\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% QCM 1
%% Fonction x |- > q^x

\begin{qcm}{\boldmath Fonction $x\mapsto q^x$}{15} 
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Margot a placé \numprint{7000} euros en vue de pouvoir s'acheter une voiture qui coûte \nombre{10000} euros.
\begin{questions}
\item Si elle place son argent au taux de 5\,\%, il lui faudra, pour avoir ses \nombre{10000} euros :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix 5 ans &
\choix 7 ans &
\choix 8 ans
\end{tabularx}
 
\item Le taux minimal pour que, en plaçant la même somme, elle n'attende pas plus de 6 ans, serait, arrondi au dixième :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix 6\,\% &
\choix 7\,\% &
\choix 6,2\,\%
\end{tabularx}

\item La somme minimale qu'elle devrait placer au taux de 3\,\% pour pouvoir s'acheter sa voiture au bout de 3 ans est :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix \numprint{9152} \euro{} &
\choix \numprint{8500} \euro{} &
\choix \numprint{9750} \euro{}
\end{tabularx}

\item Pour pouvoir s'acheter sa voiture au bout de 3 ans, avec un placement au taux de 2,5\,\%, il faudrait qu'elle place :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix \numprint{9750} \euro{} &
\choix \numprint{9286} \euro{} &
\choix \numprint{7500} \euro{}
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% Corr QCM1

\begin{corrige}
\begin{questions}%
\item Réponse\choix[c]: en effet,
$\begin{cases}
\numprint{7000}\times 1,05^7 < \nombre{10000},\\
\numprint{7000}\times 1,0 5^8 > \nombre{10000}.
\end{cases}$

\item Réponse\choix[c]: en effet,
$ \begin{cases}
\numprint{7000}\left(1+\dfrac{6,1}{100}\right)^6 \approx\numprint{9986},\\[6pt]
\numprint{7000}\left(1+\dfrac{6,2}{100}\right)^6 \approx\nombre{10042}.
\end{cases}$

\item Réponse\choix[a]: en effet, $\dfrac{\nombre{10000}}{1,03^3} \approx \numprint{9152}$.

\item réponse\choix[b]: en effet $\dfrac{\nombre{10000}}{1,025^3} \approx \numprint{9286}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM 2
% Fonction x|- > e^x

\begin{qcm}{\boldmath Fonction $x\mapsto\nep^x$}{20}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
\item Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\dfrac{\nep^a}{\nep^b}=\nep^{\frac{a}{b}}$ &
\choix $\dfrac{\nep^a}{\nep^b}=\nep^{a-b}$ & 
\choix $\dfrac{\nep^a}{\nep^b}=\nep^a - \nep^b$
\end{tabularx}

\item Pour tout $x$ réel et tout $n$ entier relatif :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\left(\nep^x\right)^n = \nep^{x^n} $ &
\choix $\left(\nep^x\right)^n = \nep^{nx} $ &
\choix $\left(\nep^x\right)^n = \nep^{x + n} $
\end{tabularx}

\item L'équation $\nep^{x^2 -4x} = \nep^{-4} $ a :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix une solution & 
\choix deux solutions & 
\choix aucune solution
\end{tabularx}

\item L'ensemble $\mathcal{S}$ solution de l'inéquation $\nep^{x^2 - x-3}\le \sqrt{\nep}$ est :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\left]\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\,;\dfrac{1 + \sqrt{15}}{2}\right[$ & 
\choix $\left[\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\,;\dfrac{1 + \sqrt{15}}{2}\right]$\\[6pt]
\choix l'ensemble vide & 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%%%%%%%% CORR QCM2

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[b]: $ \dfrac{\nep^a}{\nep^b} = \nep^{a-b}$.
\item Réponse\choix[b] d'après le cours.
\item Réponse\choix[a]: 
  \[
  \begin{aligned}
  \nep^{x^2 - 4x} = \nep^{-4} &\iff x^2-4x = -4\\
  &\iff x^2 -4x + 4 = 0\\
  &\iff (x-2)^2 = 0 \\
  &\iff x = 2.
  \end{aligned}
  \]

  \item Réponse\choix[b]: 
  \[ 
  \begin{aligned}
  \nep^{x^2 - x-3}\le \sqrt{\nep} &\iff x^2 -x-3 \le \dfrac{1}{2}\\
  &\iff x^2 -x- \dfrac{7}{2}\le 0.
  \end{aligned}
	\]  
  Or le discriminant du trinôme est $\Delta = 15$ ; ses deux racines sont $\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}$ \,et\, $\dfrac{1 + \sqrt{15}}{2}$. D'après la règle du signe du trinôme,
    \[ \mathcal{S} = \Bigl[\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}\,;\dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \Bigr]. \]%
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% QCM3

\begin{qcm}{Interprétation d'un graphique}{20}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. 

On considère la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]-{\infty}\,;6\right]$. La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A(1\,;0)$. On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est située sous cette tangente $\mathcal{T}$ sur $\left]-{\infty}\,;6\right]$.
\begin{center}
\includegraphics{003_ex3enonce-p82_017}
\end{center}

\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item L'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $y = x - 1$ & 
\choix $ y = x - 2 $ &
\choix $y = 2(x - 1)$
\end{tabularx}

\item L'équation $f'(x) = 0$ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix 1 solution & 
\choix 2 solutions &
\choix aucune solution
\end{tabularx}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $\left]-\infty\,;6\right]$ par son expression $g(x) = \exp\big(f(x)\big)$.

\begin{questions}
\item La fonction $g$ est strictement croissante sur :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\left]-{\infty} \,;3\right]$ &
\choix $\left]1 \,;6\right]$ &
\choix $\left]-{\infty}\,;6\right]$
\end{tabularx}

\item $g'(1)$ est égal à :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $2$ &
\choix $0$ &
\choix $2\nep$
\end{tabularx}

\item La fonction $g$ s'annule exactement :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix 1 fois &
\choix 2 fois &
\choix 0 fois
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM3

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[c]: le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$ est $2$, la seule réponse possible est donc $y = 2(x-1)$.
\begin{Remarque}de plus, la droite d'équation $y = 2(x-1)$ passe bien par le point $A(1\,;0)$.
\end{Remarque}

\item Réponse\choix[b]: Graphiquement, $f'(x)=0$ aux points où la tangente est horizontale. Une seule tangente est marquée comme horizontale, mais la fonction change de sens de variation deux fois, et $f$ est dérivable, donc il y a un autre point où la tangente est horizontale. L'équation $f'(x)=0$ admet donc deux solutions.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Réponse\choix[a]: comme la fonction $\exp$ est strictement croissante, par composition, la fonction $g = \exp (f)$ a le même sens de variation que la fonction $f$ sur $\left]-\infty\,;6\right]$, comme $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;3\right]$, $g$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;3\right]$.

