\chapter{Dérivation et langage de la continuité}

\section{Continuité}

\begin{exointro}{Lycée François Couperin, Fontainebleau}
On considère la fonction définie sur $I=[-10\,;10]$ par :
\[ 
f(x)=x^3-3x^2+x+3.
\]
\begin{questions}
\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur $I$.
\item
\begin{questions}
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-10\,;10]$ notée $a$.
\item Encadrer $a$ par deux entiers relatifs consécutifs.
\end{questions}

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}
Initialisation
\qquad a prend la valeur -1
\qquad b prend la valeur 0.
\qquad d prend la valeur 0,1
Traitement
\qquad Tant que b-a$>$d
\qquad\qquad m prend la valeur (a+b)/2
\qquad\qquad Si f(m)$>$0
\qquad\qquad\qquad Alors b prend la valeur m
\qquad\qquad Sinon
\qquad\qquad\qquad a prend la valeur m
\qquad\qquad Fin de Si
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad Afficher a et b.
\end{algorithme}
\Break
\begin{questions}
\item Remplir le tableau ci-dessous en s'arrêtant quand on sort du \og Tant que \fg{} (il y a peut-être trop, ou pas assez, de colonnes).

\emph{On arrondira les résultats au centième à chaque étape}.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}M{1.2cm}|*7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\cline{2-8}\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{LB}} & 
\'Etape 1 & 
\'Etape 2 & 
\'Etape 3 & 
\'Etape 4 & 
\'Etape 5 & 
\'Etape 6 & 
\'Etape 7 \\
\hline
$a$ & \psline(-0.332,1.2)(7.322,1.2) $-1$ & & & & & & \\
\hline
$b$ & 0 & & & & & & \\
\hline
$m$ & & & & & & & \\
\hline
$f(m)$ & & & & & & & \\
\hline
Signe de $f(m)$ & & & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Quelle seront alors les valeurs de $a$ et $b$ en sortie ?
\item Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item Expliquer, par exemple à l'aide d'un graphique, le rôle du \og Si \fg{} dans cet algorithme.
\end{questions}

\item Donner une valeur approchée de $a$ à $10^{-3}$ près en utilisant la calculatrice.

\item En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Notion de continuité}

La définition mathématique de la notion de continuité n'est pas au programme.

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle $I$ si la courbe représentative de la fonction $f$ pour $x$ appartenant à $I$ se trace «~sans lever le crayon~».

    \begin{thm}
        Les fonctions usuelles sont continues sur chacun des intervalles de leur ensemble de définition.
    \end{thm}

\emph{Convention :}

Dans un tableau de variations de fonction, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

    \begin{Remarques}
          \begin{itemize}
              \item Si $f$ est continue sur $I$ et $a$ appartient à $I$ alors $\dlim_{x\to a} f(x) =f(a) $.

              \item La notion de continuité n'a de sens que sur un intervalle.
          \end{itemize}
    \end{Remarques}

\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}
    \begin{thm}
        Si $f$ est continue sur un intervalle $\left[a\,; b\right]$ alors, pour tout réel $ \lambda $ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe
        un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $ f(c) =\lambda $.
    \end{thm}

    \begin{Remarque}cela veut dire que l'équation $ f(x) = \lambda $ a, sur l'intervalle $\left[a\,; b\right]$, au moins une solution $c$ comprise entre $a$ et $b$.
    \end{Remarque}

\subsection{\boldmath Unicité de la solution de l'équation $f(x)=\lambda$}

    \begin{thm}
      Si $f$ est continue et strictement monotone sur $\left[a\,; b\right]$ alors, pour tout réel $ \lambda $ compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
      l'équation $ f(x) =\lambda $ admet une solution unique $c$ comprise entre $a$ et $b$.
    \end{thm}

    \begin{Remarques}
          \begin{itemize}
              \item Utilisez ce théorème pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $ f(x) = \lambda $ sur un intervalle $I$.

              \item Ce théorème ne vous permet pas de trouver la solution exacte. Vous pouvez seulement trouver un encadrement de la solution, pour cela, utilisez le menu «~table~» de votre calculatrice.
          \end{itemize}
    \end{Remarques}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $f'(x)=3x^2-6x+1$.

