\chapter{Fonctions convexes}
\label{chapFctConv} % référence dans chap. 2 ?

\begin{exointro}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}
On considère la fonction $f$ définie sur $ \left]0\,; +\infty\right[ $ par : $ f(x) = x^2 + 8 \ln x $.

\begin{questions}
  \item Montrer que $ f $ est deux fois dérivable sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $ et calculer $ f''(x) $.

  \item Étudier le signe de $ f''$ sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $.

  \item En déduire l'étude de la convexité de $ f $ sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $ et , le cas échéant, préciser les coordonnées du (ou des) point(s) d'inflexion de sa courbe représentative.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{exointro}

\vspace*{-1.5em}
\section{ Fonction convexe, fonction concave}
\vspace*{-0.5em}
    \subsection{Convexité et concavité}
\enlargethispage*{6em}
        \begin{defins}
            $ f $ est une fonction dérivable sur un intervalle $ I $ et $ \mathcal{C}_f $ est sa courbe représentative dans un repère, sur l'intervalle $ I $.
                \begin{itemize}

                    \item On dit que $ f $ est convexe sur l'intervalle $ I $ si sa courbe $ \mathcal{C}_f $ est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

                    \item On dit que $ f $ est concave sur l'intervalle $ I $ si sa courbe $ \mathcal{C}_f $ est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes.

                \end{itemize}
        \end{defins}
%\newpage
         \begin{tabular}{*2{>{\centering\arraybackslash}m{5.3cm}}}
			\includegraphics{005_cours-p140_028}
			&
			\includegraphics{005_cours-p140_029}\\
			Fonction convexe sur $[-2\, ; 4]$ & 
			Fonction concave sur $[-3\, ; 2]$
        \end{tabular}

    \subsection{Point d'inflexion}

        \begin{defin}
            $ \mathcal{C}_f $ est la courbe représentative dans un repère de la fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $I$ et $a\in I$.

            Dire que le point $ A $ de coordonnées $ \bigl(a\, ; f(a)\bigr) $ est un point d'inflexion de la courbe $ \mathcal{C}_f $ signifie qu'en ce point $ A $, la courbe $ \mathcal{C}_f $ traverse sa tangente (en $ A $).
        \end{defin}
\enlargethispage*{\baselineskip}
        \begin{prop}
            Si $ a $ est l'abscisse d'un point d'inflexion $ A $ de la courbe de $ f $, alors en $ a$, la fonction $ f $ passe de concave à convexe ou de convexe à concave.
        \end{prop}
        \begin{center}
            \includegraphics{005_cours-p140_030}%[scale=0.8]
        \end{center}
    Sur ce graphique, la courbe de $ f $ est en dessous de sa tangente $ \cal{T} $ en $ A $ pour $ x < a $, coupe cette tangente en $ A $, puis est au-dessus de $ \cal{T} $ pour $ x > a $.

    Sur l'intervalle où est représentée $ f $, la fonction $ f $ est concave pour $ x < a $, puis devient convexe pour $ x > a $.

    \begin{aretenir}
    \begin{minipage}{60mm}
        La courbe représentative de la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par f$ (x) = x^3 $ admet un point d'inflexion en l'origine $ O $ du repère.
        
        La fonction est concave sur $ \left]-\infty\, ; 0\right] $ et convexe sur $ \left[0\,; +\infty\right[ $.    
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{45mm}
    \includegraphics{005_cours-p141_031}%[scale=0.7]
    \end{minipage}
    \end{aretenir}
\newpage
    \begin{aretenir}
        La fonction $ g $ définie sur $ \left[0\,; +\infty\right[ $ par $ g(x) = \sqrt{x}$ est deux fois dérivable sur $ \left] 0\,; +\infty\right[ $. Cette fonction est concave sur $ \left] 0\,; +\infty\right[ $ : \medskip

            \begin{center}
                \includegraphics{005_cours-p141_032}
            \end{center}
    \end{aretenir}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Convexité et dérivée}

    \subsection{Convexité de f et sens de variation de f'}

        \begin{props}
            La fonction $ f $ est dérivable sur un intervalle $ I $.
                \begin{itemize}
                    \item La fonction $ f $ est \textbf{convexe} sur $ I $ si et seulement si sa fonction dérivée$ f'$ est \textbf{croissante} sur $ I $.

                    \item La fonction $ f $ est \textbf{concave} sur $ I $ si et seulement si sa fonction dérivée $ f'$ est \textbf{décroissante} sur $ I $.

