\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% QCM 1
\begin{qcm}{Dérivées et applications}{10}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Soit la fonction $f$ définie sur $]2\,;+\infty[$ par $f(x)=-x + 3-\dfrac{4}{x-2} $ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{questions}
\item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 2\,;+\infty[$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $ f'(x)=-1-\dfrac{4}{(x-2)^{2}} $ & 
\choix $f'(x)=\dfrac{x(4-x)}{(x-2)^2}$\\
\choix $ f'(x)=\dfrac{x^{2} + 4x + 4}{(x-2)^{2}} $ & 
\end{tabularx}
           
\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $3$ est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $y=-x + 3$ & 
\choix $y=3x-13$ & 
\choix $y=-5x + 18$
\end{tabularx}

\item La fonction $f$ :\resetchoix\par

\choix est croissante sur $]2\,;+\infty[$ 
 
\choix est décroissante sur $]2\,;+\infty[$

\choix n'est pas monotone sur $]2\,;+\infty[$
       
\item La fonction $f$ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix un maximum sur $]2\,;+\infty[$ & 
\choix un minimum sur $]2\,;+\infty[$\\            \choix ni maximum, ni minimum & 
\end{tabularx}

\item L'équation $f(x)=0$ admet sur $]2\,;+\infty[$ :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix 0 solution & 
\choix 1 solution &
\choix 2 solutions
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%%%% CORR QCM 1

\begin{corrige}
   \begin{questions}
    \item Réponse\choix[b]: $f$ est dérivable sur $\left]2\,; + \infty\right[$ et, pour tout $x$ de $\left]2\,; + \infty\right[$,
    \begin{align*}
      f'(x) & = -1 + \dfrac{4}{(x-2)^2}\\
       & = \dfrac{-(x-2)^2 + 4}{(x-2)^2} \\
       & = \dfrac{-x^2 + 4x}{(x-2)^2} \text{\enspace ou\enspace }\dfrac{x(4-x)}{(x-2)^2}.
    \end{align*}

\item Réponse\choix[b]: $f$ est dérivable sur $\left]2\,; + \infty\right[$ donc en $3$, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente au point d'abscisse $3$.

  $ f(3)=-4 $, $ f'(3)=3 $, une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $ 3 $ est donc :
    \[y=3(x-3)-4, \text{ soit\enspace }y=3x-13.\]

\item Réponse\choix[c]: sur $\left]2\,; + \infty\right[$, $f'(x)$ est du signe de $4-x$, d'où $f$ est croissante sur $\left]2\,;4\right]$ et décroissante sur $\left[4\,; + \infty\right[$, la fonction n'est donc pas monotone sur $\left]2\,; + \infty\right[$.

    \item Réponse\choix[a]: la dérivée $f'(x)$ s'annule pour $x=4$, elle est positive sur $\left]2\,; 4\right[$ et négative sur $\left]4\,; + \infty\right[$, la fonction admet donc un maximum sur $\left]2\,; + \infty\right[$ pour $x=4$.

    \item Réponse\choix[a]: La fonction $f$ admet un maximum pour $x=4$ égal à $f(4)=-3$, donc pour tout réel $x$ de $\left]2\,; + \infty\right[$, $f(x)\le -3$ , l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur $\left]2\,; + \infty\right[$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% QCM2

\begin{qcm}{Bac Asie juin 2007}{10}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. On considère une fonction $f$ définie sur $\left[-10\,; +\infty\right[$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :
\[
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -10 & & -2 & & 2 & & +\infty\\
\hline
 & 8 & & & & 0 & & \\
 f(x) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\
 & & & -1 & & & & \\
 \hline
\end{array}
\]

\begin{questions}
\item Dans $\left[-10\,; +\infty\right[$, l'équation $f(x)=0$ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix une unique solution&
\choix 2 solutions distinctes\\
\choix 3 solutions distinctes&
\end{tabularx}

\newpage

\item Dans $\left[-10\,; +\infty\right[$, l'inéquation $f(x) > 2$ :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix n'a pas de solution&
\choix a toutes ses solutions positives\\
\multicolumn{2}{@{}l}{\choix a toutes ses solutions négatives}
\end{tabularx}

\item Soit $g$ une fonction définie sur $\left] -\infty\,; 3\right[$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
\[ 
\begin{array}{|R|*9{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -3 & & -2 & & 2 & & 3\\
\hline
 & & \searrow & & & & & & \nearrow & \\
 g(x) & & & 0 & & & & 0 & & \\
   & & & & \searrow &  & \nearrow & & & \\
   & & & &          & -2&    & & &\\
\hline
\end{array}
\]
On peut affirmer que :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $ g(0) < 0 $ &
\choix $ g(0) = 0 $ &
\choix $ g(0) > 0 $
\end{tabularx}

\item Soit $h$ une fonction définie sur 
$[-6\,; -3[ \cup ]-3\,; + \infty[$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
\[
\begin{array}{|R|*{11}{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -6 & & -4 & & -3,5 & & -3 & & 2 & & +\infty \\
\hline
 & & & 8 & & & & \dvline & & & & \\
 & & \nearrow & & \searrow & & & \dvline & \searrow &  & \nearrow & \\
 h(x) & 7 & & & & 0 & & \dvline &  & 4 & & \\
 & & & & & & \searrow & \dvline & & & & \\
 \hline
\end{array}
\]
Dans l'ensemble $[-6 \,; -3[\cup ]-3 \,;+\infty[$, l'équation $h(x)=4$ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix 0 solution&
\choix 1 solution&
\choix 2 solutions&
\choix 3 solutions
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM 2

\begin{corrige}

    \begin{questions}
        \item Réponse\choix[b]: d'après le tableau de variations, $f$ est continue et strictement décroissante sur $\left[-10\,;-2\right]$, $f(-10)=8$ et $f(-2)=-1$; comme $0 \in \left[-1\,;8\right]$, il existe un réel unique $x_1 \in\left[-10\,;-2\right]$ tel que $ f(x_1)=0 $.

            D'après le tableau de variations, $0$ est le maximum strict de $f$ sur l'intervalle $\left[-2\,;+\infty\right[$ car $f$ est strictement croissante sur $\left[-2\,;2\right]$ et strictement décroissante sur $\left[2\,;+\infty\right[$. Alors, pour tout $x$ de $\left[-2\,;+\infty\right[$, on a $f(x) < 0$ si $x\neq2$ et $f(2) = 0$. Il existe donc un réel unique $x_2=2$ dans $\left[-2\,;+\infty\right[$, tel que $f(x)=0$.

            L'équation $f(x) = 0$ admet donc 2 solutions distinctes.


        \item Réponse\choix[c]: sur l'intervalle $\left[-2 \,; + \infty\right[$, la fonction $f$ admet un maximum en $2$ qui est égal à $0$ ; donc, sur cet intervalle $f(x) \le 0 < 2$ : l'inéquation n'a pas de solution dans cet intervalle.