$\Delta=6^2-4\times3=24$. L'équation $f'(x) = 0$ a donc deux solutions : $x_1=\dfrac{6-\sqrt{24}}{6}=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ et $x_2=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Dans $I$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, et négatif entre les racines.

Donc $f$ est croissante sur $[-10\,;x_1]$ et sur $[x_2\,;10]$, et décroissante sur $[x_1\,;x_2]$.

$f(-10) = -\numprint{1307}$ ; $f(10) = 713$ ; $f(x_1) \approx3,1$ ; $f(x_2)\approx0,9$.
On obtient le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|C|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x     & -\infty &   & x_1 &   &  x_2 &   & 10\\
\hline
f'(x) &         & + &  0  & - &    0 & + &   \\
\hline
      &         &   & f(x_1) & & & & 711\\
f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
 & \numprint{1307} & & & & f(x_2) & & \\
 \hline
\end{array}
\]
\Break
\item $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $I$.

Sur $[-10\,;x_1]$, $f$ est strictement croissante et 0 appartient à $[f(-10)\,;f(x_1)]$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution et une seule dans l'intervalle $[-10\,; x_1]$.

Sur $[x_1\,; 10]$, $f(x)$ est positif puisque le minimum est atteint en $x_2$ et est environ égal à 0,9. Donc sur cet intervalle, l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution.

Il y a donc bien une solution unique sur $I$.

De plus $f(-1) = -2$ et $f(0) = 3$, donc en reprenant le même raisonnement, $-1 < a < 0$.

\item
\begin{questions}
\item Nous avons le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}M{1.2cm}|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\cline{2-6}\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{LB}} & 
\'Etape 1 & 
\'Etape 2 & 
\'Etape 3 & 
\'Etape 4 & 
\'Etape 5 \\
\hline
$a$ & \psline(-0.547,0.78)(7.11,0.78) $-1$ & $-1$ & $-1$ & $-0,875$ & $-0,81$  \\
\hline
$b$ & 0 & $-0,5$ & $-0,75$ & $-0,75$ & $-0,75$ \\
\hline
$m$ & $-0,5$ & $-0,75$ & $-0,875$ & $-0,813$ & \\
\hline
$f(m)$ & 1,63 & 0,14 & $-0,84$ & $-0,33$ & \\
\hline
Signe de $f(m)$ & $+$ & $+$ & $-$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabularx}

\Par

\`A l'étape 5, le test $b-a>d$ est faux puisque $b-a\approx0,06$.

La sortie sera donc $a = -0,81$ et $b = -0,75$.
\item \label{ch2q3bexsol} On obtient un encadrement de la solution de l'équation $f(x) = 0$ d'amplitude inférieure ou égale à 0,1.
\begin{center}
\includegraphics{02_fig_02}
\end{center}
\Break
\item On a représenté à la question \ref{ch2q3bexsol} la fonction $f$.

Initialement, $a = -1$ et $b = 0$, donc $m = -0,5$.

Or, $f(-0,5)$ est positif, donc la nouvelle valeur de $b$ sera $-0,5$ : la solution de l'équation est maintenant encadrée par $-1$ et $-0,5$.

\`A chaque étape, l'amplitude de l'encadrement est divisé par 2.
\end{questions}

\item Par balayage à la calculatrice, on trouve $-0,77 < a < -0,769$. Donc une valeur approchée de $a$ à $10^{-3}$ près est $-0,770$.

\item D'après le tableau de variations de $f$, puisque $f(a) = 0$, $f(x)$ est négatif pour $x$ appartenant à $[-10\,; a[$ et positif ensuite.
\end{questions}
\end{solintro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Rappels sur la dérivation


\section{Rappels sur la dérivation}

\begin{exointro}{Lycée Calmette, Nice}
\begin{questions}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[
f(x) =\dfrac{x}{x^2 + 1}.
\]
\begin{questions}
\item Déterminer une équation des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ aux points d'abscisses $-1$ ; $0$ ; $1$ et 4.
\item Construire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $\left[-5\,; 5\right]$.
\item Montrer que la fonction $f$ est bornée sur $\left[-5\,; 5\right]$.
\end{questions}
\item Construire la courbe sur $[-5\,;5]$ et les quatre tangentes déterminées.
\end{questions}
\end{exointro}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\subsection{Nombre dérivé}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $f$ est dérivable en un réel $a$ de $I$ si le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$, c'est-à-dire $ \dfrac{f(a + h)-f(a)}{h} $ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$. Cette limite est notée $f'(a)$ et appelée nombre dérivé de $f$ en $a$.
\end{defin}

\begin{Remarque}en économie, si $f(x)$ désigne le coût de production d'une quantité d'objets $x$, le taux de variation mesure le coût de production par
         objet supplémentaire lorsqu'on augmente la production de $a$ à $a + h$.
    \end{Remarque}

\newpage

\subsection{Tangente à une courbe}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est dérivable en un réel $a$ de $I$ alors la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente au
point $A$ d'abscisse $a$ d'équation
    \[{y =f'(a)\,(x-a) + f(a)}.\]

\subsection{Fonction dérivée}
    \begin{defin}
        Si une fonction $f$ est dérivable en tout réel $x$ d'un intervalle $I$, la fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $I$ par $ f' \text{:~} x \mapsto f'(x) $.
    \end{defin}

    \begin{Remarque}en économie, on assimile le coût marginal à la dérivée du coût total.
    \end{Remarque}

\subsection{Dérivées des fonctions usuelles}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{Sc|}}
\hline\tabulartitle
        $f(x)$ & $f'(x)$ & Ensemble de dérivabilité \\\hline
         $k \text{\enspace réel}$ & 0 & $\R$ \\\hline
		 $x^n  (n\in\N^*)$ & $nx^{n-1}$ & $\R$ \\\hline
         $\dfrac{1}{x^{n}} (n\in\N^*)$ & 
		 $-\dfrac{n}{x^{n + 1}}$ &
         $\R^*$ \\ \hline
		 $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\left]0\,; + \infty\right[$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Dérivées et opérations}

    \begin{thm}
        Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $ \lambda $ un réel, alors les fonctions $ \lambda u$, $u + v$ et $uv$ sont dérivables sur $I$ et
            \[(\lambda u)' =\lambda\,u'\qquad (u + v)' =u' + v'\qquad (uv)' =u'v + uv'. \]
        De plus, si $v$ ne s'annule pas sur $I$, les fonctions $ \dfrac{1}{v} $ et $\dfrac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$, et
            \[ \Bigl(\dfrac{1}{v}\Bigr)' = -\dfrac{v'}{v^2}\qquad\left(\dfrac{u}{v}\right)' =\dfrac{u'v-uv'}{v^2}. \]%
    \end{thm}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f$ est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son intervalle de définition $\left]- \infty \,; +\infty \right[$.

$f =\dfrac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ définies sur $\R$ par $u(x) =x$ et $v(x) =x^2 + 1$ alors $ f' =\dfrac{u'v-uv'}{v^2} $.

Comme $u'(x) =1$ et $v'(x) =2x$ alors, pour tout $x$ réel,
\begin{align*}
f'(x) & =\dfrac{1\times (x^2 + 1)-x\times2x}{(x^2 + 1)^2}\\
f'(x) & =\dfrac{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}.
\end{align*}

\item $f'(-1) =0$ ; la courbe $\mathcal{C}$ admet donc au point d'abscisse $-1$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses (horizontale). Comme de plus $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$, la courbe $\mathcal{C}$ admet au point $A\left(-1 \,; -\dfrac{1}{2}\right)$ une tangente d'équation $y = -\dfrac{1}{2}$.

$f'(0) =1$ et $f(0) =0$ ; au point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ admet donc une tangente d'équation $y =1\times (x-0) +0$, soit $y =x$.

$f'(1) =0$ et $f(1) = \dfrac{1}{2}$ ; la courbe $\mathcal{C}$ admet au point d'abscisse $1$ une tangente horizontale d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.

$f'(4) = -\dfrac{15}{289}$ et $f(4) = \dfrac{4}{17}$ ; la courbe $\mathcal{C}$ admet donc au point d'abscisse $4$ une tangente d'équation $y = -\dfrac{15}{289} (x - 4) + \dfrac{4}{17}$, soit :
\[ y = -\frac{15}{289}x + \dfrac{128}{289}. \]

\item On a, pour tout $x$ réel, $ f'(x) =\dfrac{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

La dérivée est donc sur $\R$ du signe de $1-x^2$, soit en utilisant la règle du signe du trinôme :

\[
\begin{cases}
f'(x) < 0 & \quad \text{ sur }\left]-\infty \,; -1\right[\text{ et sur }\left]1\,; + \infty\right[\\
f'(x) > 0 & \quad \text{ sur }\left]-1\,; 1\right[\\
f'(x) = 0 & \quad \text{ pour }x =-1\text{ et }x =1
\end{cases}
\]

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty\,; -1\right[$ et sur $\left]1\,; + \infty\right[$, strictement croissante sur $\left]-1\,; 1\right[$.
\BreakWithoutItem
Cela nous permet de construire le tableau de variations de $f$ :

\[ 
\begin{array}{|R|*9{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -5 & & -1 & & 0 & & 1 & & 5\\
\hline
f'(x) &  & - & 0 & & + & & 0 & - &  \\
\hline
 & -\frac{5}{26}\raisebox{0.5em}{\rule{0pt}{1em}}  & & & & & & \frac{1}{2} & & \\
 & & & & & & \nearrow & &  & \\
f(x) & & \searrow & & & 0 & & & \searrow & \\
& & & & \nearrow & & & & & \\
 & & & -\frac{1}{2} & & & & & & \frac{5}{26}\raisebox{-0.5em}{\rule{0pt}{1em}} \\
\hline
\end{array}
\]

\item D'après le tableau de variations, $-0,5$ est le minimum de $f$ sur l'intervalle considéré et 0,5 est le maximum. Donc la fonction $f$ est bornée, sur $[-5\,;5]$ par $-0,5$ et 0,5.

\begin{methode}
Vérifiez vos résultats à l'aide de votre calculatrice.
\end{methode}
\end{questions}
\item \raisebox{-\dimexpr\totalheight-2mm}{
\includegraphics{002_coursSolintro2-p44_002} 
}
\begin{Remarque}le point d'abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$ est ce qu'on appelle un point d'inflexion (voir chapitre \ref{chapFctConv}) : la courbe est au-dessus de sa tangente à gauche de ce point et en-dessous de sa tangente à droite.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{ Applications de la dérivation}

\subsection{Sens de variation}

    \begin{thm}
        Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
        \begin{itemize}
            \item Si $f' \ge 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ ;
            \item Si $f' \le 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$ ;
            \item Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
            \item Si $f' < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
        \end{itemize}
    \end{thm}

    \begin{aretenir}
        Le sens de variation d'une fonction se déduit du signe de sa dérivée.
    \end{aretenir}

\subsection{Continuité}

    \begin{thm}
        Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors $f$ est continue sur $I$.
    \end{thm}

    \begin{Remarque}justifiez la continuité d'une fonction à l'aide de ce théorème
    \end{Remarque}

\begin{attention}
La réciproque de ce théorème est fausse.

Voici un contre-exemple : soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\,;0]$ par \mbox{$f(x) = -x$} et sur $[0\,;+\infty[$ par \mbox{$f(x) = x$}.

Cette fonction est continue en 0 (elle se trace sans lever le crayon). Cependant, la fonction n'est pas dérivable en 0.
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\includegraphics{02_va}
\end{center}
\vspace*{-3em}
\Break
On peut observer ici pour $x = 0$ une demi-tangente à gauche d'équation\linebreak $y = -x$ (confondue avec la courbe), et une demi-tangente à droite d'équation $y = x$ (là aussi confondue avec la courbe). Donc on n'a pas une unique valeur pour le coefficient directeur de la tangente, et $f$ n'est pas dérivable en~0.
\end{attention}


\subsection{Extremum}

    \begin{thm}
        Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. \\
        $f$ admet un extremum local en $x_0$ de $I$ si et seulement si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe.
    \end{thm}
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}}
    \includegraphics{02-minimum} & \raisebox{-3mm}{\includegraphics{02-maximum}}
    \end{tabularx}

    \begin{attention}
        Le fait que la dérivée s'annule en $x_0$ ne suffit pas à prouver l'existence d'un extremum. Il faut en plus que la dérivée change de signe en $x_0$.
        \Par
        \begin{center}
        \includegraphics{02_deriveeCube}
        \end{center}
    \end{attention}


\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../ILTES"
%%% End:
