\chapter{Primitive et intégration}

\begin{exointro}{Lycée Calmette, Nice}

    \begin{questions}
        \item Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur les intervalles proposés :
            \begin{questions}
                \item $f$ définie par $ f(x) = 3x^5 + 5x^4 - x + 4 $ sur $\R$.

                \item $f$ définie par $ f(x) = x^3 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x^2} $ sur $\left]0\,; + \infty\right[$.

                \item $f$ définie par $ f(x) = \dfrac{1}{(3x-1)^2} $ sur $\left]-\infty \,;\dfrac{1}{3}\right[ $.

                \item $f$ définie par $ f(x) = x(x^2-1) $ sur $\R$.

                \item $f$ définie par $ f(x) = \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2} $ sur $\R$.
            \end{questions}

        \item Déterminer la primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
                \[ f(x) = 2x^3 + 4x - 3, \]
            qui s'annule en $1$.

        \item On considère la fonction $ f $ définie sur $ \R^* $ par $ f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x}$.
            \begin{questions}
                \item Calculer $ \displaystyle\int_{2}^{4}\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x} \dd x$ .

                \item Comment interpréter cette intégrale en terme d'aire ?
            \end{questions}

    \end{questions}
\end{exointro}

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrale d'une fonction continue}
    \subsection{Intégrale et aire}

    \begin{center}
        \includegraphics{006_cours-p166_042}
    \end{center}
%
    \begin{defin}
        Soit $f$ une fonction \emph{continue} et \emph{positive} sur un intervalle $\left[a\,;b\right]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O\,;\gvec{OI}\,,\gvec{OJ}\right)$. \\
        L'unité d'aire est l'aire du rectangle $OIKJ$ construit à partir des points $O$, $I$ et $ J$.\\
        L'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ est l'aire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}$ et délimitée par l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. On la note :
            \[ \mathcal{A} = \int_a^b f(t)\dd t. \]
    \end{defin}
%
    \begin{defin}
        Soit $f$ une fonction \emph{continue} et \emph{négative} sur un intervalle $\left[a\,;b\right]$ et $\mathcal {C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \\
        Le nombre $\int_a^b f(t)\dd t$ est égal à l'opposé de l'aire du domaine $\mathcal{D}$ limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal {C}$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$.
    \end{defin}

%
On étend la définition de l'intégrale aux fonctions continues \emph{changeant de signe} un nombre fini de fois, comme étant la somme algébrique des aires sur les intervalles où $f$ est de signe constant, chaque terme étant affecté du signe de $f$ sur cet intervalle.

L'\emph{aire algébrique} ainsi calculée est appelée \emph{intégrale de $f$ sur $\left[a\,;b\right]$}.
\newpage
    \begin{center}
        \includegraphics{006_cours-p167_043}
    \end{center}
%
    \begin{aretenir}
        Pour calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$, on commence par étudier le signe de $f(x)-g(x)$.\\
        Si $f(x)-g(x)$ est positif sur l'intervalle $\left[a\,;b\right]$, alors:
            \[ \mathcal{A} = \int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr) \dd x. \]
        Si $f(x)-g(x)$ est négatif sur l'intervalle $\left[a\,;b\right]$, alors:
            \[ \mathcal{A} = \int_a^b \bigr(g(x)-f(x)\bigr) \dd x \]
    \end{aretenir}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On étend la définition du symbole $\int_a^b f(t)\dd t$ au cas $a>b$ en posant alors :
    \[ \int_a^b f(t) \dd t = -\int_b^a f(t) \dd t \]
C'est l'\emph{intégrale de $a$ à $b$} de $f$ (attention à ne pas évoquer l'\emph{intervalle $\left[a\,;b\right]$} si $a > b$).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Propriétés de l'intégrale}

    \begin{thm}[Relation de Chasles]
        Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a, b, c$ trois réels appartenant à $I$, alors
            \[ \int_a^c f(t)\dd t = \int_a^b f(t)\dd t + \int_b^c f(t)\dd t. \]
    \end{thm}

    \begin{attention}
        Il n'existe aucune condition d'ordre entre les réels $a$, $b$ et $c$. La relation de Chasles n'impose pas d'avoir $a<b<c$.
    \end{attention}