            \end{itemize}
        \end{props}

    \subsection{Convexité et signe de la dérivée seconde f'' }
\enlargethispage*{4em}
            \begin{defin}
                $ f $ est une fonction dérivable sur $ I $ et sa fonction dérivée $ f' $ est elle même dérivable. \\
                On dit alors que $ f $ est deux fois dérivable sur $ I $ et admet une dérivée seconde, notée $ f'' $, qui est la dérivée de $ f' $.
            \end{defin}

            \begin{props}
                $ f $ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $ I $.
                    \begin{itemize}
                        \item La fonction $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si, pour tout $ x\in I $,
                            \[ f''(x) \ge 0. \]%

                        \item La fonction $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si pour tout $ x\in I $, 
                            \[ f''(x) \le 0. \]%

                    \end{itemize}
            \end{props}

    \subsection{Point d'inflexion}

        \begin{prop}
            $ f $ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $ I $ et $ a\in I $.
            La courbe représentative de $ f $ admet un point d'inflexion en $ A $ de coordonnées $ \left(a\, ; f(a)\right) $ si et seulement si $ f'' $ s'annule en changeant de signe en $ a $.
        \end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Positions relatives de courbes}

    \subsection{Fonction exponentielle}
\enlargethispage*{4em}
        \begin{prop}
            La fonction exponentielle est une fonction convexe sur $ \R $.
        \end{prop}

        \begin{prop}
            Pour tout $ x\in\R $, on a $ \nep^{x} > x $.
        \end{prop}

        \begin{center}
            \includegraphics{005_cours-p143_033}
        \end{center}

        \begin{Remarque}cette propriété est une conséquence simple d'un résultat plus fort.\\
            La tangente $\cal T $ à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $ 0 $ (en pointillés sur le schéma ci-dessus) a pour équation $ y = x + 1 $. Comme la fonction exponentielle est convexe, la courbe de la fonction exponentielle est au-dessus de $\cal T $ pour tout $ x $.\\
            Cela signifie que pour tout $ x\in\R $, on a $ \nep^{x} > x+1 $.
        \end{Remarque}


    \subsection{Fonction logarithme népérien}

        \begin{prop}
            La fonction logarithme népérien est une fonction concave sur $ \left]0\,; +\infty\right[ $.
        \end{prop}


        \begin{prop}
            Pour tout réel $x>0$, on a $ \ln x < x $.
        \end{prop}

        \begin{center}
            \includegraphics{005_cours-p144_034}
        \end{center}

        \begin{Remarque}on démontre que la courbe de la fonction $ \ln $ est en dessous de sa tangente au point d'abscisse $ 1 $ qui a pour équation $ y = x -1 $. Donc pour tout $ x > 0$, on a $ \ln x < x -1 $.\\
            La propriété précédente en est une conséquence.
        \end{Remarque}

    \subsection{Comparaison de ln x et e\fup{x}}

        Une conséquence directe des propriétés précédentes est :

        \begin{prop}
            Pour tout $ x > 0$, on a $ \ln x < x < \nep^{x} $ .
        \end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
    \begin{questions}
        \item La fonction $ f $ est la somme de la fonction carré qui est dérivable sur $ \R $ et de la fonction $ \ln $ qui est dérivable sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $, donc $ f $ est dérivable sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $ . Pour tout $ x > 0 $ on a $ f'(x) = 2x + \dfrac{8}{x}$.
        \vspace*{-1.5em}
\BreakWithoutItem
            La fonction $ f' $ est la somme d'une fonction affine, dérivable sur $ \R $, et de la fonction inverse, dérivable sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $, donc $ f' $ est dérivable sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $ et $ f''(x) = 2 -\dfrac{8}{x^2}$.

        \item $ f''(x) > 0 \iff 2 - \dfrac{8}{x^2}> 0 \iff x^2 > 4 $. Ceci équivaut à $ x > 2 $ car $ f $ n'est définie que sur $ \left]0 \,; +\infty\right[ $.
            On en déduit que $ f'' $ est négative sur $ \left]0\,; 2\right[ $, s'annule en $ 2 $, et devient positive sur $ \left]2\,; +\infty\right[$.

        \item $ f''$ est négative sur $ \left]0\,; 2\right[ $, la fonction $ f $ est donc concave sur cet intervalle. $ f'' $ est positive sur $ \left]2\,; + \infty\right[$, la fonction $f$ est donc convexe sur $ \left]2\,; + \infty\right[$. De plus $ f'' $ s'annule et change de signe pour $ x = 2 $, cela signifie que le point d'abscisse $ 2 $, et d'ordonnée $ f(2) = 4 + 8\ln 2 $ est un point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $, et c'est le seul.

    \end{questions}
\end{solintro}

\endinput
%%%%%%%%%%%%%%%
