\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM1

\begin{qcm}{Propriétés des probabilités}{15}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
\begin{questions}

\item $A$ et $B$ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $ p(A) = 0,3$, $p_A(B) = 0,4 $ et $ p_{\bar{A}}(B) = 0,2$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
 \choix $p(B) = 0,26$&
 \choix $p(A\cap B)= 0,4$ &
        \choix $p(A\cup B) = \dfrac{109}{130}$
 \end{tabularx}
    
\item $ A $ et $ B $ sont des événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A) = 0,6$, $p(A\cup B) = 0,8$ et $p(A\cap B) = p(A)p(B)$. Alors\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p(A\cap B) = 0,48$&
        \choix $p(B) = 0,2$&
        \choix $p_A(B) = 0,5$
    \end{tabularx}

\item $ A $ et $ B $ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A\cap B) = 0,8$ et $p_{A}(B) = 0,25$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p(A) = 0,2$&
        \choix C'est impossible&
        \choix $p(B) = 0,9$
    \end{tabularx}

\item $ A $ et $ B $ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A\cap B) = 0,12$ et $p(\bar{A}\cap B) = 0,36$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p_B(A) = 0,24$&
        \choix $p_B(A) = 0,48$&
        \choix $p_B(A) = 0,25$
    \end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM1

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[a]:
    \begin{align*}
      p(B) & = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = p(A) p_A(B) + p(\bar{A})p_{\bar{A}}(B) \\
       & = 0,3\times 0,4 + (1 - 0,3)\times 0,2 = 0,26.
    \end{align*}

  \begin{attention}
    Il ne faut pas confondre $p(A\cap B)$ avec $p_A(B)$, la réponse \choix[b] est donc fausse.
  \end{attention}


\item Réponse\choix[c]: si $A$ et $B$ sont tels que $ p(A\cap B) = p(A)\times p(B) $, alors
    \begin{gather*}
    \begin{aligned}
          p(A \cup B) & = p(A) + p(B)-p(A\cap B)\\
           & = p(A) + p(B)-p(A)\times p(B),
      \intertext{d'où :}
        0,8 & = 0,6 + p(B)-0,6\times p(B) \\
         & \iff 0,4\times p(B) = 0,2 \iff p(B) = 0,5.
    \end{aligned} \\
      \intertext{Donc }
    p_{A}(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A)p(B)}{p(A)} = p(B) = 0,5
    \end{gather*}

\item Réponse\choix[b]. En effet, $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$. Comme $p(A)\le 1$, cela montre que $p_A(B)$ doit être supérieur ou égal à $p(A\cap B)$. Il n'est donc pas possible d'avoir les valeurs annoncées.

\item Réponse\choix[c]: comme $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales : 
$$ p(B) = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = 0,12 + 0,36 = 0,48.$$

Comme $p_{{B}}(A) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,12}{0,48}$, alors $ p_B (A) = 0,25$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM2

\begin{qcm}{D'après Bac Asie juin 2008}{10}

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Les élèves de deux classes de terminale ES (désignées par TE\,1 et TE\,2) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV, Math) de la façon suivante :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|R|*3{Sc|}}
    \hline\tabulartitle
    Spécialité & TE\,1 & TE\,2 & Total \\\hline
    SES & 16 & 8 & 24 \\\hline
    LV & 12 & 14 & 26 \\\hline
    Math & 6 & 10 & 16 \\\hline
    Total & 34 & 32 & 66 \\\hline
  \end{tabular}
\end{center}

\Par

On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les quatre questions suivantes :

\begin{questions}
\item La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE\,1 est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{1}{66}$&
        \choix $\dfrac{1}{34}$&
        \choix $\dfrac{17}{33}$
    \end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la TE\,1 est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{2}{3}$&
        \choix $\dfrac{25}{33}$&
        \choix $\dfrac{1}{11}$
    \end{tabularx}
\newpage
\item La probabilité que l'élève interrogé suive la spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE\,1 est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{1}{34}$&
        \choix $\dfrac{1}{11}$&
        \choix $\dfrac{3}{17}$
    \end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE\,1 sachant qu'il suit la spécialité Math est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{3}{17}$&
        \choix $\dfrac{14}{17}$&
        \choix $\dfrac{3}{8}$
    \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM2

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[c]: l'ensemble des élèves des deux classes comportent 66 élèves.

  On interroge un élève au hasard, il y a donc équiprobabilité des choix des élèves interrogés.

  N'oubliez pas de justifier l'équiprobabilité, ici, par le mot \og hasard\fg .

  Soit $E_{1}$ l'événement \og  l'élève choisi appartient à la TE\,1 \fg .

  Alors $p(E_1) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{ 34}{66} = \dfrac{17}{33}$.


\item Réponse\choix[a]: Soit $M$ l'événement \og  l'élève choisi suit l'enseignement spécialité Math\fg  et $E$ l'événement \og  l'élève choisi
  suit l'enseignement de spécialité Math ou appartient à la TE\,1\fg .

  L'événement $E$ est la réunion des deux événements $M$ et $E_1$ et donc
    \[ p(E) = p(M\cup E_1) = p(M) + p(E_1)-p(M\cap E_1). \]%

  Il y a toujours équiprobabilité des choix des élèves interrogés, d'où
    \[ p(M) = \dfrac{16}{66} = \dfrac{8}{33}\enspace\text{ et }\enspace p(M\cap E_1) = \dfrac{6}{66} = \dfrac{1}{11}. \]%
  On en déduit que : $p(E) = \dfrac{8}{33} + \dfrac{17}{33}-\dfrac{3}{33} = \dfrac{22}{33} = \dfrac{2}{3}$.

\item Réponse\choix[c]: L'événement \og  l'élève interrogé suit la spécialité Math sachant qu'il appartient à la TE\,1\fg  est l'événement \og $M$ sachant $E_{1}$\fg  et $ p_{E_1}(M) = \dfrac{p(M\cap E_1)}{p(E_1)}$, d'où $p_{E_1}(M) = \dfrac{1}{11}\times \dfrac{33}{17} = \dfrac{3}{17}$.

\item Réponse\choix[c]: L'événement \og l'élève interrogé appartient à la TE\,1 sachant qu'il suit la spécialité Math\fg  est l'événement
  \og $E_1$ sachant $M$\fg  et $ p_{M}(E_1) = \dfrac{p(M\cap E_1)}{p(M)}$ d'où $ p_{M}(E_1) = \dfrac{1}{11}\times \dfrac{33}{8} = \dfrac{3}{8} $.

  \begin{Remarque}ne confondez pas la probabilité de l'événement \og $M$ sachant $E_{1}$\fg  qui est la probabilité que $M$ se réalise dans l'univers $E_{1}$ et la probabilité de l'événement \og $E_{1}$ sachant $M$\fg  qui est la probabilité que $E_{1}$ se réalise dans l'univers $M$.
  \end{Remarque}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM3 %

\begin{vf}{Interprétation d'un arbre}{15}
On a résumé des informations d'une expérience dans l'arbre ci-dessous :
    \begin{center}
        \includegraphics{007_ex3enonce-p205_050}
    \end{center}
Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous :\resetchoix\par 
\begin{questions}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
         \item $p_A(D) = 0,2$&
         \item $p(C) = 0,2$\\
         \item $p(B) = 0,14$&
         \item $p_D(A) = \dfrac{5}{16}$
    \end{tabularx}
\end{questions}
\end{vf}

%% CORR QCM3

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item Faux : $p_A(D) = 0,5$.

  \item Faux : $ p(C) = p(A)p_A(C) + p(\bar{A})p_{\,\bar{A}}(C) = 0,12 + 0,12 = 0,24 $

  \item Vrai : $ p(B) = p(A)p_A(B) + p(\bar{A})p_{\,\bar{A}}(B) = 0,08 + 0,06= 0,14 $

  \item Faux : $p_D(A) = \dfrac{p(D\cap A)}{p(D)} = \dfrac{0,4\times 0,5}{0,4\times 0,5 + 0,6\times 0,7} = \dfrac{0{,2}}{0,62} = \dfrac{10}{31}$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM 4

\begin{vf}{Test de dépistage}{20}
Un laboratoire propose un test de dépistage d'une maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes :
    \begin{itemize}
      \item la probabilité qu'un individu atteint de cette maladie ait un test positif est $ 0,95 $.
      \item la probabilité pour qu'un individu non atteint par cette maladie ait un test négatif est aussi $ 0,95 $.
    \end{itemize}

On choisit un individu au hasard et on note : $ M $ l'événement \og l'individu est malade\fg  et $ T $ l'événement \og le test est positif\fg .

Répondre par vrai ou faux aux affirmations ci-dessous :

\begin{questions}
  \item On réalise un dépistage dans une population donnée dans laquelle la proportion d'individus atteints de la maladie est $0,001$. \\ Alors $p(T) = \nombre{0,0509} $.

  \item $ p_T(M) = 0,001 $ à $ 10^{-3} $ près.

  \item La valeur de $ p_T(M) $ diminue lorsque la proportion de personnes atteintes de la maladie dans la population augmente.

  \item Dans cette question, on choisit au hasard et de façon indépendante quatre personnes dans la population. La probabilité qu'au moins une personne ait un test positif est comprise entre $ 0,188 $ et $ 0,189 $.

\end{questions}
\end{vf}

%% CORR QCM4

\begin{corrige}
L'énoncé nous indique que :
    \[ p(M) = 0,001, \enspace p_M(T) = 0,95,\enspace p_{\,\bar{M}}(\bar{T}) = 0,95. \]%

\begin{questions}

   \item \label{chap7ex4_1} Vrai : d'après les données de l'énoncé,
        \begin{align*}
          p(T) & = p(M) p_M(T) + p(\,\bar{M})p_{\bar{M}}(T) \\
          & = 0,001 \times 0,95 + 0,999\times 0,05 = \nombre{0,0509}
        \end{align*}

  \item Faux : $p_T(M) = \dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} = \dfrac{0,001 \times 0,95}{\nombre{0,0509}} \approx \nombre{0,0187}$.

  \item Faux : appelons $ x $ la proportion de malades dans la population.
    \begin{align*}
      p_T(M) & = \dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} = \dfrac{x\times 0,95}{x\times 0,95 + (1-x)\times 0,05} \\
       & = \dfrac{0,95 x}{0,90 x + 0,05} .
    \end{align*}
Étudions le sens de variation de la fonction $ f $ définie sur $\left[0; 1\right]$ par $f(x) = \dfrac{0,95 x}{0,9 x + 0,05}$ :
    \begin{align*}
      f'(x) & = \dfrac{0,95(0,9x + 0,05) - 0{,95}x\times 0{,9}}{(0,9x + 0,05)^2}\\
        & = \dfrac{\nombre{0,0475}}{(0,9 x + 0,05)^2}.
    \end{align*}
 $ f '(x) $ est positive pour tout $ x $, donc la fonction est croissante.

  \item Vrai : soit $ X $ le nombre de personnes malades parmi les quatre choisies au hasard. Comme il y a indépendance, $ X $ suit la loi binomiale $ B(4 \;; \nombre{0,0509}) $ (voir question \ref{chap7ex4_1}).

L'événement contraire de celui dont on cherche la probabilité est l'événement \og aucune des quatre personnes n'a un test positif\fg , et sa probabilité est $(1 - \nombre{0,0509})^4 $. \\
La probabilité cherchée est donc $1- (1 - \nombre{0,0509})^4 $, et ce nombre est bien compris entre $ 0,188 $ et $ 0,189 $.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Conditionnement}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX5

\begin{exo}{Génétique}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{30} 

Une population est constituée de 100 personnes (40 hommes et 60 femmes), telles que :
    \begin{itemize}
    \item 50 personnes ont les yeux bleus,
    \item 60\,\% des hommes ont les yeux bleus.
    \end{itemize}

On choisit au hasard une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

Calculer, sous forme de fraction irréductible, les probabilités des événements suivants :
    \begin{questions}
      \item $A$ : \og Avoir choisi un homme\fg .

      \item $B$ : \og Avoir choisi un homme aux yeux bleus\fg .

      \item $C$ : \og Avoir choisi une femme aux yeux bleus\fg .

      \item $D$ : \og Avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c'est une femme\fg .

      \item $E$ : \og Avoir choisi une femme, sachant que c'est une personne ayant les yeux bleus\fg .

    \end{questions}
    \end{exo}
    
%% CORR EX5

\begin{corrige}
Un tel énoncé se traduit bien à l'aide d'un tableau à deux entrées. Il est facile de calculer les quelques effectifs qui ne sont pas donnés dans l'énoncé :

Il y a $0,6\times40=24$ hommes aux yeux bleus, donc $50-24=26$ femmes aux yeux bleus.

Il restent donc $40-24=16$ hommes qui n'ont pas les yeux bleus et \\\mbox{$60-26=34$} femmes qui n'ont pas les yeux bleus.

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*3{Sc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{LG}} & \psline(-0.232,0.36)(4.03,0.36) Homme & Femme & Total\\
 \hline
 Yeux bleus & 24 & 26 & 50\\
 \hline
Pas les Yeux bleus & 16 & 34 & 50\\
\hline
Total & 40 & 60 & 100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Comme toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies, on est en situation d'équiprobabilité.

La probabilité est donc égale au nombre de personne dans l'événement choisi, divisé par le nombre de personne de l'univers de référence.

\begin{questions}
\item A : choisir un homme dans la population totale : $p(A)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$.
\item B : choisir un homme aux yeux bleus dans la population totale :

$p(B)=\dfrac{24}{100}=\dfrac{6}{25}$.
\item C : choisir une femme aux yeux bleus parmi la population totale :

$p(C)=\dfrac{26}{100}=\dfrac{13}{50}$.
\item D : choisir une personne aux yeux bleus, parmi la population des femmes : $p(D)=\dfrac{26}{60}=\dfrac{13}{30}$.
\item E : choisir une femme parmi la population des personnes aux yeux bleus : $p(E)=\dfrac{26}{50}=\dfrac{13}{25}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX6

\begin{exo}{Arbre pondéré}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{20}
Dans une ville , une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d'écologie a donné les résultats suivants :
\begin{itemize}
  \item 70\,\% des ménages pratiquent le tri sélectif ;
  \item parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40\,\% consomment des produits bio ;
  \item parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10\,\% consomment des produits bio.
\end{itemize}
On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d'être choisis) et on note :
\begin{itemize}
\item $T$ l'événement \og  le ménage pratique le tri sélectif\fg  et $\bar{T}$ son événement contraire ;
\item $B$ l'événement \og  le ménage consomme des produits bio\fg  et $\bar{B}$ son événement contraire.
\end{itemize}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale. }

\begin{questions}
  \item Donner sans justification la probabilité $p(T)$ de l'événement $T$.

  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  \item
    \begin{questions}
    \item Calculer la probabilité de l'événement : \og  le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio\fg 
    \item Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à $0,31$.
    \end{questions}

\item Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item $p(T) = 0,7$ (le 70\,\% de l'énoncé !).

  \item $p_T(B) = 0,4$ et $p_{\bar{T}}(B) = 0,1$ (là encore, c'est dans l'énoncé).
  
  Les autres probabilités sont obtenues en utilisant le fait que la somme des probabilités des branches partant d'un n\oe ud  est toujours égale à 1.
    \begin{center}
     \includegraphics{007_ex7corrige-p223_053}
    \end{center}

  \item \begin{questions}
            \item $p(T\cap B) = p(T)\times p_T(B) = 0,7\times 0,4 = 0,28$.

            \item D'après la formule des probabilités totales :
            
            $ \begin{aligned}[t]
                     p(B) & = p(T\cap B) + p(\bar{T}\cap B )\\
                      & = 0,7\times 0,4 + 0,3\times 0,1\\
                      & = 0,28 + 0,03\\
                      &= 0,31.
                   \end{aligned}$
        \end{questions}

  \item $p_B(T) = \dfrac{p(B\cap T)}{p(B)} = \dfrac{0,28}{0,31} \approx 0,90$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX7

\begin{exo}{Médailles de judo}{Bac métropole, septembre 2011}{2}{20}

Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion\linebreak Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :

    \begin{center}
            \begin{tabular}{|R|*4{Sc|}}
            \tabulartitle
\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{white}} & 
\psline(-0.237,0.36)(5.295,0.36)
Doullet & Rinar & Vécosse & Total\\\hline
              Fournisseur A & 10 & 10 & 10 & 30 \\\hline
              Fournisseur B & 5 & 10 & 15 & 30 \\\hline
              Total & 15 & 20 & 25 & 60 \\\hline
            \end{tabular}
    \end{center}

Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.

\begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
        \item Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de\linebreak Vécosse est égale à $\dfrac{5}{12}$.

    	\item Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de\linebreak Vécosse et provienne du fournisseur B ?

    	\item Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
    \end{questions}



  \item Pierre remet la médaille dans le colis et répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
        \begin{itemize}
        	\item il tire au hasard une médaille ;
        	\item il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
        \end{itemize}
Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?

\end{questions}
\end{exo}

%%%%% CORR EX7

\begin{corrige}
    \begin{questions}
     \item 
    \begin{questions}
     \item On a : $P(V) = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}$.
     \item On a : $P(V \cap B) = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}$.
     \item On a : $P_V(B) = \dfrac{P(V \cap B)}{P(V)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{12}{5} = \dfrac{3}{5}$.
     
     (ou bien, d'après le tableau, $P_V(B)=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}$)
    \end{questions}

     \item 
	 \begin{methode}
	 Quand un énoncé de probabilité contient les mots \og au moins un \fg (ou \og au moins une \fg ), il faut penser à l'événement contraire.
\end{methode}
Ici en particulier, il est plus simple de chercher d'abord la probabilité de l'événement contraire, qui est : \og aucune médaille n'est à l'effigie de Vécosse \fg. Sa probabilité est $\left(1-\dfrac{5}{12}\right)^3 = \left(\dfrac{7}{12}\right)^3$, et la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse est donc :\\ 
$1-\left(\dfrac{7}{12}\right)^3 = \dfrac{1385}{1728} \approx 0{,}8$.

    \end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX8

\begin{exo}{Pannes électroniques}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{20} %

Une entreprise fabrique des appareils électroniques. La probabilité pour qu'un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est $\dfrac{9}{10}$.

\begin{questions}
\item On note $F$ l'événement:\og  l'appareil fonctionne parfaitement\fg , et $\Moy{F}$ l'événement contraire de $F$. Calculer la probabilité de l'événement $\Moy{F}$.

\item On fait subir à chaque appareil un test avant la livraison; on constate que :
        \begin{itemize}
        \item quand un appareil est en parfait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l'issue du test.

        \item quand un appareil n'est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de $\dfrac{1}{11}$.
        \end{itemize}
        On note $T$ l'événement \og  l'appareil est accepté à l'issue du test\fg .


        \begin{questions}
        \item Montrer que les probabilités des événements \og $T$ et $F$\fg  et\\\og $T$ et $\Moy{F}$\fg  sont respectivement
        égales à $\dfrac{9}{10}$ et $\dfrac{1}{110}$.

        \item En déduire la probabilité de $T$.

        \item Calculer la probabilité de $F$ sachant $T$.
        \end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que $p(F) + p(\Moy{F}) = 1$ par la loi des contraires.

On sait par ailleurs que $p(F) = \dfrac{9}{10}$. Donc:
    \[ p(\Moy{F}) = 1-\dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10} = 0,1. \]

\item On représente sous forme d'un arbre pondéré, les événements en jeu et les probabilités données directement par l'énoncé.\\
On note que $p_F(T) = 1$ car, si l'appareil est bon, il passe toujours le test avec succès.
    \begin{center}
    \includegraphics{007_ex10corrige-p225_054}
    \end{center}
	
        \begin{questions}
        \item Un appareil défectueux ($\Moy{F}$) passe le test avec succès ($T$) avec une probabilité $\dfrac{1}{11}$. On peut donc écrire :
            \[ p_{\,\Moy{F}}(T) = \dfrac{1}{11}. \]
        Utilisons maintenant les probabilités conditionnelles.

        On cherche $p(T\cap \Moy{F})$ en fonction de $p_{\Moy{F}}(T)$.

        On va donc utiliser la formule des probabilités conditionnelles :
            \[ p(T\cap \Moy{F}) = \underbrace{p(\Moy{F})}_{\frac{1}{10}}\times \underbrace{p_{\Moy{F}}(T)}_{\frac{1}{11}} = \dfrac{1}{10\times 11} = \dfrac{1}{110}. \]
        De la même façon :
            \[ p(T\cap F) = \underbrace{p(F)}_{\frac{9}{10}}\times \underbrace{p_F(T)}_{1} = \frac{9}{10}. \]

        \item Réaliser $T$ s'obtient en réalisant ou bien $T \cap F$ ou bien $T\cap \Moy{F}$. On utilise ici la formule des probabilités totales :
            \begin{align*}
            	p(T) & = p(T\cap F) + p(T\cap \Moy{F})\\
            	& = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{110}\\
            	& = \dfrac{9\times 11 + 1}{110}\\
            	& = \dfrac{100}{110}\\
            	& = \dfrac{10}{11}.
            \end{align*}
        \item On demande $p_T( F)$
        On utilise la définition d'une probabilité conditionnelle :
            \[ p_T(F) = \dfrac{p(T\cap F)}{ p(T)} = \dfrac{\frac{9}{10}}{\frac{10}{11}} = \dfrac{9\times 11}{10\times10} = \dfrac{99}{100}. \]
        Un appareil ayant passé le test avec succès a donc 99\,\% de chances d'être bon.

        \end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX9

\begin{exo}{Arbre pondéré}{Lycée Galilée, Gennevilliers}{2}{40}

Pour payer ses études de médecine, Watson est gardien de nuit dans une grande résidence de $100$ appartements. Celle-ci est munie d'un système anti-intrusion (antivol) ultra-moderne, mais qui provoque quelquefois de fausses alarmes.

D'après le constructeur du système, la probabilité d'une fausse alarme, c'est-à-dire que l'alarme se déclenche alors qu'il n'y a pas d'intrusion, est de $0,02$.
\newpage
Par ailleurs, les statistiques sur les trois dernières années montrent que :

    \begin{center}
    \begin{tabular}{| >{\raggedleft}M{3.75cm}|*3{Sc|}}
    \hline\tabulartitle
    Année& 1999 & 2000 & 2001 \\
    \hline
    Nombre d'intrusions & 28 & 30 & 26 \\
    \hline
    Nombre d'intrusions \\ qui ont déclenché l'alarme & 25 & 28 & 23 \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

On effectuera tous les calculs avec une précision de $0,001$.

\begin{questions}
\item D'après ces données, et en interprétant les fréquences
statistiques comme des probabilités, montrer que :

        \begin{questions}
        \item La probabilité d'avoir une intrusion un jour quelconque de l'année est de $0,077$ (à $0,001$ près).

        \item La probabilité qu'il y ait une intrusion et que l'alarme se déclenche est de $0,069$ (à $0,001$ près).

        \end{questions}

\item Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche sachant qu'il y a eu une intrusion ?

\item Représenter les résultats précédents sous forme d'arbre pondéré.\\
Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche ?

\item Une nuit Watson est réveillé en sursaut par l'alarme. Il consulte son ami Sherlock pour connaître
la probabilité qu'il s'agisse d'une intrusion.

Quelle réponse donne Sherlock ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
On va noter $A$ : \og  L'alarme s'est déclenchée\fg  et $I$ : \og  Il y a eu intrusion\fg .

Il convient de remarquer que 2000 est une année bissextile.

\begin{questions}
\item
        \begin{questions}
        \item Cette question renvoie aux liens entre statistiques et probabilités, et notamment à la loi des grands nombres (la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité) qui autorise à interpréter les fréquences statistiques comme des probabilités. La fréquence statistique $i$ des intrusions par jour se calcule par :
            \[ 	
            i = \dfrac{28 + 30 + 26}{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0766}. \]
        On en déduit que la probabilité d'une intrusion est de $p(I) = 0,077$ à $10^{-3}$ près. Puis que $p(\bar{I}) =
        0,923$ à $10^{-3}$ près.

        \item D'après le tableau statistique, on peut également calculer la probabilité $p(I \cap A)$ en tant que fréquence du nombre d'intrusions ayant
        déclenché l'alarme :
            \[ 	p(I \cap A) = \dfrac{25 + 28 + 23 }{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0693}
            . \]
        \end{questions}

\item On demande la probabilité conditionnelle $p_I(A)$. L'énoncé ne nous la donne pas directement, donc il faut utiliser la définition
d'une probabilité conditionnelle :
    \[ p_I(A) = \dfrac{p(A \cap I)}{p(I)} \approx \dfrac{0,069}{0,077} \approx 0,896. \]

\item On peut maintenant représenter les données sous forme d'arbre :

    \begin{center}
    \includegraphics{007_ex11corrige-p227_055}
    \end{center}

On demande $p(A)$ qu'on va calculer avec la loi des probabilités totales :
    \begin{align*}
    	A & = (I \cap A) \cup (\bar{I} \cap A) \\
    	p(A) & = \underbrace{p(I \cap A )}_{\text{calculé précédemment}} + p(\bar{I} \cap A) \\
    	p(\bar{I} \cap A) & = p(\bar{I}) \times p_{\bar{I}}( A ) \approx 0,923 \times 0,02 \approx 0,018. \\
    	p(A)& \approx 0,069 + 0,018 \approx 0,087.
    \end{align*}

\item Dans cette question, on sait que l'alarme s'est déclenchée. On demande la probabilité qu'il s'agisse d'une intrusion sachant que l'alarme s'est déclenchée, soit $p_A(I)$. Par définition des probabilités conditionnelles :
    \[ p_A(I) = \dfrac{p(I \cap A) }{p(A)} \approx \dfrac{0,069}{0,087 } \approx 0,793. \]
    Sherlock répondra qu'il y a plus de 3 chances sur 4 qu'il y ait eu intrusion.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%EX10

\begin{exo}{Tickets de péage}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{30}

\emph{Dans tout cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque résultat. }

Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :
    \begin{itemize}
     \item s'il s'agit d'une voiture, d'une moto ou d'une camionnette, le ticket sort en bas ;
     \item s'il s'agit d'un camion, le ticket sort en haut.
    \end{itemize}
La société d'autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l'une de ces bornes :
    \begin{itemize}
     \item lorsqu'un camion passe, il n'est correctement détecté que deux fois sur trois ;
     \item lorsqu'un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d'en sortir pour saisir son ticket en haut une fois sur quatre.
    \end{itemize}
On estime qu'à cette borne de péage, 60\,\% des véhicules sont des camions. 

\newpage

On considère les événements suivants :
    \begin{itemize}
     \item C : \og  Le véhicule qui se présente est un camion\fg  ;
     \item H : \og  Le ticket sort en haut\fg  ;
     \item B : \og  Le ticket sort en bas\fg .
    \end{itemize}
\emph{Notation} : pour tout événement $E$ et tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p(E)$ la probabilité de l'événement $E$ et $p_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.

\begin{questions}
 \item Donner les probabilités : $p(C), p_{\,\bar{C}}(H) $ et $p_{\,\bar{C}}(B)$.

 \item Construire un arbre probabiliste présentant la situation.

 \item Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut.

 \item Montrer que la probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut $0,7$.

 \item Trois véhicules se présentent l'un après l'autre à cette borne de péage défectueuse. On modélise cette situation comme un tirage avec remise.

Calculer la probabilité qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket.

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{questions}
 \item
     \begin{methode}
     L'énoncé dit \emph{donner} les probabilités : il ne s'agit pas de les calculer, elles sont dans l'énoncé ou s'en déduisent directement.
     \end{methode}
    \[ p(C) = 0,6 \;;\quad p_{\bar{C}}(H) = 0,25\; ; \quad p_{\bar{C}}(B) =0,75.\]%

\item \mbox{}\vspace{-1.6\baselineskip}
    \begin{center}
     \includegraphics{007_ex12corrige-p227_056}
    \end{center}

\item $p(H) = p(H\cap C) + p(H\cap\bar{C}) = 0,6\times \dfrac{2}{3} + 0,4\times \dfrac{1}{4} = 0,4 + 0,1 = 0,5. $

\item La probabilité cherchée est :
            \[ p(H\cap C) + p(B\cap\bar{C}) = 0,6\times \dfrac{2}{3} + 0,4\dfrac{3}{4}= 0,4 + 0,3 = 0,7. \]%

\item On cherche la probabilité de l'événement contraire : aucun des conducteurs n'est contraint de descendre de son véhicule. Cette probabilité est égale à $ 0,7^3 $. Donc la probabilité cherchée est $ 1 - 0,7^3 = 0,657 $.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX11

\begin{exo}{Arbre et recherche de loi}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{2}{45}
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
     \begin{itemize}
     \item un assortiment de macarons, choisi par 50\,\% des clients ;
     \item une part de tarte Tatin, choisie par 30\,\% des clients.
     \end{itemize}
20\,\% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :
     \begin{itemize}
     \item parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80\,\% prennent un café ;
     \item parmi les clients ayant pris une part de tarte Tatin, 60\,\% prennent un café ;
     \item parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90\,\% prennent un café.
    \end{itemize}

On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.

On note :
    \begin{itemize}
     \item $M$ l'événement : \og  Le client prend un assortiment de macarons\fg  ;
     \item $T$ l'événement : \og  Le client prend une part de tarte Tatin\fg  ;
     \item $P$ l'événement : \og  Le client ne prend pas de dessert\fg  ;
     \item $C$ l'événement : \og  Le client prend un café\fg  et $\bar{C}$ l'événement contraire.
    \end{itemize}
\newpage
\begin{questions}
    \item En utilisant l'énoncé, préciser la valeur de $p(T)$ et celle de $p_{T}(C) $, probabilité de l'événement $C$ sachant que $T$ est réalisé.

    \item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
    \begin{center}
     \includegraphics{007_ex13enonce-p213_057}
    \end{center}

    \item
         \begin{questions}
             \item Exprimer par une phrase ce que représente l'événement $M\cap C$, puis calculer $p(M\cap C)$.
             \item Montrer que $p(C) = 0,76$.
         \end{questions}

     \item Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (\emph{On donnera le résultat arrondi au centième}).

    \item Un assortiment de macarons est vendu 6\,\euro{} , une part de tarte Tatin est vendue 7\,\euro{} et un café est vendu 2\,\euro{} .

Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18\,\euro{} , ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.

     \begin{questions}
         \item Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?
         \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
             \begin{center}
             \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{6}{>{\hfill$}X<{$\hfill\mbox{}}|}}
             \hline
             Sommes $s_i$ & 18 & 20 & 24 & \dots & \dots & \dots \\
            \hline
             $p(s_i)$ & 0,02 & 0,18 & \dots & \dots & \dots & \dots \\
             \hline
             \end{tabularx}
             \end{center}

         \item Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
     \end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX11

\begin{corrige}
    \begin{questions}
        \item $p(T) = 0,3$ ; $p_{T}(C) = 0,6$.

        \item \mbox{}\vspace{-1.4\baselineskip}
              \begin{center}
              \includegraphics{007_ex13corrige-p228_058}
             \end{center}

        \item
             \begin{questions}
             \item La personne prend un assortiment de macarons et un café.
            \[ p(M\cap C) = 0,5\times 0,8 = 0,4. \]%

             \item $\begin{aligned}[t]
                     p(C) & = p(M\cap C) + p(T\cap C) + p(P\cap C) \\
                      & = 0,5\times 0,8 + 0,3\times 0,6 + 0,2\times 0,9 = 0,76
                \end{aligned}$

            \end{questions}

     \item $p_C(M) = \dfrac{p(M\cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,4}{0,76}\approx 0,53$.

     \item
         \begin{questions}
             \item Un client peut dépenser 18\,\euro{} (plat seul), 20\,\euro{} (plat et café), 24\,\euro{} (plat et macarons), 25\,\euro{} (plat et tarte Tatin), 26\,\euro{} (plat, macarons et café) ou 27\,\euro{} (plat, tarte Tatin et café).\medskip

             \item \raisebox{-1em}{\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
                 \begin{tabularx}{\linewidth}{|R|*{6}{>{\mbox{}\hfill$}X<{$\hfill\mbox{}}|}}%
                 \hline
                 Sommes $s_i$ & 18 & 20 & 24 & 25 & 26 & 27 \\
                \hline
                 $p(s_i)$ & 0,02 & 0,18 & 0,1 & 0,12 & 0,4 & 0,18 \\
                 \hline
                 \end{tabularx}}
                

                \begin{methode}
                 Vérifier que la somme de probabilités inscrites dans le tableau est bien égale à $1$.
                \end{methode}

                \begin{attention}
                 Les lois de probabilités sont au programme de première, mais cela fait néanmoins partie du programme du bac !
                \end{attention}

            \item \mbox{}\vspace{-1\baselineskip}\vspace{-0.7\abovedisplayskip}
            \begin{multline*}
                  E = 0,02 \times 18 + 0,18 \times 20 + 0,1 \times 24 \\
                 + 0,12 \times 25 + 0,4 \times 26 + 0,18 \times 27 = 24,62.
               \end{multline*}
        Cela signifie que, sur un grand nombre de clients, le restaurateur peut espérer gagner en moyenne 24,62\,\euro{} par client.
         \end{questions}

\end{questions}

\end{corrige}

%% EX12 (new 2015)

\begin{exo}{Gain espéré}{Lycée Victor Duruy}{2}{40}
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.

L'éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels. 

On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale a 0,2 ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale a 0,4 ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à 0,1. 

\subsubsectionnn{Partie A}

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

On note : 
\begin{itemize}
\item $A$ l'événement : « la personne s'abonne à l'édition papier », 
\item $B$ l'événement : « la personne s'abonne à l'édition électronique », 
\item $\bar{A}$ l'événement contraire de $A$, 
\item $\bar{B}$ l'événement contraire de $B$. 
\end{itemize}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Donner la probabilité de $\bar{B}$ sachant $A$ et la probabilité de $\bar{B}$ sachant $\bar{A}$. 
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique. 
\item Justifier que la probabilité de l'événement $B$ est égale à 0,16. 
\end{questions}

\item On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ? 
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

Pour chacune des personnes contactées, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue  :
\begin{itemize}
\item 2 \euro{} si la personne ne s'abonne à aucune des deux éditions ; 
\item 10 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition électronique ; 
\item 15 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition papier ; 
\item 20 \euro{} si la personne s'abonne aux deux éditions. 
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau de la page suivante donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Sc|}}
\hline
Somme reçue (en \euro) & 2 & 10 & 15 & 20\\
\hline
Probabilité & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter \numprint{5000} lecteurs potentiels. 
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX12

\begin{corrige}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item L'arbre est le suivant :
\begin{center}
\includegraphics{07_img_03}
\end{center}

Les données en noir sur l'arbre sont celles données par l'énoncé.

Les données en rouge sont obtenues par le calcul, en utilisant le fait que la somme de la probabilité d'un événement et de son événement contraire est égale à 1.

\item $P\big(\bar{A}\big)=1-P(A)=1-0,2=0,8$.

$P_A\big(\bar{B}\big)=1-P_A(B)=1-0,4=0,6$.

$P_{\bar{A}}\big(\bar{B}\big)=1-P_{\bar{A}}(B)=1-0,1=0,9$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $P(A\cap B)=P(A) \times P_A(B) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$.

\item D'après la formule des probabilités totales, 

$P(B)=P(A\cap B) + P(\bar{A}\cap B)=0,08 + 0,8\times0,1=0,16$.
\end{questions}

\item $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,08}{0,16}=0,5$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item \raisebox{-1.8em}{\begin{tabular}{|L|*4{Sc|}}
\hline
Somme reçue (en \euro) & 2 & 10 & 15 & 20\\
\hline
Probabilité & 0,72 & 0,08 & 0,12 & 0,08 \\
\hline
& $P\big(\bar{A}\cap\bar{B}\big)$ & $P\big(\bar{A}\cap B\big)$ & $P\big(A\cap\bar{B}\big)$ & $P(A\cap B)$\\
\hline
\end{tabular}}

\item L'espérance de cette loi de probabilité est :
\[ 0,72\times2 + 0,08\times10 + 0,12\times15 + 0,08\times20 = 5,64.\]
Cela signifie que sur un très grand nombre d'appels, le centre peut espérer gagner 5,64~\euro{} par appel. Donc pour \numprint{5000} appels, le centre peut estimer recevoir $\numprint{5000}\times5,64=\numprint{28200}$~\euro.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%EX13

\begin{exo}{Loi binomiale}{Lycée René Descartes, Cournon}{2}{25}

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

\begin{itemize}
\item 12\,\% des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur ;
\item parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20\,\% ont un défaut dans la forme ;
\item parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8\,\% présentent un défaut dans la forme.
\end{itemize}

On appelle :
\begin{itemize}
\item $C $ l'événement : \og  le vêtement présente un défaut dans la couleur \fg  et\linebreak $\bar{C}$ l'événement contraire ;
\item $ F $ l'événement : \og  le vêtement présente un défaut dans la forme \fg  et \linebreak$\bar{F}$ l'événement contraire.
\end{itemize} 

Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus.

\begin{questions}
    \item Le directeur de l'usine affirme que 92\,\% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut.
	
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

    \item Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
	
L'un d'entre eux choisit au hasard cinq vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer les cinq choix comme indépendants.
	
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'au plus deux de ces vêtements choisis présentent un défaut ?

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX13

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item On peut résumer les données dans l'arbre ci-dessous :
    \begin{center}
      \includegraphics{007_ex14enonce-p229_059}
    \end{center}
$p(\bar{C}\cap \bar{F}) = 0,88\times 0,92 = \nombre{0,8096}$. Donc l'affirmation est incorrecte.

  \item Au plus deux signifie 0, 1 ou 2. D'autre part, les choix sont indépendants d'après l'énoncé, donc on peut utiliser la loi binomiale.

Soit $ X $ le nombre de vêtements présentant un défaut parmi les $ 5 $ choisis. $ X $ suit la loi $ B(5\,; 1 - \nombre{0,8096}) $ d'après ce qui précède, donc la loi $ B(5\,; \nombre{0,1904}) $. D'où :
    \begin{align*}
        & p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) \\
         &= \nombre{0,8096}^5 + 5 \times \nombre{0,1904} \times \nombre{0,8096}^4 + 10 \times \nombre{0,1904}^2 \times \nombre{0,8096}^3 \\
         & \approx 0,95.
    \end{align*}
On peut aussi utiliser directement la calculatrice : $P(X \le k) \approx 0,95$ en tapant :
\begin{itemize}
\item sur CASIO : BinomialCD(2,5,0.1904)
\item sur TI : BinomFRep(5,0.1904,2)
\end{itemize}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX14 (new2015)

\begin{exo}{Loi binomiale}{D'après baccalauréat 2008}{2}{20}
Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
\begin{itemize}
\item 30 sont considérés comme neufs ;
\item 90 sont considérés comme récents ;
\item les autres sont considérés comme anciens.
\end{itemize}

Une étude statistique indique que :
\begin{itemize}
\item 5\,\% des ordinateurs neufs sont défaillants ;
\item 10\,\% des ordinateurs récents sont défaillants ;
\item 20\,\% des ordinateurs anciens sont défaillants.
\end{itemize}

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.

On note les événements suivants :

\begin{itemize}
\item[] $N$ : \og L'ordinateur est neuf \fg
\item[] $R$ : \og L'ordinateur est récent \fg
\item[] $A$ : \og L'ordinateur est ancien \fg
\item[] $D$ : \og L'ordinateur est défaillant \fg
\item[] $\bar{D}$ l'événement contraire de $D$.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item  Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item  Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
\item  Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à \numprint{0,1325}.
\item  Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\item  Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'arbre pondéré s'obtient à partir des données de l'énoncé :
\begin{center}
\includegraphics{arbre-ex14}
\end{center}
\item $P(N\cap D)=P(N)\times P_N(D)=0,15\times0,05=\numprint{0,0075}$.
\item D'après la formule des probabilités totales, $P(D)=P(N\cap D)+P(R\cap D)+P(A\cap D)$.

D'où $P(D)=\numprint{0,0075}+0,45\times0,1+0,4\times0,2=\numprint{0,1325}$.
\item $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,4\times0,2}{\numprint{0,1325}}\approx\numprint{0,6038}$.
\item On effectue une répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès (« être défaillant ») \numprint{0,1325}. On obtient une loi binomiale de paramètres 3 et \numprint{0,1325}.

\`A la calculatrice, la probabilité d'obtenir un succès est \numprint{0,2991}.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX15 (new 2015)

\begin{exo}{Prise d'initiative}{Lycée Sophie Germain, Paris}{2}{25}
Une coopérative d'achat  mène une enquête auprès de ses adhérents et leur fait remplir un questionnaire à propos de leur  équipement en Smartphone.

L'enquête révèle que 80\,\% des adhérents possèdent un Smartphone. Mais aussi que 15\,\% de ceux qui n'en ont pas vont en acheter un dans l'année, alors que 30\,\% de ceux qui sont déjà équipé vont renouveler leur équipement.

On choisit au hasard le questionnaire d'un des adhérents.
\begin{questions}
\item Construire un arbre de probabilités décrivant la situation, en définissant précisément les événements considérés.
\item Quelle est la probabilité de choisir le questionnaire d'un adhérent déjà équipé et qui va renouveler son matériel ?
\item Si au moins 25\,\% des adhérents souhaitent acheter un Smartphone cette année, la coopérative va mettre en place un service spécial d'information pour faciliter le choix de l'équipement. D'après cette enquête, va-t-elle le mettre en place ?
\item Sachant que la personne va acheter un Smartphone dans l'année, quelle est la probabilité que ce soit son premier équipement ? 
\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX14

\begin{corrige}
On note :
\begin{itemize}
\item S l'événement : « l'adhérent a déjà un Smartphone »,
\item A l'événement : « l'adhérent va acheter un Smartphone dans l'année ».
\end{itemize}

On assimile les pourcentages aux probabilités d'obtenir les différents événements si l'on choisit un adhérent au hasard.
\begin{questions}
\item D'après les données de l'énoncé : 

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{itemize}
\item $P(S)=0,8$ donc $P\big(\bar{S}\big)=0,2$ ;
\item $P_S(A)=0,3$ et $P_{\bar{S}}(A)=0,15$.
\end{itemize}
\vspace*{1cm}
Cela donne l'arbre ci-contre :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{07_img_01}
\end{minipage}

\item On cherche : $P(S\cap A)=P(S)\times P_S(A)=0,8\times0,3=0,24$.
\item Il faut calculer $P(A)$.

D'après la formule des probabilités totales :
\[
P(A)=P(A\cap S) + P\big(A\cap\bar{S}\big)=0,24+0,2\times0,15=0,27.
\]
Cela signifie que $P(A)>0,25$. La probabilité qu'un adhérent achète un Smartphone dans l'année est donc supérieure à 25\,\%, la coopérative peut donc mettre en place son service.

\item Il faut ici calculer : $P_A\big(\bar{S}\big)=\dfrac{P(A\cap\bar{S})}{P(A)}=\dfrac{0,03}{0,27}=\dfrac{1}{9}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%EX15

\begin{exo}{Sondage anonyme}{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond}{3}{20}

Voici une technique pour permettre des réponses anonymes à une question. On propose à chaque personne sondée de faire comme ci-dessous :
    \begin{itemize}
      \item Lancez une pièce de monnaie. Si elle tombe sur pile, répondez à la question : \og Est-ce que vous fumez plus d'un paquet de cigarette par jour ?\fg .

      \item Si elle tombe sur face, relancez la pièce une deuxième fois, et répondez à la question : \og Êtes-vous tombé sur pile au deuxième lancer ?\fg .
    \end{itemize}
Chacune des personnes sondées répond en cochant la case oui ou la case non au bas de la fiche explicative. On ne sait donc pas à quelle question elle a répondu oui, ou non. Il y a donc plus de chance que les personnes répondent honnêtement.

\begin{questions}
  \item Modéliser la situation par un arbre en notant $ r $ la proportion (inconnue) de gros fumeurs parmi les personnes interrogées.

  \item Sur un grand nombre de personnes, on a obtenu 45\,\% de oui. À combien peut-on estimer la proportion de personnes fumant plus d'un paquet de cigarettes par jour ?

  \item Inversement, quelle devrait être la proportion de oui pour que la proportion de gros fumeurs (plus d'un paquet par jour) soit inférieure à 10\,\% ?

\end{questions}
\end{exo}

%%%%%%%% CORR EX15

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item O correspond à l'événement \og  la personne répond oui\fg , F (respectivement P) à l'événement \og  la personne a obtenu face (respectivement pile) au premier lancer\fg . Comme il y a autant de chances d'obtenir pile que face, on obtient l'arbre suivant :
        \begin{center}
        \includegraphics{07_img_02}
        \end{center}

  \item$ p(\mathrm{O}) = 0,45 $. Or, $ p(\mathrm{O}) = p(\mathrm{F\cap O})+ p(\mathrm{P\cap O}) = 0,5\times 0,5 + 0,5 r$.

On a donc $ 0,45 - 0,25 = 0,5 r $, d'où $ 0,5 r = 0,2 $ et $ r = 0,4 $. Il y a donc environ 40\,\% de gros fumeurs.

  \item $ p(\mathrm{O}) $ est maintenant inconnue. On cherche $ p(\mathrm{O}) $ telle que:
        \[ p (\mathrm{O}) = 0,25 + 0,5 \times 0,1 = 0,3. \]%
Il faudrait obtenir 30\,\% de oui pour avoir 10\,\% de gros fumeurs.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX16

\begin{exo}{Probabilités et suites}{Lycée Blaise Pascal, Clermont Ferrand}{3}{45}
Pierre et Jean-Philippe jouent souvent au ping-pong ensemble, et lorsqu'ils jouent, ils font de nombreuses parties d'affilée. Lors de la première partie, ils ont autant de chance de gagner l'un que l'autre.

Ils ont remarqué que, si Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $ 0,6 $, alors que s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est $ 0,7 $.

On note $ G_n $ l'événement \og  Pierre gagne la $ n $-ième partie \fg .

\begin{questions}
  \item
        \begin{questions}
            \item Donner les valeurs de $ p(G_1) $ et de $ p(\bar{G_1}) $.

            \item Calculer $ p(G_2) $ et $ p(\bar{G}_2) $.
        \end{questions}

  \item $ (u_n) $ et $ (v_n) $ sont les deux suites définies sur $ \N^* $ par :
        \[ u_n = p(G_n)\enspace \text{ et }\enspace v_n = p(\bar{G}_n). \]%
        \begin{questions}
            \item Construire un arbre pondéré pour la $ n $-ième et la $(n + 1)$-ième partie.

            \item En déduire que :
                \begin{align*}
                \begin{cases}
                   u_{n+1} = 0,6u_n + 0,3v_n, \\
                   v_{n+1} = 0,4u_n + 0,7v_n.
                   \end{cases}
                \end{align*}

            \item \label{chap7ex17_2c} Montrer que la suite $ (u_n + v_n) $ est constante. Donner la valeur de $ u_n + v_n $ pour tout $ n $.

            \item \label{chap7ex17_2d} Démontrer que la suite $ (4u_n - 3v_n) $ est géométrique. 
            
            Exprimer $ 4u_n - 3v_n $ en fonction de $ n $.
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
            \item En utilisant les résultats des questions \ref{chap7ex17_2c} et \ref{chap7ex17_2d}, exprimer $ u_n $ et $ v_n $ en fonction de $ n $.

            \item Si les deux amis font un très grand nombre de parties, qui a le plus de chances de gagner la dernière ?
        \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX16

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item
        \begin{questions}
            \item $ p(G_1) = 0,5 $ et $ p(\bar{G}_1) = 0,5 $.
%\newpage
  \item $\begin{aligned}[t]
          p(G_2) & = p(G_1) p_{G_1}(G_2) + p(\bar{G}_1) p_{\bar{G}_1}(G_2) \\
                 & = 0,5 \times 0,6 + 0,5 \times 0,3 = 0,45.\end{aligned}$
                             
                             $
                             \begin{aligned}[t]
                      p(\bar{G}_2) & = p(G_1) p_{G_1}(\bar{G}_2) + p(\bar{G}_1) p_{\bar{G}_1}(\bar{G}_2) \\
                       & = 0,5 \times 0,4 + 0,5 \times 0,7 = 0,55.
                    \end{aligned}$

                    \begin{Remarque} on vérifie que $ p(G_2) + p(\bar{G}_2) = 1 $.
                    \end{Remarque}
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
          \item \mbox{}\vspace{\dimexpr -\baselineskip-\topsep\relax}
                \begin{center}
                    \includegraphics{007_ex17corrige-p231_062}
                \end{center}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                    u_{n+1} & = p(G_{n + 1}) = 0,6 u_n + 0,3v_n, \\
                    v_{n+1} & = p(\overline{G_{n + 1}}) = 0,4 u_n + 0,7 v_n.
                \end{aligned}$

            \item Pour tout $ n $ de $ \N^* $,
                     \[ u_{n+1} + v_{n+1} = 0,6 u_n + 0,3v_n + 0,4 u_n + 0,7 v_n = u_n + v_n. \]%

                Donc la suite $ (u_n + v_n) $ est constante. On sait que $ u_1 + v_1 = 1 $, donc pour tout $ n $ de $ \N^* $, $ u_n + v_n = 1 $.
            \begin{Remarque}ceci est logique : à chaque étape, il n'y a que deux événements incompatibles : Pierre gagne ou perd ! Donc la somme des probabilités de ces événements doit être égale à $ 1 $.
            \end{Remarque}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                   4u_{n+1}-3v_{n+1} & = 4(0,6u_n + 0,3 v_n) - 3(0,4u_n+ 0,7v_n) \\
                   & = 1,2 u_n -0,9 v_n = 0,3(4u_n - 3v_n).
                \end{aligned}$

Donc la suite $ (4u_n - 3v_n) $ est géométrique de raison $ 0,3 $. Son premier terme est $ 4u_1 - 3v_1 = 0,5 $.
Donc $ 4u_n - 3v_n = 0,5\times 0,3^{n-1} $.
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
            \item On a le système :
            
            \begin{align*}
                        & \begin{cases}
                             u_n + v_n = 1,\\
                            4u_n -3v_n = 0,05\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            4u_n -3(1-u_n) = 0,05\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
                        \\ 
                  \iff
                        & \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            7u_n = 3 + 0,05\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             u_n = \dfrac{3}{7} + \dfrac{0,05}{7}\times 0,3^{n-1},\\[12pt]
                            v_n = 1 - u_n = \dfrac{4}{7}- \dfrac{0,05}{7}\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
            \end{align*}

            \item Comme $ 0 < 0,3 < 1 $, on sait que $\dlim_{n\to +\infty} 0,03^{n-1} = 0$, donc
                 \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \dfrac{3}{7} \text{\quad et\enspace} \lim_{n\to +\infty} v_n = \dfrac{4}{7}. \]%
            Par conséquent au bout d'un grand nombre de parties, Jean-Philippe a plus de chances de gagner que Pierre.

        \end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}



\thumb
\AfficheCorrige

\endinput