\chapter{Probabilités conditionnelles}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exointro}{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine}
  À Probabland, de tout temps, il naît 40\,\% de garçons et 60\,\% de filles. Dans ce pays, le daltonisme (déformation génétique bénigne qui
  rend incapable de voir certaines couleurs) touche dès la naissance 30\,\% des bébés filles et 25\,\% des bébés garçons.

  \begin{questions}
  \item La petite Ève vient de naître à Probabland. Quelle est la probabilité qu'Ève soit atteinte par le daltonisme ?

  \item Le petit Tom vient de naître à Probaland. Quelle est la probabilité que Tom soit daltonien ?

  \item Paul et Marie viennent de se marier. Quelle est la probabilité que leur futur bébé soit une fille daltonienne ?

  \item Quelle est la probabilité que ce futur bébé soit daltonien ?

  \item Dans les familles probablandaises de trois enfants, quelle est la probabilité d'avoir un enfant daltonien et un seul ?

  \item Que devient cette probabilité dans les familles de quatre enfants ?

  \item Donner la loi de probabilité suivie par le nombre d'enfants daltoniens dans une famille de quatre enfants.

  \item Quel est en moyenne le nombre d'enfants daltonien par famille de quatre enfants ?
  \end{questions}

  On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.
\end{exointro}

\clearpage

\section{Probabilités (rappels)}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{props}
  Pour tous événements A et B :
  \begin{itemize}
  \item On note $\bar{A}$ l'événement contraire de $A$. On a alors :
  $p(\bar{A}) = 1-p(A)$ ;

  \item $p(A\cup B) = p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
  \end{itemize}
\end{props}

\begin{aretenir}
  Utilisez $\bar{A}$ lorsque l'intitulé de A contient «~au moins un\dots~». $\bar{A}$ s'exprime alors avec «~aucun~», il est donc en général facile de calculer 
  $p(\bar{A})$, et on obtient alors :  $p(A)=1-p\big(\bar{A}\big)$.
\end{aretenir}

\begin{thm}
  Dans le cas d'équiprobabilité :
  \begin{itemize}
  \item pour tout événement élémentaire $e_i$,
    \[ p(e_i) = \dfrac{1}{\text{nombre total d'événements élémentaires}} \]
  \item pour tout événement A,
    \[ p(A) = \dfrac{\text{nombre d'événements élémentaires constituant A}}{\text{nombre total d'événements élémentaires}}. \]
  \end{itemize}
\end{thm}

\subsection{Loi binomiale}

\begin{defins}
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues.

Soit un entier naturel $n$ non nul et un nombre réel $p$ de l'intervalle $[0\,;1]$.

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ correspond à la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $p$ désignant la probabilité de succès.

La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès obtenus lors d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Lors d'un schéma de Bernoulli formé de $n$ épreuves répétées, on appelle coefficient binomial « $k$ parmi $n$ » le nombre de chemins menant à $k$ succès.
\end{defins}

\newpage

\begin{prop}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors pour tout entier $k$, avec $0 \le k \le n$ :
\[
P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
\end{prop}

\vspace*{-1em}
\begin{aretenir}
Le nombre $\dbinom{n}{k}$ s'obtient à la calculatrice à l'aide des séquences suivantes :
\begin{itemize}
\item Sur CASIO : $n$ \T{OPTN} \T{PROB} \T{nCr} $k$
\item Sur TI : $n$ \T{math} \T{PRB} $\boxed{\text{3:\,Combinaison}}$ $k$
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{Remarque}la calculatrice peut également calculer directement $P(X = k)$ et $P(X \le k)$ :

\begin{tabular}{|C|>{\centering\arraybackslash}S{m{40mm}}|>{\centering\arraybackslash}m{46mm}|}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}} & \psline(-1.71,0.36)(7.8,0.36) CASIO & TI\\
 \hline
Syntaxe & \T{OPTN} \T{STAT} puis $\boxed{\text{DIST}}$, $\boxed{\text{BINM}\strut}$, $\boxed{\text{Bpd}\strut}$ ou $\boxed{\text{Bcd}\strut}$ 
& 
Menu $\boxed{\text{DISTRIB}}$ (2\up{nd} var), puis $\boxed{\text{BinomFdp}}$ ou $\boxed{\text{BinomFRep}}$\\
\hline
$P(X=k)$ & BinomialPD($k$,$n$,$p$) & BinomFdp($n$,$p$,$k$)\\
\hline
$P(X\le k)$ & BinomialCD($k$,$n$,$p$) & BinomFRep($n$,$p$,$k$)\\
\hline
\end{tabular}
\end{Remarque}

\begin{prop}
L'espérance de $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $E(X) = np$.
\end{prop}

\vspace*{-2em}
\section{Conditionnement}
\enlargethispage*{3em}
\subsection{Probabilité d'un événement B sachant A}

\begin{defin}
  A et B sont deux événements d'un univers $ \Omega $ tels que $p(A) \neq 0$, la probabilité de l'événement B sachant A, notée $p_{A}(B)$ est $p_{A}(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} $.
\end{defin}

\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item La probabilité de B sachant A est la probabilité que B soit réalisé dans l'univers~A.

  \item Dans le cas d'équiprobabilité,
  \[p_{A}(B) = \dfrac{\text{nombre d'événements élémentaires de }A\cap B}{\text{nombre d'événements élémentaires de }A}. \]
  \end{itemize}
\end{Remarques}
\newpage
\begin{aretenir}
  Pour calculer $p_{A}(B)$, vous pouvez
  \begin{itemize}
  \item soit utiliser la définition si vous connaissez $p(A \cap B)$ et $p(A)$ ;
  \item soit déterminer les résultats qui réalisent A et, parmi ceux-ci, calculer la probabilité de ceux qui réalisent B.
  \end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{prop}
  Soient A et B deux événements de probabilités non nulles :
    \[p(A{\cap}B) = p_{A}(B)\times p(A) = p_{B}(A)\times p(B). \]
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Formule des probabilités totales}

\begin{defin}
  Les événements $B_{1},B_{2},\dots,B_{n}$ forment une partition de $\Omega$, si les $B_{i}$ sont non vides, deux à deux disjoints et que leur réunion est $\Omega$.
\end{defin}

\begin{thm}
  Si les événements $B_{1},B_{2},\dots{},B_{n}$ forment une partition de $\Omega$, alors, pour tout événement {A},
    \[ p(A) = p(A{\cap}B_{1}) + p(A{\cap}B_{2}) + \ldots + p(A{\cap}B_{n}), \]
  soit
    \[ p(A) = p_{B_1}(A)\times p(B_1) + p_{B_2}(A)\times p(B_2) + \dots + p_{B_n}(A)\times p(B_n) \]
\end{thm}

\emph{Conséquence}

Pour tout événement A et tout événement B de probabilité non nulle,
    \[ p(A) = p(A \cap \bar{B})+p(A\cap B) = p_{\bar{B}}(A)\times p(\bar{B})+p_{B}(A)\times p(B). \]


\begin{solintro}

Notons $ F, G, D $ les événements «~être une fille~», «~être un garçon~», «~être daltonien~».

Traduisons les données en termes de probabilités :

il nait 40\,\% de garçons soit $p(G) = 0,4$ ;

il nait 60\,\% de filles soit $p(F) = 0,6$ ;

parmi les filles, 30\,\% sont daltoniennes soit $p_{F}(D) = 0,3$ ;

parmi les garçons, 25\,\% sont daltoniens soit $p_{G}(D) = 0,25$.
\Break
Nous pouvons alors construire l'arbre pondéré ci-dessous :
\Par
    \begin{center}
      \includegraphics{007_coursSolintro1-p200_048} 
    \end{center}

\begin{questions}
\item On sait que \`Eve est un bébé fille donc la probabilité qu'elle soit atteinte de daltonisme est $p_{F}(D) = 0,3$.

\item De même, la probabilité que Tom soit daltonien est $p_{G}(D) = 0,25$.

\item On ne sait pas à l'avance le sexe du bébé.

  On cherche donc la probabilité pour que le bébé soit une fille et que le bébé soit daltonien soit $p(F\cap D)$.
    \[ p(F\cap D) = p(F)\times p_{F}(D) = 0,6\times 0,3 = 0,18. \]%
  La probabilité pour que le futur bébé soit une fille daltonienne est 0,18.

\item Le bébé est daltonien soit si c'est une fille daltonienne, soit si c'est un garçon daltonien, comme les événements F et G forment une partition de l'univers $ \Omega $, d'après la formule des probabilités totales :
    \begin{gather*}
      p(D) = p(F\cap D)+p(G\cap D) \\
    \intertext{Or,}
      p(G\cap D) = p(G)\times p_{G}(D) = 0,4\times 0,25 = 0,1. \\
    \intertext{Donc :}
    p(D) = 0,1+0,18 = 0,28.
    \end{gather*}

  La probabilité que ce futur bébé soit daltonien est $0,28$.


