\thumb

%% QCM 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{qcm}{Convexité et variations}{10}
Pour chacune des questions suivantes, désigner la bonne réponse.

$f$ est une fonction définie et dérivable deux fois sur un intervalle I.
    \begin{questions}
        \item Si la fonction $f$ est convexe sur I, alors :

            \choix $f$ est croissante sur $I$

            \choix $f'$ est croissante sur $I$

            \choix $ f'' $ est croissante sur $I$

            \choix $f$ est décroissante puis croissante sur $I$

        \item Si la fonction $f$ est concave sur $I$, alors :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
     \choix $f$ admet un maximum sur $I$&
                \choix $f$ est décroissante sur $I$\\
                \choix $ f' $ est croissante sur $I$&
                \choix $ f''$ est négative sur $I$
    \end{tabularx}
   
        \item Si la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion $A$ au point d'abscisse $a$ de $I$, alors :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix $f$ admet un extremum en $a$&
                \choix $ f' $ admet un maximum en $a$\\
                \choix $ f' $ change de signe en $a$&
                \choix $ f' $ admet un extremum en $a$
            \end{tabularx}

        \item $ a$, $b$ et $c$ sont trois réels de $I$ avec $ a < b < c $. Si la fonction $f$ est convexe sur $ \left[a\,; b\right] $ et concave sur $ \left[b\,; c \right] $, alors :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix $f$ admet un minimum en $b$&
                \choix $ f' $ s'annule en $b$\\
                \choix $ f'' $ s'annule en $b$&
                \choix $f$ est décroissante sur $\left [a\,; c\right] $
            \end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}
%%%%%%
\begin{corrige}
    \begin{questions}
        \item Réponse\choix[b] d'après la définition.

        \item Réponse\choix[d] d'après le cours.

        \item Réponse\choix[d] : si $A$ est un point d'inflexion d'abscisse $a$, alors la dérivée $ f'$ change de sens de variation, elle admet donc un extremum en $a$ qui peut être un maximum mais aussi un minimum.

        \item Réponse\choix[c] : comme $f$ passe de convexe à concave en $b$, cela signifie que $b$ est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe de $f$, donc $ f''(b) = 0 $.

    \end{questions}
\end{corrige}

%% QCM 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{qcm}{Lecture graphique}{10}
La représentation graphique $ \mathcal{C}_f $  de la fonction $f$de la page suivante, définie et deux fois dérivable sur $ \left[-3\,; 5\right] $. La droite bleue est la tangente à $ \mathcal{C}_f $ en $A$. De plus $ \mathcal{C}_f $ admet une tangente horizontale en $B$ et en $C$. Par lecture graphique, pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}

        \item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
                \choix $ \left[ -3\,; 1\right] $&
                \choix $ \left[-1\,; 5 \right] $&
                \choix $ \left[ 2\,; 4\right] $
            \end{tabularx}

        \item La courbe $ \mathcal{C}_f $ admet :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix un point d'inflexion	&
                \choix trois points d'inflexion\\
                \choix aucun point d'inflexion&
            \end{tabularx}

        \item La fonction dérivée $ f' $ est : \resetchoix

            \choix positive ou nulle sur $ \left[-3\,; -1\right] $ et $ \left[ 3\,; 5\right] $

            \choix croissante sur $ \left[-3\,; 1\right] $ et décroissante sur $ \left[1\, ; 5\right] $

            \choix admet un minimum en $3$
\newpage
        \item La fonction dérivée seconde $ f'' $ : \resetchoix

            \choix est négative lorsque $ \mathcal{C}_f $ est en dessous de l'axe des abscisses

            \choix est négative ou nulle pour $ x\in \left[-1\,; 3\right] $

            \choix est négative lorsque $ f' $ est décroissante

\end{questions}
    \begin{center}
        \includegraphics{005_ex2enonce-p147_035}
    \end{center}
\end{qcm}
%%
\begin{corrige}
    \begin{questions}
        \item Réponse \choix[c] : la fonction est convexe sur tout intervalle compris dans $ \left[1\,; 5 \right] $

        \item Réponse \choix[a] : un point d'inflexion est un point où la courbe traverse la tangente en ce point. Sur ce graphique, cela se réalise au point $A$ uniquement.