            Sur $\left]-10\,; -2\right[$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante, $ f(-10) = 8 $ et $ f(-2)=-1$ ; comme $ 2\in \left ]-1\,; 8\right [$, il existe un unique réel  $\alpha\in\left]-10\,;-2\right[$ telle que $f(\alpha) = 2$. De plus comme $f$ est décroissante, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 2$ est l'intervalle $\left[-10\,;\alpha\right[$ et comme $\alpha < 0$, l'inéquation a bien toutes ses solutions négatives.


        \item Réponse\choix[a]: sur l'intervalle $\left]-2\,;2\right[$, d'après son tableau de variations, $g$ est continue et strictement croissante ; or, $g(2)=0$ donc, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-2\,;2\right[$, $g(x) < 0$ , en particulier $g(0) < 0$.

        \item Réponse\choix[c]: sur l'intervalle $\left]-6\,;-4\right[$, la fonction $h$ est strictement croissante et $h(-6)=7$, donc $h(x)\geqslant 7$.

Sur l'intervalle $[-4\,; -3,5]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et 4 appartient à $[h(-3,5)\, ; h(-4)]$ donc l'équation $h(x) = 4$ admet une solution.

Sur $[-3,5\,; -3[$, $h$ est strictement décroissante donc $h(x) < h(-3,5)$. Il n'y a donc pas de solution dans cet intervalle.

Sur $]-3\,; +\infty[$, la fonction est continue et passe par un minimum qui est justement 4. Il y a donc une solution unique dans cet intervalle.

En résumé, l'équation admet deux solutions dans l'ensemble considéré. 
    \end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% QCM 3

\begin{vf}{Vrai ou faux}{10}
On considère une fonction $f$ dérivable sur $[-3\,;6]$ dont le tableau de variations est le suivant :
\[
\begin{array}{|C|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -3 &  & 1 &  &4 &  & 6\\
\hline
  & 3 & & & & 5 & & \\
f(x) & & \searrow & & \nearrow &  & \searrow & \\
 & & & 1 & & & & -1\\
 \hline
\end{array}
\]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses, ou ne peut-on pas conclure ? Justifier chaque réponse sur votre copie.
\begin{questions}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-3\,;6]$.
\item La droite d'équation $y = 4$ est tangente à la courbe représentative de $f$.
\item Pour tout réel de $[-3\,; 4]$, $f(x) > 0$.
\item Pour tout réel de $[-3\,; 4]$, $f '(x)\geqslant 0$.
\end{questions}
\end{vf}

%%% CORR QCM 3

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Vrai. En effet, sur l'intervalle $[-3\, ; 4]$, $f(x)$ est positif puisque le minimum est 1 sur cet intervalle. Sur l'intervalle $[4\, ; 6]$, $f$ est strictement décroissante et continue (c'est la signification de la flèche \og descendante \fg), et 0 appartient à $[f(6)\, ; f(4)]$. Donc l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur cet intervalle, et donc une unique solution sur $[-3\, ; 6]$.

\item On ne peut pas conclure. Pour que cette droite soit tangente à la courbe, il faut que la dérivée s'annule pour une valeur de $x$, mais elle peut s'annuler sans que cela corresponde à un extremum et donc, comme le tableau de variations ne contient pas la ligne concernant la dérivée, on ne peut pas savoir si la dérivée s'annule ou pas.

\item Vrai. Sur cet intervalle, le minimum de la fonction est 1, donc on a bien $f(x) > 0$.

\item Faux. Sur cet intervalle, la fonction est tout d'abord décroissante, puis croissante, ce qui signifie que la dérivée est tout d'abord négative, puis positive.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%EX4 : Vrai ou faux

\begin{vf}{Vrai ou faux}{15}
Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes et justifier :
\begin{questions}
  \item L'équation $ x^5 + 2x - 6 = 0 $ admet une solution unique dans $ \R $.

  \item L'équation $ x^4 + 5x^3 + 15x^2 - 30 = 0 $ n'admet aucune solution dans $ \left[0\,; 2\right] $.

  \item Il est possible de déterminer un intervalle tel que l'équation :
    \[ x^5 - 10x + 7 = 0 \]%
    ait une solution unique.

  \item On peut trouver une équation de la forme $ f(x) = 0 $ dont les seules solutions sont $1$, $2$ et $ 3 $, et telle que $ f(5) = 10 $.
\end{questions}
\end{vf}

%% CORR EX 4

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item Vrai : si $ f(x) = x^5 + 2x - 6$, $ f ' (x) = 5x^4 + 2 $, donc pour tout $ x $ réel, $ f '(x) $ est positif, ce qui signifie que $ f $ est strictement croissante.

Or, $ f(-2) = -42 $, et $ f(2) = 30 $, donc l'équation$ f(x) = 0 $ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[-2\,; 2\right]$.

La fonction étant strictement croissante sur $ \R $, elle n'en admet pas d'autre.

  \item Faux : en programmant la fonction sur la calculatrice, il semble qu'il y ait une solution entre $ 1 $ et $ 2 $.
    \[ f '(x) = 4x^3 + 15x^2 + 30 x = x (4x^2 + 15x + 30). \]%

Pour $ x $ positif, $f '(x)$ est positif, ce qui signifie que, sur $ \R_{ + } $, $ f $ est strictement croissante.

Or, $ f(0) = -30 $ et $ f(2) = 86 $, donc l'équation $ f(x) = 0 $ admet une solution dans $\left[0\,; 2\right]$.

  \item Vrai :\begin{align*}
                 f '(x) & = 5x^4 - 10 = 5 (x^4 - 2) = 5(x^2 - \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2})\\
                   & = 5\left(x - {\textstyle\sqrt{\sqrt{2}}}\right)\left(x + {\textstyle\sqrt{\sqrt{2}}}\right)\left(x^2 + \sqrt{2}\right).
              \end{align*}
Tous les facteurs de cette dérivée sont positifs pour tout $ x $, sauf\linebreak[4] $ x - \sqrt{\sqrt{2}}$.

$ f(2) = 19$, \quad $f\left(\sqrt{\sqrt{2}}\right)\approx -2,51$.

Or, d'après la factorisation ci-dessus, sur $ \left[\sqrt{\sqrt{2}}\,; 2\right] $, $ f $ est strictement croissante, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution dans l'intervalle .

  \item Vrai : pour $ g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) $, l'équation $g(x)=0$ a pour solutions $1$,  $2$ et $ 3 $. Cependant $ g(5) = 24 $. Il suffit donc de poser $ f(x) = \dfrac{10}{24}g(x)$, soit $f(x) = \dfrac{5}{12}g(x)$ pour satisfaire les conditions.
    \[ f(x) = \dfrac{5}{12}(x - 1)(x - 2)(x - 3). \]%
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX5

\begin{vf}{Dérivée et propriété de fonctions}{10} %
Les assertions suivantes sont-elles fausses ou vraies ? Justifier la réponse (en fournissant au besoin un contre-exemple).
\begin{questions}
\item $f'(x_{0})=0$, donc $f$ atteint un maximum ou un minimum en $x_{0}$.

\item $f'(x) \ge 0$ pour $x\in \left[a\,; b\right]$, donc $f$ est croissante sur $x\in \left[a\,; b\right]$.
\end{questions}
\end{vf}

%%% CORR EX5

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. $f'(x_{0})=0$ veut dire par exemple que la tangente à la courbe en $x_{0}$ est horizontale (puisque son coefficient directeur vaut 0). Cela ne veut pas dire pour autant que la fonction admette un maximum ou un minimum, comme on peut le voir sur le dessin.