\item Réponse\choix[a]: par opérations sur les fonctions dérivables, $g$ est dérivable sur $\left]-\infty\,;6\right]$ et pour tout réel $x$ de $\left]-\infty\,;6\right]$, $g'(x) = f'(x)\exp (f(x))$, donc $g'(1) = f'(1)\exp (f(1))$.

Or, $f'(1) = 2$ et $f(1) = 0$ donc $g'(1) = 2\exp(0)$, soit $g'(1) = 2$.

\item Réponse\choix[c]: On a $g = \exp (f)$ ; or, la fonction exponentielle est toujours strictement positive, donc la fonction $g$ est toujours strictement positive donc ne s'annule jamais.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% QCM4 

\begin{qcm}{\boldmath Fonction $x \mapsto \nep^{u(x)}$}{20}
On s'intéresse à la fonction f définie sur $ \R $ par $ f(x) = \nep^{2x} - 4\nep^x $.

\begin{questions}
\item La fonction dérivée de $ f $ est définie sur $ \R $ par :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $ f ' (x) = \nep^{2x} - 4\nep^x $ &
\choix $ f '(x) = 2\nep^x(\nep^x - 2) $ \\
\choix Ni l'un ni l'autre &
\end{tabularx}

\item $ f $ est :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix décroissante puis croissante &
\choix croissante puis décroissante \\
\choix toujours croissante &
\end{tabularx}

\item L'équation $ f(x) = 0 $ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix une solution &
\choix deux solutions &
\choix aucune solution
\end{tabularx}

\item L'équation $ f(x) = 2 $ admet :\resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix une solution &
\choix deux solutions &
\choix aucune solution
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM4

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[b]: $ f '(x) = 2\nep^{2x} - 4\nep^x = 2\nep^x(\nep^x -2) $.

\item Réponse\choix[a]: la dérivée s'annule pour $\nep^x = 2 $, et la fonction exponentielle étant croissante, elle est négative pour $ x $ tel que $ \nep^x < 2 $ et positive ensuite, donc elle passe par un minimum. 

\item \label{ch3qcm4q3}Réponse\choix[a]: $ f(x) = \nep^x(\nep^x - 4) $. On a un produit de facteurs.

Pour tout $x$, $\nep^{x} > 0$, donc la seule possibilité est $\nep^x = 4$.

Cette équation admet une solution unique car la fonction exponentielle est strictement croissante, continue, et 4 appartient à $]0\,;+\infty[$ (d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones).

\item Réponse\choix[a] : $\nep^{2x} - 4\nep^x = 2 \iff  \nep^{2x} - 4\nep^x - 2 = 0$.

Posons $\nep^x = X$.
\[
\nep^{2x} - 4\nep^x - 2 = 0 \iff \begin{cases}
\nep^x=X\\
X^2-4X-2=0
\end{cases}
\]
Le trinôme a pour discriminant 24, et deux racines $X_1 = 2-\sqrt{6}$ et $X_2 = 2 + \sqrt{6}$.

$\nep^x$ étant strictement positif pour tout $x$, la première solution  ne convient pas car elle est négative.

Il reste donc $\nep^x = 2 +\sqrt{6}$.

En reprenant le raisonnement de la question \ref{ch3qcm4q3}, cette équation a une solution unique, donc l'équation $f(x) = 2$ a une solution unique.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX5

\begin{exo}{Propriétés algébriques} {Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine}{1}{5}

Simplifier et factoriser si possible les expressions suivantes :
\[ A = \frac{\nep^{x +y}}{\nep^{x}}-\nep^{2y} \qquad B = \frac{\nep^{2x +2y}}{\nep^{x}\nep^{2y}}. \]
\end{exo}

%%% CORR EX5

\begin{corrige}
On utilise ici les propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
\begin{align*}
A& = \nep^{x +y-x}-\nep^{2y} = \nep^{y}-\nep^{2y} = \nep^{y}(1-\nep^{y}).\\
B & = \nep^{2x +2y-x-2y} = \nep^{x}.
\end{align*}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX6

\begin{exo}{Équation}{Lycée Lacordaire, Marseille}{1}{5}
Résoudre l'équation suivante dans $\R$ :
\[ 
\frac{\nep^{3x}\nep^{x}}{\nep^{2x}}-\nep^{x} = 0. 
\]
\end{exo}

%%% CORR EX6

\begin{corrige}
Une simplification est possible en se ramenant à une situation
$ \nep^{U} = \nep^{V}$ :
\begin{align*}
 \nep^{3x +x-2x} - \nep^{x} = 0
 & \iff \nep^{3x +x-2x} = \nep^{x} \\
 & \iff \nep^{2x} = \nep^{x} \\
 & \iff 2x = x \quad \text{ par stricte croissance de } \exp \\
 & \iff x = 0.
\end{align*}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX7

\begin{exo}{Équation}{Lycée Le Corbusier, Poissy}{1}{5}
Résoudre l'équation suivante dans $\R$ :
\[ \nep^{3x-1}\times \nep^{x +2} = 1. \]
\end{exo}

%% CORR EX7

\begin{corrige}
\begin{align*}
\nep^{3x-1}\times \nep^{x +2} = 1 & \iff \nep^{(3x-1) +(x +2)} = 1 \\
        & \iff \nep^{4x +1} = \nep^0 \\
        & \iff 4x +1 = 0 \qquad \text{(par stricte croissance de exp)}\\
        & \iff x = -\frac{1}{4}
\end{align*}
La solution de $(F)$ est donc : $-\dfrac{1}{4}$.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX8

\begin{exo}{Valeurs intermédiaires}{Lycée Victor Hugo, Carpentras}{1}{20}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
    \[ f(x) = \frac{2}{\nep^{x} +2}. \]
Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet dans $\R$ une unique solution $\alpha$ et vérifier que $0,5 < \alpha < 0,6$.

\emph{Indication}: Étudier les variations de la fonction $g : x \mapsto f(x) - x$.
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
Un tel énoncé doit faire penser au théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'on demande de prouver \emph{l'existence d'une racine}, et non pas de la déterminer exactement.

Posons:
    \[ g(x) = f(x)-x = \dfrac{2}{\nep^{x} +2}-x. \]
Les solutions de l'équation $g(x) = 0$ sont celles de l'équation $f(x) = x$. En effet:
    \[ f(x) = x \iff f(x) - x = 0 \iff g(x) = 0. \]
On va étudier les variations de $g$ pour pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Montrons d'abord que $g$ est dérivable. La fonction $x \mapsto \nep^{x} +2$ est non nulle et dérivable sur $\R$ ; par inverse puis différence avec $x \mapsto x$, $g $ est bien dérivable sur $\R$.
    \[ g'(x) = \frac{-2\nep^{x}}{(\nep^{x} +2)^2}-1 = \frac{-2\nep^{x}-(\nep^{x} +2)^2}{(\nep^{x} +2)^2}
          = -\frac{\overbrace{2\nep^{x} +(\nep^{x} +2)^2}^{>0}} {\underbrace{(\nep^{x} +2)^2}_{>0}} < 0. \]
La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $\R$.

De plus, $g(0) = \dfrac{2}{3} > 0$ et $g(1) = \dfrac{2}{\nep + 2}-1<0$. L'équation admet donc une
unique solution $\alpha$ dans $\R$, comprise entre $0$ et $1$.

Par balayage à la calculatrice, on obtient que :
\[ g(0,5) \approx 0,05 > 0, \qquad g(0,6) \approx -0,08 < 0. \]
Comme $g$ est strictement décroissante de $\left[0,5 \,; 0,6\right]$ dans $\left[g(0,6) \,; g(0,5)\right]$, c'est que la solution $\alpha$ est située dans $\left[0,5 \,; 0,6\right]$.

En conclusion, $\alpha$ est l'unique solution dans $\R$ de l'équation $f(x) = x$. On a :
    \[ \alpha \approx 0,5\enspace \text{à $0,1$ près par défaut. } \]%$\alpha \approx 0,5$ à $0,1$ près par défaut.

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX9 (new 2015)

\begin{exo}{\boldmath Fonction $\exp[u(x)]$}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{20}
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A(-3 \,;0)$, $B(-1\,;5,5)$ et $C(0\,;5)$.

La droite $(CD)$ est la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_f$ en $C$, et $D$ a pour coordonnées $(6\,;0)$.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\begin{center}
\includegraphics{03_fig_06}
\end{center}

\begin{questions}
\item Déterminer, en justifiant, $f'(-1)$ et $f'(0)$.
\item Résoudre graphiquement $\exp\big(f(x)\big)=1$.
\item Déterminer une expression de $g'(x)$ en fonction de $f(x)$ et $f'(x)$, et calculer $g'(0)$ et $g'(1)$.

Dresser le tableau de variations de $f$ puis celui de $g$ sur l'intervalle $[-3\,;6]$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(-1) = 0$. En effet, en $B$, il y a une tangente horizontale.

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(CD)$.

Donc : $f'(0)=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{0-5}{6-0}=-\dfrac{5}{6}$.

\item $\exp\big(f(x)\big)=1\iff f(x)=0$.

Graphiquement, les solutions sont $-3$ et 6.

\item La fonction dérivée de la fonction $x \mapsto \nep^{u(x)}$ est la fonction \mbox{$x \mapsto  u'(x)\nep^{u(x)}$}, donc $g'(x)=f'(x)\nep^{f(x)}$.

Donc $g'(0) = f '(0)\nep^{f(0)} = -\dfrac{5}{6}\nep^{5}$.

De plus, $g'(-1) = f'(-1)\nep^{f(-1)} = 0$ car $f'(-1) = 0$.

\item 
\begin{itemize}
\item On obtient pour $f$ :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -3 &  & -1 &  & 6\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
    & & & 5,5 &  & \\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
 & 0 &  &  &  & f(6)\\
 \hline
\end{array}
\]

\begin{Remarque}le graphique ne permet pas de donner une valeur exacte pour $f(6)$, donc on écrit $f(6)$ dans le tableau de variations.
\end{Remarque}

\item Pour $g$, le sens de variation sera le même que celui de $f$. En effet, la fonction exponentielle est croissante, donc : 
\begin{itemize}
\item lorsque $f$ est croissante :
\[
x<y \iff f(x)<f(y) \iff \exp\big(f(x)\big)<\exp\big(f(y)\big)\;,
\]
ce qui signifie que $g$ est croissante.

\item lorsque $f$ est décroissante :
\[
x<y \iff f(x)>f(y) \iff \exp\big(f(x)\big)>\exp\big(f(y)\big)\;,
\]
ce qui signifie que $g$ est décroissante.
\end{itemize}
Par ailleurs, $g(-3)=\exp\big(f(-3)\big)=\exp(0)=1$.

$g(-1) = \exp\big(f(-1)\big) = \exp(5,5)$.

$g(6) = \exp\big(f(6)\big)$.


Le tableau de variations de $g$ est donc :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -3 &  & -1 &  & 6\\
\hline
g'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
    & & & \nep^{5,5} &  & \\
g(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
 & 1 &  &  &  & \nep^{f(6)}\\
 \hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX10

\begin{exo}{Calcul de dérivée}{Lycée Emmanuel Mounier, Grenoble}{1}{5}
Calculer la dérivée de la fonction $u\,:\,x\mapsto \nep^{3x^2 +1}$.
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
Il s'agit ici de la dérivée d'une fonction composée d'exponentielle, dont l'exposant est une fonction dérivable sur $\R$.
    \begin{gather*}
      u(x) = \nep^{f(x)}, \enspace\text{avec}\enspace
             \begin{cases}
                f(x) = 3x^2 + 1 , & (f \text{ dérivable sur } \R) \\%
                f'(x) = 6x
            \end{cases}\\
    u'(x) = f'(x)\times \nep^{f(x)} = 6x \nep^{3x^2 + 1}.
    \end{gather*}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX11

\begin{exo}{Calcul de dérivée}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{1}{5}
Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty\,; 0 \right[$ par :
    \[ f(x) = \exp\Bigl(4x-\frac{1}{x}\Bigr). \]
\end{exo}

%% CORR EX11

\begin{corrige}
On pose ici : $f(x) = \nep^{u(x)}$ ; $ u(x) = 4x-\dfrac{1}{x} $ est dérivable sur $\left ]-\infty\,; 0\right[ $ et :
\[ u'(x) = 4 +\frac{1}{x^2} \]%
La fonction composée $f = \nep^{u}$ est donc dérivable sur $\left]-\infty \,; 0\right[$ :
    \begin{align*}
         f(x)& = \nep^{u(x)}, \\
         f'(x) & = u'(x)\times \nep^{u(x)}\\
            & = \Bigl(4 +\frac{1}{x^2}\Bigr)\times\nep^{4x-\tfrac{1}{x}}.
    \end{align*}
\end{corrige}

\newpage

%% EX12

\begin{exo}{À l'aide du graphique}{Lycée Corneille, La-Celle-Saint-Cloud}{2}{40}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

La courbe $ \mathcal{C} $ ci-après représente la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par :
    \[ f(x) = (ax + b)\nep^{x}, \]
où $a$ et $b$ sont deux nombres que l'on se propose de déterminer.

La courbe $ \mathcal{C} $ passe par le point de coordonnées $(0\,; 1)$ et elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$.
\begin{center}
\includegraphics{003_ex12enonce-p85_018}
\end{center}

\begin{questions}
\item Exprimer $ f'(x) $ en fonction de $x$, $a$ et $b$.

\item À l'aide des informations de l'énoncé, déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$. Dresser son tableau de variations sur l'intervalle $[-3\,;1]$.

\item Discuter, suivant les valeurs du réel $ m $, le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle $[-3\,;1]$ :
\[ (x +1)\nep^{x} = m. \]
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX12

\begin{corrige}
\begin{questions}

\item La fonction $f$ est le produit $u v$, avec :
\[ u(x) = (ax +b) \text{ et } v(x) = \nep^{x}. \]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\R$, donc $f$ l'est aussi par produit.
\[ 
f' = u'v + uv' \Rightarrow f'(x) = a \nep^{x} +(ax +b)\nep^{x} = (ax +a +b)\nep^{x}.
\]

\item D'après ce qui précède, on sait que $ f'(-2) = (-2a+a +b)\nep^{-2} $.

D'après l'énoncé, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$ est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire \mbox{$f'(-2) = 0$}:
\begin{align*}
f'(-2) = 0 & \iff (-2a +a +b)\nep^{-2} = (b-a)\smash[b]{\underbrace{\nep^{-2}}_{\neq\:0}} = 0 \\
        & \iff b-a = 0 \iff a = b
\end{align*}
Par ailleurs, $A \in \mathcal{C}$ donc $ f(0) = 1 $ (1 unité en ordonnées prend deux graduations).
\[ 
f(0) = 1 \iff b\underbrace{\nep^{0}}_{ = \:1} = 1 \iff b = 1.
\]
Finalement, on obtient $ a = b = 1 $ et $f(x) = (x +1)\nep^{x}$.

\item En substituant les valeurs de $a$ et $b$ dans le calcul précédent de $f'(x)$ :
\[ 
f'(x) = (x +2)\underbrace{\nep^{x}}_{\text{positif}} \ \text{ et } \ f'(x)>0 \iff x +2 > 0 \iff x > -2.
\]
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
 x & -3 & & -2 & & 1 \\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
 & -2\nep^{-3\strut}& & & & 2\nep\\
f(x) &  &  \searrow &  & \nearrow &  \\
 & & & -\frac{1}{\nep^{2}}\raisebox{-7pt}{\rule{0pt}{15pt}} & & \\
 \hline
\end{array}
\]       
$f(-2) = (-2 +1)\nep^{-2} = -\dfrac{1}{\nep^2} $ ; $f(-2) \approx -0,14 $ à $10^{-2} $ près.


\item Il s'agit de résoudre $f(x) = m$, autrement dit, de discuter du nombre d'antécédents de $m$ par $f$. On va utiliser le tableau de variations de $f$ et le théorème des valeurs intermédiaires sur des intervalles où $f$ est continue et strictement monotone. On peut aussi s'aider d'une résolution graphique, mais celle-ci est malaisée sur $[-3\,;1]$.

\begin{center}
\includegraphics{003_ex12corrige-p94_019}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Comme $f$ admet pour minimum $-\dfrac{1}{\nep^2}$, si $m <-\dfrac{1}{\nep^2}$, l'équation \mbox{$f(x) = m$} n'a aucune solution.

\item Si $ m = -\dfrac{1}{\nep^2} $, l'équation $ f(x) = m$ admet une unique solution, $-2$.

\item Si $ -\dfrac{1}{\nep^2} < m \leqslant -2\nep^{-3}$ :
\begin{itemize}
\item[--] $f$ est continue et strictement décroissante sur $[-3\,;-2[$ et\\ $f\big([-3\,;-2[\big)=\left]-\dfrac{1}{\nep^{2}}\,;-2\nep^{-3}\right]$.

Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, tout $m$ appartenant à $\left]-\dfrac{1}{\nep^{2}}\,;-2\nep^{-3}\right]$ admet un unique antécédent $x$ par $f$ dans l'intervalle $[-3\,;-2[$, c'est-à-dire que l'équation $f(x) = m$ admet une unique solution dans $[-3\,;-2[$.

	\item[--] Si $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]-2\,;-1[$ et $f\big(]-2\,;-1[ \big) = \left]-\dfrac{1}{\nep^2}\,;0\right[$, donc, par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, tout $m $ appartenant à $\left]-\dfrac{1}{\nep^2}\,;0\right[$ admet un unique antécédent $ $par $f$ dans l'intervalle $]-2\,;-1[$, c'est-à-dire que l'équation 
$f(x)=m$ admet une unique solution dans $]-2\,;-1[$.
\end{itemize}

D'après les deux tirets précédents, si $-\dfrac{1}{\nep^{2}}<m\leqslant-2\nep^{-3}$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions, une dans $[-3\,;-2[$ et l'autre dans $]-2\,;-1[$.

\item Si $2\nep^{-3} < m  \leqslant 2\nep$, $f$ est continue et strictement croissante sur \linebreak$]-2\,;1]$, donc l'équation $f(x) = m$ admet une unique solution dans l'intervalle $]-2\,;1[$, et elle n'en admet pas ailleurs car sur l'intervalle $[-3\,;-2]$, $f(x) < 2\nep^{-3}.$

\item Si $m > 2\nep$, l'équation n'admet aucune solution car $2\nep$ est le maximum absolu de la fonction sur $[-3\,;1]$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX13

\begin{exo}{Valeurs intermédiaires}{Lycée Galilée, Gennevilliers}{1}{30}
Montrer que l'équation : 
\[
\nep^{3x +4} = -x +3
\]
admet une solution unique $\alpha$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\emph{Indication} : on étudiera les variations d'une fonction bien choisie.
\end{exo}

%% CORR EX13

\begin{corrige}
On demande de montrer qu'il \emph{existe} une solution et on parle de valeur \emph{approchée}. Clairement, il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

On étudie la fonction différence des deux membres de l'équation :
\[ f \text{:}~ x \mapsto \nep^{3x +4}-( -x +3). \]
$f'(x) = 3\nep^{3x + 4} + 1$, donc $f'(x) > 0$ pour tout $x$ ; $f$ est donc continue strictement croissante sur $\R$.

De plus, $f(-1) \approx -1,28$ et $f(0) \approx 51,6$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$, $0$ appartient à $\left[f(-1)\,;f(0)\right]$, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions continues strictement monotones, $f(x)$ prend la valeur $0$ pour une valeur $x$ unique appartenant à l'intervalle $]-1\,;0[$.
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -0,89 & & \alpha & & -0,88 \\
\hline
    & & & & & \approx0,02\\
    & & & &\nearrow& \\
f(x)& & &0& &\\
    & &\nearrow& & & \\
    & \approx-0,109 & & & & \\
\hline
\end{array}
\]
On encadre la solution $\alpha$ grâce à la calculatrice à $10^{-2}$ près :
\[ -0,89 <\alpha < -0,88,\quad \alpha \approx -0,88. \]
\end{corrige}


%%% EX14

\begin{exo}{Solutions d'équation}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
$ f $ est la fonction définie sur $ \R $ par $ f(x) = \nep^{2x} - 2\nep^x $.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $ f $ et donner la valeur exacte de son minimum.
\item Donner une équation de la tangente au point d'abscisse 1.
\item Montrer que l'équation $ f(x) = 0 $ admet exactement une solution sur $\R_{+} $. Donner un encadrement au centième de cette solution.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX14

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $ f '(x) = 2\nep^{2x} -2\nep^x = 2\nep^x(\nep^x-1)$. 