\item Les familles de $n$ enfants, $n$ étant fixé, obéissent à un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves, la $i$-ième épreuve étant associée à la naissance du $i$-ième enfant.

  À chaque naissance, ou bien l'enfant est daltonien (succès) ou bien le contraire (échec).

  Les naissances étant indépendantes les unes des autres, la probabilité du succès est $p(D) = 0,28$.
\BreakWithoutItem
  Représentons le cas d'une famille de trois enfants à l'aide d'un arbre :
      \begin{center}
        \includegraphics{007_coursSolintro2-p201_049}
      \end{center}
  Un résultat pour une famille correspond à un chemin dans l'arbre.


  Il y a $2\times 2\times 2 = 8$ cas possibles.
  Il y a 3 résultats où la famille a un seul enfant daltonien :
  $ \left(D,\bar{D},\bar{D}\right) $ ou $ \left(\bar{ D}, D,\bar{D}\right) $ ou $ \left(\bar{{D}}, \bar{D}, D\right) $, et
      \[ p\left(D, \bar{D}, \bar{D}\right) = p\left(\bar{D}, D, \bar{D}\right) = p\left(\bar{D}, \bar{D} , D\right) = 0,28\times 0,72^2. \]%.


  D'où, la probabilité, dans une famille de trois enfants, d'avoir un enfant daltonien et un seul est égale à $3\times 0,28\times 0,72^2 \approx 0,435$.
 

\item Pour une famille de quatre enfants, le raisonnement est le même.

  Il y a quatre résultats où la famille a un seul enfant daltonien, ces résultats ont la même probabilité, d'où, la probabilité dans une famille de quatre enfants d'avoir un enfant daltonien et un seul est égale à $4\times 0,28\times 0,72^3 \approx 0,418$.

\item Ici, nous sommes en présence de la répétition de 4 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité $p = 0,28$, la loi de probabilité du nombre d'enfants daltoniens est donc la loi binomiale de paramètres $ 4 $ et $0,28$.

  Notons $p(k)$ la probabilité d'avoir $k$ enfants daltoniens dans une famille de quatre enfants.

  $k = 0$ correspond a une famille n'ayant aucun enfant daltonien, soit le résultat $ \left(\bar{D},\bar{D},\bar{D},\bar{D}\right) $,
  d'où $p(0) = 0,72^4 \approx 0,269$.

  $k = 1$ correspond a une famille ayant un seul enfant daltonien sur quatre. D'après la question précédente : 
  \[ p(1) = 4\times 0,28 \times 0,72^3 \approx 0,418. \]

  $k = 2$ correspond à une famille ayant deux enfants daltoniens sur quatre. Il y a six résultats possibles et donc $p(2) = 6\times 0,28^2 \times 0,72^2 \approx 0,244$.
\BreakWithoutItem
  $k = 3$ correspond à une famille ayant trois enfants daltoniens sur quatre. Il y a quatre résultats possibles et donc ;
\[  p(3) = 4 \times 0,28^3 \times 0,72 \approx 0,063. \]

  $k = 4$ correspond à une famille ayant quatre enfants daltoniens sur quatre. Il y a un seul résultat possible et donc $p(4) = 0,28^4 \approx 0,006$.

  D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité du nombre d'enfants daltoniens dans une famille de quatre enfants :

  \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\raggedleft}M{26mm}|*{6}{>{\centering}X|}}
      \hline Nombre d'enfants daltoniens ($ k $) & 0 &
      1 & 2 & 3 & 4 &
      Total\tabularnewline\hline $ p(k) $ & 0,269 & 0,418 & 0,244 & 0,063 & 0,006 & \centering 1\tabularnewline
      \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
    \begin{Remarque}vérifiez bien que la somme des probabilités est égale à 1.
    \end{Remarque}

\item Le nombre d'enfants daltoniens en moyenne dans une famille de quatre enfants est l'espérance mathématique de la loi binomiale de
  paramètres $(4 \,;0,28)$ soit :
 $$E = 4\times 0,28 = 1,12.$$


  \begin{Remarque}l'espérance se calcule aussi à l'aide des résultats trouvés comme une moyenne soit :
        \[ E = 0,269\times 0 + 0,418\times 1 + 0,244\times 2 + 0,063\times 3 + 0,006\times 4 \approx 1,119. \]
  La différence entre les deux résultats s'explique par les arrondis.
  \end{Remarque}

\begin{Remarque}les questions 5, 6, 7 et 8 font appel au programme de première, qu'il faut connaître aussi pour le baccalauréat.
\end{Remarque}

\end{questions}
\end{solintro}

\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../ILTES"
%%% End:
