\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% QCM1

\begin{qcm}{Recherche de primitives}{15}

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
\item Si la fonction $F$ définie sur $\left]0\,; + \infty\right[$ par
     $ F(x) = x^3 + 6x^2 + \dfrac{1}{2x^2} + 3 $ est une primitive de $f$ sur $\left]0\,; + \infty\right[$, alors :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ f(x) = 3x^2 + 12x-\dfrac{1}{x^3} $ & 
            \choix $ f(x) = 3x^2 + 12x + \dfrac{1}{4x} $\\[6pt]
            \choix $ f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + 2x^3 + 3x-\dfrac{1}{2x} $ & 
        \end{tabularx}

    \item Si $ f(x) = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} $, alors une primitive $F$ de $f$ sur $\left]0\,; + \infty\right[$ est définie par :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ F(x) = \dfrac{3x\sqrt{x}}{2} $&
            \choix $ F(x) = x\sqrt{x} + 5 $\\[6pt]
            \choix $ F(x) = x\sqrt{x} + \dfrac{3}{2}x $ &
        \end{tabularx}

    \item Si $ f(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} $, alors une primitive $F$ de $f$ sur $\left]-1\,; + \infty\right[$ est définie par :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ F(x) = \dfrac{-2}{(x + 1)^3} $&
            \choix $ F(x) = \dfrac{-1}{x + 1} $\\[8pt]
            \choix $ F(x) = \dfrac{-1}{2(x + 1)} $&
        \end{tabularx}

    \item Si $ f(x) = x(x^2 + 1) $, alors une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ F(x) = (x^2 + 1)^2 $&
            \choix $ F(x) = \dfrac{1}{4}x^2(x^2 + 1)^2 $\\[6pt]
            \choix $ F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^2}{4} $ &
        \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%%%%% CORR QCM1

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Réponse\choix[a]. En effet, on calcule la dérivée de $F$ :
\[
F'(x)=3x^2+12x-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2x}{x^4}=3x^2+12x-\dfrac{1}{x^3}.
\]

    \item Réponse\choix[b]. Dans le tableau donnant les primitives, aucune ne donne celle de la fonction $ x \mapsto \sqrt{x} $, le
        plus simple ici est donc de dériver les fonctions données :
            \begin{itemize}
                \item \textbf{Cas a} : $ F'(x) = \dfrac{3}{2}\Bigl(\sqrt{x} + x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr) = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\right) = \dfrac{9}{4}\sqrt{x}$.

                \item \textbf{Cas b} : $F'(x) = \Bigl(\sqrt{x} + x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr) = \left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\right) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$.

                \item \textbf{Cas c} : $ \begin{array}[t]{@{\mspace{2mu}}l}
                    F'(x) = \Bigl(\sqrt{x} + x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr) + \dfrac{3}{2} = \left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\right) + \dfrac{3}{2}\\
                    \hphantom{F'(x)} = \dfrac{3}{2}(\sqrt{x} + 1)\end{array}$.
            \end{itemize}

    \item Réponse\choix[b]. Ici, nous pouvons encore dériver les fonctions $F$ données, mais on peut déterminer les primitives de $f$ à l'aide des théorèmes du cours.

        En effet, posons $u(x) = x + 1$ ; alors $u'(x) = 1$, et donc $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{u'}{u^2} $ .

        Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $F$ définies sur $\left]-1\,; + \infty\right[$ par $ F(x) = \dfrac{-1}{u(x)} + k $, soit $ F(x) = \dfrac{-1}{x + 1} + k$, $k$ réel.

    \item Réponse\choix[c]. Ici, nous pouvons aussi, à l'aide des théorèmes du cours, déterminer les primitives de $f$.

        Posons $u(x) = x^2 + 1$ ; alors $u'(x) = 2x$, et donc $f$ peut s'écrire\\ $ f = \dfrac{1}{2}u'u $ .

        Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $F$ définies sur $\R$ par :
            \[F(x) = \dfrac{1}{2}\times {\dfrac{1}{2}}u^2(x) + k, \enspace \text{soit}\quad F(x) = \dfrac{1}{4}(x^2 + 1)^2 + k,\enspace k \text{ réel}.\]

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% QCM2

\begin{qcm}{Exponentielle et logarithme}{15}
 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
    \item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{\nep^x+1}{\nep^{2x}}$. Une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $]0\,;+\infty[ $ est :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $G : x \mapsto \dfrac{\nep^x}{2\nep^{2x}}$&
            \choix $G : x \mapsto \dfrac{2(\nep^x+x)}{\nep^{2x}}$\\[8pt]
            \choix $G : x \longmapsto \dfrac{1+2\nep^x}{-2\nep^{2x}}$ &
        \end{tabularx}
	\newpage
    \item Si $ f(x) = \dfrac{x + 1}{x} $, alors une primitive $F$ de $f$ sur $\left]0\,; + \infty\right[$ est définie par :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ F(x) = \dfrac{x^2+2x}{x^2 + 1} $&
            \choix $F(x) = x + \nep + \ln x$\\[8pt]
            \choix $ F(x) = x \ln x$ &
        \end{tabularx}

    \item Une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0 ; + {\infty}[$ est :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $ x \mapsto \dfrac{1}{\ln x} $&
            \choix $ x \mapsto x \ln x-x + 3 $\\[8pt]
            \choix $ x \mapsto \ln\Bigl(\dfrac{1\strut}{x}\Bigr) - 2 $ &
        \end{tabularx}

    \item Une primitive de la fonction définie sur $ \left]0\,; + \infty\right[ $ par $ f(x) = \dfrac{2}{x}$ est définie par :\resetchoix\par 
     \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $F(x)= -\dfrac{2}{x^2} $&
            \choix $F(x)= \ln (2x)$&
            \choix $F(x)= \ln(x^2)$
        \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%%%%% CORR QCM2

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Réponse \choix[c]. Il suffit de dériver les différentes fonctions proposées. 
    
Si $G(x)=\dfrac{\nep^x}{2\nep^{2x}}$, alors  $G(x)=\dfrac{1}{2\nep^{x}}$ et $G'(x)=\dfrac{-1}{2\nep^{x}}$.

Si $G(x)=\dfrac{2(\nep^x+x)}{\nep^{2x}}$, alors :
$$G'(x)=\dfrac{2(\nep^x+1)(\nep^{2x})-2(\nep^x+x)(2\nep^{2x})}{(\nep^{2x})^2}=\dfrac{2-4x-2\nep^x}{\nep^{2x}}.$$
Si $G(x)=\dfrac{1+2\nep^x}{-2\nep^{2x}}$, alors : 
$$G'(x)=\dfrac{2\nep^x(-2\nep^{2x})-(1+2\nep^x)(-4\nep^{2x})}{(-2\nep^{2x})^2}=\dfrac{\nep^x+1}{\nep^{2x}}.$$ 
C'est donc cette fonction qui convient. 
	