Pour tout réel $x$, $\nep^x>0$ donc \mbox{$f '(x) > 0 \iff \nep^{x} > 1 \iff x > 0$}.

Ainsi, $f$ est décroissante sur $\R_-$ et croissante sur $\R_+$.

\item On a le tableau suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & 0 & & +\infty\\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
    	& & & & &\\
f(x)    & & \searrow &  & \nearrow &  \\
& & & -1 & & \\
\hline
\end{array}
\]

 \item $ f(1) = \nep^2 - 2\nep$, $f'(1) = 2\nep (\nep -1)$, donc l'équation de la tangente est :
\begin{align*}
& y  = 2\nep (\nep -1)(x - 1) + \nep^2 - 2\nep\\
\text{soit : } & y = 2\nep(\nep-1)x-\nep^2. 
\end{align*}

\item $ f(x) = \nep^x(\nep^x - 2) $ ; $ \nep^x $ est toujours positif, donc la seule solution possible pour l'équation $ f(x) = 0 $ est $ \nep^{x} - 2 = 0 $.

Or, $ f(x) $ est négative sur $\left]-\infty\,; 0 \right]$ car sur cet intervalle, $ \nep^x-1 < 0 $.

Par ailleurs, sur $\left]0\,; +\infty\right[$, $ f $ est strictement croissante et continue, $ f(0) $ est négatif, $ f(1) \approx 1,95$, donc l'équation $ f(x) = 0 $ admet une solution unique sur $\left[0\,; +\infty\right[$, cette solution étant comprise entre $ 0 $ et $ 1 $.

En utilisant la calculatrice, on peut encadrer cette solution entre $ 0,69 $ et $ 0,70 $.
\begin{Remarque}lorsque le chapitre sur les logarithmes aura été traité, on pourra trouver la valeur exacte de la solution. 

En effet, $\nep^x=2\iff x=\ln2$, et $\ln2$ est environ égal à 0,69.
\end{Remarque}
    \end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX15 (new 2015)

\begin{exo}{Élimination d'un médicament}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{15}
Un groupe de chercheurs étudie l'élimination d'un médicament dans le sang.

\`A partir d'un instant initial, on mesure pendant 24 heures la concentration en grammes par litre ($g\cdot\text{L}^{-1}$) de médicament restant dans le sang du patient. 

Si $t$ mesure le temps en heures, la concentration $f(t)$ à l'instant $t$ est donnée par la formule :
\[
f(t) = 1,2 \times 0,67^t\;,\quad \text{pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle }[0\,;24].
\]
\begin{questions}
\item Quel est le sens de variation de $f$  ? Est-il conforme au phénomène étudié ?
\item Les chercheurs utilisent l'algorithme suivant :
\begin{algorithme}
Entrée
\qquad	Saisir une concentration C
Initialisation
\qquad	t prend la valeur 0
Traitement
\qquad	Tant que 1,2$\times$0,67$^\text{t}\geqslant$ C
\qquad\qquad t prend la valeur t+1
\qquad	Fin de Tant que 
Sortie
\qquad	Afficher t
\end{algorithme}
\begin{questions}
\item Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item Quelle valeur obtient-on en sortie de l'algorithme lorsque :
\begin{itemize}
\item $C = 0,5$ ?
\item $C = 0,2$ ?
\end{itemize}
\end{questions}

\item On admet que le médicament est éliminé lorsque la concentration est inférieure à 0,06 $g\cdot\text{L}^{-1}$. \`A l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le médicament sera éliminé.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX15

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $0 < 0,67 < 1$, donc d'après le cours, la fonction $t \mapsto 0,67^t$ est décroissante, et la fonction $f$ aussi. Cela est logique pour le phénomène considéré car on sait qu'un médicament est progressivement éliminé dans le sang.
\enlargethispage*{2em}
\item 
\begin{questions}
\item Cet algorithme détermine au bout de combien d'heures la concentration du médicament dans le sang devient strictement inférieure à une valeur $C$ donnée.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la concentration obtenues pour les valeurs successives de t en faisant tourner l'algorithme.

\scalebox{0.87}{%
\begin{tabular}{|>{\raggedleft}M{2cm}|*7{c|}}
\hline
$t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
Concentration dans le sang & 1,2 & 0,804 & 0,539 & 0,361 & 0,242 & 0,162 & 0,109\\
\hline
\end{tabular}}

\begin{itemize}
\item Si $C = 0,5$, on sort du \og Tant que \fg{} lorsque $t = 3$.
\item Si $C = 0,2$, on sort du \og Tant que \fg{} lorsque $t = 5$.
\end{itemize}
\end{questions}

\item Le médicament sera éliminé au bout de 8 heures car $f(7)\approx0,073$ et $f(8)\approx0,049$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX16

\begin{exo}{Fonction exponentielle et algorithme}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{25}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=4\nep^{0,25x}-5\;,
\]
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
\item Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
\begin{itemize}
\item Affirmation 1 : La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe une et une seule fois l'axe des abscisses.
\item Affirmation 2 : La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe la droite d'équation $y = 5$.
\item Affirmation 3 : il existe un unique point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\end{questions}

\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{algorithme}
Entrée
\qquad P est un réel strictement positif
Initialisation
\qquad X prend la valeur 0 et Y prend la valeur -1
Traitement
\qquad Tant que Y $<$ 0
\qquad\qquad Donner à X la valeur X + P
\qquad\qquad Donner à Y la valeur f(X) 
\qquad\qquad (f étant la fonction définie précédemment)
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad Afficher X-P et X
\end{algorithme}
\begin{questions}
\item On entre $P = 0,1$. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?

\item Que fait cet algorithme ?

\item On fait fonctionner l'algorithme avec une certaine valeur de $P$ et on obtient en sortie les valeurs 0,892 et 0,893.

Quelle valeur de $P$ avait-on choisi en entrée ?

\item On entre une valeur de $P$ égale à \numprint{0,0001}. Quelles sont les valeurs affichées en sortie ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX16

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f'(x) = 4 \times 0,25\nep^{0,25x} = \nep^{0,25x}$.

$f'(x)$ est positif pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur~$\R$.

\item 
\begin{itemize}
\item Affirmation 1 : vraie.

$f(0) = -1$ ; $f(1)\approx 0,136$.

$f$ est une fonction continue et strictement croissante ; de plus,\linebreak 0 appartient à $\big[f(0)\,;f(1)\big]$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones,\linebreak l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0\,;1]$, et elle ne peut en admettre d'autre dans $\R$ puisqu'elle est strictement croissante sur $\R$.

Ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe une fois et une seule l'axe des abscisses.

\item Affirmation 2 : vraie.

$f(3)\approx3,468$ et $f(4)\approx5,873$.

Donc, en faisant le même raisonnement que précédemment,\linebreak l'équation $f(x) = 5$ admet une solution et, par conséquent, $\mathcal{C}_f$ coupe la droite d'équation $y = 5$.

\item Affirmation 3 : faux.

La dérivée ne s'annule jamais donc il n'y a aucun point où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le tableau ci-dessous donne les valeurs successives de $X$ et $Y$, $Y$ étant arrondi au \numprint{1000}\ieme{} inférieur.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$X$ & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
\hline
$Y$ & $-1$ & $-0,899$ & $-0,795$ & $-0,689$ & $-0,580$ \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$X$ &  0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9\\
\hline
$Y$ & $-0,468$ & $-0,353$ & $-0,235$ & $-0,115$ & 0,010\\
\hline
\end{tabularx}


Dans la dernière colonne, $Y$ est positif. Donc les valeurs affichées seront 0,8 et 0,9.

\item Cet algorithme donne un encadrement d'amplitude $P$ de la solution de l'équation $f(x) = 0$. On démarre à $Y = -1$ car c'est la valeur de $f(0)$.

\item Ici, l'encadrement a pour amplitude 0,001 donc $P = 0,001$.

\item On peut programmer l'algorithme comme suggéré, mais aussi utiliser la fonction table de la calculatrice, ce qui est plus rapide puisqu'on a déjà un encadrement d'amplitude 0,01.

On obtient en sortie \numprint{0,8925} et \numprint{0,8926}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX17

\begin{exo}{Un graphique incomplet}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{25}
Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par :
\[
f(x) = (200x - 300)\nep^{-x-1} + 10.
\]
Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;6]$ :
\Par
\begin{center}
\includegraphics{03_fig_10}
\end{center}
\Par

\subsubsectionnn{Partie A : objectif \og réaliser un bénéfice maximal \fg}

Alix a mal choisi sa fenêtre d'affichage et on ne peut déterminer le bénéfice maximal.

On va donc étudier la fonction pour trouver ce bénéfice.

\begin{questions}
\item Donner, pour tout $x$ de $[0\,;6]$, $f'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;6]$.

Ce tableau est-il compatible avec le graphique incomplet ci-dessus ?
\item En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

Quel est le bénéfice maximal, arrondi à l'euro ?
\item Proposer une fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : objectif \og ne pas vendre à perte \fg}

\begin{questions}
\item Au vu du graphique ci-dessus, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
\item Démontrer que sur l'intervalle $[1\, ; 2]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $a$.
\item Donner une valeur approchée de $a$ à $10^{-2}$ près.
\item Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX17

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 200\nep^{-x-1} +(200x-300)\big(-\nep^{-x-1}\big)\\
& = \nep^{-x-1}(200 - 200x + 300) \\
& =(500 - 200x)\nep^{-x-1}.
\end{aligned}$

\item $\nep^{-x-1} > 0$ pour tout $x$, donc la dérivée est du signe de $500-200x$.

Pour $0 < x < 2,5$ : $500-200x > 0$ ;  par conséquent, la dérivée est positive et $f$ est croissante.

Pour $2,5 < x < 6$ : $500-200x < 0$ ; par conséquent, la dérivée est négative et la fonction est décroissante.

$f(0) = -300\nep^{-1} + 10$ ; $f(2,5) = 200\nep^{-3,5} + 10\approx 16,039$ ;\\ $f(6) = 900\nep^{-7} + 10$.

On obtient le tableau de variation suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 2,5 &  & 6\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
   &  &  & f(2,5) &  & \\
   f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
    & -300\nep^{-1} &  &  &  & f(6)\\
\hline
\end{array}
\]

\item Il faut vendre 2,5 centaines d'objets, soit 250 objets, et le bénéfice sera alors environ 16,039 milliers d'euros, soit environ \numprint{16039}~euros.

\item Compte tenu du bénéfice maximal, il faut prendre $X$ entre 0 et 6, et\linebreak $Y$ entre $-4$ (ceci n'a pas vraiment d'importance) et 17.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item La courbe coupe l'axe des abscisses tout près de 1, donc il faudrait vendre au moins 100 objets, mais ce n'est pas très précis.
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\, ; 2]$ d'après le tableau de variations.

De plus, $f(1)\approx -3,5$ et $f(2)\approx 15$, donc 0 appartient à $\big[f(1)\, ; f(2)\big]$.

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[1\, ; 2]$.

\item D'après la calculatrice, $f(1,09) < 0$ et $f(1,1) > 0$, donc $a\approx1,1$. 

\item Il faut produire 110 objets pour ne pas vendre à perte.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX18
\newpage

\begin{exo}{Étude de fonction}{Lycée Mezeray, Argentan}{2}{30}
On considère la fonction définie sur $ \R $ par $ f(x) = \nep^{x^3-3x}$.
\begin{questions}
\item Étudier les variations de $ f $et donner son tableau de variations sur l'intervalle $[-2\,;2]$.
\item Tracer la courbe représentative de $ f $ dans un repère $ (O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}).$
\item En utilisant la courbe, donner en fonction du réel $ m $ le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $  sur l'intervalle $[-2\,;2]$.
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX18

\begin{corrige}
$f$ est une fonction composée $\nep^u$, avec $u : x \mapsto x^3-3x$.

\begin{questions}
\item La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $\, u'(x) = 3x^2-3$. Par composition, $f$ est dérivable et $f' = u'\nep^u$.
    \begin{align*}
        f'(x) & = (3x^2-3)\nep^{x^3-3x} \\
        & = 3( x^2-1)\nep^{x^3-3x} \\
    	& = 3(x-1)(x +1)\nep^{x^3-3x}.
    \end{align*}
Donc $ f'(x) $ est du signe de $(x-1)(x +1)$ (car $\nep^{x^3-3x}> 0$ pour tout $x$). Le trinôme $(x-1)(x +1)$ est positif à l'extérieur
de l'intervalle de ses racines $-1$ et $1$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*7{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-1$ &  & 1 &  & $+\infty$\\
\hline
$f'(x)$ & & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
        & &   & $\nep^2$ & & & & \\
$f(x)$ &  & $\nearrow$ & & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
&  & & & & $\nep^{-2}$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On obtient :
\begin{center}
\includegraphics{003_ex13corrige-p96_020}
\end{center}