Une fonction admet un maximum ou un minimum là où sa dérivée s'annule ET change de signe (voir figure page suivante).

\begin{center}
  \includegraphics{002_ex13corrige-p61_008}
\end{center}

\item Vrai. Cela résulte du théorème~5.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Continuité}

%% EX6

\begin{exo}{Nombre de solutions d'une équation}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{1}{10}

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $ \left[-10\,; 10\right] $ :
\[ 
\begin{array}{|R|*9{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -10 & & -1 & & 0 & & 3 & & 10 \\
\hline
 & 1 & & & & -1 & & & & 2\\
 f(x) & & \searrow &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
 & & & -2 & & & & -4 &  & \\
 \hline
\end{array}
\]
\begin{questions}
  \item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.

  \item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = -3$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f$ est continue et strictement décroissante sur $\left[-10\,; -1\right]$ et $0$ appartient à l'intervalle $\big[f(-1)\,; f(-10)\big]$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $\left[-10\,; 1\right]$.

En suivant le même raisonnement, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $ \left[3\,; 10\right] $, mais n'en admet pas dans l'inter\-valle $\left[-1\,; 3\right]$.

Donc, finalement l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$.

\item De même, $f$ est strictement monotone dans $\left[-10\,; - 1\right]$ et dans $ \left[-1\,; 0\right] $ ; mais $-3$ n'appartient ni à $\left[f(-1)\,; f(-10)\right]$ ni à $ \left[f(-1)\,; f(0)\right] $. L'équation $f(x) = -3$ n'admet donc aucune solution dans ces intervalles. Cette équation admet une solution unique dans l'intervalle $\left[0\,; 3\right]$ et une solution unique dans l'intervalle $\left[3\,; 10\right]$, puisque $f$ est strictement monotone sur chacun de ces intervalles et que $-3$ appartient à $\left[f(3)\,; f(0)\right]$ et à $\left[f(3)\,; f(10)\right]$.

Il y a donc en tout deux solutions à l'équation $f(x) = -3$.
  \end{questions}
  \newpage
\end{corrige}
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX7
\enlargethispage*{3em}
\begin{exo}{\boldmath\'Equation du type $f(x) = 0$}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{20}
Soit l'équation $x^3 - 3x + 2 = 0$.
\begin{questions}
  \item Programmer la fonction à la calculatrice. Combien l'équation semble-t-elle avoir de solutions ?

  \item Dresser le tableau de variations de la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par :
    \[ f(x) = x^3 - 3x + 2\;,\]%
et vérifier votre conjecture.

  \item Le tableau de variations donne une des solutions. Trouver $ a, b $ et $ c $ tels que $ f(x) = (x - 1) (ax^2 + bx + c) $.
Donner la valeur exacte de chacune des solutions.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX7

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item Apparemment, l'équation a deux solutions.
  \item $ f '(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1 )(x + 1) $. D'où le tableau de variations :

\[ 
\begin{array}{|R|*7{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1 & & 1 & & + \infty\\
\hline
f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
 & & & 4 & & & & \\
f(x) & & \nearrow & & \searrow &  & \nearrow & \\
& & & & & 0 & & \\
\hline
\end{array}
\]
D'après ce tableau, l'équation $ f(x) = 0 $ admet comme solution $ 1 $. De plus, $ f(-3) = -16 $ et $ f(-1) = 4 $, donc l'équation $ f(x) = 0 $ admet une deuxième solution dans l'intervalle $ \left[-3\,; - 1\right] $. Elle n'en admet pas d'autre car, sur $[-1\,;1[$ et sur $\left]1\,; + \infty\right[ $, $ f(x) > 0 $.

 Donc cette équation admet exactement deux solutions.

  \item On a : $ x^3 - 3x + 2 = (x - 1) (ax^2 + bx + c) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c $.
Par identification des coefficients, on a :
\[ 
\begin{cases}
a = 1\\ b-a = 0\\ c-b = -3\\ -c = 2
\end{cases} \iff 
\begin{cases}
a = 1\\ b = 1\\ c = -2
\end{cases}
\]%
$ x^3 - 3x + 2 = (x - 1) (x^2 + x - 2) $.

Or, $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$, donc les solutions de cette équation sont $ 1 $ et $ -2 $ ($ 1 $ étant racine double).
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX8

\begin{exo}{Nombre de solutions d'une équation}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{1}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[-1\,; 3\right]$ par $ f(x) = x^3 - 5x $.
\begin{questions}
  \item Justifier la continuité de $ f $ sur $\left[-1\,; 3\right]$.

  \item Justifier que l'équation $ f(x) = a $ admet au moins une solution dans $\left[-1\,; 3\right]$ si $-4\leqslant a \leqslant 12 $.

  \item Tracer la représentation graphique de $ f $ sur l'écran de votre calculatrice.

  \item Par lecture graphique, donner, suivant les valeurs de $ a $ compris entre $ 0 $ et $ 12 $ le nombre de solutions de l'équation$ f(x) = a $.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $ f $ est une fonction polynôme donc continue sur $\R$.

\item $ f'(x) = 3x^2-5$, d'où le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-1$ & & $\sqrt{\frac{5}{3}}$ & & 3 \\
\hline
$f'(x)$ & &$-$&0&$+$& \\
\hline
 & 4 & & & & 12\\
$f(x)$ & & $\searrow$ &  & $\nearrow$ &   \\
 & & & & & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
On a : $f\left(\sqrt{\dfrac{5}{3}}\right) = -\dfrac{10}{3} \sqrt{\dfrac{5}{3}} \approx -4,3$.
 
\item Si $a$ est compris entre $f\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ (exclu) et 4, l'équation admet deux solutions dans $]-1  ; 3]$. Si $a = f\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ ou si $a>4$, l'équation admet une seule solution.
 
\item Il semblerait que cette équation ait deux solutions.\end{questions}
\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}$x^3 - 5x = x(x^2 - 5) = x (x-\sqrt{5})(x + \sqrt{5}) $.\\
Cette factorisation montre que l'équation $ f(x) = 0 $ a trois solutions dans $ \R $, dont deux dans $\left[-1\,; 3\right]$.
\end{Remarque}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX9

\begin{exo}{Signe d'une fonction}{Lycée Descartes, Cournon}{1}{15}
$ f $ est la fonction définie sur$ \R $ par $ f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 $.

\begin{questions}
  \item Dresser le tableau de variations de $ f $.

  \item Calculer $ f(-10) $. Expliquer pourquoi l'équation $ f(x) = 0 $ admet exactement deux solutions.
Donner la valeur exacte de ces solutions.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $ f '(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x -3) = 3(x - 1)( x + 3) $ (cette factorisation s'obtient facilement en factorisant le trinôme $ x^2 + 2x - 3 $).

Ceci permet d'obtenir le tableau de variations suivant :
\[ 
\begin{array}{|R|*7{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -3 & & 1 & & + \infty\\
\hline
f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
 & & & 32 & & & & \\
f(x) &  & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
 &  &  &  & & 0 &  & \\
 \hline
 \end{array}
\]

\item $ f(-10) = -605 $.