    \item Réponse\choix[b]: $f$ est dérivable sur $\left]0\,; + \infty\right[$, donc $f$ admet des primitives sur $\left]0\,; + \infty\right[$.
    
        $f$ n'a aucune forme connue. Transformons son écriture.\\
        Pour tout $x$ de $\left]0\,; + \infty\right[$, $ f(x) = 1 + \dfrac{1}{x} $ ; les primitives de $ f $ sur $ \left]0\,; + \infty\right[ $ sont donc les fonctions $ F_k (x) = x + \ln x + k $, $k$ réel.

        En particulier, pour $k = \nep$, on trouve $ F(x) = x + \nep + \ln x $.

    \item Réponse\choix[b]: pour tout $x$ de $\left]0\,; + \infty\right[$, $ F'(x) = \ln x + x\times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x $.

    \item Réponse\choix[c]: en effet comme $ x > 0 $, $\ln(x^2) = 2 \ln x $. La dérivée de la fonction $F$ telle que $ F(x) = 2\ln x $ est bien $ F'(x) = \dfrac{2}{x}$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% QCM3

\begin{vf}{Aire sous la courbe}{15}
    Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
    
    $\mathcal{A}$ désigne l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.

\begin{questions}
    \item Si $ f : x \mapsto \dfrac{1}{x} $, $a = 2$ et $b = 3$, alors $ \mathcal{A} = \ln 2-\ln 3 $.

    \item Si $ f : x \mapsto -x^2 + 2x + 3 $, $a = -1$ et $b = 3$, alors $ \mathcal{A} = \dfrac{32}{3} $.

    \item Si $ f : x \mapsto \nep^{\frac{x}{2}}-1 $, $a = 0$ et $b = 2$, alors $ \mathcal{A} = 2\nep - 4 $.

    \item Si $ f : x \mapsto \dfrac{1}{(x + 5)^2} $, $a = -4$ et $b = -2$, alors $ \mathcal{A} = \dfrac{4}{3} $.

\end{questions}
\end{vf}

%%%%%% CORR QCM3

\begin{corrige}
      \begin{attention}
            N'oubliez pas de justifier que $f$ est positive sur l'intervalle considéré.
      \end{attention}
\begin{questions}
    \item Faux : sur $[2\,;3]$, une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$  est $x\mapsto\ln(x)$.
    
    Alors, $\displaystyle\int_2^3\dfrac{1}{x}\dd x=\big[\ln x\big]_2^3=\ln3-\ln2$.

      

    \item Vrai : la fonction $ f \text{:~} x \mapsto -x^2 + 2x + 3 $ est définie et dérivable sur $\left[-1\,; 3\right]$, donc admet des primitives sur $\left[-1\,; 3\right]$. De plus, le trinôme du second degré $ -x^2 + 2x + 3 $ admet deux racines $-1$ et $3$ et donc $-x^2 + 2x + 3\ge 0$ pour tout $x$ de $\left[-1\,; 3\right]$. Alors, l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire est :
            \begin{align*}
                 \mathcal{A} & = \int_{-1}^3 \left(-x^2 + 2x + 3 \right)\dd x = \left[-{\frac{x^3}{3}} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{\,3} \\
                 & = (-9 + 9 + 9) - \bigl(\dfrac{1}{3} + 1-3\bigr) = \dfrac{32}{3}.
            \end{align*}

    \item Vrai : la fonction $ f \text{:~} x \mapsto \nep^{\frac{x}{2}} - 1 $ est définie et dérivable sur $\left[0\,; 2\right]$, donc admet des primitives sur $\left[0\,; 2\right]$. De plus :
            \[ \nep^{\frac{x}{2}} - 1 \ge 0 \iff \nep^{\frac{x}{2}} \ge \nep^0 \iff \dfrac{x}{2} \ge 0 \iff x \ge 0, \]
        donc $f$ est positive sur $\left[0\,; 2\right]$. Alors, l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire est :
            \[ \mathcal{A} = \int_0^2 \left(\nep^{\frac{x}{2}} - 1\right) \dd x = \left[2\nep^{\frac{x}{2}} - x\right]_0^2 = (2\nep - 2) - (2 - 0) = 2\nep - 4. \]

    \item Faux : la fonction $ f \text{:~} x \mapsto \dfrac{1}{(x + 5)^2 } $ est définie et dérivable sur $\left[-4\,; -2\right]$, donc admet des primitives sur $\left[-4\,; -2\right]$. De plus, $f$ est positive sur $\left[-4\,; -2\right]$.

        Posons $u(x) = x + 5$ ; alors $u'(x) = 1$ et $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{u'}{u^2} $ ; une primitive de $f$ sur $\left[-4\,; -2\right]$ est donc $ F \text{:~} x \mapsto - \dfrac{1}{x + 5} $.

        Alors, l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire est :
            \[ \mathcal{A} = \int_{-4}^{-2}\frac{1}{(x + 5)^2} \dd x = \left[-{\frac{1}{x + 5}}\right]_{-4}^{-2} = -\dfrac{1}{3} - (-1) = \dfrac{2}{3}. \]

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% EX4

\begin{vf}{Calcul d'intégrales}{10}
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
 \item $\displaystyle \int _{0}^{2}\dfrac{x}{(x^2 + 1)^2 } \dd x = \dfrac{2}{5} $

 \item $\displaystyle \int _1^0 \dfrac{1}{x-2} \dd x = -2 $

 \item $\displaystyle \int _1^{\nep} \dfrac{\ln x}{x} \dd x = \dfrac{1}{2} $

 \item $\displaystyle \int _{-2}^{-1} x(x^2 + 1) \dd x = \dfrac{3}{4} $
\end{multicols}
\end{questions}
\end{vf}

%%%%%% CORR EX4

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Vrai : la fonction $ f : x \mapsto \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2} $ est définie et dérivable sur $\R$ donc admet des primitives sur $\R$.

        Posons $u(x) = x^2 + 1$ alors $ u'(x) = 2x $ et $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{1}{2}\dfrac{u'}{u^2 } $.

        Une primitive de $f$ sur $\R$ est donc $ F = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{u}\right) $ soit :
            \[ F\text{:~} x \mapsto \dfrac{-1}{2(x^2 + 1)}. \]
        Alors :
            \[ \int _0^2 \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \dd x = \Bigl[-\frac{1}{2(x^2 + 1)}\Bigr]_0^2 = -\frac{1}{2\times5}-\left(-\frac{1}{2\times1}\right) = \dfrac{2}{5}. \]

    \item Faux : on pourrait calculer une primitive de cette fonction, mais on peut décider autrement : la fonction à intégrer est négative sur $ \left[0\,; 1\right] $ et on l'intègre de $ 1 $ à $ 0 $, donc l'intégrale est positive.

        \begin{attention}
            Dans une intégrale $ \int_a^b f(x) \dd x $, on n'a pas toujours $a < b$.
        \end{attention}

    \item Vrai : la fonction $ f\text{:~} x\mapsto \dfrac{\ln x}{x} $ est définie et dérivable sur $\left[1\,;\nep\right]$, donc admet des primitives sur $\left[1\,;\nep\right]$.

        Posons $u(x) = \ln x$ ; alors $ u'(x) = \dfrac{1}{x} $ et $f$ peut s'écrire $ f = u' u $ . Une primitive de $f$ sur $\left[1\,;\nep\right]$ est donc $ F = \dfrac{1}{2}u^2 $, soit $ F\text{:~} x \mapsto \dfrac{1}{2}(\ln x)^2 $. Alors :
            \[ \int _1^\nep \frac{\ln x}{x} \dd x = \left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_1^\nep = \Bigl(\dfrac{1}{2}(\ln \nep)^2 \Bigr) - \left(\dfrac{1}{2}(\ln 1)^2 \right) = \dfrac{1}{2}. \]

    \item Faux : la fonction $ f\text{:~} x \mapsto x(x^2 + 1) $ est définie et dérivable sur $\R$ donc admet des primitives sur $\R$.

        Posons $u(x) = x^2 + 1$ ; alors $u'(x) = 2x$ et $f$ peut s'écrire $ f = \dfrac{1}{2}u' u $. Une primitive de $f$ sur $\R$ est donc $ F = \dfrac{1}{4}u^2 $, soit $ F\text{:~} x \mapsto \dfrac{1}{4}(x^2 + 1)^2 $. Alors :
            \[ \int_{-2}^{-1} x(x^2 + 1) \dd x = \left[\dfrac{1}{4}(x^2 + 1)^2 \right]_{-2}^{-1} = \dfrac{1}{4}\times 4-\dfrac{1}{4}\times 25 = -\dfrac{21}{4}. \]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX5

\begin{vf}{Propriétés de l'intégrale}{10}
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

\begin{questions}
    \item $\displaystyle \int _2^3 \dfrac{-x-5}{x^2 - 5x + 4} \dd x = 2\int _2^3\dfrac{\dd x}{x-1} - 3\int _2^3 \dfrac{\dd x}{x-4}$.
\Par
    \item $\displaystyle\int _{-2}^{-1}{(x^2 + x + 1)\nep ^{x} \dd x < 0} $.
\Par
    \item Si $f$ est intégrable sur $[-1\,;2]$ et si $ x\le f(x)\le x + 1 $, alors\\ $\displaystyle 1 \le \int _{-1}^{2} f(x) \dd x \le 5 $.
\Par
    \item Si $f$ est intégrable sur $[-1\,;3]$ et si $ f(x)\le 3x + 2 $, alors\\ $ \displaystyle\int _{-1}^{-3}\bigl((3x + 2)-f(x)\bigr) \dd x \ge 0 $.
\end{questions}
\end{vf}

%%%%%% CORR EX5

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Vrai : par linéarité, 
    \[ 2\int _2^3 \dfrac{\dd x}{x-1} - 3\int _2^3 \dfrac{\dd x}{x-4}
        = \int_2^3 \left(\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{3}{x-4}\right) \dd x\;.\] Or :
            \[ \frac{2}{x-1}-\frac{3}{x-4} = \frac{2(x-4)-3(x-1)}{(x-1)(x-4)} = \frac{-x-5}{x^2-5x+4}, \]
        donc :
            \[ \int _{2}^{3} \frac{-x-5}{x^2 -5x + 4} \dd x = 2\int_2^3 \frac{\dd x }{x-1} - 3\int_2^3 \frac{\dd x}{x-4}. \]

    \item Faux : pour tout $x$ réel, $\nep^x>0$, et comme le trinôme $x^2 + x + 1$ a pour discriminant $ \Delta = -3$,
        $x^2 + x + 1 > 0$. La fonction $f$ est donc positive sur $\R$ ; alors comme $-2<-1$ :
            \[ \int_{-2}^{-1} (x^2 + x + 1)\nep^{x} \dd x \geqslant 0 . \]

    \item Vrai : comme $-1 < 2$, si $ x\le f(x) \le x + 1 $, alors:
            \[ \int_{-1}^{2} x \dd x \le \int_{-1}^2 f(x) \dd x \le \int_{-1}^2 (x + 1) \dd x . \]%
            \begin{align*}
               & \int_{-1}^2 x\dd x = \left[\frac{x^2 }{2}\right]_{-1}^2 = \dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}, \\
            \intertext{et }
               & \int _{-1}^2 (x + 1) \dd x = \left[\frac{x^2 }{2} + x\right]_{-1}^2 =\frac{4}{2}+2-\left(\frac{1}{2}-1\right)= \dfrac{9}{2}.
            \end{align*}
        D'où $\displaystyle \dfrac{3}{2} \le \int _{-1}^2 f(x) \dd x \le \dfrac{9}{2} $, et \emph{a fortiori}, $\displaystyle 1 \le \int _{-1}^2 f(x) \dd x \le 5 $.

    \item Faux : si, pour tout réel $x$, $ f(x) \le 3x + 2 $, alors $ (3x + 2)-f(x) \ge 0 $ ; or, $-1 > -3$, donc :
            \[ \int_{-1}^{-3} \bigl((3x + 2)-f(x)\bigr) \dd x \le 0. \]

\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Primitives}


%% EX6

\begin{exo}{Primitive d'un polynôme}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{5}

Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en 0, pour $f$ définie par :
    \[ f(x) = x^2 - 3x + 5. \]
\end{exo}

%%%%%% corr ex6

\begin{corrige}
$f$ est une fonction continue sur $\R$, elle admet donc une primitive sur $\R$.

Pour calculer cette primitive, on applique la formule pour les primitives de~$x^n$ :
    \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 5x + k, \quad k \in \R.\]
Or, $F(0) = 0$, donc : $F(0) = 0 + 0 + 0 + k = 0$, donc : $k = 0$.

Finalement, \emph{la} primitive de $f$ qui s'annule en $0$ est $F$, avec :
    \[ F(x) = \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2 + 5x. \]

\end{corrige}


%% EX7

\begin{exo}{Dérivée et primitives}{Lycée Alain, Le Vésinet}{1}{15}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $ I = \left] \dfrac{1}{3}\, ; + \infty\right[ $ par :
    \[ f(x) = \frac{5x^2-7x + 9}{3x-1} \]
    et
    \[ g(x) = \frac{5x^2-16x + 12}{3x-1}. \]
$f$ et $g$ sont-elles deux primitives de la même fonction sur $I$ ?
\end{exo}

%%%%%% corr ex7

\begin{corrige}
Une solution est de dériver séparément les deux fonctions et comparer les dérivées. Si elles sont égales, les fonctions $f$ et $g$ sont bien primitives d'une même fonction.

Une variante est de calculer la différence des deux fonctions. Si c'est une fonction constante, alors cela prouve que ce sont deux primitives d'une même fonction (la dérivée d'une fonction constante est nulle).

Cette méthode est un peu plus rapide car on n'a pas besoin de dériver.

    \begin{align*}
        f(x)-g(x) & = \frac{5x^2-7x + 9}{3x-1}-\frac{5x^2-16x + 12}{3x-1}\\
        & = \frac{5x^2-7x + 9-5x^2 + 16x-12}{3x-1} = \frac{9x-3}{3x-1} = 3.
    \end{align*}

Comme $f - g$ est une fonction constante sur $I$, $(f-g)' = 0 $ et donc $f' = g' $.

\begin{flushright}\textsc{cqfd} \\ («~Ce Qu'il Fallait Démontrer~»)\\ \end{flushright}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX8  (new 2015)

\newpage

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres}{1}{10}
La courbe  tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-8\,;5]$.
\begin{center}
\includegraphics{06_img_02}
\end{center}

On appelle $G$ une primitive de $g$ sur l'intervalle $[-8\,;5]$.

\'Etablir le tableau de variations de $G$ sur $[-8\,;5]$ en précisant en quelles valeurs de $x$ elle atteint ses extrema locaux  sur $]-8\, ;5 [$.
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
La fonction $g$ est la fonction dérivée de $G$. Le signe de $g$ donne donc les variations de $G$. De plus, lorsque $g$ s'annule en changeant de signe, $G$ admet un extrémum local. 
\[
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -8 &  & -2 &  & 3 &  & 5\\
\hline
\text{signe de }g(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\text{variations de }G &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
\hline
\end{array}
\]


Donc $G$ atteint ses extremums locaux en $-2$ et $3$.
\end{corrige}

%% EX9

\begin{exo}{Dérivée et primitive}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{15}
Voici les représentations graphiques d'une fonction $f$, de sa dérivée $f'$ et d'une de ses primitives $F$. Attribuer le graphique qui convient à chaque fonction.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*3{X}}
\includegraphics{06_img_03}
&
\raisebox{-9mm}{\includegraphics{06_img_04}}
&
\raisebox{4mm}{\includegraphics{06_img_05}}
\end{tabularx}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
Pour reconnaître les différentes fonctions, on utilise le fait que le signe de la dérivée donne les variations de la fonction. 

Sur l'intervalle $[1\, ; 2]$, la fonction 3 est négative puis positive. Si c'est la dérivée d'une fonction, cela signifie que cette fonction est décroissante puis croissante sur cet intervalle. Ce serait la fonction 2. Par contre, la fonction 2 est négative sur $[1\,;2]$, elle ne peut pas être la dérivée de la fonction 1 qui est croissante sur l'intervalle $[1\, ; 2]$, ni de la fonction 3 qui est croissante sur une partie de l'intervalle.

D'après cette étude, il semble donc que $F$ est la fonction 2,  la fonction $f$, dérivée de $F$, est la fonction 3 et $f'$ est la fonction 1.

Vérifions que les variations des fonctions correspondent aux signes des dérivées ainsi désignées :

\Par

\scalebox{0.91}{$
\begin{array}{|R|*{11}{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -2 &  & -1,1 &  & 0,6 &  & 1,1 &  & 1,6 &  & 2\\
\hline
\text{signe de } f' & 
& + & 0 & - &  & - & 0 & + &  & + & \\
\hline
\text{variations fonction } f & 
 & \nearrow &  & \searrow &  & \searrow &  & \nearrow &  & \nearrow & \\
 \hline
 \text{signe de }f & 
 & + &  & + & 0  & - &  & - & 0 & + & \\
 \hline
 \text{variations de }F & 
 & \nearrow &  & \nearrow &  & \searrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
 \hline
\end{array}$}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX10
\newpage
\begin{exo}{Primitives d'une fonction rationnelle}{Lycée Kléber, Strasbourg}{2}{15}

On considère la fonction définie sur $\left]1\, ; + \infty\right[ $ par :
    \[ f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 4x}{(x-1)^2}. \]
Déterminer $a$, $b$ et $c$ réels tels que, pour tout $x$ de $\left]1\, ; + \infty\right[$ :
    \[ f(x) = ax + b + \frac{c}{(x-1)^2}. \]
En déduire les primitives de $f$ sur $\left]1\, ; + \infty\right[ $.
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
On va raisonner par identification :
    \begin{align*}
        f(x) & = ax + b + \frac{c}{(x-1)^2}\\
                & = \frac{(ax + b)(x-1)^2 + c}{(x-1)^2}
                      \end{align*}
     \begin{align*}
        f(x)    &= \frac{(ax + b)(x^2-2x + 1) + c}{(x-1)^2}\\               
                & = \frac{ax^3 + (b-2a)x^2 + (a-2b)x + b + c}{(x-1)^2}\\
                &
                      = \frac{2x^3-5x^2 + 4x}{(x-1)^2}
\end{align*}
$\begin{cases} a = 2\\ b-2a = b-4 = -5\\ a-2b=2-2b=4\\b+c=0 \end{cases} \iff 
\begin{cases} a = 2\\ b = -1\\ c = 1 \end{cases}
\quad f(x) = 2x-1 + \dfrac{1}{(x-1)^2}$.

\Par

La primitive d'une somme est la somme des primitives (à une constante près bien sûr).\enlargethispage*{2em}

    \begin{itemize}
        \item une primitive de $ x\mapsto 2x-1 $ est $ x\mapsto x^2-x$.
        \item une primitive de $ x\mapsto \dfrac{1}{(x-1)^2} $ est $ x\mapsto -\dfrac{1}{x-1} $.
        \item $f$ admet donc pour primitives les fonctions de la forme :
            \[ x\mapsto x^2-x-\frac{1}{x-1} + k, \quad k \in \R. \]
    \end{itemize}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX11

\begin{exo}{Primitives d'une fonction rationnelle}{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison}{2}{20}

Soit la fonction $f$ définie sur $ \left] -\infty \,; -\dfrac{1}{2} \right[$ par:
    \[ f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 8}{(2x + 1)^2}. \]
Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur l'intervalle donné sachant que:
    \[ F(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{2x + 1} \quad \text{ et } \quad F(-1) = -6. \]

\end{exo}

%%%%%% CORR EX11

\begin{corrige}
En remplaçant $x$ par $-1$ dans l'expression de $F$ :
    \[ F(-1) = -6 \quad \text{ soit } \quad \frac{a-b + c}{-1} = -6 \iff a-b + c = 6. \]
Calculons par ailleurs $F'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient :
    \begin{align*}
        F'(x) & = \frac{(2ax + b)(2x + 1)-2(ax^2 + bx + c)}{(2x + 1)^2}\\
            & = \frac{x^2(4a-2a) + x(2a + 2b-2b) + (b-2c)}{(2x + 1)^2}\\
            & = \frac{2ax^2 + 2ax + b-2c}{(2x + 1)^2}.
    \end{align*}

Comme $F$ est une primitive de $f$, on a pour tout $x \in \left]-\infty\, ; -\dfrac{1}{2}\right[$ :
    \begin{align*}
        F'(x) = f(x) & \iff \frac{2ax^2 + 2ax + b-2c}{(2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x-8}{(2x + 1)^2} \\
            & \qquad\qquad\qquad \bigl(\text{car }(2x + 1)^2\neq 0\bigr) \\
            & \iff 2ax^2 + 2ax + b-2c = 2x^2 + 2x-8
    \end{align*}

Les deux polynômes sont donc égaux ; on identifie les coefficients :

\Par

$\begin{cases}
          a = 1 \\
          b - 2c = -8 \qquad\qquad\quad\iff\\
          a - b + c = 6 \text{ car } F(-1) = -6
    \end{cases}
    \begin{cases}
          a = 1 \\
          b-2c = -8 \\
          -b + c = 5
    \end{cases}
    \iff
    \begin{cases}
          a = 1\\
          c = 3\\
          b = -2
    \end{cases}$

Donc :
\[ F(x) = \dfrac{x^2-2x + 3}{2x + 1}. \]

Certain(e)s pourraient se demander pourquoi on a trouvé \emph{la} primitive et non pas \emph{une} primitive à une constante près. C'est bien sûr à cause de la condition $F(-1) = -6$ qui impose une valeur bien particulière à la constante.

\end{corrige}


\sectionnn{Intégrales}

%% EX12

\begin{exo}{Primitive et calcul d'aire}{Lycée Bonaparte, Toulon}{1}{10}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par :
\[
f(x)=2\ln x +\dfrac{3}{x}+3.
\]
\begin{questions}
\item On définie la fonction $F$ sur $]0\,;+\infty[$ par :\\ $F(x)=(2x+3)\ln x+x$. 

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine colorié sur la graphique ci-contre.
\end{questions}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{48mm}
\includegraphics{06_img_07}
\end{minipage}
\end{exo}

%% CORR EX12

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $F$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Calculons la dérivée de $F$ :
\[
F'(x)=2\ln x+(2x+3)\times\dfrac{1}{x}+1=2\ln x+2+\dfrac{3}{x}+1=f(x).
\]
La fonction $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

\item La fonction $f$ est positive sur $[2\, ; 3]$. L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ est donc égale à l'intégrale :
\begin{align*}
\int_1^3 f(x)\dd x & = \big[f(x)\big]_1^3\\
& = F(3)-F(1)\\
& = (9\ln 3+3)-(5\ln 1+1)\\
& = 9\ln 3+2.
\end{align*}


\begin{methode}
Il est souvent demandé de vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$. Dans ce cas, il suffit de dériver $F$ et vérifier que l'on obtient effectivement $f$. Il est totalement inutile d'essayer de trouver par soi-même une primitive de $f$ et cela n'est parfois même pas possible avec les outils disponibles d'après les programmes.
\end{methode}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX13

\begin{exo}{À l'aide de primitives}{Lycée Montaigne, Paris}{1}{20}
Calculer les intégrales suivantes :
\begin{questions}
\item $ I = \displaystyle\int_0^3(x^2 - 2x) \dd x $.

\item $ J = \displaystyle\int_0^1(2x + 1)(x^2 + x - 4) \dd x $.

\item $ K =\displaystyle \int_4^2\frac{1}{(4 - 3x)^2} \dd x $.
\end{questions}
\end{exo}

%%%%%% corr ex13

\begin{corrige}
\begin{questions}

    \item Il s'agit d'intégrer un polynôme (fonction continue sur $\R$). L'intégrale $I$ existe donc.
\[
I = \int_0^3\big(x^2-2x)\dd x=\left[\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_0^3=\left(\dfrac{27}{3}-9\right)-(0-0)=0.
\]

        \begin{center}
            \includegraphics{006_ex12corrige-p190_044}
        \end{center}

        \begin{Remarque}une fonction non nulle peut avoir une intégrale nulle si elle change de signe sur l'intervalle d'intégration (cf. le cours). C'est le cas ici :
                \[ \int_0^3 (x^2-2x) \dd x = \int_0^2(\underbrace{x^2-2x}_{<~0}) \dd x + \int_2^3(\underbrace{x^2-2x}_{>~0}) \dd x = 0. \]
        \end{Remarque}

    \item Posons $ u(x) = x^2 + x-4$, donc : $u'(x) = 2x + 1 $.
    
    L'expression $(2x + 1)(x^2 + x-4) $ est la dérivée $u'u$ de $\dfrac{1}{2}u^2$. Alors :
        \begin{align*}
             J & = \int_0^1(2x + 1)(x^2 + x - 4) \dd x \\
             & = \int_0^1 u'(x)\times u(x) \dd x = \left[\dfrac{1}{2}u(x)^2\right]_{0}^{1}\\
             & = \left[\dfrac{1}{2}(x^2 + x-4)^2\right]_{0}^{1} = -6.\\
        \end{align*}
\newpage
    \item Posons $ u(x) = 4-3x$, donc : $u'(x) = -3 $. On cherche à reconnaître sous l'intégrale la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ :
            \[ \frac{1}{(4-3x)^2} = \frac{1}{-3} \times \frac{-3}{(4-3x)^2} = -\dfrac{1}{3}\biggl(\frac{u'(x)}{u(x)^2} \biggr) = \dfrac{1}{3}\left( \frac{-u'(x)}{u(x)^2} \right) \]
        Donc :
               $ x \mapsto \dfrac{1}{(4-3x)^2} $ a pour primitive : $ x \mapsto \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{u(x)} $. 

\begin{align*}
\int_4^2\frac{1}{(4-3x)^2}\dd x
                         & = \int_4^2 \dfrac{1}{3}\left( \frac{-u'(x)}{u(x)^2} \right)\dd x\\
                         & = \dfrac{1}{3} \int_4^2 \left( \frac{-u'(x)}{u(x)^2} \right) \dd x \\
                         & = \dfrac{1}{3}\left[\frac{1}{4-3x}\right]^{2}_{4} \\
                         & = \frac{1}{3} \times\left( \frac{1}{4-6}-\frac{1}{4-12}\right) \\
                          & = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\right)\\
                         & = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{-4+1}{8}\right)\\ 
                         & =-\dfrac{1}{8}.
                    \end{align*}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX14

\begin{exo}{Bénéfice moyen}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{20}

Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à  $[0\,;5]$.

Les bénéfices ou les pertes de l'entreprise sont modélisés par la fonction $f$ définie  sur $[0\, ;5]$ par $f(x)=x\nep^x-\nep^x-8$. Pour une  quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrer que la fonction $F$ définie  par \mbox{$F(x)=x\nep^x-2\nep^x-8x$} sur $[0\, ;5]$ est une primitive de $f$ sur $[0\, ;5]$.
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^5 f(x)\dd x$.
\end{questions}
\end{questions}

\item L'entreprise pense produire régulièrement entre 3  et 5  milliers d'objets.

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3\, ;5]$. Donner l'arrondi à l'euro près.
\end{exo}

%% CORR EX14

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
F'(x) & = \nep^x+x\nep^x-2\nep^x-8\\
& = x\nep^x-\nep^x-8\\
& = f(x).
\end{aligned}$

La fonction $F$ est donc une primitive de $f$ sur $[0\, ;5]$.

\item $\begin{aligned}[t]
\int_3^5 f(x)\dd x & = \big[F(x)\big]_3^5\\
& = F(5)-F(3)\\
& = \big(5\nep^5-2\nep^5-40\big)-\big(3\nep^3-2\nep^3-24\big)\\
& = 3\nep^5-\nep^3-16.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item La valeur moyenne du bénéfice pour une production entre 3 et 5 milliers d'objets est égale à la moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[3\,;5]$, c'est-à-dire à :
\[
\dfrac{1}{5-3}\int_3^5 f(x)\dd x=\dfrac{1}{2}\big(3\nep^5-\nep^3-16\big)\approx205~\text{euros}.
\]
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%% EX15

\begin{exo}{Domaine entre deux courbes}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{2}{30}
\enlargethispage*{2em}
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur   $\R$ par :
\[
f(x)=\nep^{-x}\qquad,\qquad g(x)=1-x\qquad\text{et}\qquad h(x)=f(x)-g(x).
\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
\begin{center}
\includegraphics{06_img_06}
\end{center}

\subsubsectionnn{\mathversion{bold}Partie A : position relative de $\mathcal{C}_f$ et d'une de ses tangentes.}

\begin{questions}
\item Vérifier, par le calcul, que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 est la droite $\Delta$.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
\item En utilisant les questions précédentes, étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de sa tangente au point d'abscisse 0.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : calcul d'aire.}

\begin{questions}
\item Montrer que $\displaystyle\int_0^1 h(x)\dd x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\nep}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $a$ un nombre entier vérifiant $a>1$. On appelle $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=a$.

On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
\begin{questions}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique ci-dessus pour $a = 3$.
\item Déterminer, en fonction de $a$, la valeur de  $\mathcal{A}$.
\item Que devient $\mathcal{A}$ quand $a$ tend vers $+\infty$ ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX15

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 est : \\$y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

Or, $f'(x)=-\nep^{-x}$ donc $f'(0)=-1$ et d'autre part, $f(0)=1$. 

L'équation de la tangente est donc $y=-x+1$, ce qui montre que la droite $\Delta$ est bien la tangente.

\item $f''(x)=\nep^{-x}$. Comme la dérivée seconde de $f$ est toujours positive, cela montre que la fonction $f$ est convexe sur  $\R$.

\item Comme la fonction $f$ est convexe, sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ se trouve entièrement au-dessus de toutes ses tangentes, et en particulier au dessus de sa tangente au point d'abscisse 0, donc elle est au-dessus de $\Delta$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Une primitive de $f-g$ est la fonction $x\mapsto -\nep^{-x}-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)$  donc :
\begin{align*}
\int_0^1 h(x)\dd x & = \left[-\nep^{-x}-x+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1\\
& = -\nep^{-1}-1+\dfrac{1}{2}+\nep^0\\
& = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\nep}.
\end{align*}
\item
\begin{questions}
\item On a :
\begin{center}
\includegraphics{06_img_10}
\end{center}
\item La droite $\Delta$ coupe l'axe des abscisses en 1, et $\mathcal{C}_f $ est toujours au dessus de $\Delta$, on peut alors décomposer le domaine $\mathcal{D}$ en deux parties :
\begin{itemize}
\item Celle qui est comprise entre la droite $\Delta$, la courbe  $\mathcal{C}_f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$, qui a pour aire :
\[
\int_0^1 h(x)\dd x  = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\nep}.
\]

\item Celle comprise entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=a$, qui a pour aire :
\begin{align*}
\int_1^a f(x)\dd x & = \big[-\nep^{-x}\big]_1^a\\
& = \dfrac{1}{\nep}-\dfrac{1}{\nep^a}.
\end{align*}
$\mathcal{A}$ est donc égale à la somme de ces deux aires : 
\[
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\nep}+\dfrac{1}{\nep}-\dfrac{1}{\nep^a}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\nep^a}.
\]

\item Comme $0<\dfrac{1}{\nep}<1$, la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{\nep}$ a pour limite 0 en $+\infty$ et par conséquent $\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^a$ tend vers $\dfrac{1}{2}$ quand $a$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX16

\begin{exo}{Étude de fonction et calcul d'aire}{Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy}{3}{60}
\enlargethispage*{4em}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
\subsubsectionnn{Partie 1: lecture graphique.}

La courbe $\Gamma$ ci-contre représente une fonction $g$ définie et dérivable sur $ \left]0\,; 15\right]$.

On précise que:
\begin{itemize}
\item $\Gamma$ passe par les points : $A\big(\sqrt{\nep}\, ; 0\big)$, $B\left(\nep^{\frac{5}{4}} \,; -1,125\right)$ et $C\big(\nep^2\, ; 0\big)$.
\item La tangente à $\Gamma$ en $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{45mm}
\includegraphics{06_img_08}
\end{minipage}

\begin{questions}
\item Déterminer graphiquement un encadrement d'amplitude $ 0,5 $ de la solution $\alpha $ de l'équation $g(x) = 4$.

\item Résoudre graphiquement dans $\left]0\,; 15\right]$ les inéquations suivantes :
    \begin{questions}
        \item $g'(x) < 0$ \quad ($g'$ désigne la fonction dérivée de $g$).
        \item $g(x) \ge 0 $.
    \end{questions}

\item La fonction $g$ est la dérivée d'une fonction $ \Phi $ définie sur $\left]0\,; 15\right]$. 

Déterminer le sens de variation de $\Phi$ sur $\left]0\,; 15\right]$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie 2: étude de fonction.}

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[1\,; 15\right]$ par :
    \[ f(x) = x\bigl[2(\ln{x})^2-9\ln{x} + 11\bigr]. \]
\begin{questions}
    \item
        \begin{questions}
            \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $ f'(x) = 2(\ln{x}-0{,}5)(\ln{x}-2)$.

            \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
        \end{questions}

    \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant par des valeurs décimales approchées à $ 10^{-2} $ près de $f(x)$.

            \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
            \begin{array}{|R|*{5}{r|}}
            \hline
                x & 1,00 & 2,00 & 5,00 & 10,00 & 15,00\\
            \hline
                f(x) & & & & & \\
            \hline
            \end{array}
            \]

    \item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal $ (O , \vec{\imath} , \vec{\jmath}) $ (unité graphique : 1 cm).
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie 3: calcul d'aire.}

On considère la fonction $F$ définie sur $\left[1\,;15\right] $ par :
    \[ F(x) = x^2 \bigl(a(\ln x)^2 + b\ln x + c\bigr) \quad a ,\ b ,\ c \in \R. \]
\begin{questions}
    \item Déterminer $a$, $b$ et $c$ pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\left[1\,;15\right] $.

    \item Calculer, en centimètres carrés, l'aire $A$ du domaine limité par la courbe~$\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x = \nep $ et $x = \nep^2 $.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX16

\begin{corrige}

\subsubsectionnn{Partie 1: lecture graphique.}

\begin{questions}
    \item $ 0,5 < \alpha < 1$.

    \item
        \begin{questions}

            \item $ g'(x)<0 $ si et seulement si $g$ est strictement décroissante. D'après le dessin, c'est le cas sur l'intervalle :
                    \[ \bigl]0 , x_{B}\bigr[ = \bigl]0 , \nep^{\frac{5}{4}}\bigr[. \]

            \item $g(x) \ge 0 \iff x\in \big]0\, ; x_{A}\big] \cup \big[x_{C}\,; 15\big] = \big]0\, ; \sqrt{\nep}\big] \cup \big[\nep^{2}\, ; 15\big]$.
        \end{questions}

    \item On sait que le sens de variation de $\Phi $ dépend du signe de $g$ car $\Phi'=g$.
        \begin{itemize}
            \item Pour $x\in \big]0\, ;\sqrt{\nep}\big]$ et $\big[\nep^2\,;15\big]$, $g(x) \ge 0$ donc $\Phi$ est croissante.

            \item Pour $x\in \big[\sqrt{\nep}\, ; \nep^{2}\big]$,
               $g(x) \le 0$ donc $\Phi$ est décroissante.
        \end{itemize}
    \end{questions}

\subsubsectionnn{Partie 2 : étude d'une fonction.}

\begin{questions}

\item
\begin{questions}

\item On a $f(x) = x[2(\ln{x})^2-9\ln{x} + 11]$. $f$ est dérivable sur $ \left]0\,; + \infty\right[ $ (car $f$ s'obtient à partir de la fonction $\ln$ par produit et composition avec une fonction polynôme).
        \begin{align*}
             f'(x) & = 1\times\left[2(\ln{x})^2-9\ln{x} + 11\right] + x\left(\frac{4\ln{x}}{x}-\frac{9}{x}\right) \\
             & = 2(\ln{x})^2-(9-4)\ln{x} + 11-9 \\
             & = 2(\ln{x})^2-5\ln{x} + 2.
        \end{align*}

    On vérifie qu'on a bien la forme factorisée annoncée :
        \[
		\begin{aligned}
		2(\ln x - 0,5)(\ln x - 2) &= 2\left((\ln x)^2 - 2,5\ln x + 1\right) \\
		&= 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2.
		\end{aligned}\]

\item On étudie le signe de $f'$ sous sa forme factorisée :
        \begin{align*}
            f'(x) = 0 & \iff \ln x - 0{,}5 = 0 \quad \text{ ou } \quad \ln x-2 = 0 \\
        	& \iff x = \sqrt{\nep} \quad \text{ ou } \quad x = \nep^2\\
            \ln{x}-0,5 > 0 & \iff \ln x> \dfrac{1}{2} \iff x > \nep^{\frac{1}{2}} \iff x > \sqrt{\nep} \\
            \ln{x}-2 > 0 & \iff \ln x > 2 \iff x > \nep^2.
        \end{align*}
        \Par
Calculons les extrema de $f$ :
\Par
    \begin{align*}
       f(\sqrt{\nep}) 	& = \sqrt{\nep}\left(2\left(\ln{\sqrt{\nep}}\right)^2 - 9\ln{\sqrt{\nep}} + 11\right) \\
          & = \sqrt{\nep}\left(2\left(\frac{1}{2}\right)^2-9\frac{1}{2} + 11\right) \\
    	 & = \sqrt{\nep}\left(\frac{1}{2}-\frac{9}{2} + 11\right) \\
    	 &	 = 7\sqrt{\nep}. 
    	 \end{align*}

    	 \begin{align*}
       f(\nep^2) & = \nep^2\left(2(\ln{\nep^2})^2-9\ln{\nep^2} + 11\right) \\
            & = \nep^2\left(2(2)^2-9\times2 + 11\right) \\
    	 & = \nep^2. \\
       f(15) 	& = 15\left(2(\ln{15})^2-9\ln{15} + 11\right) \approx 19{,}4.
    \end{align*}

D'où le tableau de variations de $f$ :
\[
\begin{array}{|R|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
  x &1 & & \sqrt{\nep} & & \nep^2\rule{0pt}{1em} & & 15\\
        \hline
            \ln x - 0,5 & & - & 0 & + & & + & \\
            \hline
            \ln x - 2 & & - & & - & 0 & + & \\
        \hline
            f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
        \hline
        & & & 7\sqrt{\nep}\rule{0pt}{1em} & & & & f(15)\\
f(x) & & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
        & 11& & & & \nep^2 & & \\
        \hline
\end{array}
\]
\end{questions}

\item \raisebox{1em}{\begin{tabular}[t]{|R|*{6}{c|}}
\hline
            $x$	& 1,00 & 2,00 & 5,00 & 10,00 & 15,00 \\
        \hline
            $f(x)$ & 11,00 & 11,45 & 8,48 & 8,81 & 19,42 \\
        \hline
\end{tabular}}
  
\item \raisebox{-5cm}{\includegraphics{06_img_09}}
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie 3 : calcul d'aire.}

\begin{questions}
\item $F$ est une primitive de $f$ sur $I = ]0, + \infty[$ à condition que $F$ soit dérivable et $F' = f$ sur $I$. Or, $F$ est bien dérivable sur $I$ (mêmes raisons que pour $f$).
        \begin{align*}
            F(x) & = x^{2}\left(a(\ln{x})^2 + b\ln{x} + c\right) \\
            F'(x) & = 2x\left(a(\ln{x})^2 + b\ln{x} + c\right)
        	 + x^{2}\left(2a\frac{\ln{x}}{x} + \frac{b}{x}\right)\\
            & = 2ax\left(\ln{x}\right)^2 + (2bx + 2ax)\ln{x} + (2cx + bx)\\
            & = x\left( 2a(\ln{x})^2 + (2b + 2a)\ln{x} + (2c + b)\right)\\
            f(x) & = x\left( 2(\ln{x})^2-9\ln{x} + 11 \right)
        \end{align*}

En divisant par $x$ (sachant que $x \neq 0$) :
        \begin{gather*}
           F'(x) = f(x) \quad \text{ pour tout } x > 0 \\
           \iff 2a(\ln{x})^2 + (2b + 2a)\ln{x} + (2c + b) = 2(\ln{x})^2-9\ln{x} + 11
        \end{gather*}
% \newpage
On se ramène à identifier deux polynômes en posant $X = \ln{x}$ :
    \begin{gather*}
           F'(x) = f(x) \quad \text{ (pour tout $x > 0$)} \\
          \iff 2aX^2 + (2b + 2a)X + (2c + b) = 2X^2-9X + 11
          \quad \text{ (pour tout $X \in \R$)}\\
           \left\{
           \begin{aligned}
                & a = 1\\
                & 2b + 2a = -9 \\
                & 2c + b = 11
           \end{aligned}
           \right.
           \iff
           \left\{
              \begin{aligned}
                & a = 1\\
                & b = \frac{-9-2a}{2}\\
                & c = \frac{11-b}{2}
              \end{aligned}
            \right. \iff
            \left\{
              \begin{aligned}
                & a = 1\\
                & b = -\frac{11}{2}\\
                & c = \frac{33}{4}
              \end{aligned}
            \right. \\
        F(x) = x^2\left((\ln{x})^2-\frac{11}{2}\ln{x} + \frac{33}{4}\right).
        \end{gather*}

    \item L'aire recherchée $A$ est telle que :
    \begin{align*}
       A & = \int_{\nep}^{\nep^2}f(x)\, dx
    	 = F(\nep^{2})-F(\nep) \quad \text{ unités d'aire (ici, le cm$^2$)}\\
       & = \nep^{4}\left(4-\frac{11}{2}\times2 + \frac{33}{4}\right)
    	- \nep^{2}\left(1-\frac{11}{2} + \frac{33}{4}\right)
        = \frac{5}{4}\nep^{4}-\frac{15}{4}\nep^{2} \\
       & = \frac{5\nep^{2}}{4}\left(\nep^{2}-3\right)
       \approx 40,54 \, \text{cm}^2 \quad \text{ (à $10^{-2}$ près).   }
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX17

\begin{exo}{Suite et algorithme}{Lycée Victor Dupuy, Paris}{3}{20}
La suite $(u_n)$ est définie pour tout $n$ par :
\[
u_n=\int_n^{n+1}\nep^{-x}\dd x\;.
\]
\begin{questions}
\item

\begin{questions}
\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
\item Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{questions}

\item Calculer la somme $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n$.
\item Donner une interprétation géométrique de $S_n$.
\item Déterminer la limite de $S_n$ quand $n$ tend vers l'infini. 

On remarquera que $\nep^{-n}=\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^n$.

\newpage

\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\Par

Louen a écrit l'algorithme ci-dessous pour trouver la limite de $S_n$ à  $10^{-A}$ près, avec $A$ entier positif. 	

\Par

\begin{algorithme}
Variables
\qquad A et K sont entiers naturels
\qquad S est réel
Entrée
\qquad Donner une valeur à A
Traitement
\qquad K prend la valeur 0
\qquad S prend la valeur 0
\qquad U prend la valeur 1-$\nep^{-1}$
\qquad Tant que U$\geqslant$10$^{-\text{A}}$ Faire :
\qquad\qquad S prend la valeur S+U
\qquad\qquad K prend la valeur K+1
\qquad\qquad U prend la valeur $\nep^{-\text{K}}-\nep^{-\text{(K+1)}}$
\qquad Fin de Tant que
Sortie
\qquad\qquad Afficher S
\end{algorithme}

\Par

Après avoir programmé sa calculatrice, il obtient  \numprint{0,993262053} pour $A=2$ et considère que son algorithme répond à la question posée.

Par contre, si on entre $A=1$, il s'affiche \numprint{0,864664716} et pour $A=4$, il s'affiche \numprint{0,999876590}.
 
Justifier que ce ne sont pas des approximations ni à $10^{-1}$ ni à $10^{-4}$  près de la limite de $S_n$.

Quelle erreur a fait Louen en concevant son algorithme ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX17

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\displaystyle u_0=\int_0^1 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_0^1=-\nep^{-1}-\big(-\nep^0\big)=1-\dfrac{1}{\nep}$.

$u_1=\displaystyle\int_1^2 \nep^{-x}\dd x=\big[-\nep^{-x}\big]_1^2=-\nep^{-2}-\big(-\nep^{-1}\big)=\dfrac{1}{\nep}-\dfrac{1}{\nep^2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & =\int_n^{n+1} \nep^{-x}\dd x\\
 & =\big[-\nep^{-x}\big]_n^{n+1}\\
 & =-\nep^{-(n+1)}-\big(-\nep^{-n}\big)\\
 & =\dfrac{1}{\nep^n}-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
 \end{aligned}$
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & =u_0+u_1+\cdots+u_n\\
 & =\int_0^1 f(x)\dd x+\int_1^2 f(x)\dd x+\cdots+\int_n^{n+1} f(x)\dd x\\
 & =\int_0^{n+1}\nep^{-x}\dd x\qquad\text{par linéarité de l'intégrale}\\
 & =1-\dfrac{1}{\nep^{n+1}}.
\end{aligned}$

\item $S_n$ est l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation $y=\nep^{-x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=n+1$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\nep^{n+1}}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(\dfrac{1}{\nep}\right)^{n+1}\right]=0$    car $0<\dfrac{1}{\nep}<1$. 

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n=1$.
\enlargethispage*{2em}
\item Comme la limite de $S_n$ est 1, on voit que les écarts avec 1 sont strictement supérieurs à $10^{-1}$ ou $10^{-4}$. On pourrait imaginer que c'est juste un problème d'arrondi des valeurs par la calculatrice, mais c'est en réalité une erreur de la part de Louen. En effet, il arrête la boucle, dès que le terme $u_i<10^{-A}$, mais il n'est pas certain qu'en ajoutant plusieurs termes inférieurs à $10^{-A}$, il n'obtient pas une quantité plus grande que $10^{-A}$.
\end{questions}
\end{corrige}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige

\endinput