\item On fait varier les positions des droites horizontales d'équation $ y = m $ et on compte les points d'intersection avec la courbe :
\begin{itemize}
\item Si $m\leqslant0$, il n'y a aucune solution ;
\item Si $0<m<\dfrac{1}{\nep^2}$, il y a 1 solution ;
\item Si $ m = \dfrac{1}{\nep^2} $, alors il y a 2 solutions ;
\item Si $ m\in\left]\dfrac{1}{\nep^2}\,;\nep^2\right[ $, alors il y a 3 solutions ;
\item Si $ m = \nep^2 $, alors il y a 2 solutions ;
\item Si $ m > \nep^2 $, alors il y a 1 solution.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}


% EX 19

\begin{exo}{\'Etude de fonction et équation}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-2\,;2[$ par $f(x) = x^2\nep^x$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.	
\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.
\item Donner une valeur approchée de la ou les solution(s) à $10^{-2}$ près.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX19

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a :
\[ f'(x) = 2x \nep^x + x^2 \nep^x =x(2+x) \nep^x. \]
$f'(x)$ est donc du signe de $x(x+2)$, c'est-à-dire négatif pour $x$ compris entre $-2$ et 0 ; et positif pour $x$ compris entre 0 et 2.
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Sc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-2$ & & 0 & & 2 \\\hline
$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 \\\hline
        & $\frac{1}{4\nep^2}$ & & & & $4\nep^2$\\
$f(x)$  &   & $\searrow$ &  & $\nearrow$ & \\
        &   &  & 0 & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On a $f(-2) \approx 0,54$ et $f$ est décroissante sur $[-2\,;0]$. 

Par conséquent, $f(x)<1$ sur cet intervalle. 

L'équation $f(x) = 1$ n'a donc pas de solution sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $[ 0 \,; 2 ]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.  1 est compris entre $f(0)$ et $f(2)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, il existe un réel unique $a$ dans $[ 0 \,; 2 ]$ tel que $f(a) = 1$.

L'équation $f(x) = 1$ admet donc une solution unique sur $[-2 \,; 2 ]$.

\item Grâce à la table de valeurs de $f$ on trouve :
\[ 
f(0,7)\approx 0,987 \qquad  \text{ et } \qquad f(0,71) \approx 1,025.\]
Puisque $f$ est croissante sur $[0\,;2]$, cela signifie que $a$ tel que $f(a) = 0$ est compris entre $0,7$ et $0,71$.

Une valeur approchée de la solution à $10^{-2}$ près peut donc être $0,71$.
\end{questions}
\end{corrige}


% EX 20

\begin{exo}{Conjecture et preuve}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{2}{25}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x\strut}+1}. \]
\begin{questions}
\item Tracer la fonction sur la calculatrice et faire une conjecture concernant un encadrement possible de $f(x)$ pour tout $x$.
\item Prouver que, pour tout $x$, $-1 < f(x) < 1$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Donner, à $10^{-2}$ près, en expliquant votre méthode, la plus petite valeur de $x$ telle que $1-f(x) < 0,001$.
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX20

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, il semble que pour tout $x$, $f(x)$ soit compris entre $-1$ et 1.

\item Pour tout $x$, $\nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} + 1$ et comme $\nep^{2x} > 0$, on a aussi : 
\[
- \nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} - 1\;,
\]
ce qui donne la double inégalité :
\[
-(\nep^{2x}+1) < \nep^{2x} -1 < \nep^{2x}+1.
\]
En divisant chaque membre par $\nep^{2x} + 1$ qui est strictement positif on trouve l'inégalité cherchée : 
\[
-1 < f(x) < 1.
\]

\item On calcule la dérivée de $f$ :
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac{2\nep^{2x}(\nep^{2x}+1)-2\nep^{2x}(\nep^{2x}-1) }{(\nep^{2x}+1)^2} \\
 &= \dfrac{4\nep^{2x} }{\big(\nep^{2x}+1\big)^2} 
\end{aligned}
\]
On constate que  $f'(x) > 0 $ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\[ 
\begin{array}{|R|l>{\centering\arraybackslash}p{1cm}r|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & + & \\
\hline
f(x) &   & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{array}
\]

\item On cherche la plus petite valeur de $x$ telle que $1 - f(x) < 0,001$, c'est-à-dire telle que $f(x) > 0,999$. Notons $a$ cette valeur.

On programme la fonction $f$ à la calculatrice, puis on affiche un premier tableau de valeurs par pas de 1 à partir de 0.

Comme $f(3) < 0,999 < f(4)$, on en déduit que $a$ est compris entre 3 et 4.

On tabule à nouveau la fonction à partir de 3 par pas de $0,1$. On trouve $f(3,8)<0,999<f(3,9)$.

On recommence à tabuler à partir de $3,8$ par pas de $0,01$ et on trouve finalement $f(3,8)<0,999<f(3,81)$.

La valeur cherchée est donc $a = 3,81$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX21

\begin{exo}{Positivité d'une fonction}{Lycée Descartes, Cournon}{2}{20}
Soit $a$ un nombre réel. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x \nep^x + a$.
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ telles que, pour tout $x$, $f(x) \geqslant 0$.
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX21

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, $f'(x) = \nep^x + x \nep^x = (1 + x) \nep^x$. Comme $\nep^x$ est strictement positif, $f'(x)$ est du signe de $1+x$, donc positif pour $x> - 1$ et négatif sinon. Sachant que $f(-1) = a - \nep^{-1}$, on peut établir le tableau de variations suivant :
\[ 
\begin{array}{|R|lcccr|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1 & & +\infty \\\hline
f'(x) &  & - & 0 & + & \\\hline
& & & & & \\
f(x) &  & \searrow &  & \nearrow & \\
  &  &          & a-\frac{1}{\nep\strut} & & \\
\hline
\end{array}
\]

\item D'après le tableau de variations, le minimum de $f$ est atteint en $-1$ et vaut $a-\dfrac{1}{\nep}$.

On a alors $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ si et seulement si  $a - \dfrac{1}{\nep} \geqslant 0$, c'est-à-dire $a \geqslant \dfrac{1}{\nep}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX22

\begin{exo}{Coût moyen minimal}{Lycée Chaptal, Paris}{3}{80} 
Une entreprise achète une machine $\nombre{30000}$ euros. Elle peut la revendre au bout de $ t $ années au prix de :
\[
v(t) = \frac{30}{0,5 t +1}\quad \text{pour}\enspace 0\le t\le 8\;,
\]
où $ t $ est exprimé en années et $ v(t) $ en milliers d'euros (k\euro).
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu $50\,\% $ de sa valeur d'achat ?
\item Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?
\item La différence, exprimée en k\euro{}, entre le prix d'achat de la machine et son prix de revente au bout de $ t $ années est : $ D(t) = 30-v(t) $.

Montrer que $D$ est une fonction croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,8\right]$.
\end{questions}

\item On peut exprimer le coût total d'entretien de la machine en k\euro, pour une durée de $ t $ années d'utilisation, par :
\[ 
E(t) = 2,5\,\nep^{0,4\, t}-t-2,5.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $E'(t)$, où $E'$ désigne la fonction dérivée de $E$.
\item Montrer que $E$ est une fonction croissante sur l'intervalle $\left[0\,; 8\right]$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que le coût d'usage total, en k\euro, de cette machine est :
\[ 
C(t) = D(t) +E(t) = 27,5-\frac{30}{0,5t +1} +2,5\nep^{0,4t}-t.
\]
\item Déduire des questions précédentes le sens de variation de $C$ sur $\left[0 \,; 8\right]$.
\item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $C$, dans un plan muni d'un repère orthogonal, avec pour unités : 2\,cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1\,cm pour 4\,k\euro{} sur l'axe des ordonnées.

On pourra utiliser le tableau de valeurs suivant :
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$t$ & 
0 & 
1 & 
2 & 
3 & 
4 \\
\hline
$C(t)$ & 
0 & 
10,23 & 
16,06 & 
20,80 & 
25,88\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$t$ & 
4,5 & 
5 & 
6 & 
7 & 
8\\
\hline
$C(t)$ & 
28,90 & 
32,40 & 
41,56 & 
54,94 & 
74,83\\
\hline
\end{tabularx}
\end{questions}

\item Le coût moyen d'utilisation, en k\euro{} et au bout de $ t $ années, est égal à :
\[ 
U(t) = \frac{C(t)}{t} \text{ avec } 1\leqslant t\le 8.
\]
\begin{questions}
\item Soit $M$ le point d'abscisse $t$ de la courbe $\Gamma$. Montrer que $U(t)$ est le coefficient directeur de la droite $(OM)$.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $ t $ pour laquelle $ U(t) $ est minimal.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX22

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $v(t) = \dfrac{30}{0,5t +1} \Rightarrow v(0) = \dfrac{30}{0,5 \times 0 +1} = 30 = v_{0}$.

On retrouve bien la valeur d'achat annoncée.

On cherche $ t_{0} $ tel que $ v(t_{0}) \le 0,5\,v_{0} $, soit :
\[ 
\begin{aligned}[t]
\frac{30}{0,5t_{0} +1}\le \frac{1}{2}\times 30 & \frac{1}{0,5t_{0} +1}\le \frac{1}{2} \\
& \iff 0,5t_{0} +1 \ge 2 \iff t_{0} \ge 2. 
\end{aligned}
\]
La machine aura perdu la moitié de sa valeur initiale au bout de 2~ans.

\item Au bout de 4 ans, l'entreprise pourra revendre la machine au prix de $ v(4) $ :
\[ 
v(4) = \frac{30}{0,5 \times 4 +1} = \frac{30}{3} = 10.
\]
La valeur de revente de la machine au bout de 4 ans est de $\nombre{10000}$~\euro.

\item $\begin{aligned}[t]
D(t) & = 30-v(t)\\
     & = 30-\dfrac{30}{0,5t +1} \\[6pt]
         & = 30\left(1-\dfrac{1}{0,5t +1}\right) \\[6pt]
         & = 30\times\dfrac{0,5t +1-1}{0,5t +1}\\
         & = \dfrac{15t}{0,5t +1}.
\end{aligned}$
\Par
On calcule la dérivée de $D$ par la formule du quotient :
\[ 
D'(t) = \frac{15(0,5t +1)-15t\times(0,5)}{(0,5t +1)^2} = \frac{15}{(0,5t +1)^2}.
\]
On observe que $ D'(t)>0 $ (le dénominateur est un carré); donc $ D $ est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}
\newpage
\item
\begin{questions}
\item $ E(t) = 2,5\nep^{0,4t}-t-2,5$ est dérivable en tant que somme d'une exponentielle et d'une fonction affine (sur tout $\R$ donc \emph{a fortiori} sur $ \left[0\,;8\right] $) :
\[ 
E'(t) = 2,5\times 0,4 \times \nep^{0,4t}-1 = \nep^{0,4t}-1.
\]

\item On sait, d'après l'ensemble de définition, que $ t\ge 0$. Cherchons le signe de $ E'(t)$.
\begin{align*}
E'(t) = 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 = 0 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = 1 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = \nep^0 \\
          & \iff t = 0.
\end{align*}

\begin{align*}
E'(t) > 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 > 0\\
          & \iff \nep^{0,4t} > 1 \\
          & \iff 0,4t > 0 \\
          & \iff t >0.
\end{align*}


Autrement dit, $E'$ est strictement positive sur $\left]0\,;8\right]$ et nulle en\\ $t = 0$. $E$ est donc une fonction strictement croissante sur $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le coût total de la machine est composé de la partie d'investissement «~utilisée~» depuis son achat, à laquelle il faut rajouter le prix de son entretien.
\begin{align*}
C(t) & = D(t) +E(t)\\
     & = \underbrace{30-\frac{30}{0,5t +1}}_{D(t)=30-v(t)} +~2,5\nep^{0,4\times t} - t - 2,5 \\
     & = 27,5 - \frac{30}{0,5t +1} + 2,5\nep^{0,4 \times t} - t.
\end{align*}

\item On a $C(t) = D(t) +E(t)$. Or, d'après les questions précédentes, $D$ et $E$ sont des fonctions strictement croissantes sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Leur somme $C$ est donc elle aussi strictement croissante sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Il est inutile d'étudier de signe de la dérivée.

\item On trace la courbe en utilisant les points fournis par l'énoncé (attention aux unités graphiques). L'allure de la courbe est indiquée sur le schéma de la page suivante. Une unité sur les abscisses représente une année et une unité sur les ordonnées représente 10 k\euro.
\end{questions}

\item
    \begin{questions}
    \item Le point $M$ d'abscisse $x_{M} = t$ appartient à $\Gamma$ si et seulement ses coordonnées vérifient l'équation de $\Gamma$ : $y = C(t)$.

    Donc $y_{M} = C(t)$. Le coefficient directeur $a$ de la droite $(OM)$ vaut donc :
        \[ a = \frac{y_{M}}{x_{M}} = \frac{C(t)}{t} = U(t). \]

    \item Faire varier le point $M$ sur la courbe $\Gamma$, c'est faire varier la droite $(OM)$. Plusieurs positions de $(OM)$ sont indiquées en pointillés sur le graphique.

    Comme $(OM)$ passe par l'origine, elle a pour équation $y = ax$. En diminuant son coefficient directeur $a$, $(OM)$ se rapproche de l'horizontale. Or diminuer $a $, c'est diminuer $U(t)$. Le coefficient directeur minimal de $ (OM) $ est obtenu quand $ (OM) $ est tangente à $\Gamma$ et sous $\Gamma$. Cela correspond à une abscisse d'environ $ 4,5 $.

Donc, le coût minimum est atteint pour $ 4$ années et demi, environ.
\end{questions}
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{003_ex15corrige-p99_021} 
\end{center}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