    \begin{thm}[Linéarité de l'intégrale]
        Quelles que soient les fonctions continues $f$ et $g$, quels que soient les réels \mbox{$\lambda$ et $\mu$ :}
            \[ \int_a^b (\lambda f(t) + \mu g(t))\dd t = \lambda \int_a^b f(t)\dd t + \mu \int_a^b g(t)\dd t. \]
    \end{thm}

    \begin{props}[Positivité de l'intégrale]
        \begin{questions}
            \item Si pour tout nombre réel $ x $ de $ \left[a\,;b\right]$, $ f(x) \ge 0$, alors $\displaystyle \int_{a }^{b}f(x) \dd x \ge 0$. 
            
                Si pour tout nombre réel $ x $ de $ \left[a\,;b\right]$, $ f(x) \le 0$, alors $\displaystyle \int_{a }^{b}f(x) \dd x \le 0$.

            \item Si pour tout nombre réel $ x $ de $ \left[a\,;b\right]$, $ g(x) \le f(x) $, alors 
                 \[ \int_{a }^{b} g(x) \dd x \le \int_{a }^{b} f(x) \dd x. \]

        \end{questions}
    \end{props}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Primitive et intégrale}
    \subsection{Définition et existence}

    \begin{defin}
         Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une \emph{primitive} de $f$ sur $I$ est, \emph{si elle existe}, une fonction $F$ dérivable sur $I$ vérifiant $F' = f$ sur $I$.
    \end{defin}
    %
    \begin{thm}
        Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
        Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, alors elle en admet une infinité.

        Si $G$ est une autre primitive, il existe une constante réelle $c$ telle que, sur $I$ :
            \begin{center} $G = F + c$.\end{center}
    \end{thm}

    \begin{aretenir}
        Si elles existent, les primitives de $f$ sur $I$ \emph{diffèrent d'une constante}.
    \end{aretenir}

    \begin{prop}
        Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$, soit $x_0$ un point de $I$ et $y_0$ un réel quelconque fixé.

        Il existe alors une \emph{unique} primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$.
    \end{prop}

    \begin{thm}
        Tout fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
    \end{thm}
\vspace*{-5mm}
    \begin{Remarque}ce théorème permet de prouver l'existence de primitives d'une fonction mais ne permet pas de les calculer. Il sera aussi souvent utilisé pour prouver l'existence d'intégrales.
    \end{Remarque}
\vspace*{-4mm}
    \begin{thm}
        Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a\in I$, la fonction:
            \[ F\text{:~} I\to\R,\quad x \mapsto \int_a^x f(t) \dd t \]
        est \emph{la} primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
    \end{thm}
%
    \begin{methode}
        On peut étudier facilement les variations de la primitive $F$ de la fonction $f$, sans calculer l'intégrale, dans la mesure où on connaît sa dérivée qui n'est autre que la fonction $f$.
    \end{methode}
    %
Soit $F$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a ,b\in I$. On note :
    \[ \bigl[F(t)\bigr]_a^b = F(b)-F(a). \]
%
    \begin{thm}
        Soit $f$ une fonction continue et $F$ une primitive de $f$. On a :
            \[ \int_a^bf(t)\dd t = \bigl[F(t)\bigr]_a^b. \]
    \end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        \subsection{Primitives usuelles}
      \enlargethispage*{4em}  
    Un tableau de dérivées usuelles donne, par lecture inverse, un tableau de primitives à connaître. Précisons une dernière fois qu'on ne parle de primitives que sur un \emph{intervalle}.
\[
%\morestretch[2]
\begin{array}{|lc|l>{\text{avec } k\in \R}c|}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{\text{ La fonction usuelle }}  & \multicolumn{2}{c|}{\text{ Ses primitives
}}\\
\hline
x \mapsto 1 &  & x\mapsto x + k & \\
\hline 
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto x^n \quad & n \in \N^*
& x \mapsto \dfrac{x^{n+1\strut}}{n+1}+k  &\\
\hline
%\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto -\dfrac{1\strut}{x^2} &\text{ pour } x \neq 0 & x \mapsto \dfrac{1}{x\strut}+k &\\
\hline
%\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto \dfrac{1\strut}{x\strut} &\text{ pour } x > 0 & x \mapsto \ln x+k &\\
\hline
%\rule[-2ex]{0ex}{2ex}
x \mapsto \dfrac{1\strut}{\sqrt{x}\strut} &\text{ avec } x > 0 & x \mapsto 2\sqrt{x}+k &\\
\hline
x\mapsto \nep^x & & x \mapsto \nep^x +k &\\
\hline
\end{array}
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \subsection{Primitives et fonctions composées}

