\chapter{Fonctions exponentielles}

\section{\mathversion{bold}Fonction $x\mapsto q^x$, avec $q>0$}

\begin{exointro}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}
Le jour de sa naissance, la mère de Clara a placé \numprint{2000}~euros sur un livret A au taux annuel de $2,25$\,\% à intérêts composés. On suppose que le taux reste constant pendant toute la durée du placement.
\begin{questions}
\item En supposant que Clara ne touche pas à cet argent, quelle sera la somme acquise le jour de ses 18 ans ?
\item Combien de temps supplémentaire devrait-elle attendre pour que la somme atteigne \numprint{4000}~euros ? (on arrondira à l'année supérieure).
\item Quel aurait dû être le taux, arrondi au centième, pour que cette somme soit atteinte le jour de ses 18 ans ?
\end{questions}
\vspace*{-2em}
\end{exointro}

\subsection{Représentation d'une suite géométrique et propriété des puissances}

\begin{Exemple}
Prenons la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $ 1,3$. On obtient la représentation de ses 6 premiers termes :
\begin{center}
\includegraphics{03_fig_01} 
\end{center}
\end{Exemple}

En joignant le plus régulièrement possible les points, on obtient une courbe. 

Pour tout réel $ x$, on décide de noter $ 1,3^x $ l'image de $ x $ par la fonction ainsi définie. En programmant sur la calculatrice la fonction $ x\mapsto 1,3^x$, on obtient une courbe qui joint les points représentant la suite géométrique précédente :
\begin{center}
\includegraphics{03_fig_02}
\end{center}

\subsection{Fonction exponentielle de base q}

\emph{Rappel :} pour tous $ n $ et $ n' $ de $ \N$, 
\[ q^n \times q^{n'} = q^{n + n'}. \]
\begin{defin}
Soit $ q $ un nombre réel strictement positif. Il existe une unique fonction $ f $ définie sur $ \R $ telle que :
\begin{itemize}
\item pour tout $ n $ de $ \N$, $ f(n) = q^n $ ;
\item $ f $ est dérivable sur $ \R $ ;
\item pour tous réels $ x $ et $ y$, $ f(x + y) = f(x) \times f(y)$.
\end{itemize}
\end{defin}
La fonction $ f $ est appelée fonction exponentielle de base $ q$, et on note, pour tout $ x$ de $\R$, $ f(x) = q^x$.

\begin{Remarque}la relation $ f(x + y) = f(x) \times f(y) $ est appelée relation fonctionnelle.
\end{Remarque}

\begin{props}
Pour tous $x$ et $y$ réels :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $q^0=1$.
\item $ q^{-x} = \dfrac{1}{q^x}$.
\item $ q^x > 0 $ pour tout $x$.
\item $ q^{\frac{1}{2}} = \sqrt{q}$.
\item $ \big(q^x\big)^y = q^{yx} $ pour $ x $ et $ y $ réels.
\end{multicols}
\item $ f (x + y) = f(x) \times f(y) \iff q^{x+y} = q^x \times q^y$.
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{\mathversion{bold}Sens de variation de la fonction $x\mapsto q^x$, avec $q>0$}

\begin{prop}[admise]
\begin{itemize}
\item Si $ 0 < q < 1$, la fonction est décroissante (comme la suite géométrique associée)
\item Si $ q = 1$, la fonction est constante (comme la suite géométrique associée).
\item Si $ q > 1$, la fonction est croissante (comme la suite géométrique associée).
\end{itemize}
\end{prop}

On obtient donc trois types de courbes, ici pour $ q = 0,5, \,q = 1 $ et $ q = 1,3 $ :
\begin{center}
\includegraphics{003_cours-p73_013}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Solution de l'exercice type 1

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Au bout d'une année, le capital de Clara sera
\[ 
\numprint{2000}+\numprint{0,0225}\times\numprint{2000} = \numprint{2000}(1+\numprint{0,0225})= \numprint{1,0225}\times\numprint{2000}.
\]
En refaisant le même raisonnement, au bout de 18 ans, les intérêts étant intégrés au capital à la fin de chaque année, son capital sera :
\[
\numprint{2000}\times\numprint{1,0225}^{18}\approx \nombre{2985,17}.
\]
\item On programme la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par : 
\[
f(x)=\numprint{1,0225}^x \times\numprint{2000}\;,
\]
et on réalise une table de valeurs par pas de 1. On obtient la table suivante :
\[
\begin{array}{|c|c|}\hline\tabulartitle
X & Y_1\\\hline
28.000 & 3729.1 \\\hline
29.000 & 3813.0 \\\hline
30.000 & 3898.8 \\\hline
31.000 & 3986.5 \\\hline\tabulartitle
32.000 & 4076.2 \\\hline
33.000 & 4167.9 \\\hline
\end{array}
\]
\vspace*{-2.2em}
\BreakWithoutItem
Donc Clara devra attendre ses 32 ans, donc 14 ans de plus, les intérêts étant versés à la fin de chaque année.

\item On cherche $ t $ tel que $\numprint{2000}\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{18} =\numprint{4000}$. On programme la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par $f(x)=\numprint{2000}(1+0,01x)^{18}$, et on tabule cette fonction. On cherche la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=\numprint{4000}$. On obtient successivement les trois tables suivantes en augmentant la précision :

\begin{multicols}{3}
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline\tabulartitle
X & Y_1\\\hline
0.0000 & 2000.0 \\\hline
1.0000 & 2392.3 \\\hline
2.0000 & 2856.5 \\\hline
3.0000 & 3404.9 \\\hline
4.0000 & 4051.6 \\\hline
5.0000 & 4813.2 \\\hline
6.0000 & 4708.7 \\\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline\tabulartitle
X & Y_1\\\hline
3.4000 & 3650.9 \\\hline
3.5000 & 3715.0 \\\hline
3.6000 & 3780.1 \\\hline
3.7000 & 3846.3 \\\hline
3.8000 & 3913.7 \\\hline
3.9000 & 3982.1 \\\hline
4.0000 & 4051.6 \\\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline\tabulartitle
X & Y_1\\\hline
3.9000 & 3982.1 \\\hline
3.9100 & 3989.0 \\\hline
3.9200 & 3995.9 \\\hline\tabulartitle
3.9300 & 4002.8 \\\hline
3.9400 & 4009.8 \\\hline
3.9500 & 4016.7 \\\hline
3.9600 & 4023.7 \\\hline
\end{array}
\]
\end{multicols}

\Par
   
Le taux doit donc au moins être égal à $3,93$\%.
\end{questions}
\end{solintro}

\section{\mathversion{bold}Fonction exponentielle $x\mapsto\nep^x$}
\enlargethispage*{4em}

\begin{exointro}{Cité scolaire internationale, Grenoble}
\subsubsectionnn{Partie A}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;5[$ par $f(x) = x\nep^x - \nep^x - 8$.
\begin{questions}
\item Montrer que $f'(x) = x\nep^x$.
\item Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0.
\item Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur son ensemble de définition.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0\,;5[$ une unique solution que l'on notera $a$.
\item Montrer que $2,040 < a < 2,041$.
\item En utilisant les questions précédentes, donner le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$ sur $[0\,;5[$.
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\Break
\subsubsectionnn{Partie B}

Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets, avec $x$ appartenant à $[0\,;5]$.

La fonction $f$ de la partie A modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros.

Pour une quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise des bénéfices, et si $x$ est négatif l'entreprise subit une perte.

En utilisant les résultats de la partie A, déterminer à partir de combien d'objets produits l'entreprise commence à réaliser des bénéfices.
\end{exointro}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Il existe une unique fonction de la forme $ x \mapsto q^x $ qui admet pour nombre dérivé $ 1 $ en $ 0$. La base de cette fonction est appelée $\nep$, et $ \nep \approx 2,718$. La fonction se note $ \exp \text{: } x\mapsto \nep^ x$.
\end{defin}

\begin{Remarque}quand on parle de la fonction exponentielle, il s'agit explicitement de la fonction exponentielle de base $\nep$.
\end{Remarque}

\subsection{Propriétés}

\begin{props}
Ces propriétés se déduisent directement de la définition ou des propriétés générales des fonctions exponentielles :
\begin{itemize}
\item $ \nep^ 0 = 1\; ; \quad \nep^ 1 = \nep \; ; \quad \nep^ {-1} = \dfrac{1}{\nep}\; ; \quad\nep^ {\frac{1}{2}} = \sqrt{\nep}$.

\item La fonction étant strictement croissante :
\[ \nep^a < \nep^b \iff a < b \text{\quad et\quad} \nep^a = \nep^b \iff a = b. \]%

\item Propriétés algébriques : pour tout $ n $ et tous $ x $ et $y$ réels :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item[] $\nep^{x+y} = \nep^x\times \nep^y$;
\item[] $\nep^{-x} = \dfrac{1}{\nep^{x}}$; 
\item[] $\nep^{x-y} = \dfrac{\nep^x}{\nep^y}$;
\item[] $\nep^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{\nep}$;
\item[] $\big(\nep^x\big)^n = \nep^{nx}$;
\item[] $\nep^x>0$ ;
\item[] $\nep^x>1 \iff x>0$. 
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{props}

\newpage

\subsection{\'Etude de la fonction exponentielle}

\subsubsection{Dérivée}

    \begin{prop}
    La fonction exponentielle est égale à sa dérivée :\enspace $ \exp'(x) = \exp(x)$.
    \end{prop}

On en déduit donc le tableau de variations suivant pour $ f(x) = \exp(x) $ :

\[
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & 1 & & + \infty \\
 \hline
 \exp'(x) & & & & + & & & \\
 \hline
 & & & & & & \nearrow & \\
 & & & & &\nep& & \\
 \exp(x) & & & & \nearrow & & & \\
 & & & 1 & & & & \\
 & & \nearrow & & & & & \\
 \hline
\end{array}
\]

\subsubsection{Tangentes à connaître}

\begin{itemize}
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $ 0 $ a pour équation $ y = x + 1$.

\item La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $ 1 $ a pour équation $ y = \nep x$.
\end{itemize}

\subsubsection{Représentation graphique}

        \begin{center}
        \includegraphics{003_cours-p77_015}
        \end{center}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $f'(x) = \nep^x + x\nep^x - \nep^x = x\nep^x$.
\item Au point d'abscisse 0, on a $f'(0) = 0$ et $f(0) = -9$.

Donc l'équation de la tangente est $y = -9$ (il s'agit d'une tangente horizontale).
\item Sur $[0\,;5[$, $x > 0$, et $\nep^x > 0$. Donc la dérivée est positive.

$f(0) = -9$, et $f(5) = 5\nep^5 - \nep^5 - 8  = 4\nep^5 -8 \approx 585,65$.

On obtient le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|ccc|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & +\infty\\
\hline
f'(x) & 0 & + & \\
\hline
 &  &  & 4\nep^5-8\\
f(x) &  & \nearrow & \\
 & -9 &  & \\
 \hline
\end{array}
\]

\item 
\begin{questions}
\item Sur $[0\,;5]$, $f$ est continue par composée de sommes et produit de fonctions continues sur $\R$. Elle est également strictement croissante et 0 appartient à $\big[f(0)\,;f(5)\big]$.

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;5]$.

\item \`A la calculatrice, on trouve $f(2,040) < 0$ et $f(2,041) > 0$, donc $2,040 < a < 2,041$.

\item D'après ce qui précède, $f(x) < 0$ pour $x$ appartenant à $[0\,;a[$, et $f(x) > 0$ pour $x$ appartenant à $]a\,;5]$.
\end{questions}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

Pour cette question, aucun nouveau calcul n'est nécessaire, il faut juste faire attention aux unités.
L'entreprise réalise des bénéfices dès lors qu'elle produit au moins \numprint{2041} objets.
\end{solintro}

\vspace*{-1em}
\section{\mathversion{bold}Fonction $x\mapsto\nep^{u(x)}$}
\enlargethispage*{3em}

\begin{exointro}{Cité scolaire internationale, Grenoble}
On considère la fonction $f$ définie sur $I=[-1\,;8]$ par $f(x) = (2x-6)\nep^{-x}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
\begin{questions}
\item Compléter le tableau de valeurs en arrondissant au centième :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*{10}{c|}}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
$f(x)$ & & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\Break
\item Montrer que $f'(x)=(8-2x)\nep^{-x}$.

\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $I$ et dresser le tableau de variations de $f$.

\item Quelle est l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse~0 ?

\item Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions sur $I$ ?

Résoudre l'inéquation $f(x)\leqslant0$ sur $I$.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{\mathversion{bold}Dérivée de $x\mapsto\nep^{u(x)}$}

\begin{prop}
Si la fonction $ u $ est dérivable sur un intervalle $ I$, alors la fonction $\nep^u$ est dérivable sur $ I $ et pour tout réel de $I$, 
\[
\bigl(\nep^u\bigr)'(x) =u'(x)\nep^{u(x)}.
\]
\end{prop}

\begin{attention}
D'après cette propriété, contrairement à ce que de nombreux élèves écrivent, la dérivée de la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par $ f(x) = \nep^{-x} $ \emph{n'est pas} $ \nep^{-x} $, mais :
\[ f '(x) = \mathbf{-}\,\nep^{-x}. \]%
\end{attention}

\begin{Remarque}La fonction $\nep^u$ a le même sens de variation que la fonction $u$.
\end{Remarque}

\subsection{Un exemple important pour la suite}

Comme on le verra aux chapitres 8 et 9, les fonctions de la forme $ f_k \text{:~} x \mapsto \nep^{-kx^2 }$, $ k $ étant un nombre réel strictement positif, jouent un rôle important en probabilités et statistiques.
 $ f'_k(x) = -2kx\nep^{-kx^2}$. On obtient donc :
\begin{itemize}
\item le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & 0 & & + \infty \\
\hline
f'_k(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
        & & & 1 & & \\
 f_k(x) & & \nearrow &  & \searrow &  \\
 \hline
\end{array}
\]

\item les courbes représentatives sur la page suivante, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (ici avec $ k = 3$ ; 2 ; $0,8$ ; $0,4$, les courbes étant de plus en plus étalées quand $ k $ se rapproche de $ 0 $ ) :
\newpage
\begin{center}
\includegraphics{003_cours-p80_016}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \raisebox{\dimexpr-0.5\totalheight+2mm}{\begin{tabular}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|}}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$f(x)$ & $-21,75$ & $-6,00$ & $-1,47$ & $-0,27$ & 0,00 \\
\hline
\end{tabular}}

\begin{tabular}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|}}
\hline\tabulartitle
$x$  & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
$f(x)$ & 0,04 & 0,03 & 0,01 & 0,01 & 0,00 \\
\hline
\end{tabular}

\item \begin{attention}
La fonction dérivée de $x \mapsto \nep^{-x}$ est $x \mapsto -\nep^{-x}$. 
\end{attention}
$\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 2\nep^{-x} + (2x-6)\big(-\nep^{-x}\big)\\
& = \nep^{-x}(2 - 2x + 6)\\
& = (8 - 2x)\nep^{-x}.
\end{aligned}$

\item Pour tout $x$, $\nep^{-x} > 0$.

Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $8-2x$.

Par conséquent, $f'(x) > 0$ si $x < 4$, et $f'(x) > 0$ si $x > 4$. 

$f(-1) = -8\nep$ ; $f(4) = 2\nep^{-4}$ ; $f(8) = 16\nep^{-8}$.

On obtient donc le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -1 &  & 4 &  & 8\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 & & & 2\nep^{-4} &  & \\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
 & -8\nep &  &  &  & 10\nep^{-8}\\
 \hline
\end{array}
\]

\item $f(0) = -6$ ; $f'(0) = 8$.

Donc l'équation de $\mathcal{T}$ est : $y = 8x-6$.

\item $f$ est continue comme produit de fonctions continues. Elle est strictement croissante sur $[-1\,;4]$, et 0 appartient à $\big[f(-1)\,;f(4)\big]$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution sur cet intervalle, que l'on notera $a$.
\vspace*{-1.5em}
\BreakWithoutItem
Sur $[4\,;8]$, le minimum de la fonction est atteint en 8 et est positif (même si très proche de 0), donc la fonction ne peut s'annuler sur cet intervalle.
Donc sur $I$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique.

D'après ce qui précède, sur $[-1\,;a[$, $f(x)$ est négatif, et sur $]a\,;8]$, $f(x)$ est positif.
\end{questions}
\end{solintro}