Donc, d'après le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions continues strictement monotones, l'équation $ f(x) = 0 $ admet une solution dans l'intervalle $\left ]-10 \,; -3\right[$, et $ 1 $ comme deuxième solution.

En programmant la fonction pour les valeurs entières de $ x $ sur la calculatrice, on voit que $ f(-5) = 0 $.

Donc les deux solutions sont $ -5 $ et $ 1 $.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Dérivabilité}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX10

\begin{exo}{Condition de dérivabilité} {Lycée Stanislas, Nice}{1}{5}
Soit la fonction $f$ définie par :
    \[ f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}. \]

\begin{questions}
\item Préciser les conditions de dérivabilité de $f$.

\item Calculer la fonction dérivée $f'$.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $x² - 1$ s'annule pour $x = 1$ et $x = -1$ ; par conséquent, d'après le cours, $f$ est dérivable sur tout intervalle où $x² - 1$ ne s'annule pas. $f$ est donc dérivable sur $D_f = \R\setminus\{-1\,;1\}$.

\item D'après la formule de dérivée d'une fonction inverse :
\[ 
f'(x) = - \frac{v'(x)}{v(x)^2} = - \frac{2x}{(x^2-1)^2}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX11

\begin{exo}{Calcul de dérivées, nombre dérivé}{Lycée Victor Hugo, Poitiers}{1}{5}
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes et le nombre dérivé en $1$ :
\begin{align*}
f(x) & = 2x + 3x^2 \quad \text{ sur } \R. \\
g(x) & = \sqrt{x} + 3x \quad \text{ pour } x > 0.
\end{align*}
\end{exo}

%%% CORR EX11

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
\begin{align*}
f'(x) & =2\times 1 + 3\times 2x=2 + 6x. \\
f'(1) & =2 + 6\times 1=8.
\end{align*}

\item $g$ est dérivable sur $I = \left]0\,; + \infty\right[$ comme somme de deux fonctions dérivables.
\begin{align*}
g(x) &= \underbrace{\sqrt{x}}_{u(x)} + \underbrace{3x\vphantom{\sqrt{x}}}_{v(x)}. \\
g'(x) &= u'(x) + v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3. \\
g'(1)&=\frac{1}{2\times 1} + 3=\frac{1}{2} + \frac{6}{2}=\frac{7}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX12

\begin{exo}{Dérivées et opérations}{Lycée Claude Monet, Paris}{1}{20}
Dériver $f$ sur l'ensemble proposé, dans chacun des cas suivants :
\begin{questions}
\item $f(x)=x^3 - 5x^2 + 2$ \quad sur $ I=\R$.

\item $f(x)=\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{3} + 5$ \quad sur $I=\R$.

\item $f(x)=\dfrac{x-3}{2x + 1} $ \quad sur $ I=\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right[$.

\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ \quad sur $I = \left]0 \,; + \infty\right[$.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX12

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=x^3-5x^2 + 2$ sur $I=\R$.
$f$ est dérivable sur $I$ comme polynôme.

$f'(x)=3x^{3-1}-5\times 2x^{2-1} + 0 = 3x^2-10x$.

\item $f(x)=\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{3} + 5$ sur $I=\R$. $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $I$.
    \[ f'(x)=x + \dfrac{1}{3}. \]

\item $f$ est dérivable en tant que fonction rationnelle définie sur $\left]-\infty\,; -\dfrac{1}{2}\right[$ :
\[ f(x)=\dfrac{x-3}{2x + 1} = \dfrac{u(x)}{v(x)}. \]
Or,
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
Donc :
\[ f'(x) =\frac{1\times(2x + 1)-(x-3)\times2}{(2x + 1)^2}=\frac{7}{(2x + 1)^2}. \]

\item On a:
\[ x \mapsto f(x)=\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} \ \text{ sur }\enspace I = \left]0\,; + \infty\right[. \]

Les fonctions au numérateur et au dénominateur sont dérivables sur $I$ car la fonction racine est dérivable sur $I$.
Le dénominateur ne s'annule par sur $I$, donc $f$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $I$.
    \[
    f'(x) = \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} + 2\right) -
    \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\left(\sqrt{x} + 2\right)^2}
    = \frac{1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x} + 2\right)^2}.
    \]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%EX13

\begin{exo}{Équations de tangentes} {Lycée Léonard de Vinci, Melun}{1}{10}
Calculer l'équation de la tangente en $ M_0\big(x_0\,; f(x_0)\big) $ à la courbe d'équation $y=f(x)$ dans un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath}) $, où :
    \[ f(x)=3x^2-x + 1, \quad x_0 = 1.\]%
\end{exo}

%% CORR EX13

\begin{corrige}
On remarque tout d'abord que $D_{f}=\R $.

En $x_0 = 1$, $x_0 \in D_{f}$ et $f$ est dérivable en $x_0$, donc la tangente au point d'abscisse $ 1 $ existe. Soit $\mathcal{T}_{1}$ cette tangente. Si on ne se rappelle plus la formule de l'équation de la tangente, on la cherche sous la forme : $ y=mx + p $. On sait que le coefficient directeur $m$ de $\mathcal{T}_{1}$ est égal au nombre dérivé en $1$, soit $f'(1)$.
    \[ f'(x) = 6x-1 \Rightarrow f'(1) = 6-1 = 5 \Rightarrow m = f'(1)= 5. \]%
Par ailleurs, le point $ A\big(1\,; f(1)\big) $ est le point de contact de la courbe et de la tangente; ses coordonnées satisfont l'équation de
$\mathcal{T}_1 $ :
     \begin{align*}
     \mathcal{T}_1 : y=\underbrace{m}_{5}x + p
     &\Rightarrow f(1)=5\times 1 + p \\
     &\Rightarrow p=f(1)-5 = -2.
     \end{align*}

Une équation de $\mathcal{T}_1$ est donc : $ y=5x-2 $ 
\begin{center}
\includegraphics{002_ex12corrige-p61_007}
\end{center}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX14

\begin{exo}{Continuité}{Lycée Camille Claudel, Palaiseau}{2}{30}
\begin{questions}
\item Soit la fonction $f$ définie par:
    \[f(x)=\frac{(x + 1)(x-1)}{(2x-3)(x + 1)}.\]
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et les plus grands intervalles où $f$ est continue.

\item Soit la fonction $g$ définie par :
    \[g(x)=\frac{x-2}{x^2-3x + 3}.\]
Déterminer l'ensemble de définition de $g$ et les plus grands intervalles où $g$ est continue.

