrow u_n -1 = \dfrac{7^{n}-1}{3} \Rightarrow \, u_n = \dfrac{7^{n} + 2}{3}.
        \end{gather*}
    Or la suite géométrique $(7^n)$ diverge vers $ + \infty$ (car $7>1$), donc :
        \[ \lim\limits_{n \to + \infty}\dfrac{7^n + 2}{3} = + \infty \enspace\text{c'est-à-dire que la suite $(u_n)$ diverge vers } + \infty. \]
    \end{questions}
\end{questions}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 24 (anc. 16)

\begin{exo}{Étude simultanée de suites}{Lycée Louis Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{2}{45}

Un biologiste étudie les mutations génétiques entre deux types de cellules, A et B, évoluant dans un même milieu. Le nombre total de cellules reste constant (ni disparition ni création) ~; mais d'un jour à l'autre 25\,\% des cellules de type A mutent vers des cellules de type B, et
réciproquement.

On note $a_n$ (resp. $b_n$) le nombre de cellules de type A (resp. de type B) au bout de $n$ jours d'observation. Pour tout entier $n$, on a $a_n + b_n = 300$. Initialement, $a_0 = 100$ et $b_0 = 200$.

\newpage

\begin{questions}
\item Montrer que pour tout entier naturel, on a :
\[
\begin{cases}
a_{n + 1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n \\[6pt]
b_{n + 1} = \dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{3}{4}b_n
\end{cases}
\]

        \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \; $a_{n + 1} = 0,5a_n + 75$.

        \item On pose $c_n = 150 - a_n$ pour tout entier naturel $n$.
            \begin{questions}
                \item Montrer que la suite $(c_n)$ est géométrique.

                \item Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.\\
				En déduire que $a_n = 150 - 50\times 0,5^n$.
            \end{questions}

        \item Étudier les variations de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

        \item Déterminer la limite de chacune des suites. Interpréter les résultats vis-à-vis de la situation étudiée par le biologiste.
    \end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX 24

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le nombre de cellules de type A le $(n + 1)$\ieme{} jour est : 75\,\% des cellules A du jour précédent (car 25\,\% de cellules A ont muté vers B) auquel s'ajoutent les 25\,\% de cellules B qui ont muté vers A. On obtient:
    \begin{equation}\label{eq1}
      a_{n + 1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n.
    \end{equation}
Le raisonnement est similaire pour les cellules B :
    \begin{equation}\label{eq2}
      b_{n + 1} = \dfrac{3}{4} b_n + \dfrac{1}{4} a_n = \dfrac{1}{4} a_n + \dfrac{3}{4} b_n.
    \end{equation}

    \item Sachant que $a_n + b_n = 300$, on a $b_n = 300-a_n$. En substituant dans l'équation \ref{eq1}, on obtient :
    
    \begin{align*}
    	a_{n + 1} & = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}(300 - a_n) \\[8pt]
    	& = \dfrac{3}{4}a_n -\dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}\times 300 \\[8pt]
    	& = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{300}{4} \\[8pt]
    	& = 0,5\times a_n + 75.
    \end{align*}

\item
    \begin{questions}
    \item On cherche une relation de récurrence pour $(c_n )$, sachant que\\
    $c_n = 150 - a_n$ et donc $a_n = 150- c_n$ :
    
        \begin{align*}
        	c_{n + 1} & = 150 - a_{n + 1} = 150 - (0,5\times a_n + 75 ) \\
        	& = 75 - 0,5\times a_n = 75 - 0,5(150 - c_n ) \\
        	& = 75 - 75 + 0,5\times c_n \\
        	& = 0,5\times c_n.
        \end{align*}
    On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique de raison $0,5$.

    \item On a $c_0 = 150 -a_0 = 50$, donc $c_n = c_0 \times 0,5^n = 50 \times 0,5^n$.

    Comme $a_n = 150 - c_n$, on en déduit que $a_n = 150 - 50\times 0,5^n$ ($n\in\N$).
    \end{questions}

\item Puisque $0 < 0,5 < 1$ : $0,5^n > 0,5^{n + 1} $. Or,
    \begin{align*}
       0,5^n > 0,5^{n + 1} & \iff -50\times 0,5^n < -50 \times 0,5^{n + 1} \\
      & \iff 150-50\times 0,5^n < 150 -50 \times 0,5^{n + 1} \\
       & \iff a_n < a_{n + 1}.
    \end{align*}
La suite $(a_n)$ est donc croissante.

