\chapter{Fonction\\logarithme népérien}

\begin{exointro}{Lycée Évariste Galois, Sartrouville}
\begin{questions}
\item Simplifier l'écriture des expressions suivantes :

\textbf{(a)} $\dfrac{1}{3}\ln 9 - 4\ln\sqrt{3} - \ln \left(\dfrac{1}{3}\right)$~~~
\textbf{(b)} $\dfrac{\ln 36}{\ln 3 + \ln 2}$~~~
\textbf{(c)} $\dfrac{\ln 5 - \ln 10}{2\ln\sqrt{2}}$

\item Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{questions}
\item $\ln(1 - 2x) = \ln(x + 2) + \ln3$
\item $\ln\big(1 - x^2\big) = \ln(2x - 1)$
\item $\big(\ln x\big)^2 + 2\ln x - 3 = 0$
\item $\ln x + \ln(x + 3) \le \ln 2 + \ln (x + 1)$
\end{questions}

\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left]0\,; + \infty\right[$ par\\ 
$ f(x) = x \ln x - x $.

\item Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{2\nep^x + 1}{\nep^x - 1} = 3 $
\item $\nep^{2x} - 3\nep^x - 4 = 0 $
\item $\nep^{-0,01x} < 0,05 $
\item $\nep^{2x}-2\nep^x - 3 < 0$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Fonction logarithme népérien}

\begin{defin}
Pour tout réel strictement positif $x$, l'équation $\nep^y = x$ (d'inconnue $y$) admet une et une seule solution dans $\R$. Ce réel $y$ solution est noté $\ln x$. On définit ainsi une fonction appelée \emph{logarithme népérien} :
\[ \ln \text{:~}\R_ + ^* \longrightarrow\R, \quad x\mapsto \ln x . \]%
\end{defin}
	
Le symbole $\ln$ obéit aux mêmes conventions d'écriture que $\exp$, et souvent des parenthèses sont inutiles. Par exemple : $\ln 1 = 0$.

    \begin{aretenir}
        Soient $A\in\R_ + ^*$ et $B\in\R$. On a donc :
            \[ A = \nep^B \iff B = \ln A. \]
    \end{aretenir}

%
    \begin{coro}
        Si le repère est orthonormé, les courbes représentatives des fonctions $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
    \end{coro}
%
\begin{thm}
La fonction $\ln$ est continue, dérivable, strictement croissante de $\R_ + ^*$ dans $\R$.

On a :
\begin{align*}
(\ln)'(x) = \smash[t]{\frac{1}{x}}\quad \text{pour tout }x > 0\;, \\
\ln(1) = 0.
\end{align*}
\end{thm}

\emph{Conséquence} : la fonction logarithme étant strictement croissante sur $\R_ + ^*$, il en résulte que, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :
            \begin{align*}
                \ln x < \ln y & \iff x < y.\\
                \ln x = \ln y & \iff x = y.
            \end{align*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{Remarque}la dérivée de la fonction $\ln$ vaut 1 pour $x=1$, et l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction ln est $y = x - 1$.
    \end{Remarque}
%
\emph{Complément} : la courbe représentative de la fonction logarithme est partout au-dessous de sa tangente.

\begin{center}
\includegraphics{004_cours-p105_023}
\end{center}

\newpage

    \begin{thm}[Relation fonctionnelle] Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :
        \[ \ln(xy) = \ln x + \ln y. \]%
    \end{thm}
%
\emph{Conséquence} : pour tout réel $x$ strictement positif et tout entier relatif~$m$ :
            \[ \ln\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) = -\ln x, \qquad \ln (x^m) = m\ln x. \]%

%
    \begin{attention}
        Faire preuve de rigueur lors de l'utilisation de la relation fonctionnelle : ne pas
        scinder $\ln (xy)$ en somme de deux logarithmes sans avoir vérifié et
        mentionné la stricte positivité de $x$ et $y$.
    \end{attention}



\section{Résolution d'équations du type x\fup{\hspace{0.05ex}n} = k \\ (k réel ~>~0, \,n entier~>~0)}

On a vu dans le paragraphe 1 que $ \ln a = \ln b \iff a = b$ pour tous nombres $ a $ et $ b $ strictement positifs.
Donc, ici, $ x^n = k \iff \ln(x^n) = \ln(k) $, ces deux nombres étant positifs. Grâce aux propriétés algébriques des logarithmes, on obtient :
\begin{align*}
 x^n = k & \iff \ln(x^n) = \ln(k)\\
 &  \iff n \ln (x) = \ln (k)\\
 & \iff \ln (x) = \dfrac{\ln (k)}{n}\\
 & \iff x = \nep^{\dfrac{\ln (k)}{n}}.
\end{align*}
Il n'est évidemment pas question d'apprendre cela par c\oe ur, mais de connaître la méthode pour pouvoir l'appliquer lorsqu'elle est utile.

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $ a = \dfrac{1}{3}\ln(3^2) - 4\ln\bigl(3^{\frac{1}{2}}\bigr) - \ln \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\ln 3 - \dfrac{4}{2}\ln 3 + \ln 3 $, d'où :
\[ a = -\frac{1}{3}\ln3. \]
%\Break
\item $ b = \dfrac{\ln (2\times 3)^2}{\ln 3 + \ln 2} = \dfrac{2\times \left(\ln 2 + \ln 3\right)}{\ln 3 + \ln 2} $, d'où $ b = 2$.

\item $ c = \dfrac{\ln 5 - \ln (2\times 5)}{2\ln \left(2\right)^{1/2}} = \cfrac{\ln 5 - \ln 2 - \ln 5}{2\times \dfrac{1}{2}\ln 2} $ d'où $ c = -1 $.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\Break
\item N'oubliez pas de déterminer l'ensemble de validité de l'équation ou de l'inéquation et de vérifier que les solutions trouvées appartiennent à cet ensemble.
         \begin{methode}
         Pour résoudre ces équations (inéquations), ramenez-vous à
            \[ \ln u = \ln v\enspace (\ln u < \ln v) \]
         après avoir déterminé l'ensemble de validité.
         \end{methode}

     \begin{questions}
     \item L'équation est valide pour $1 - 2x > 0$ et $x + 2 > 0$, ce qui équivaut à $x < \dfrac{1}{2} $ et $ x > -2$.

     L'équation est donc valide sur $ \bigl]-2\,;\dfrac{1}{2}\bigr[ $. Pour tout $x$ de $ \bigl]-2\,;\dfrac{1}{2}\bigr[ $ :
         \begin{align*}
            & \hphantom{iff\mbox{}} \ln (1 - 2x) = \ln (x + 2) + \ln 3\\
            & \iff \ln (1 - 2x) = \ln\bigl(3(x + 2)\bigr)\\
            & \iff 1 - 2x = 3x + 6\\
            & \iff -5x = 5\iff x = -1
         \end{align*}
     $-1$ appartient à l'intervalle $ \bigl]-2\,;\dfrac{1}{2}\bigr[ $ donc l'ensemble des solutions est $ S = \{-1\} $.

     \item L'équation est valide si $1 - x^2 > 0$ et $ 2x - 1 > 0$, ce qui équivaut à $-1 < x < 1$ et $ x > \dfrac{1}{2} $.
     
L'équation est donc valide sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[$. Pour tout $x$ de $\left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[$,
            \begin{align*}
               \ln\bigl(1 - x^2\bigr) = \ln(2x - 1) & \iff 1 - x^2 = 2x - 1 \\
               & \iff -x^2 - 2x + 2 = 0.
            \end{align*}

         L'équation $-x^2 - 2x + 2 = 0$ a pour discriminant :
            \[ \Delta = 12 = \bigl(2\sqrt{3}\bigr)^2. \]%
            %\BreakWithoutItem
        Les solutions de l'équation $-x^2 - 2x + 2 = 0$ sont donc :
            \begin{align*}
              x_1 & = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{-2} = -1 - \sqrt{3}, \\
              x_2 & = \frac{2 -2\sqrt{3}}{-2} = -1 + \sqrt{3}.
            \end{align*}
         Or, $ -1 + \sqrt{3}\approx 0,732 $ et $ -1 - \sqrt{3}\approx -2,732 $, donc
         $ -1 + \sqrt{3} $ appartient à l'intervalle $ \left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[ $, mais non $-1 - \sqrt{3}$.
         \vspace*{-1.5em}
\BreakWithoutItem
         Finalement l'ensemble des solutions de l'équation
            \[ \ln (1 - x^2) = \ln (2x - 1) \]%
         est $ S = \{-1 + \sqrt{3}\}$.

     \item On résout cette équation au moyen d'un changement de variable : $X = \ln x$ avec $x > 0$ :
            \[ (\ln x)^2 + 2 \ln x - 3 = 0\iff \begin{cases} X^2 + 2X - 3 = 0\\X = \ln x.\end{cases} \]
L'équation $ X^2 + 2X - 3 = 0 $ a pour discriminant $\Delta = 16$ et pour solutions : $X_1 = 1$ et $X_2 = -3$. Alors :	
\begin{align*}
(\ln x)^2 + 2\ln x - 3 = 0 &
\iff 
\begin{cases} 
\ln x = 1 \\ 
\text{ou} \\ 
\ln x = -3
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x = \nep \\ 
\text{ou} \\ 
x = \nep^{-3} = \dfrac{1}{\nep^3}
\end{cases}
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation $ (\ln x)^2 + 2\ln x - 3 = 0 $ est donc $ S = \left\{\nep\,;\dfrac{1}{\nep^3}\right\} $.

\item L'inéquation $ \ln x + \ln (x + 3) \le \ln 2 + \ln (x + 1) $ est valide pour $x > 0$, $x + 3 > 0$ et $x + 1 > 0$, ce qui équivaut à $x > 0$.
     