        \item Réponse \choix[a] : ce sont les intervalles où $f$ est croissante, donc sa dérivée est positive ou nulle

        \item Réponse \choix[c] : le signe de $ f'' $ donne les sens de variation de $ f' $.

    \end{questions}
\end{corrige}

%% QCM 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{qcm}{Étude de la dérivée seconde}{10}

On considère la fonction $f$ définie sur $ \R $ par $ f(x) = x^3 + 3x^2 + 12 x - 5 $.

Pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse :

\begin{questions}
    \item $ f'(x) $ a le même signe que :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ x^2 + 2x + 4 $&
            \choix $ 3x^2 + 12x - 5 $&
            \choix $ f''(x) $
        \end{tabularx}

    \item $ f''(x) $ est égale à :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ 2x + 2 $&
            \choix $ 6x + 6 $&
            \choix $ 3x^2 + 12 $
        \end{tabularx}

    \item $ f''(x) $ :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix s'annule en un seul réel&
            \choix ne s'annule jamais\\
            \choix est toujours positif &
        \end{tabularx}

    \item La fonction $f$ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix concave sur $ \left[-1\,; + \infty\right[ $&
            \choix convexe sur $ \left[-1\,; + \infty\right[ $\\
            \choix ni l'un ni l'autre&
        \end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}
%%
\begin{corrige}

    On commence par calculer $ f'(x) = 3x^2 + 6x + 12 $ et $ f''(x) = 6x + 6 $.

        \begin{questions}
            \item Réponse\choix[a] car $ f'(x) = 3(x^2 + 2x + 4) $.

            \item Réponse \choix[b] par le calcul.

            \item Réponse \choix[a] : $ f''(x) $ s'annule pour $ x = -1 $ et change de signe.

            \item Réponse \choix[b] : lorsque $ x \ge -1 $, $ f''(x) \ge 0 $, donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle.

        \end{questions}
\end{corrige}

%% QCM 4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{qcm}{Fonction exponentielle}{15}

On considère la fonction $f$ définie sur $ \R $ par $ f(x) = (x^2 + 2)\nep^x $.\\
Pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse :

    \begin{questions}
        \item La dérivée seconde de $f$ est égale à :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix $ 2 \nep^x $&
                \choix $ (x^2 + 4x + 4)\nep^x $\\
                \choix $ (x^2 + 2x + 2)\nep^x $
            \end{tabularx}


        \item $ f ''(x) $ s'annule :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix en une valeur réelle& \choix jamais\\\multicolumn{2}{@{}l}{\choix en deux valeurs réelles distinctes}\\
               
            \end{tabularx}

        \item La représentation graphique de $f$ admet :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
                \choix un point d'inflexion&
                \choix deux points d'inflexions\\
                \choix aucun point d'inflexion
            \end{tabularx}

        \item La dérivée $ f'(x) $ :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\multicolumn{2}{@{}l}{\choix change de signe au moins une fois sur $ \R $}\\
                \choix s'annule sans changer de signe\hspace{3em}&
                \choix ne s'annule pas
            \end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}
%%
\begin{corrige}
    \begin{questions}
        \item Réponse \choix[b] : on calcule $ f'(x) = 2x \nep^x + (x^2 + 2)\nep^x = (x^2 + 2x + 2)\nep^x $.\\
            Puis $ f''(x) = (2x + 2)\nep^x + (x^2 + 2x + 2)\nep^x = (x^2 + 4x + 4)\nep^x $.

        \item Réponse \choix[a] : $ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 $, et comme $ \nep^x $ ne s'annule jamais, alors $ f''(x) $ ne s'annule que pour $ x = -2 $.

        \item Réponse \choix[c] : comme $ f''(x) = (x + 2)^2 \nep^x $, alors $ f''(x) $ est toujours positif ou nul, donc la fonction est toujours convexe et il n'y a pas de point d'inflexion.

        \item Réponse \choix[c] : il faut prendre l'expression de$ f'(x) = (x^2 + 2x + 2)\nep^x $. Le discriminant de l'équation $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ est négatif ( il vaut $ -4 $), donc $ x^2 + 2x + 2 $ ne s'annule pas.

    \end{questions}
\end{corrige}

%% EX5 (new 2015)

\begin{exo}{\'Etude de convexité}{Lycée Victor Duruy, Paris}{1}{7}
\begin{questions}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :\\ $f(x) = x^3 - 4x + 1$.
\item Donner les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX5

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(x) = 3x² - 4$, et $f"(x) = 6x$.

$f "(x) < 0 \iff x < 0$, donc $f$ est concave sur $\R^*_-$, et $f$ est convexe sur $\R^*_+$.
\item Le point $A(0\,;1)$ est le seul point d'inflexion, car 0 est la seule valeur de $x$ pour laquelle $f"(x)$ s'annule et change de signe.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX6 (new 2015)

\begin{exo}{Convexité et inégalité}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{1}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\nep^x$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O.

\begin{questions}
\item Calculer $f '(x)$ et $f''(x)$.
\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$.
\item 
\begin{questions}
\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item En déduire que $f(0,0001) > 0,0001$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f '(x) = \nep^x + x\nep^x = (x + 1) \nep^x$.

$f "(x) = \nep^x + (x + 1)\nep^x = (x + 2)\nep^x$.

\item $f "(x) > 0 \iff x > -2$.

Par conséquent, $f$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$  et convexe sur $[-2\,;+\infty[$.

\item
\begin{questions}
\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est :\\\mbox{$y = f '(0)x + f(0)$}, donc $y = x$.

\item $f$ est convexe sur $[-2\,;+\infty[$. 0,0001 fait partie de cet intervalle, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 0, dont l'équation est $y = x$.	

On a donc $f(0,0001) < 0,0001$ car à gauche se trouve l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 0,0001 et à droite l'ordonnée du point de la tangente en O d'abscisse 0,0001 également.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX7 (new 2015)

\begin{exo}{Application économique}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{20}
Soit la fonction $f$ définie sur $I = [0\, ; 5]$ par $f(x) = (x-2)\nep^{-x+4}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item Calculer $f(0)$. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.
\item Calculer $f '(x)$. \'Etudier le signe de $f '(x)$ suivant les valeurs de $x$ sur $I$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Calculer $f "(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées, et étudier la convexité de $f$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}


Une entreprise vend $x$ centaines de litres de parfum par jour. Le bénéfice, en milliers d'euros , réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend $x$ centaines de litres est donné par $f(x)$. Pour des raisons techniques, l'entreprise vend entre 180~litres et 450 litres par jour.

\begin{questions}
\item Calculer le bénéfice en euros réalisé pour la vente de 400 litres.
\item Déterminer la quantité minimale de litres à vendre par jour pour ne pas vendre à perte.
\item Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est alors, arrondi à l'unité, ce bénéfice ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX7

\begin{corrige}

\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item $f(0) = -2\nep^{4}\approx -109$.
\item $f '(x) = \nep^{-x+4} -(x - 2)\nep^{-x+4} = \nep^{-x+4}(-x + 3)$.

$f '(x)$ est du signe de $- x + 3$ car $\nep^{-x+4}$ est positif pour tout $x$.

$f '(x) > 0\iff x < 3$, d'où le tableau de variations :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 3 &  & 5\\
\hline
f'(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
     &  &   & \nep &  & \\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
    & -2\nep^4 &  &  &  & 3\nep^{-1}\\
    \hline
\end{array}
\]

\item $f''(x) = -\nep^{-x+4}(-x + 3)-\nep^{-x+4} = \nep^{-x+4}(x - 4)$.

$f''$ s'annule et change de signe en $x = 4$ donc le point de coordonnées $(4\, ; f(4))$ est point d'inflexion.

Le point $A(4\, ; 2)$ est donc point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

$f ''(x)$ est négative pour $x < 4$ et positive pour $x > 4$, donc $f$ est concave pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0\, ; 4]$ et convexe pour $x$ appartenant à $[4\ ; 5]$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $f(4) = 2$, donc le bénéfice obtenue pour la vente de 400 litres est \numprint{2000} euros. Attention aux unités !

\item $f(x) > 0\iff (x - 2) \nep^{-x+4} > 0\iff x > 2$.

Donc il faut vendre au moins 200 litres par jour pour ne pas vendre à perte.

\item D'après le tableau de variations, le bénéfice maximum est atteint quand on produit 300 litres, et il est de \numprint{2718} euros, en arrondissant à l'unité.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX8 (new 2015)

\begin{exo}{Avec des représentations graphiques}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
On a représenté sur la page suivante la courbe $\mathcal{C}'$ représentant la fonction dérivée d'une fonction $f$  deux fois dérivable sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{9}{2}\right]$, à gauche, et quatre courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$,  $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$, à droite. 
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Résoudre l'équation $f '(x) = 0$, avec la précision permise par le graphique.
\item Indiquer le signe de $f '(x)$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Dresser le tableau de variations de $f '$.
\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. $\mathcal{C}$ admet-elle un (ou des) point(s) d'inflexion ?
Justifier soigneusement.
\end{questions}

\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$, préciser en justifiant celle qui peut représenter la fonction $f$ et celle qui peut représenter la fonction $f''$.
\end{questions}

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4cm}X}
\includegraphics{05_fig_03}
&
\includegraphics{05_fig_04}
\end{tabularx}
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item L'équation $f'(x) = 0$ a trois solutions $a$, $b$ et $c$.

$a\approx 0,2$ ; $b\approx 2,2$ et $c\approx 3,6$.

\item $f '(x) > 0$ si $x$ appartient à $]a\,;b[\cup\left]c\,;\dfrac{9}{2}\right[$, et $f '(x) < 0$ si\linebreak $x$ appartient à $\left[-\dfrac{1}{2}\,;a\right[\cup]b\,;c[$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Dans le tableau de variations de $f '$ suivant, on a rajouté le signe de $f''(x)$, $f''$ étant la fonction dérivée de la fonction $f '$.
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -\frac{1}{2} &  & 1 &  & 3 &  & \frac{9}{2}\\
\hline
f'(x) &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
\hline
\text{Signe de }f''(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]

\item D'après le tableau de signes de $f''$, $f''$ s'annule en changeant de signe pour $x = 1$ et $x = 3$. Il y a donc deux points d'inflexion d'abscisses 1 et 3.
\end{questions}

\item D'après la question 1.b., $f '$ est négative, puis positive, puis négative, puis positive.

Donc $f$ doit être décroissante jusqu'à $a$, croissante entre $a$ et $b$, décroissante entre $b$ et $c$ puis finalement croissante.

C'est la courbe $\mathcal{C}_3$ qui convient.

Quant à $f''$, elle doit être positive jusqu'à 1, négative entre 1 et 3, puis à nouveau positive.

C'est la courbe $\mathcal{C}_1$ qui convient.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX9 (new 215)

\begin{exo}{Point d'inflexion et tangente}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{20}
Soit $f(x) = (x + 2)\nep^{-x}$ définie sur $I = [-2\, ; 4]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité 2 cm).

On nomme $A$ et $B $ les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-1$ et 0.

\begin{questions}
\item Donner les coordonnées exactes de $A$ et $B$.
\item Étudier les variations de $f$ sur $I$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet deux solutions $a$ et $b$ dans $I$. Donner les valeurs arrondies à $10^{-2}$ de $a$ et $b$.
\item Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité de $f$. On indiquera les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{D}$ à $\mathcal{C}$ au point $B$.
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ sur $I$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x) < -x + 2$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(-1) =\nep$, donc $A(-1\, ; \nep)$ ; $f(0) = 2$, donc $B(0\, ; 2)$.
\item $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et\linebreak $f '(x) = 1 \times \nep^{-x}-\nep^{-x}(x + 2) = \nep^{-x}(-x-1)$.

$f' (x) > 0 \iff x < -1$ car $\nep^{-x}$ est positif pour tout $x$.

On obtient le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -2 &  & -1 &  & 4\\
\hline
f'(x)&  & + & 0 & - & \\
\hline
& & & \nep &  & \\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
 & 0 &  &  & & 6\nep^{-4} \\
 \hline
\end{array}
\]

\item $f$ est continue sur $I$.

