\addtocontents{toc}{\protect\newpage}
\chapter{Lois à densité}

\begin{exointro}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}
\begin{questions}
    \item Trouver $ k $ pour que la fonction définie par $ f(x) = kx^4 $ soit une densité de probabilité sur $\left[0\,;1\right] $.

    \item $ X $ est une variable aléatoire de densité $ f $ sur $\left[0\,;1\right] $.
        \begin{questions}
            \item Calculer $ P(0,2 < X < 0,3) $.

            \item Quelle est la probabilité que $X$ soit supérieure à $ 0,5 $ sachant que $ X $ est inférieure à $ 0,7 $ ?
        \end{questions}

\end{questions}
\end{exointro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Généralités sur les lois continues}

    \subsection{Variable aléatoire continue}

        \begin{defin}
            Une variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience, associe un nombre réel d'un intervalle de $ \R $ (qui peut être $ \R $ entier).
        \end{defin}

    \subsection{Loi de probabilité à densité}

    $ X $ est une variable aléatoire continue définie sur un intervalle $ \left[a\,;b\right] $. 
    
    La loi de probabilité à densité $P$ associée à $X$ vérifie :
        \begin{itemize}
            \item $ P(X = x_ 0) = 0 $ pour tout $ x_0$ de $[a , b]$.
            \item Il existe une fonction $ f $ continue et positive telle que :
\[ 
\begin{cases}
\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dd x = 1 \\
P(c < X < d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x) \dd x & \text{pour tous }c,\ d \text{ dans } \left[a\,;b\right]~~(c < d)
\end{cases} 
\]
        \end{itemize}
    \begin{Remarque}puisque $ P(X = x_0) = 0 $, cela ne change rien de mettre des inégalités strictes ou larges dans $ P(c < X < d) $.
    \end{Remarque}

    On en déduit donc que $ P(c < X < d) $ est l'aire sous la courbe représentative de $ f $ entre les droites d'équation $ x = c $ et $ x = d $.
\begin{center}
\includegraphics{008_cours-p234_063}
\end{center}
\[\text{On a : }\qquad A = P(c \le X \le d) = P(c<X<d)= P(X < d) - P(X < c). \]
   Si $X$ est définie sur un intervalle de la forme $ \left[a\,; + \infty\right[$ ,
        \[ P(X > c) = 1 - P(a < X < c) \]
    puisque $ P(X \in \left[a\,; +\infty\right[) = 1 $.

\begin{center}
\includegraphics{008_cours-p234_064}
\end{center} 
\[\text{On a : }\qquad P(a \le X \le c) + P(X>c) = 1. \]

 \begin{defin}
        L'espérance d'une variable aléatoire de densité $ f $ sur un intervalle $ \left[a\,;b\right] $ est le nombre réel $ E(X) $ tel que :
            \[ E(X) = \int_{a}^{b} tf(t) \dd t . \]
    \end{defin}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}
\begin{questions}

        \item $ f $ est une densité de probabilité sur $\left[0\,; 1\right] $, si et seulement si elle est positive et si :
                        \[ \int_{0}^{1} f(x) \dd x = 1 \iff \smash{\biggl[k\dfrac{x^5}{5}\biggr]_0^1} = 1 \iff \dfrac{k}{5} = 1 \iff k = 5.\]%
                        On constate que $f$  est bien positive sur $[0\, ; 1]$. On a donc $ f(x) =5x^4 $.

        \item
            \begin{questions}
\item $ P(0,2 < X < 0,3) = \displaystyle\int_{0,2}^{0,3} 5x^4 \dd x = \Big[x^5\Big]_{0,2}^{0,3} = \nombre{0,00211}$. 

                \item Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, on procède comme pour les probabilités discrètes.
\begin{align*}
P_{X<0,7}(X > 0,5) & = 
\dfrac{P\big((X < 0,7)\cap(X > 0,5)\big)}{P(X < 0,7)} \\
& = \dfrac{\displaystyle\int_{0,5}^{0,7} 5x^4 \dd x}{\displaystyle\int_{0}^{0,7} 5x^4 \dd x} = \dfrac{\Big[x^5\Big]_{0,5}^{0,7}}{\Big[ x^5 \Big]_{0}^{0,7}} = \dfrac{\nombre{0,13682}}{\nombre{0,16807}} \approx 0,814.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi uniforme}

    \begin{defin}
        Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $ \left[a\,;b\right] $ si sa densité de probabilité est une fonction $f$ constante sur $ \left[a\,;b\right] $.
    \end{defin}

    \begin{prop}
        Soit $f$ une densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $ \left[a\,;b\right] $, alors, pour tout réel $x$ de $ \left[a\,;b\right] $ :
            \begin{alignat*}{2}
                & f(x) = \frac{1}{b-a}, &\qquad
                & P(X \le x) = \frac{x-a}{b-a}.
            \end{alignat*}
    \end{prop}

    En utilisant cette formule pour la loi uniforme on obtient :
    \begin{prop}
         L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle $ \left[a\,; b\right] $  est $ E(X) = \dfrac{a + b}{2}$.
    \end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi normale centrée réduite}

\subsection{Définition}

    \begin{defin}
        Une variable aléatoire $ X $ suit la loi normale centrée réduite notée $ \mathcal{N}(0\,; 1) $ si et seulement si sa densité de probabilité est la fonction $ f $ définie sur $ \R $ par : $ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\nep^{-\frac{x^2}{2}} $, dont la courbe représentative, dite \og en cloche \fg, est donnée ci-dessous :
    \end{defin}

    \begin{center}
        \includegraphics{008_cours-p236_065}
    \end{center}

\subsection{Propriétés}

$ X $ est une variable aléatoire suivant $  \mathcal{N}(0\,; 1) $.
    \begin{itemize}
        \item $ f $ est continue sur $ \R $ (composée de fonctions continues).

        \item D'après la définition d'une loi de densité de probabilité, pour tous nombres réels $ a $ et $ b $, avec $ a < b $, $ P(a < X < b) = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dd x$. Cependant, on ne connaît pas de primitive de cette fonction.

        \item D'après les propriétés des lois de densité, $ f $ étant définie sur $ \R $, l'aire totale sous la courbe représentative de $ f $ est égale à $ 1 $. Elle représente $ P(X \in \R) $.

        \item La courbe représentative de $ f $ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela entraîne que :
            \begin{itemize}
                \item $ P\bigl(X\in \left[0\,; +\infty\right[\bigr) = P\bigl(X\in \left]-\infty\,; 0\right]\bigr) = 0,5 $.
                \item $ P(X < -u) = P(X > u) $.
                \item $ P(X < -u) = 1 - P(X < u) $.
            \end{itemize}
\item Pour tout $c$ positif, $P(-c < X < c) = 1 - 2P(X < -c) = 1 - 2P(X > c)$.
    \end{itemize}

\subsection{Valeur particulière}

Il faut se souvenir que si $ X $ suit la loi normale centrée réduite,
    \[ P\bigl(X \in\left[-1,96\,; 1,96\right]\bigr) \approx 0,95. \]
On verra dans le chapitre suivant l'importance de cette valeur.

\subsection{Espérance et variance}

Si $ X $ suit $\mathcal{N}(0\,; 1) $, $ E(X) = 0 $ et $ V(X) = 1 $. \\
La valeur de $ E(X) $ pourrait se trouver en utilisant la définition générale de l'espérance donnée au paragraphe 2.

    \begin{Remarque} par analogie avec les variables aléatoires discrètes,
            \[ V(X) = E\big(X^2\big) - \big[E(X)\big]^2\; ,\]
        mais cette formule n'est pas au programme.
    \end{Remarque}

\subsection{Théorème de Moivre-Laplace : lien avec la loi binomiale }

    \begin{thm}[admis]
        Pour tout nombre entier naturel $ n $, on note $X_n $ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ B(n\,; p) $.\smallskip

         $ Z_n = \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ est appelée variable normale centrée réduite associée à $ X_n $. 

Pour tous nombres $ a $ et $ b $ tels que $ a < b$, $ P(a \le Z_n \le b) $ tend vers $ \displaystyle\int_a^b f(x) \dd x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $f$ étant la fonction définie ci-dessus.
    \end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\boldmath Loi normale $\mathcal{N}\big(\mu ; \sigma ^2\big)$}

\begin{exointro}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}
    Les tests de QI sont conçus de façon à ce que, pour une population donnée, le QI moyen soit 100 et l'écart-type 15. Les résultats au QI sont distribués suivant une loi normale.
\begin{questions}
    \item Quel est le pourcentage de la population ayant un QI en-dessous de 60 ?

    \item Quel est le pourcentage de la population ayant un QI entre 95 et 115 ?

    \item Il a été décidé dans un certain pays de donner des cours de soutien aux 10\,\% d'élèves ayant les QI les moins élevés.\\
    Quel QI maximal faudra-t-il avoir pour bénéficier de ces cours ?
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Définition}

    \begin{defin}
    Dire qu'une variable aléatoire $ X $ suit une loi normale $ \mathcal{N}\big(\mu\, ; \sigma^2 \big) $ signifie que la variable aléatoire $ \dfrac{X - \mu}{\sigma} $ suit la loi normale $ \mathcal{N}(0\, ; 1) $.
    \end{defin}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Propriété}

    \begin{prop}
        Si $ X $ suit $ \mathcal{N}\big(\mu\,; \sigma^2\big) $, alors $ E(X) = \mu $ et $ V(X) = \sigma^2 $.
    \end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Valeurs à connaître}

$ X $ est une variable aléatoire qui suit la loi $ \mathcal{N}(\mu\,; \sigma^2) $. Alors :

    \begin{itemize}
        \item $ P(\mu-\sigma\le X \le \mu + \sigma) \approx 0,68$ ;

        \item $ P(\mu-2\sigma\le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ ;

        \item $ P(\mu-3\sigma\le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0,997$.
    \end{itemize}

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\subsection{Remarques}

    \begin{itemize}
        \item On peut toujours si nécessaire (voir par exemple exercice \ref{ch8exFindMoy}) se ramener à la loi $ \mathcal{N}(0\,; 1) $ en utilisant la définition.

        \item $ P(\mu-3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma ) \approx 0,997$ signifie que la probabilité d'obtenir une valeur de X en dehors de l'intervalle $[ \mu-3\sigma\,; \mu+3\sigma ]$ est quasiment nulle.

        \item La fonction densité de toute loi normale est représentée par une courbe «~en cloche~». Le sommet est d'autant plus haut que $ \sigma $ est petit, et la «~cloche~» d'autant plus élargie que $ \sigma $ est grand. Ici sont représentées les lois normales d'écart-type 2 (la plus plate), 1 et 0,2.
  \Par  
\begin{center}
  \includegraphics{008_cours-p239_066}
\end{center}

\item Du fait de la symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation $x = \mu$, on a : pour tout $c$ positif, $P(\mu-c<X<\mu+c) = 1 - 2P(X > \mu + c)$.

\item Pour calculer à la calculatrice $P(X \le a)$, on peut utiliser l'approximation $P(-10^{99} \le X \le a)$ ; de même, pour $P(X \ge a)$, on peut utiliser l'approximation $P(a \le X \le 10^{99})$.
\end{itemize}

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\begin{solintro}
\begin{questions}
    \item Ceci revient à chercher $ P(X < 60) $, $ X $ étant une variable aléatoire suivant $ \mathcal{N}\big(100\, ; 15^2\big) $. À la calculatrice, on obtient $ P(X < 60) \approx \numprint{0,0038}$, donc environ 0,38\,\% de la population a un QI inférieur à 60.

    \item $ P(95 < X < 115) \approx 0,472 $, donc environ 47,2\,\% de la population a un QI compris entre 95 et 115.

    \item Il faut résoudre $ P(X < a) = 0,1 $. À la calculatrice, on obtient qu'il faudra avoir un QI inférieur à 81 (en arrondissant à l'unité).

\end{questions}

\begin{methode}
Il est indispensable de connaître comment utiliser sa calculatrice pour calculer les probabilités associées à la loi normale.
\end{methode}
\Par
\end{solintro}

\subsection{Utilisation de la calculatrice}

Considérons $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\big(\mu\,;\sigma^2\big)$.
\Par
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{25mm}|>{\centering\arraybackslash}S{m{35mm}}|>{\centering\arraybackslash}m{36mm}|}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}} & \psline(-1.46,0.36)(6.555,0.36) CASIO & TI\\
 \hline
Syntaxe & \T{OPTN} \T{STAT} puis $\boxed{\text{DIST}}$, $\boxed{\text{NORM}\strut}$, $\boxed{\text{Normcd}\strut}$ ou $\boxed{\text{InvNormCD}\strut}$ 
& 
Menu $\boxed{\text{DISTRIB}}$\newline (2\up{nd} var), puis $\scalebox{0.95}{\boxed{\text{NormFrep}}}$\newline ou $\boxed{\text{FracNormale}}$\\
\hline
$P(c \le X \le d)$ & NormCD($c$,$d$,$\sigma$,$\mu$) & NormFRep($c$,$d$,$\mu$,$\sigma$)\\
\hline
On cherche $a$ tel que $P(X\le a)$ & InvNormCD($a$,$\sigma$,$\mu$) & FracNormale($a$,$\mu$,$\sigma$)\\
\hline
\end{tabular}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\endinput
%%%%%%%%%%%%%%%