Il est souvent possible de mettre en évidence la dérivée d'une fonction composée. Le tableau suivant regroupe les quelques cas exigibles en TES ou en TL ($u$ désigne une fonction dérivable sur un intervalle $I$).

	\[\morestretch[2.1]
\begin{array}{|c|c>{\text{avec } k\in \R}c|c|}
\hline\tabulartitle
\text{Fonction $f$}&\multicolumn{2}{c|}{\text{Les primitives $F$}}&\text{Remarques}\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}u'u  & \dfrac{1}{2}u^{2}+k&&\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}\dfrac{u'}{u^2} & -\dfrac{1}{u} +k && u(x)\neq0\text{ sur $I$.}\\
\hline
u'\nep^u & \nep^u +k&&\\
\hline
\rule[-2ex]{0ex}{2ex}x\mapsto \nep^{ax} & x\mapsto\dfrac{1}{a} \nep^{ax} +k &&\\
\hline
\end{array}
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Valeur moyenne}

    \begin{defin}
    La valeur moyenne d'une fonction $ f $ sur un intervalle $\left[a \,; b\right] $ ($ a < b $) est le nombre réel $ \mu $ défini par :
    \[ \mu = \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\dd x. \]%
    \end{defin}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
    \begin{questions}
        \item
            \begin{questions}

                \item Les fonctions $ x\mapsto x^n$, $n\in\N^* $ ont pour primitives sur $\R$ les fonctions $ x\mapsto \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + k $, $k$ réel.

                    Les primitives de $f$ définie par $ f(x) = 3x^5 + 5x^4 - x + 4 $ sur $\R$ sont les fonctions :
                        \[ F\text{: } x \mapsto \dfrac{1}{2}x^6 + x^5 - \dfrac{1}{2}x^2 + 4x + k, \enspace k \text{ réel.} \]

                \item La fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ a pour primitives sur $\left]0 \,; + \infty\right[$ les fonctions $ x \mapsto 2\sqrt{x} + k $, $k$ réel.
\BreakWithoutItem
                     La fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ a pour primitives sur $]0\,; + \infty[$ les fonctions $ x\mapsto -\dfrac{1}{x} + k $, $k$ réel.
                  
                    D'où les primitives de $f$ définie par $ f(x) = x^3 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2} $ sur $\left]0\,; + \infty\right[$ sont les fonctions :
                        \[ F \text{: } x\mapsto \dfrac{1}{4}x^4 + 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} + k, \enspace k \text{ réel.} \]

                \item Soit $f$ définie par $ f(x) = \dfrac{1}{(3x-1)^2} $ sur $\bigl]-\infty\,;\dfrac{1}{3}\bigr[ $.

                    Posons $u(x) = 3x-1$ ; alors $u'(x) = 3$ et $f$ peut s'écrire :
                        \[ f = \frac{1}{3}\times \dfrac{u'}{u^2}. \]
\vspace*{-5mm}
                    \begin{methode}
                        Faites bien apparaître le $u'$ dans l'écriture de $f$.
                    \end{methode}

                    Les primitives des fonctions $ \smash[b]{\dfrac{u'}{u^2 }} $, sur un intervalle où $ u $ ne s'annule pas, sont les fonctions $-\dfrac{1}{u} + k$, $k$ réel.

                    Les primitives de $f$ sont donc les fonctions : 
                        \[ F \text{: } x\mapsto -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3x-1} + k,\enspace k \text{ réel.} \]
\vspace*{-5mm}
                    \begin{methode}
                        Dérivez la fonction $F$ trouvée pour vérifier votre calcul ; vous devez retrouver $f$.
                    \end{methode}

                \item Soit $f$ définie par $ f(x) = x(x^2-1) $ sur $\R$. Posons $u(x) = x^2 - 1$ alors $u'(x) = 2x$ et $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{1}{2}u'u $.

                    Les primitives des fonctions $ u'u^n$, $n\in\N^* $ sont les fonctions $\dfrac{u^{n + 1}}{n + 1} + k$, $k$ réel.

                    Les primitives de $f$ sont donc les fonctions :
                        \begin{align*}
                             & F \text{: } x \mapsto\dfrac{1}{2}\times {\dfrac{(x^2-1)^2}{2}} + k, \\
                        \intertext{soit les fonctions : }
                             & F \text{: } x \mapsto \smash[t]{\dfrac{(x^2-1)^2}{4}} + k, \enspace k \text{ réel}.
                        \end{align*}
                        \vspace*{-3em}
\Break
                \item Soit $f$ définie par $ f(x) = \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2} $ sur $\R$.

                    Posons $ u(x) = x^2 + 1 $, $ u'(x) = 2x $ et $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u'}{u^2} $.

                    Les primitives des fonctions $ \dfrac{u'}{u^2}$ sont les fonctions $-\dfrac{1}{u} + k$, $k$ réel. \\ Les primitives de $f$ sont donc les fonctions :
                        \begin{align*}
                            & F \text{: } x\mapsto \frac{1}{2}\times\left( -\dfrac{1}{x^2 + 1}\right) + k, \\
                        \intertext{soit les fonctions : }
                                & F \text{: } x\mapsto -\smash[t]{\dfrac{1}{2(x^2 + 1)}} + k ,\enspace k \text{ réel.}
                        \end{align*}

            \end{questions}

    \item Les primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x) = 2x^3 + 4x-3 $ sont les fonctions $F_{k}$ définies sur $\R$ par :
            \[ F_k \text{: } x \mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + 2x^2-3x + k, \enspace k\enspace\text{réel} \]%

        La primitive $F$ qui s'annule en $1$ est telle que $F(1) = 0$ ce qui implique $ \dfrac{1}{2} + 2-3 + k = 0\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2} $.
        
        D'où :
            \begin{equation*}
                F\text{: } x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4 + 2x^2 - 3x + \dfrac{1}{2}.
            \end{equation*}

        \item 
		\begin{questions}
		\item Pour calculer l'intégrale, on recherche une primitive de $f$. Pour cela on modifie l'écriture :
                \[ f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x} = x + 2 -\dfrac{3}{x}. \]%
            Sur l'intervalle $ \left[2\,; 4\right] $,
            
            une primitive de $ x\mapsto x + 2$ est  $x\mapsto \dfrac{x^2}{2} + 2x$,\\[6pt]            
             une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est $ x\mapsto\ln x$ car $ x > 0 $,\\[6pt]
             donc une primitive de $ x\mapsto\dfrac{3}{x}$ est $ x\mapsto 3\ln x$.
            Alors :
                \begin{align*}
                       \int_{2}^{4} f(x) \dd x & = \int_{2}^{4} \bigl(x + 2-\dfrac{3}{x}\bigr)\dd x = \biggl[\dfrac{x^2 }{2} + 2x - 3 \ln x\biggr]_2^4 \\
                       & = \dfrac{16}{2} + 8 -3\ln 4 -\dfrac{4}{2} - 4 + 3\ln 2 \\
                        & = 10 + 3(\ln 2 - 2\ln 2) = 10 -3 \ln 2.
                 \end{align*}
\Break
        \item Étudions le signe de $ f(x) $ sur $ \left[ 2\,; 4\right] $. Sur cet intervalle, $ f(x) $ est du signe de $ x^2 + 2x - 3 $ car $x > 0$.
            Le polynôme admet deux racines : $ 1 $ et $ -3 $. D'après la règle du signe du trinôme du second degré, on obtient alors que $ f(x) $ est positif pour $ x > 1 $ ou $x<-3$ ( «~à l'extérieur des racines~»).

            Comme la fonction $ f $ est positive sur $ \left[2\,; 4\right] $, avec bien sûr $ 2 < 4 $, $ \displaystyle\int_{2}^{4}\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x} \dd x $ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe de $ f $, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $ x = 2 $ et $ x = 4 $.
		\end{questions}
    \end{questions}
\end{solintro}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\endinput
%%%%%%%%%%%%%%%