Un raisonnement analogue montre que la suite $(b_n)$ est décroissante.

\item On sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} 0,5^n = 0 $ (car $0<0,5<1$).
On en déduit que :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} (150 - 50\times 0,5^n) = 150\;,
\]
et de même :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} \left(150 + 50\times 0,5^n\right) = 150.
\]
À long terme il y aura 50\,\% de cellules A et 50\,\% de cellules B.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 25 (new 2015)

\begin{exo}{Représentation graphique}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres}{2}{20}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{2+\big(u_n\big)^2}$ et $u_0=1$.

On donne la représentation graphique de la fonction définie par :
\[
f(x)=\sqrt{2+x^2}\qquad\text{sur }[0~;+\infty[.
\]

\begin{center}
\includegraphics{01_suite_01}
\end{center}

\begin{questions}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ sur le graphique.

Représenter sur le graphique $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$, sans utiliser le calcul. Laisser apparents les traits de construction.

\item Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\big(u_n\big)^2$ est arithmétique de raison 2.

\item Calculer $v_0$, puis $v_n$ en fonction de $n$. 

En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX 25

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le graphique complété est le suivant :\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
\includegraphics{01_suite_02}%[scale=1.4]
\end{center}

\item $v_{n+1}=\big(u_{n+1}\big)^2=2+\big(u_n\big)^2=2+v_n$.

La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=2$.

\item $v_0=\big(u_0\big)^2=1$ et $v_n=v_0+nr=1+2n$.

Comme $v_n=\big(u_n\big)^2$, cela donne  $u_n=\sqrt{v_n}$ (en effet, $u_n\geqslant0$ puisque les termes sont définis par une racine carrée dans la relation de récurrence, et $u_0>0$).

Par conséquent, $u_n=\sqrt{1+2n}$ pour tout entier naturel $n$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 26 (new 2015)

\begin{exo}{Graphique et limite}{Lycée Massena, Nice}{2}{30}
\subsubsectionnn{Partie A}
On considère la suite définie par $u_0=\numprint{5500}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,68u_n+\numprint{3560}$.

\begin{questions}
\item Utiliser les droites d'équation $y=x$ et $y=0,68x+\numprint{3560}$\enspace pour construire les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ sur le graphique suivant :
\begin{center}
\includegraphics{01_suite_03}
\end{center}

\item Conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $(u_n)$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Quel est le rôle de l'algorithme suivant ?

\begin{algorithme}
A prend la valeur 5500
k prend la valeur 0
Tant que A$<$11000 faire
\qquad k prend la valeur k+1
\qquad A prend la valeur 0.68*A+3560
Fin Tant que
Afficher k
\end{algorithme}

\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel par $v_n=u_n-\numprint{11125}$.
\begin{questions}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
\item Exprimer pour tout entier $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que pour tout entier $n$, $u_n=\numprint{11125}-\numprint{5625}\times0,68^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX 26

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item On a le graphique suivant :
\begin{center}
\includegraphics{01_suite_04}%[scale=1.4]
\end{center}

\item La suite $(u_n)$ semble croissante.

En fonction du soin apporté au dessin, on peut conjecturer que la suite converge vers \numprint{11000} ou vers une valeur légèrement supérieure, de l'ordre de \numprint{11100}.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Dans cet algorithme, A représente le terme de rang $k$ de la suite. 

L'algorithme calcule les termes successifs de la suite, jusqu'au premier rang $k$ tel que $u_k>\geqslant\numprint{11000}$. Il affiche donc le plus petit rang $k$ tel que $u_k\geqslant\numprint{11000}$ à condition qu'il existe.

Si il n'existe pas, on ne peut pas sortir de la boucle.

\item 
\begin{questions}
\item Si $v_n=u_n-\numprint{11125}$, alors $u_n=v_n+\numprint{11125}$.

Donc : 
\begin{align*}
v_{n+1} & =u_{n+1}-\numprint{11125}\\
 & =0,68u_n+\numprint{3560}-\numprint{11125}\\
 & = 0,68(v_n+\numprint{11125})-\numprint{7565}\\
 & = 0,68v_n\;.
\end{align*}
 
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 0,68 et de premier terme $v_0=u_n-\numprint{11125}=-\numprint{5625}$.

\item $v_n=-\numprint{5625}\times0,68^n$ et alors $u_n=\numprint{11125}-\numprint{5625}\times0,68^n$,  pour tout entier naturel $n$.

\item Comme $0<0,68<1$, la limite en $+\infty$ de $0,68^n$ est 0. Alors, la limite de la suite $(u_n)$ est \numprint{11125}.

La conjecture de la partie A est compatible avec ce résultat, car à l'échelle du dessin, il n'est pas raisonnable de penser lire exactement \numprint{11125}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% exercice 27 (new 2015)

\begin{exo}{\'Evolution d'un salaire}{Lycée Dumont d'Urville, Toulon}{3}{30}
\subsubsectionnn{Partie A}
Soit la suite $(u_n)$ définie par la donnée de son premier terme $u_0=\numprint{14000}$ et par la relation :
\[
\text{pour tout entier naturel }n,\qquad u_{n+1}=1,04\times u_n+200 \;.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n+\numprint{5000}$.
\begin{questions}
\item Calculer $v_0$.
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

En déduire que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $u_n=\numprint{19000}\times1,04^n-\numprint{5000}$.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

On suppose que $u_n$ représente le salaire annuel d'une personne pour l'année $2013+n$, $n$ étant un entier naturel.

\begin{questions}
\item Calculer le salaire annuel, arrondi à l'euro, de la personne en 2021.
\item 
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation d'inconnue $x$ : $1,04^x>\dfrac{33}{19}$.
\begin{Remarque}si le cours sur la résolution de telles équations n'a pas encore été vu, remplacer la question par : déterminer l'ensemble des entiers $n$ tels que $1,04^n>\dfrac{33}{19}$.
\end{Remarque}


\item \`A partir de quelle année le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 2013 ?
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Lorsque l'on entre $S=\numprint{21000}$ dans l'algorithme page suivante, l'affichage en sortie est $n=8$.

Expliquer ce que fait cet algorithme.
\item Quelle valeur faut-il donner à $S$ pour retrouver le résultat de la question 2 ?
\end{questions}
\newpage
\begin{algorithme}
Variables :
\qquad n, S : entiers
\qquad A : réel
Début
\qquad Entrer la valeur de S
\qquad n prend la valeur 0
\qquad A prend la valeur 14000
\qquad Tant que A$\leqslant$S
\qquad\qquad n prend la valeur n+1
\qquad\qquad A prend la valeur 1,04*A+200
\qquad Fin tant que
\qquad Afficher n
Fin
\end{algorithme}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX 27

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item $u_1=\numprint{14760}$ et $u_2=\numprint{15550,4}$.
\item
\begin{questions}
\item $v_0=u_0+\numprint{5000}=\numprint{19000}$.
\item Comme $v_n=u_n+\numprint{5000}$, alors $u_n=v_n-\numprint{5000}$. Donc : 
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1}+\numprint{5000}\\
& = 1,04u_n+200+\numprint{5000}\\
&=  1,04u_n+\numprint{5200}\\
& = 1,04\big(u_n+\numprint{5000}\big)\\
& = 1,04v_n\;.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de premier terme $v_0=\numprint{19000}$ et de raison 1,04.
\item $v_n=\numprint{19000}\times1,04^n$.
\item $u_n=v_n-\numprint{5000}=\numprint{19000}\times1,04^n-\numprint{5000}$.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $\numprint{2021}=\numprint{2013}+8$ ~~; il faut donc calculer :
\[
u_8=\numprint{19000}\times1,04^8-\numprint{5000}\approx\numprint{21003}.
\]

\item
\begin{questions}
\item $1,04^x>\dfrac{33}{19}$ donne, en prenant le logarithme des deux membres, et en utilisant la croissance de la fonction $\ln$ : $x\ln1,04>\ln\dfrac{33}{19}$, et comme $\ln1,04>0$, on a : $x>\dfrac{\ln\frac{33}{19}}{\ln1,04}$.

En posant $a=\dfrac{\ln\frac{33}{19}}{\ln1,04}$, l'ensemble des solutions est $[a~;+\infty[$, avec $a\approx14,07$.

Si on n'utilise pas le logarithme, on peut rechercher les solutions entières de cette inéquation. La suite de terme général $1,04^n$ est une suite géométrique strictement croissante car $1,04>1$. Il suffit donc de trouver le premier entier $n$ tel que $1,04^n>\dfrac{33}{19}$.

\`A la calculatrice, on trouve $1,04^{14}<\dfrac{33}{19}$ et $1,04^{15}>\dfrac{33}{19}$. Par conséquent,  les solutions sont tous les entiers supérieurs ou égaux à 15.

\item On cherche $n$ tel que $u_n\geqslant2u_0$, c'est-à-dire : 
\[
\numprint{19000}\times1,04^n-\numprint{5000}>2\times\numprint{14000}\;,
\]
ce qui équivaut à :
\[
1,04^n>\dfrac{\numprint{28000}+\numprint{5000}}{\numprint{19000}}\;,
\]
qui se simplifie en $1,04^n>\dfrac{33}{19}$.

La solution est donc le plus petit entier trouvé dans la question précédente, c'est-à-dire 15.

Le salaire aura donc doublé en $2013+15$, soit en 2028.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item L'algorithme donne le nombre d'années nécessaires pour que le salaire $A$ devienne strictement supérieur à un montant $S$.

D'après la question 1 de la partie B, il faut bien 8 années pour que le salaire dépasse \numprint{21000}~euros.
\item Il faut donner à $S$ la valeur $2u_0$, c'est-à-dire \numprint{28000}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 28 (new 2015)

\begin{exo}{Problème ouvert}{Lycée Jean Jaurès, Chatenay-Malabry}{3}{50}
Le client d'une banque a le choix entre deux types de placement :
\begin{itemize}
\item Soit le placement U, à intérêts simples : chaque année, le client verse \numprint{6000}~\euro{} sur son compte d'épargne et reçoit en fin d'année des intérêts égaux à 5\,\% du montant de son compte au 31 décembre. Ces intérêts sont versés sur un autre compte et seront donnés au client lorsqu'il clôturera son compte d'épargne. On note $u_n$ le montant disponible à la fin de l'année $n$ sur le compte épargne et $i_n$ le montant total des intérêts cumulés jusqu'à l'année $n$.

\item Soit le placement V, à intérêts composés : chaque année, le client verse \numprint{6000}~\euro{} sur son compte d'épargne et reçoit en fin d'année des intérêts égaux à 4\,\% du montant de son compte au 31 décembre. Ces intérêts sont ajouté à son compte d'épargne et produiront des intérêts les années suivantes. On note $v_n$ le montant disponible sur le compte d'épargne l'année $n$.
\end{itemize}

Son banquier lui dit que l'algorithme suivant peut l'aider à choisir le placement qui lui convient le mieux en fonction du nombre d'années pendant lesquelles il compte épargner.

\begin{algorithme}
N prend la valeur 0
V=0
Tant que (V+6000)$\times$1,04-6000N$\leqslant$150N(N+1)
\qquad N prend la valeur N+1
\qquad V prend la valeur (V+6000)$\times$1,04
Fin Tant que
Afficher N.
\end{algorithme}

\Par

Cet algorithme affiche 18. Comment interpréter ce résultat ?
\end{exo}

%% CORR EX 28

\begin{corrige}
Pour choisir le meilleur placement, il faut comparer les sommes disponibles à la fin de chaque année dans chacun des cas. 

\begin{itemize}
\item Pour le placement U, la somme $u_n$ sur le compte épargne est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison \numprint{6000}, donc $u_n=\numprint{6000}n$.

Chaque année, l'intérêt est égal à 5\,\% de la somme placée, donc au bout de $n$ années, on a :
\begin{align*}
i_n & =0,05\times u_1+0,05\times u_2+\cdots+0,05u_n\\
& = 0,05\times\numprint{6000}(1+2+\cdots+n)\\
& = 0,05\times\numprint{6000}\times\dfrac{n(n+1)}{2}\\& = 150n(n+1).
\end{align*}
La somme disponible au bout de $n$ années est donc dans ce cas :\\ $\numprint{6000}n+150n(n+1)$.

\item Pour le placement V, la somme $v_n$ est une suite arithmético-géométrique : $v_{n+1}=1,04\times(v_n+\numprint{6000})$  car chaque année il est déposé \numprint{6000}~\euro{} de plus, et la totalité de la somme rapporte 4\,\% d'intérêts.

Le placement V est le plus intéressant lorsque $v_n>\numprint{6000}n+150n(n+1)$, donc $v_n-\numprint{6000}n>150n(n+1)$.
\end{itemize}

Dans l'algorithme, le nombre N d'années augmente tant que cette inégalité n'est pas vérifiée, donc le nombre N affiché correspond à la durée minimale de l'épargne pour que le placement le plus avantageux soit le placement V. 

Pour une épargne inférieure ou égale à 17 ans, il vaut mieux prendre le placement U, si l'épargne est plus longue, le placement V est plus intéressant. 
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige

\endinput