L'inéquation est donc valide sur $\left]0\,;+\infty \right[ $. Pour tout $x$ de $ \left]0\,;+\infty \right[ $ :
            \begin{align*}
                &\hphantom{\iff \mbox{}\,} \ln x + \ln(x + 3)\le \ln 2 + \ln(x + 1)\\
                & \iff \ln\bigl(x(x + 3)\bigr) \le \ln\bigl(2(x + 1)\bigr).
            \end{align*}
%\BreakWithoutItem            
        Comme la fonction $\ln$ est croissante sur $\left]0 \,; + \infty\right[$, pour tout $x$ de $ \left]0\,; + \infty \right[ $ :
\begin{align*}
\ln \bigl(x(x + 3)\bigr) \le \ln\bigl(2(x + 1)\bigr) & \iff x(x + 3) \le 2(x + 1)\\
& \iff x^2 + x - 2 \le 0.
\end{align*}
            
         Le trinôme du second degré $x^2 + x - 2$ a pour discriminant $\Delta = 9$ et pour racines $x_1 = 1$ et $x_2 = -2$.

         L'inéquation $x^2 + x - 2 \le 0$ a donc pour ensemble de solutions l'intervalle $\left[-2 \,;1\right]$.\\
         L'inéquation $ \ln x + \ln (x + 3)\le \ln 2 + \ln (x + 1) $ étant valide sur $ \left]0\,; + \infty \right[ $, l'ensemble des solutions de cette inéquation est :
        \[ S = \left]0\,;1\right]. \]%
     \end{questions}
     \vspace*{-2em}
\Break
     \item
         La fonction $f$ définie sur $ \left]0 \,; + \infty\right[$ par $ f(x) = x\ln x - x $ est dérivable sur $ \left]0 \,; + \infty\right[ $ par opérations sur les fonctions dérivables, et pour tout $x$ de $ \left]0 \,; + \infty\right[$ :
            \[ f'(x) = \Bigl(\ln x + x\times \dfrac{1}{x}\Bigr) - 1 = \ln x. \]%

Comme $f'(x) = \ln x$, alors $f'(x) < 0$ sur $ \left]0 \,;1\right[$, $f'(1) = 0$ et $f'(x) > 0$ sur $\left]1 \,; + \infty\right[$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\left]0\,;1\right]$ et croissante sur $\left[1 \,; + \infty\right[$.

    \item
        \begin{questions}
              \item L'équation est valide pour $ \nep^x - 1 \neq 0 \iff x \neq 0 $.\\
                    Pour tout $x$ réel différent de $0$ :
\begin{align*}
\frac{2\nep^x + 1}{\nep^x - 1}=3 & \iff 2\nep^x + 1 = 3(\nep^x - 1) \\
& \iff 2\nep^x + 1 = 3\nep^x - 3 \\
& \iff \nep^x = 4\\
& \iff x = \ln 4.
\end{align*}
 L'ensemble des solutions de l'équation est donc $S = \{\ln 4\}$.

              \item L'équation est valide sur $\R$.\\
                    On résout cette équation au moyen d'un changement de variable : $X = \nep^x$.
                        \[ \nep^{2x} - 3\nep^x - 4 = 0 \iff \begin{cases}X^2 - 3X - 4 = 0 \\ X = \nep^x \end{cases}. \]
                    L'équation $X^2 - 3X - 4 = 0$ a pour discriminant $\Delta = 25$ et pour solutions $X_1 = -1$ et $X_2 = 4$. Alors :
                        \[ \nep^{2x} - 3\nep^x - 4 = 0 \iff \begin{cases} \nep^x = -1 \\[-3pt] \enspace \text{ou} \\[-3pt] \nep^x = 4 \end{cases}
                        \iff x = \ln 4 \]\vspace*{-2em}
%\BreakWithoutItem
                    car l'équation ${\nep ^x} = -1$ n'a pas de solution. L'ensemble des solutions de l'équation est donc $S = \{\ln 4\}$.
                    
            \item L'inéquation est valide sur $\R$.\\
                Pour tout x réel :
                    \begin{align*}
                        \nep^{-0,01 x} < 0,05 & \iff  -0,01 x < \ln 0,05 \\
 & \iff x > \frac{\ln 0,05}{-0,01}\\
 & \iff x > -100\ln 0,05.
                    \end{align*}
            L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :
                \[ S = \left]-100\,\ln (0,05)\,; +\infty\right[. \]
                \vspace*{-2em}
                
\Break

\item L'inéquation est valide sur $\R$.

On résout cette inéquation à l'aide d'un changement de variable : $X = \nep ^x $ :
\[\nep^{2x} - 2\nep^x - 3 < 0 \iff \begin{cases}X^2 - 2X - 3 < 0\\X = \nep^x \end{cases}. \]
                 Le trinôme du second degré $X^2 - 2X - 3$ a pour discriminant $ \Delta = 16$ et pour racines $X_1 = -1$ et $X_2 = 3$.
                 
$X^2 - 2X - 3 < 0$ équivaut à $-1 < X < 3$.

D'où :
\begin{align*}
\nep^{2x} - 2\nep^x - 3 < 0 & \iff -1 < \nep^x < 3\\
& \iff \nep^x < 3 \\
&\iff x < \ln 3. 
\end{align*}
                L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc
                    \[ S = \left]-\infty \,;\ln 3\right[. \]%
        \end{questions}

    \end{questions}
\end{solintro}


\endinput