Sur $[-2\, ; -1]$, $f$ est strictement croissante, et 1 appartient à $\big[f(-2)\, ; f(-1)\big]$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[-2\, ; -1]$.

Sur $[-1\, ; 4]$, $f$ est strictement décroissante, et 1 appartient à $\big[f(4)\, ; f(-1)\big]$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[-1\, ; 4]$.

Donc sur $I$, l'équation $f(x) = 1$ admet deux solutions.

\`A la calculatrice, on obtient $a\approx-1,84$ et $b\approx1,14$.
\item $f''(x) = -\nep^{-x}(-x - 1) -\nep^{-x} = x\nep^{-x}$.

Par conséquent, $f$ est convexe si $x \geqslant 0$ et $f$ est concave si $x\leqslant 0$.

Le point d'inflexion est donc le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 0, c'est $B$.

\item L'équation de la tangente en $B$ à $\mathcal{C}$ est $y = f '(0)x + f(0)$, donc\linebreak $y = -x + 2$.

\item \raisebox{-4.8cm}{\includegraphics{05_fig_07}}

\item Résoudre cette inéquation revient à savoir quand $\mathcal{C}$ est sous $\mathcal{D}$. Or, d'après l'étude de convexité, $\mathcal{C}$ est sous chacune de ses tangentes pour $x < 0$.  Donc pour $x\in [-2\, ; 0]$, $\mathcal{C}$ est sous toutes ses tangentes, donc entre autre sous la tangente en $A(0\, ; 2)$, d'équation 
$y = -x+ 2$.

Par contre, pour $x \in[2\,;4]$, $f$ est convexe, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de toutes ses tangentes, donc entre autre de la tangente en $(0\, ; 2)$. 

Donc $S = [-2\, ; 0[$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX10 (new 2015)

\begin{exo}{Recherche d'équation et convexité}{Lycée Victor Duruy, Paris}{3}{30}
Le plan est muni d'un repère d'origine O, d'unités graphiques 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

\begin{questions}
\item Une courbe $\mathcal{C}$ représente dans ce repère une fonction définie sur $\R$ par :
\[
k(x) = ax^3 + bx² + cx + d.
\]
On sait que :
\begin{itemize}
\item cette courbe est tangente à la droite d'équation $y = -1$ au point $A$ d'abscisse 0 ;
\item cette courbe admet au point $B$ d'abscisse $\dfrac{2}{3}$ une tangente horizontale ;
\item cette courbe admet au point $C$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x + 3$.
\end{itemize}
Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[-2\ ; 2]$ par $f(x) = x^3 - x² - 1$.
\begin{questions}
\item Calculer $f '(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ dans $[-2\, ; 2]$.
\item Donner une valeur approchée de $a$ à $10^{-1}$ près.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité de $f$ sur $[-2\, ; 2]$.
\item Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs au dixième, puis tracer les courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $g$ et $h$ définies sur $[-2\, ; 2]$ par $g(x) = x²$ et $h(x) = x^3 - 1$ dans le repère défini précédemment.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|>{\centering\arraybackslash}X|c|>{\centering\arraybackslash}X|c|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & $-2$ & \small$-1,5$ & $-1$ & \small$-0,5$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\
\hline
$g(x)$ & & & & & & & & & \\
\hline
$h(x)$ & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}

\item Montrer que $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ se coupent en un unique point $M$ dont on exprimera les coordonnées en fonction de $a$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{Remarque}seule une question concerne la convexité, comme ce sera souvent le cas dans les exercices du baccalauréat... mais il n'est pas mauvais de faire des révisions !
\end{Remarque}
\begin{questions}
\item  La première condition donnée nous permet d'affirmer que $k(0) = -1$ et $k '(0) = 0$ puisqu'on a une tangente horizontale.

$k(0) = -1 \iff d = -1$.

$k '(x) = 3ax² + 2bx +c$ ; $k'(0) = 0 \iff c = 0$.

On sait donc déjà que $k(x)$ est de la forme $k(x) = ax^3 + bx² - 1$.

La deuxième condition donnée se traduit par $k'\left(\dfrac{2}{3}\right)=0$.
\begin{align*}
k'\left(\dfrac{2}{3}\right)=0 & \iff 3a\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+2b\left(\dfrac{2}{3}\right)=0\\
& \iff \dfrac{4}{3}a+\dfrac{4}{3}b=0\\
& \iff b=-a.
\end{align*}

La troisième condition donne $k '(1) = 1$ (coefficient directeur de la tangente).
\[
k'(1)=1 \iff 3a+2b=1.
\]
En remplaçant $b$ par $-a$ dans cette dernière équation, on obtient $a = 1$, et par conséquent $b = -1$.

Finalement, $k(x) = x^3 - x² -1$.

\begin{Remarque} il est bien rassurant de retrouver cette expression dans la question suivante : $k$ n'est autre que $f$.
\end{Remarque}

\item
\begin{questions}
\item $f '(x) = 3x² - 2x = x(3x - 2)$.

$f '(x)$ est un trinôme du second degré qui s'annule pour $x = 0$ et $x = \dfrac{2}{3}$. $f '(x)$ est donc positif sur $[-2\,;0]\cup\left[\dfrac{2}{3}\,;2\right]$ et négatif ailleurs, d'où le tableau de variations suivant :
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -2 &  & 0 &  & \frac{2}{3} &  & 2\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
 & & &-1 & & & & 3\\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
& -13 & & & & -\frac{31}{27} &  & \\
\hline
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]

\item Sur $\left[-2\,;\dfrac{2}{3}\right]$, $f(x) < 0$ puisque le maximum est $-1$, donc l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur cet intervalle.

Sur $\left[\dfrac{2}{3}\,;2\right]$, $f$ est continue car c'est une fonction polynôme, elle est strictement croissante et 0 appartient à  $\left[f\left(\dfrac{2}{3}\right)\,;f(2)\right]$ ; donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{2}{3}\,;2\right]$.

L'équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution $a$ sur $[-2\, ; 2]$.

\item \`A la calculatrice, on obtient $a\approx 1,5$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $f''(x) = 6x - 2 = 2(3x - 1)$.

$f''(x) > 0 \iff x>\dfrac{1}{3}$. Par conséquent, $f$ est concave sur $\left[-2\,;\dfrac{1}{3}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{1}{3}\,;2\right]$.

\item D'après ce qui précède, le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\dfrac{1}{3}$ est point d'inflexion.

$f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{29}{27}$. Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}\,;-\dfrac{29}{27}\right)$ est le seul point d'inflexion de $\mathcal{C}$ sur $[-2\, ; 2]$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|R|>{\centering\arraybackslash}X|c|>{\centering\arraybackslash}X|c|>{\centering\arraybackslash}X|c|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\
\hline
$g(x)$ & 4 & $2,3$ & 1 & 0,3 & 0 & 0,3 & 1 & 2,3 & 4 \\
\hline
$h(x)$ & $-9$ & $-4,4$ & $-2$ & $-1,1$ & $-1$ & $-0,9$ & 0 & 2,4 & 7 \\
\hline
\end{tabularx}

\item L'abscisse du point d'intersection $m$ des deux courbes est donc $a$ et son ordonnée est $g(a) = a²$. Donc $M\big(a\, ; a²\big)$.
\begin{Remarque} on aurait aussi pu dire que l'ordonnée de $M$ est \\$h(a) = a^3 - 1$. \end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX11 (new 2015)

\begin{exo}{Point d'inflexion et vitesse}{Lycée  Virlogeux, Riom}{3}{25}
Une épidémie a frappé les habitants d'une ville.

\subsubsectionnn{Partie A : Lectures graphiques}

La courbe $\mathcal{C}$ sur la page suivante représente le nombre de personnes malades en fonction du temps $t$, exprimé en jours, depuis le début de la maladie.

La vitesse de propagation de la maladie au jour $t$ est assimilée au nombre dérivé de la fonction au jour $t$.
\begin{center}
\includegraphics{05_fig_09}
\end{center}
On expliquera les réponses.
\begin{questions}
\item Donner les jours où il y a \numprint{2000} malades.
\item Donner le jour où le nombre de malades est maximal. Quel est alors le nombre de malades ?
\item Estimer le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus grande.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : Étude théorique}

Le nombre de personnes malades en fonction du temps $t$, en jours, peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0\, ; 30]$ par :
\[
f(t) = -t^3 + 30t².
\]
\begin{questions}
\item \'Etudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations sur~$I$.
\item 
\begin{questions}
\item Déterminer le nombre de solutions sur $I$ de l'équation \mbox{$f(t) = \numprint{2000}$}.
\item Déterminer un encadrement à l'entier près de la solution non entière.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Calculer $f''(t)$.
\item \'Etudier le sens de variation de la fonction dérivée $f'$.

En déduire la convexité de la fonction $f$.
\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet sur $I$ un unique point d'inflexion.
\item En donner une signification concrète.
\item Calculer la vitesse de propagation le 10\ieme{} jour.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX11

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item On trace sur le graphique donné la droite d'équation $y = \numprint{2000}$.

Il y a \numprint{2000} malades au dixième jour, et environ au vingt-septième jour.

\item Le nombre de malades est maximal le vingtième jour, et il atteint \numprint{4000}.

\item La vitesse de propagation est la plus grande quand la pente de la tangente à la courbe est la plus élevée, puisque la vitesse de propagation est assimilée au nombre dérivé. On cherche en fait le point d'inflexion.

Il semble que ce soit aux alentours de $t = 10$, en tout cas entre 7 et 12.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $f '(t) = -3t² +60t = -3t(t - 20)$.

$f '(t)$ est un trinôme du second degré qui s'annule pour $t = 0$ et $t = 20$, et il est négatif à  l'extérieur des racines car le coefficient de $t²$ est négatif. On obtient donc, sur $[0\,; 30]$ :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 20 &  & 30\\
\hline
f'(t) &  & + & 0 & - & \\
\hline
  & & & \numprint{4000} &  & \\
  f(t) &  & \nearrow &  & \searrow &  \\
  & 0 &  &  &  & 0\\
  \hline
\end{array}
\]

\item 
\begin{questions}
\item $f$ est une fonction polynôme donc continue.

Sur $[0\, ; 20]$, $f$ est strictement croissante et \numprint{2000} appartient à\linebreak $\big[f(0)\,;f(20)\big]$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation\linebreak \mbox{$f(x) = \numprint{2000}$} admet une solution sur $[0\, ; 20]$.

Sur $[20\, ; 30]$, $f$ est strictement décroissante et \numprint{2000} appartient à $\big[f(30)\, ; f(20)\big]$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ admet une solution sur $[20\, ; 30]$.

Finalement, sur $[0\, ; 30]$, l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ admet exactement deux solutions.

\item Vérifions que $f(10) = \numprint{2000}$ :

$f(10) = -\numprint{1000} + \numprint{3000} = \numprint{2000}$, donc la plus petite solution de l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ est 10, et elle est entière.

$f(27) = \numprint{2187}$ et $f(28) = \numprint{1568}$, par conséquent, d'après le théorème utilisé précédemment, la solution non entière est comprise entre 27 et 28, ce qui confirme notre lecture graphique.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $f''(t) = -6t + 60 = -6(t-10)$.
\item $f''(t) > 0 \iff t < 10$, donc $f '$ est croissante sur $[0\, ; 10]$ et décroissante sur $[10\, ; 30]$.

$f$ est donc convexe sur $[0\, ; 10]$ et concave ensuite.

\item D'après ce qui précède, le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 10 est point d'inflexion.

Avant $x = 10$, la dérivée est croissante, ce qui signifie que la vitesse de propagation de la maladie augmente, alors qu'après, cette vitesse diminue (même si le nombre de malades continue à augmenter jusqu'à $t = 20$). Donc 10 jours après le début de la maladie est le moment où l'épidémie commence à ralentir.

\item $f '(10) = 300$.

On peut traduire cela par le fait qu'à ce moment là, il y a 300 malades supplémentaires chaque jour.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb

\AfficheCorrige

\endinput