\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par :
    \begin{align*}
     h(x) &= -3x-4 \ \text{ pour } \ x \in \left]-\infty\,; -1\right[. \\
     h(x) &= -x^2 + 2 \ \text{ pour } \ x \in \left[-1 \,; + \infty \right[.
    \end{align*}
La fonction $h$ est-elle continue sur $\R$ ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX14

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Considérons :
\[ 
x \mapsto f(x)=\frac{(x + 1)(x-1)}{(2x-3)(x + 1)}. 
\]
\begin{itemize}
\item $f$ est définie partout où son dénominateur ne s'annule pas.
\begin{align*}
(2x-3)(x + 1)=0 & \iff 2x-3=0 \quad\text{ ou }\quad x + 1=0 \\
& \iff x=\dfrac{3}{2} \quad\text{ ou }\quad x=-1.
\end{align*}
On a donc :
\[ 
D_{f}= \R \setminus \left\{-1\,;\dfrac{3}{2}\right\}. 
\]
\begin{Remarque}une fois le domaine de définition trouvé, on peut simplifier l'expression par $x + 1$. Mais ensuite, on ne voit plus apparaître le fait que $f$ n'est pas définie en $-1$. Il faut donc déterminer l'ensemble de définition \emph{avant} d'entreprendre une quelconque simplification.
\end{Remarque}

\item La fonction $f$ est un quotient :
\[ f = \frac{u}{v}, \enspace \text{avec} \enspace u(x) = (x + 1)(x-1), \enspace v(x) = (2x-3)(x + 1). \]
Les fonctions $u$ et $v$ sont des polynômes, donc sont continues sur $\R$. D'après les théorèmes sur les fonctions continues, le quotient $f$ sera donc continu sur tout intervalle $I$ où son dénominateur ne s'annule pas.

Donc $f$ est continue sur chacun des intervalles suivants :
\[I_1 = \left]-\infty\,; -1\right[, \qquad I_2 = \left]-1 \,;\dfrac{3}{2}\right[, \qquad I_3 = \left]\dfrac{3}{2}\,; + \infty \right[. \]
\end{itemize}

\item Considérons :
\[ x \mapsto g(x)=\frac{x-2}{x^2-3x + 3}. \]
La fonction $g$ est définie et continue sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas. Le discriminant du trinôme se trouvant au dénominateur vaut : \mbox{$\Delta=9-12=-3 < 0$}.

$\Delta$ étant strictement négatif, on sait que le trinôme est de signe constant et ne s'annule donc jamais.
Donc $D_g = \R$ et $ g$ est continue sur 
$\R$.

\item Sur l'intervalle $I=\left]-\infty \,; -1\right[$, $h$ coïncide avec la fonction affine :
\[
h_1 : x \mapsto -3x - 4\;,
\]
donc elle est continue sur $I$. Sur $ J= \left[-1\,; + \infty \right[$, $h$ coïncide avec la fonction polynôme :
\[
h_2 : x\mapsto -x^2 + 2\;,
\]
donc elle est continue sur $J$.

Il reste à savoir si $h$ est continue en $-1$.

Or, $h_1(-1) = -1$, donc la courbe $\mathcal{C}_1$ représentant $h_1$ est une demi-droite privée de son origine $A_1$ de coordonnées $(-1\,; -1)$.

De plus, $h_2(-1) = 1$ donc la courbe $\mathcal{C}_2$ représentant $h_2$ sur $J$ est un arc de parabole d'origine $A_2$ de coordonnées $(-1\,; 1)$.

Ces deux points étant différents, la courbe représentative de $h$ n'est pas d'un seul tenant. Donc $h$ n'est pas continue en $-1$, et $h$ n'est pas continue sur $\R$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Applications de la dérivation}

%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX15

\begin{exo}{Utiliser une représentation graphique}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{20}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2\, ; 4]$.

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

La courbe admet au point A d'abscisse $-$1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ en B$(0\,;2)$ passe par D$(2\,; 0)$.

\begin{center}
\includegraphics{02_fig_06}
\end{center}

\begin{questions}
\item En utilisant les données graphiques, donner, sans justifier :
\begin{questions}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle $[-2\,;4]$ de l'équation \mbox{$f(x)=1$} et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles.
\item La valeur de $f '(-1)$.
\item Le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\,;4]$.
\end{questions}

\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
\newpage
Donner en justifiant :
\begin{questions}
\item Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$.
\item Celle des trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ représentées ci-dessous qui représente la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\'Ecrire \og $\mathcal{C}_1$ \fg, \og $\mathcal{C}_2$ \fg{} et \og $\mathcal{C}_3$ \fg{} sous les courbes.
\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{02_fig_07}
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX15

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Il y a deux solutions : ce sont les abscisses $a$ et $b$ des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = 1$.

En traçant cette droite, on peut voir que $-2 < a < -1,75$ et\linebreak $1 < b < 1,25$.

\item $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-$1. Puisque la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, $f'(-1) = 0$.

\item Sur $[-2\,; -1]$, la fonction est croissante donc la dérivée est positive.

Sur $[-1\,; 4]$, la fonction est décroissante donc la dérivée est négative. La dérivée s'annule pour $x=-1$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item\label{ch2qa} Le coefficient directeur est égal à $-1$.

\item Puisque $f$ est croissante sur $[-2\, ; -1]$, la dérivée doit être positive (donc la représentation doit être au-dessus de l'axe des abscisses) sur cet intervalle.

Puis, comme $f$ est décroissante sur $[-1\,; 4]$, la dérivée doit être négative sur cet intervalle, donc la courbe représentative de $f'$ doit rester sous l'axe des abscisses.

Ceci élimine la courbe $\mathcal{C}_2$.

Par ailleurs, d'après la question \ref{ch2qa}, $f'(0) = -1$ car le coefficient directeur de la tangente est égal au nombre dérivé.

La bonne courbe est donc la courbe $\mathcal{C}_3$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% EX16

\begin{exo}{Un problème complet}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{30}
L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1~m de large et pour une longueur $x$ exprimée en kilomètres, $x$ étant compris entre 0 et 10.

Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donnée en fonction de la longueur $x$ par la formule :
\[
C(x) = 15x^3 - 120 x² + 500 x + 750.
\]
Le graphique suivant donne la représentation graphique de la fonction C.

Les graduations sur l'axe vertical sont en milliers d'euros.
\begin{center}
\includegraphics{02_fig_08}
\end{center}

Les deux parties A et B de cet exercices sont indépendantes.

\subsubsectionnn{Partie A : étude du bénéfice}

Si le marché offre un prix $p$ en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité $x$ est égale à $R(x) = px$.

\begin{questions}
\item Tracer sur le graphique donné page précédente la droite $\mathcal{D}_1$ d'équation $y = 400x$.

Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix $p$ du marché est à 400 euros.

\item Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680~\euro.
\begin{questions}
\item Tracer sur le graphique ci-dessus la droite d'équation $y = 680x$.

Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le graphique) pour quelles quantités produites et vendues l'entreprise \mbox{CoTon} réalise un bénéfice si le prix $p$ du marché est 680 euros.

\item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0\, ; 10]$ par : 
\[
B(x) = 680x - C(x).
\]

Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0\, ; 10]$, on a : 
\[
B'(x) = -45x² + 240 x + 180.
\]

\item \'Etudier les variations de la fonction $B$ sur $[0\, ; 10]$. Dresser son tableau de variations complet.

En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : \'Etude du coût moyen}

On rappelle que le coût moyen de production $C_M$ mesure le coût par unité produite. On considère la fonction $C_M$ définie sur $[0\, ; 10]$ par :
\[
C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x}.
\]
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\, ; 10]$, on a : $C_M^\prime(x)=\dfrac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2}$.

\item
\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\, ; 10]$, $C'_M(x)$ est du signe de $x-5$.

En déduire les variations de la fonction $C_M$ sur l'intervalle $]0\, ; 10]$.

\item Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimal ? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%%%% CORR EX16

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La figure sur la page suivante sert pour les questions 1. et 2. La droite d'équation $y = 400 x$ est celle en vert. 

\Par

On constate que la courbe représentant la recette est toujours en dessous de celle qui représente les coûts. Par conséquent, on ne peut réaliser ainsi aucun bénéfice.

\item
\begin{questions}
\item La droite d'équation $y = 680 x$ est en bleu.
Cette fois ci, elle coupe la courbe qui représente les coûts.

On réalise un bénéfice dès lors que la recette est supérieure aux coûts, soit approximativement pour une longueur produite comprise entre 2 et 8,8 km.
\item On a : $B(x) = 680x - C(x) = -15x^3 + 120 x² + 180 x - 750$.

Donc : $B'(x) = -45x² + 240 x + 180$.



\item $\Delta=240² + 4 × 45 \times 180 = \numprint{90000}$.

Les deux racines du trinôme $B'(x)$ sont donc :
\[
x_1=\dfrac{-240-300}{2\times(-45)}=6\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-240+300}{2\times(-45)}=-\dfrac{2}{3}.
\]
Par conséquent, en utilisant la règle du signe du trinôme, $B'(x)$ est positif pour $x$ appartenant à $[0\, ; 6]$ et négatif pour $x$ appartenant à $[6\, ; 10]$.

$B(0) = -750$ ; $B(6) = \numprint{1410}$ ; $B(10) = -\numprint{1950}$.

On obtient donc le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 6 &  & 10\\
\hline
B'(x) &    & +  &       0           &  - &  \\
\hline
      &    &    &  \numprint{1410} &    &   \\
B(x) &    &  \nearrow &            & \searrow &  \\
     &-750&           &            &          &-\numprint{1950}\\
     \hline
\end{array}
\]
Le bénéfice est donc maximal pour une longueur de 6 km, et il est égal à \numprint{1410} euros.
\end{questions}
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{02_fig_09}
\end{center}
\newpage
\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $C_M(x)=\dfrac{15x^3-120x^2+500x+750}{x}=15x^2-120x+500+\dfrac{750}{x}$.

Donc : $C_M^\prime(x)=30x-120-\dfrac{750}{x^2}=\dfrac{30x^3-120x^2-750}{x^2}$.

Or,
\begin{align*}
30(x-5)(x² + x + 5)& = (30x-150)(x² + x + 5)\\
&  = 30x^3 + 30x² + 150x - 150x² - 150x - 750\\
&  = 30x^3- 120x² - 750.
\end{align*}

On a donc bien $C_M^\prime(x)=\dfrac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2}$.

\item 
\begin{questions}
\item 30 et $x²$ sont évidemment positifs.

De plus, le discriminant de $x² + x + 5$ est $-19$, donc ce trinôme est toujours positif (du signe de 1, coefficient de $x²$).

Donc $C'_M$ est bien du signe de $x-5$.

Par conséquent, $C_M$ est décroissante sur $[0\,;5]$ et croissante sur $[5\,;10]$.

\item Le coût moyen de production est donc minimal pour une production de 5 km de tissu.

Le coût moyen vaut alors $C_M(5) = 425$ euros, et le coût total \mbox{$C(5) = \numprint{2125}$ euros}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX17

\begin{exo}{Point mort}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{15}
En situation de monopole pur, les points morts d'une firme correspondent aux quantités pour lesquels le bénéfice de la firme est nul.

Le coût de fabrication d'un produit est composé d'un coût fixe de \numprint{20000}~\euro{} et d'un coût variable de 100~\euro{} par unité produite.

Le revenu, en euros, pour ce produit, est donné par $R(q) = q(750 - 5q)$ pour une quantité $q$ variant de 0 à 100 unités.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer l'expression du coût total $C(q)$ en fonction de la quantité $q$.
\item Exprimer le bénéfice $B(q)$ de cette firme pour une quantité $q$ produite et vendue.
\end{questions}

\item Déterminer les points morts de la firme.

\item Déterminer la quantité produite pour laquelle le bénéfice est maximum, et la valeur de ce bénéfice.
\end{questions}
\end{exo}

%%%% CORR EX17

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $C(q) = \numprint{20000} + 100 q$.
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = q(750 - 5q) - C(q)\\
&  = 750q - 5q² - \numprint{20000} -100q\\
&  = -5q² + 650 q - \numprint{20000}.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item Il faut résoudre $B(q) = 0$ soit :
\[
\Delta = 650² - 4 \times 5 \times\numprint{20000} = \numprint{22500} = 150².
 \]
Il y a donc deux solutions :
\[
q_1=\dfrac{-650-150}{2\times(-5)}=80\qquad\text{et}\qquad q_2=\dfrac{-650+150}{2\times(-5)}=50.
\]
Les deux points morts correspondent à une production de 50 ou 80 unités.

\item On a : $B'(q) = -10q + 650$.
\[
B'(q) > 0 \iff -10 q + 650 > 0 \iff q < 65.
\]
La fonction $B$ est donc croissante pour $q < 65$ et décroissante ensuite.

Le bénéfice est donc maximal pour $q  = 65$.

On a alors $B(65) = \numprint{1125}$ euros.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX18

\begin{exo}{Variations}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{10}
Soit la fonction rationnelle :
    \[ f(x)=\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 3)(x + 4)}. \]
Calculer $f'$ la fonction dérivée de $f$. En déduire les variations de $f$.
\end{exo}

%%% CORR EX18

\begin{corrige}
En tant que fonction rationnelle (quotient de polynômes), $f$ est définie sur $ \R \setminus \{-3\,;-4\}$ et dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition. Les numérateur et dénominateur vont se dériver comme des produits.

On pose :
\[
\begin{cases}
g(x)=(x + 1)(x + 2) & \quad g'(x)=1(x + 2) + (x + 1)1=2x + 3\\
h(x)=(x + 3)(x + 4) &\quad h'(x)=1(x + 3) + (x + 4)1=2x + 7
\end{cases}
\]
On a donc :
    \begin{align*}
        f(x)& =\frac{g(x)}{h(x)} \\
        f'(x) & = \frac{g'(x)h(x)-g(x) h'(x)}{h(x)^2}\\
        & = \frac{(2x + 3)(x + 3)(x + 4)-(2x + 7)(x + 1)(x + 2)}{(x + 3)^{2}(x + 4)^{2}} \\
        & = \frac{(2x^2 + 9x + 9)(x + 4)-(2x^2 + 9x + 7)(x + 2)}{(x + 3)^{2}(x + 4)^{2}}\\
        & = \frac{(4x^2 + 20x + 22)}{(x + 3)^{2}(x + 4)^2} \\
        & = \frac{2(2x^2 + 10x + 11)}{(x + 3)^{2}(x + 4)^2}
        \quad \text{ (on a développé, ordonné et simplifié !)}
    \end{align*}

Les variations de $f$ se déduisent du signe de $f'$. Ici, la dérivée $f'$ est suffisamment factorisée pour commencer l'étude de signe (les facteurs sont tous de degré 1 ou 2 ; on sait étudier leur signe). \emph{On cherche les facteurs de signe constant}.

Les facteurs se trouvant au dénominateur de $f'$ sont toujours positifs, car ce sont des carrés.

La dérivée $f'$ est donc du signe du trinôme $2x^2 + 10x + 11$. On en étudie le signe :
\[ 
\Delta =10^2 -8\times 11=100-88=12=\big(2\sqrt{3}\big)^{2}. 
\]
$ 2x^2 + 10x + 11 $ a deux racines réelles :
\[
x_{1} =\dfrac{-10-2\sqrt{3}}{4}= \frac{-5-\sqrt{3}}{2}\approx -3,37\quad\text{et}\quad x_{2} =\dfrac{-5 + \sqrt{3}}{2}\approx -1,63.
\]
    \begin{align*}
        & 2x^2 + 10x + 11 = 0 \iff x = x_1 \quad \text{ ou } \quad x = x_2 \\
        & 2x^2 + 10x + 11 > 0 \iff x \in \left]-\infty\,; x_1\right[ \cup \left]x_2\,; + \infty\right[
    \end{align*}

En conclusion :
    \begin{itemize}
        \item $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,; -4\right[$,
          $\left]-4\,; x_1\right[$ et $\left]x_2\,; + \infty\right[$ ;
        \item $f$ est strictement décroissante sur $\left]x_1\,; -3\right[$ et $\left]-3 \,;x_2\right[$.
    \end{itemize}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX19

\begin{exo}{Étude de fonction rationnelle}{Lycée Descartes, Tours}{3}{45}

Soit $ f$ une fonction définie par:
    \[ f(x)=\dfrac{x^3-x^2 + 3x + 5}{x^2 + 3}. \]

    \begin{questions}
    \item Quel est son ensemble de définition ?

    \item Calculer la dérivée de $f$. Montrer que $f'$ s'écrit pour tout $x$:
        \[ f'(x) = \frac{(x-1)^2(x^2 + 2x + 9)}{(x^2 + 3)^2}. \]
    En déduire les variations de $f$.

    \item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $ y = x - 1$. Montrer qu'il existe un et un seul point $A$ de $ \mathcal{C}_f $ tel que la tangente à $ \mathcal{C}_f $ en $A$ soit parallèle à $\mathcal{D}$.

    \item Tracer la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormé $(O ,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$.
    \end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX19

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une fonction rationnelle n'est pas définie là où son dénominateur s'annule.

Or, ici:
\[ 
x^2 + 3 \geqslant 3>0 \ \text{ pour tout $x \in\R$.} \]
Le dénominateur ne s'annule jamais. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$.

\item On a:
\begin{align*}		
f'(x)&=\frac{(3x^2 -2x +3)(x^2+3)-2x(x^3-x^2+3x+5)}{(x^2 + 3)^2}\\
&=\frac{x^4 + 6x^2 + 9-16x}{(x^2 + 3)^2}.
\end{align*}
Il suffit de développer l'expression proposée pour démontrer l'égalité :
\begin{align*}
& \dfrac{(x-1)^2(x^2 + 2x + 9)}{(x^2 + 3)^2}\\
= & \dfrac{(x^2-2x + 1)(x^2 + 2x + 9)}{(x^2 + 3)^2}\\
= & \dfrac{x^4 + 2x^3 + 9x^2-2x^3-4x^2-18x + x^2 + 2x + 9}{(x^2 + 3)^2}\\
= & \dfrac{x^4 + 6x^2-16x + 9}{(x^2 + 3)^2}.
\end{align*}
Les variations de $f$ se déduisent du signe de sa dérivée. Examinons quels facteurs de $f'$ peuvent changer de signe.
\begin{itemize}
\item Pour tout $x, (x-1)^2 \geqslant 0 \text{ et } (x-1)^2=0\text{ pour } x=1$.
 \item Pour tout $x, (x^2 + 3)^2>0$.
\item Le trinôme $x^2 + 2x + 9$ a pour discriminant : $\Delta=4-4\times 9=-32 < 0$.

Il n'y a donc aucune racine et le trinôme est de signe constant, positif.
\end{itemize}

Tous les facteurs de $f'$ sont donc positifs ou nuls. $f'$ est donc toujours strictement positive, sauf en $x =1$ où elle s'annule (un tableau de signe n'est pas utile). On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\R$ (bien que de pente nulle en $1$).

\item Si la tangente $\mathcal{T}$ à $ \mathcal{C}_{f} $ en $A$ est parallèle à $ \mathcal{D} $, cela signifie que $\mathcal{T}$ a même coefficient directeur que $ \mathcal{D} $. Le point cherché $ A\big(a,f(a)\big) $ est donc tel que $ f'(a)=1 $ puisque le coefficient directeur de $ \mathcal{D} : y=x-1 $ vaut~1.

\begin{align*}
       & f'(a) = 1\\
\iff{} & \dfrac{(a-1)^2(a^2 + 2a + 9)}{(a^2 + 3)^2}=1\\
\iff{} & a^4 + 2a^3 + 9a^2 - 2a^3 - 4a^2 -18a + a^2 + 2a + 9 = a^4 + 6a^2 + 9 \\
\iff{} &  6a^2 -16a = 6a^2\\
\iff{} &  16 a = 0 \\
\iff{} &  a = 0.
\end{align*}
D'autre part, $ f(0) = \dfrac{5}{3} $. Le point recherché est donc $A\left(0 \,; \dfrac{5}{3}\right)$.

La droite recherchée est d'équation : $y=x + \dfrac{5}{3}$.

    \item Courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormé :
    \begin{center}
    \includegraphics{002_ex15corrige-p64_009}
    \end{center}
    \end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX20

\begin{exo}{Théorème des valeurs intermédiaires}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{3}{15}

\begin{questions}
\item Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction:
    \[ f: x \mapsto \sqrt{x^3 + 2x^2-1} + 1 \]
est définie et continue. 

Pour factoriser $x^3 + 2x^2-1$, on remarquera que :
    \[ x^3 + 2x^2-1 = (x^3 + x^2) + (x^2-1). \]

\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I = \left[1\,; 2\right]$.

\item En déduire le nombre de solutions dans $I$ de l'équation : $f(x) = 3 $.

Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près des éventuelles solutions.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX20

\begin{corrige}
Soit la fonction $ f : x \mapsto \sqrt{x^3 + 2x^2-1} + 1 $.

\begin{questions}
\item Il s'agit d'une fonction composée, dans l'ordre, d'un polynôme du troisième degré, de la fonction racine, et de la fonction affine $ x \mapsto x + 1$ :
\[ x \mapsto x^3 + 2x^2-1 \mapsto \sqrt{x^3 + 2x^2-1} \mapsto \sqrt{x^3 + 2x^2-1} + 1. \]

Comme la fonction racine n'est définie que sur $\left[0\,; + \infty\right[$, la composée $f$ n'est définie que sur un intervalle $I$ sur lequel $x^3 + 2x^2-1$ est positif.

On est donc amené à étudier le signe du polynôme $P(x) = x^3 + 2x^2-1$.

    \begin{itemize}
    \item On a :
	\[ 
	\begin{aligned}
	P(x) &= (x^3 + x^2) + (x^2-1) \\
	&= x^2(x + 1) + (x + 1)(x-1) \\
	&= (x + 1)(x^2 + x-1).
	\end{aligned}
	\]

    \item Le trinôme $(x^2 + x-1)$ a pour discriminant : 
\[
\Delta = 1^2 -4\times 1\times (-1)=5.
\]

    Il a donc deux racines :
    \[ \alpha = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1,6 \quad \text{ et } \quad \beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,6. \]

\item D'où le tableau de signe de $P(x)$ :
\[
\begin{array}{|R|*{9}{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & \alpha & & -1 & & \beta & & + \infty\\
\hline
x + 1 & & - & & - & 0 & + & & + & \\
x^2 + x-1& & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\
\hline
(x + 1)(x^2 + x-1) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\
 \hline
\end{array} \]
\end{itemize}

Par suite $D_f = \left[\alpha\,; 1\right] \cup \left[\beta\,; + \infty\right[ $.

La fonction $f$ est continue sur $I_1 = \left[\alpha \,; -1 \right] $ et sur $I_2 = \left[\beta\,; + \infty\right[$.

\item $f$ est bien définie sur $I = \left[1\,; 2 \right]$ puisque $I \subset \left[\beta\,; + \infty \right[$.

$f$ est de la forme $\sqrt{u}+1$, avec $u(x)=x^3+2x^2-1$ donc :
\[
f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{3x^2+4x}{2\sqrt{x^3+2x^2-1}}=\dfrac{x(3x+4)}{2\sqrt{x^3+2x^2-1}}.
\]
Sur $I$, $x>0$, $3x+4>0$ et $2\sqrt{x^3+2x^2-1}>0$ donc $f'(x)>0$ sur~$I$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $I$.


\item Vu que $f(1) = 1 + \sqrt{2}$ et $f(2)= 1 + \sqrt{15}$, on a $f(1) < 3 < f(2)$.

Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ prend au moins une fois la valeur $3$ sur l'intervalle $[1\,; 2]$. Comme $f$ est strictement croissante, elle prend la valeur $3$ exactement une seule fois. Donc $f(x) = 3$ admet une unique solution $\gamma$.

En programmant la calculatrice avec un pas de calcul de $0,01$, on obtient une valeur approchée de $\gamma$ à $0,01$ près: $\gamma \approx 1,24$.
\[ 
\begin{array}{|R|*5{c}|}%
\hline\tabulartitle
 x & 1,24 & & \gamma & & 1,25 \\
\hline
 & & & & & \approx3,019\\
 & & & & \nearrow &  \\
 f(x) &  &  & 0  &  &  \\
 & & \nearrow & & & \\
 & \approx2,995 &  &  &  & \\
 \hline
 \end{array}
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX21

\begin{exo}{Discussion du nombre de solutions}{Lycée Virlogeux, Riom}{3}{20}
Soit $f$ la fonction définie sur $[-2\,;2]$ par $f(x)=2x^3-6x$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
\item Soit $k$ un nombre réel. Discuter, suivant les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$.
%\item Soit $k$ un nombre réel. Discuter, suivant les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX21

\begin{corrige}
Soit $f$ la fonction définie sur $[-2\,;2]$ par $f(x)=2x^3-6x$.
\begin{questions}
\item On a :
\begin{align*}
f'(x) &= 6x^2-6 \\
&= 6(x^2-1) \\
&= 6(x-1)(x+1).
\end{align*}
La règle du signe du trinôme donne le signe de $f'(x)$, d'où le tableau de variations :
\[ 
\begin{array}{|C|lcccccr|}\hline\tabulartitle
x & -2 & & -1 & & 1 & & 2  \\\hline
f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
      & & & 4 &  & & & 4\\
f(x) & & \nearrow & &\searrow & & \nearrow & \\
  & -4 & & & & -4 & & \\\hline
\end{array}
\]

\item $f(-2) = -4$ et $f(-1) = 4$. $f$ est continue et strictement croissante sur $[-2\, ; -1]$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique sur cet intervalle.

En utilisant le même raisonnement, on trouve une solution unique sur l'intervalle $[-1\, ; 1]$ et sur l'intervalle $[1\,; 2]$, donc en tout exactement 3 solutions.

\item Si $k < -4$, il n'y a pas de solutions.

Si $k = -4$, il y a deux solutions, $-2$ et 1.

Si $-4 < k < 4$, il y a trois solutions.

Si $k = 4$, il y a deux solutions, $-1$ et 2.

Si $k > 4$, il n'y a pas de solution.

%\item Cette inéquation a des solutions si $k'$ est strictement supérieur $-4$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX22

\begin{exo}{Tangentes}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{3}{20}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x - x^3$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{D}_1$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2, puis de la tangente $\mathcal{D}_2$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. 
\item Donner les coordonnées du point d'intersection $A$ de ces deux tangentes.
\item Existe-t-il une autre tangente à $\mathcal{C}$ parallèle à $\mathcal{D}_1$ ?
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX22

\begin{corrige}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x - x^3$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{questions}
\item On a :
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= 3-3x^2 \\
&= 3(1-x^2) \\
&= 3(1-x)(1+x).
\end{aligned}
\]
D'où le tableau de variations :
\[ 
\begin{array}{|C|lcccccr|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty  \\\hline
f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - &  \\\hline
      & & & & & 2 &  &  \\
f(x) & &\searrow & &\nearrow & &\searrow & \\
 & & & -2 & & & &  \\\hline
\end{array}
\]

\item $f(2) = -2$ ; $f'(2) = -9$. L'équation de $\mathcal{D}_1$ est donc $y = -9(x - 2) -2$ ou $y = -9x +16$.

$f(0) = 0$ ; $f'(0) = 3$. L'équation de $\mathcal{D}_2$ est donc $y = 3x$.

\item Les coordonnées du point A vérifient :
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
y&=3x \\
y &= -9x +16
\end{cases} &\iff
\begin{cases}
y=3x \\
12x = 16
\end{cases} \\
&\iff
\begin{cases}
x=\dfrac{4}{3} \\
y = 4
\end{cases} 
\end{aligned}
\]
$A$ a donc pour coordonnées $\left( \dfrac{4}{3} \,; 4 \right)$.

\item Cette tangente, si elle existe, a pour coefficient directeur $-9$. Il faut donc trouver $x$ différent de 2 tel que $f'(x) = -9$.
\[
\begin{aligned}
f'(x) =-9 &\iff 3-3x^2=-9 \\
&\iff 12 = 3 x^2 \\
&\iff x^2 = 4 \\
&\iff x= 2 \text{ et } x=-2.
\end{aligned}
\]
Donc la tangente parallèle à $\mathcal{D}_1$ se trouve au point d'abscisse $-2$.

$f(-2) = 2$.

Elle a donc pour équation $y = -9(x + 2)  + 2$ ou encore $y = -9x - 16$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige

\endinput

% Local Variables:
% mode: latex
% TeX-master: "../ILTES"
%% End:
