\thumb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM 1
\begin{qcm}{Lois à densité}{15}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
    \item La fonction définie par $ f(x) = 3x^2 $ est une fonction de densité de probabilité sur :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
    \choix $\left[0\,; 3\right]$ &
     \choix $\left[0\,; 1\right]$ \\
     \multicolumn{2}{@{}l}{\choix aucun de ces deux intervalles}
    \end{tabularx}
       

    \item La fonction définie par $ f(x) = \dfrac{2x - 3}{4} $ est une fonction de densité de probabilité sur :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix $\left[0\,; 4\right]$ &
            \choix $\left[0\,; \dfrac{5}{2}\right]$ \\
     \multicolumn{2}{@{}l}{\choix aucun de ces deux intervalles}
        \end{tabularx}

    \item Si une fonction $f$ est une loi de densité de probabilité sur un intervalle~I, alors :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
            \choix pour tout $ x $ de $ I $, $ f(x) \ge 0 $ &
            \choix$ f $ est décroissante sur $ I $ \\
            \choix $ f $ est croissante sur $ I $ & 
        \end{tabularx}

    \item Si on sait que $ \displaystyle\int_a^b f(x) \dd x = 1$, alors :\\
        \resetchoix
        \choix pour tous $ c $ et $ d $ tels que $ a < c < d < b $, on a $ \displaystyle\int_c^d f(x) \dd x < 1$  \\
        \choix $ f $ est une fonction de densité de probabilité sur $\left[a\,; b\right]$  	\\	
        \choix on ne peut rien déduire
\end{questions}
\end{qcm}
%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Réponse\choix[b]. On a $ \displaystyle\int_0^1 3x^2 \dd x = \Big[ x^3 \Big]_0^1 = 1 $. De plus, la fonction $ f $est positive sur $\left[0\,; 1\right]$. Elle est donc une fonction densité de probabilité sur cet intervalle.

    \item Réponse\choix[c]. Attention : si on calcule $ \displaystyle\int_0^4 f(x) \dd x$ , on trouve bien $ 1 $. Mais sur $\left[0\,; 4\right]$, la fonction $ f $ n'est pas toujours positive, donc elle ne peut être une fonction de densité de probabilité. $ f(x) $ ne devient positive que lorsque $ x $ est supérieur à $ 1,5 $. Sur l'autre intervalle, l'intégrale n'est pas égale à $ 1 $, donc cela ne convient pas non plus.

    \item Réponse\choix[a]. C'est la seule condition nécessaire.

    \item Réponse\choix[c]. On ne peut rien déduire : en effet on peut aussi avoir \linebreak$ \displaystyle\int_c^d f(x) \dd x = 1$, et comme on n'a pas la condition de positivité, on ne peut affirmer que $ f $ est une fonction densité de probabilité.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM 2
\begin{qcm}{Loi uniforme}{20}

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

\begin{questions}
\item La loi uniforme entre $ -1 $ et $ 1 $ a pour densité de probabilité :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ &
        \choix $f(x) = 0$ &
        \choix $f(x) = \dfrac{1}{2}$
    \end{tabularx}

\item $ X $ suit la loi uniforme sur $\left[0\,; 4\right]$. Alors $ P_{X > 2}(X < 3) = $\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{1}{4}$ &
        \choix $\dfrac{3}{4}$ &
        \choix $\dfrac{1}{2}$
    \end{tabularx}

\item On choisit de façon aléatoire un point sur un segment $ \left[AB\right] $ de longueur~$8$. $ I $ est le milieu de $ \left[AB\right] $ et $ J $ est le milieu de $ \left[AI\right] $. La probabilité que $ M $ soit plus près de $ J $ que de $ A $ sachant qu'il est plus près de $ A $ que de $ B $ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{3}{4}$ &
        \choix $\dfrac{1}{2}$ &
        \choix $\dfrac{1}{4}$
    \end{tabularx}
\newpage
\item $ X $ suit la loi uniforme sur $\left[-2\,; 2\right]$. Alors : \resetchoix\par 
    
        \choix $ P_{X > 1}(X < 3) = P_{X < 1}(X > -2) $ \\
        \choix $ P_{X<1}(X>-2) > P_{X < 1}(X<2) $ \\
        \choix $ P_{X > -2}(X < 2) > P_{X >-2}(X < 3) $
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM2

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item Réponse\choix[c]. En effet, il faut que $ \displaystyle\int_{-1}^1 f(x) \dd x = 1 $ et que $ f $ soit une fonction constante.

    \item Réponse\choix[c]. $ \begin{aligned}[t]
                        P_{X > 2}(X < 3) & = \dfrac{P\big((X > 2)\cap(X < 3)\big)}{P(X > 2)} \\
                        & = \dfrac{P(2 < X < 3)}{P(X > 2)} = \dfrac{\dfrac{3 - 2}{4}}{\dfrac{4 - 2}{4}} = \dfrac{1}{2}.
                        \end{aligned} $

    \item Réponse\choix[a]. On munit la droite $ (AB) $ d'un repère d'origine $ A $ tel que l'abscisse de $ B $ soit $ 8 $ . L'abscisse de $ I $ est $ 4 $ et l'abscisse de $ J $ est $ 2 $. Le choix aléatoire de $ M $ sur $ [AB] $ correspond au choix aléatoire d'un nombre dans l'intervalle $\left[0\,; 8\right]$. Si on appelle $ X $ la variable aléatoire donnant l'abscisse de $ M $, $ X $ suit la loi uniforme sur $\left[0\,; 8\right]$.

        On cherche : $ P_{X < 4}(X > 1) = \dfrac{P(1 < X < 4)}{P(X < 4)} = \dfrac{\dfrac{4 - 1}{8}}{\dfrac{4}{8}} = \dfrac{3}{4} $. \\

    \item Réponse\choix[a].
            $ P_{X > 1}(X < 3) = \dfrac{P(1 < X < 3)}{P(X > 1)} = \dfrac{\dfrac{2 - 1}{4}}{\dfrac{2 - 1}{4}} = 1. $

        Mais en fait, en observant soigneusement cette probabilité conditionnelle, même sans la calculer, on sait qu'elle est égale à 1, car si $ X >1 $, $ X $ est toujours compris entre $ 1 $ et $ 3 $, et même entre $ 1 $ et $ 2 $.

De même, si $ X $ est inférieur à $ 1 $, la probabilité que $ X $ soit supérieur à $ -2 $ est également $ 1 $ compte tenu que $ X $ est définie sur $\left[-2\,; 2\right]$.

On a donc $P_{X<1}(X>-2)=1$. Les deux probabilités sont donc égales.  
    
    Dans les propositions \choix[b] et \choix[c], les deux probabilités sont là aussi égales à 1, les inégalités strictes sont donc fausses.     
            \begin{attention}
                Il ne faut pas aller au-delà de l'intervalle où la variable aléatoire est définie, même si l'énoncé présente un piège. 
            \end{attention}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM3 %
\begin{qcm}{Loi normale centrée réduite}{15}

Pour toutes les questions, $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

\begin{questions}
    \item $ P(X < 1,5) $ est égale à $10^{-2} $ près à :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ -1 $ &
            \choix $ 0,77 $ &
            \choix $ 0,93 $
        \end{tabularx}

    \item La valeur $ a $ telle que $ P (X < a) = 0,90 $ est, à $ 10^{-2} $ près :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ -1,28 $ &
            \choix $ 0,87 $ &
            \choix aucun des deux
        \end{tabularx}

    \item La valeur arrondie au centième de $ b $ telle que $ P(X > b) = 0,8 $ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ -0,84 $ &
            \choix $ 0,84 $ &
            \choix aucun des deux
        \end{tabularx}

    \item La valeur arrondie au centième de $ c $ tel que $P(-c < X < c) = 0,9 $ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ -1,5 $	 &
            \choix $ 1,96 $ &
            \choix $ 1,64 $
        \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM3

\begin{corrige}
    Tout cet exercice se traite à la calculatrice, mais certaines réponses peuvent être éliminées en sachant le cours.
\begin{questions}
    \item Réponse \choix[c]. La réponse $ -1 $ est absurde, une probabilité est toujours positive.

    \item Réponse \choix[c]. La réponse \choix[a] ne peut être la bonne car \mbox{$P(X < 0) = 0,5 $}\,, donc $ P(X < -1,28) < 0,5 $.

    \item Réponse \choix[a]. $ P(X > b) = 0,8 $, $ P(X < b) = 0,2 $, ce dont on a besoin pour utiliser la calculatrice. \\
        On sait que la valeur de $ b $ est négative avec le même raisonnement qu'au 2, donc on écarte la réponse \choix[b].

    \item Réponse \choix[c]. On sait déjà que $c$ est un nombre positif.
            \[ P(-c < X < c) = 0,9 \iff P(X < - c) = \dfrac{1 - 0,9}{2} = 0,05 \]%
car $P(-c < X < c) = 1 - 2P(X < -c)$ équivaut à : 
\begin{flushright}
$P(X < -c) =\dfrac{1-P(-c<X<c)}{2}$.
\end{flushright}
À la calculatrice on obtient $ - c \approx -1,64 $, donc $ c \approx 1,64 $.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM4

\begin{qcm}{\boldmath Loi normale $\mathcal{N}\big(\mu ; \sigma ^2\big)$}{20}

$ X $ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $ 5 $ et d'écart-type $ 2 $.
Alors :
\begin{questions}
    \item Au centième près, $ P(X < 2)$ est égale à :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ 1 $ &
            \choix $ 0,1 $ &
            \choix $ 0,07 $
        \end{tabularx}

    \item Au centième près, $ P(-1 < X < 2)$ est égale à :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ 0 $ &
            \choix $ 0,16 $ &
            \choix $ 0,07 $
        \end{tabularx}

    \item Le nombre $ a $ tel que $ P(X < a) = 0,8 $ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ 6,68 $ &
            \choix $ 0,02 $ &
            \choix aucun des deux
        \end{tabularx}

    \item Le nombre $ b $ tel que $ P(X > b) = 0,7 $ est :\resetchoix\par 
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
            \choix $ 6,05 $ &
            \choix $ 3,95 $ &
            \choix $ 0,84 $ 
        \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%%% CORR QCM4

\begin{corrige}
    Tout cet exercice se traite à la calculatrice, mais certaines réponses peuvent être éliminées en sachant le cours.
\begin{questions}
    \item Réponse \choix[c]. Cette probabilité doit être petite car $ 2 $ est égal à l'espérance diminuée de $ 1,5 $ fois l'écart-type.

    \item Réponse \choix[c]. $ 0 $ est une réponse absurde, et cette probabilité doit par contre être assez petite car on est assez loin de l'espérance.

    \item Réponse \choix[a]. La réponse \choix[b] est à écarter car le nombre cherché doit être supérieur à l'espérance.

    \item Réponse \choix[b]. $ P(X > b) = 0,7 \iff P(X < b) = 0,3 $. La calculatrice donne $ b \approx 3,95 $. \\
        La réponse \choix[a] est à écarter car $ b $ est nécessairement plus petit que l'espérance. Quant à la réponse \choix[c], elle correspond à:
            \[ P(X > \mu - \sigma) = \dfrac{0,68}{2} + 0,5 \approx 0,84. \]

\end{questions}
\end{corrige}
\newpage
\sectionnn{Généralités sur les lois à densité}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX5
\begin{exo}{Loi définie par un graphe}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{10} %

$ f $ est la fonction définie sur l'intervalle $ \left[0\,; 3\right] $ par la courbe ci-dessous, composée de segments de droites.

    \begin{center}
        \includegraphics{008_ex5enonce-p041_067}
    \end{center}

    \begin{questions}
        \item Vérifier que $f$ peut être une fonction de densité de probabilité sur $ \left[0\,; 3\right] $.

        \item $ X $ est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $ \left[0\,; 3\right] $ qui a $ f $ pour densité de probabilité. Calculer $ P(0,5 < X < 2) $ et $ P_{X>1}(X<2) $.

    \end{questions}
    \end{exo}

%% CORR EX5

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'aire sous la courbe est de 8 carreaux, soit une unité d'aire d'après le repère choisi.
    De plus, la fonction densité est positive sur $ \left[0\,; 3\right] $. Donc $ f $ peut être une fonction densité de probabilité sur $ \left[0\,; 3\right] $.

\item $P(0,5 < X < 2) = \dfrac{1,5 + 4}{8} = \dfrac{55}{80} = \dfrac{11}{16}$ (on compte le nombre de carreaux et on divise par 8, puisqu'une unité est égale à 8 carreaux).
        \begin{align*}
            P_{X > 1}(X < 2) & = \dfrac{P\big((X > 1)\cap(X < 2)\big)}{P(X > 1)} \\
            & = \dfrac{P(1 < X < 2)}{P(X > 1)} 
			= \dfrac{\frac{4}{8}}{\frac{6}{8}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.
        \end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX6 (new 2015)

\begin{exo}{Avec la fonction densité}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{10} %
On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x}{100}\nep^{-\left(\frac{x}{10}\right)^2}$. On admet que $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $]0\,;+\infty[$. Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$.
\begin{questions}
\item Déterminer la probabilité $P(-5<X<10)$.
\item Déterminer le réel $t$ tel que $P(X\geqslant t)=0,8$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P(X<10) & =\displaystyle\int_0^{100}\dfrac{2x}{10}\nep^{-\left(\frac{x}{10}\right)^2}\dd x=\left[-\nep^{-\left(\frac{x}{10}\right)^2}\right]_0^{10}\\[6pt]
& =-\nep^{-1}+1=1-\dfrac{1}{\nep}\approx0,632.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
P(X\geqslant t)&=1-P(X<t)=1-\displaystyle\int_0^t \dfrac{2x}{100}\nep^{-\left(\frac{x}{10}\right)^2} \dd x\\[6pt]
& = 1-\left[-\nep^{-\left(\frac{x}{10}\right)^2}\right]_0^t =\nep^{-\left(\frac{t}{10}\right)^2}.
\end{aligned}$

Alors, $P(X\geqslant t)=0,8 \iff \nep^{-\left(\frac{t}{10}\right)^2}=0,8$.

En prenant le logarithme des deux membres on obtient :
\[
-\left(\dfrac{t}{10}\right)^2=\ln0,8 \iff t^2=-100\ln0,8.
\]
Comme $\ln0,8<0$, cette équation a une solution dans $]0\,;+\infty[$ :
\[
t=10\sqrt{-\ln0,8}\approx4,72.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Loi uniforme}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX7

\begin{exo}{Loi uniforme}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10}
$ X $ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $ \left[0\,; 2\right] $

\begin{questions}
    \item Quelle est la probabilité que $ X $ soit comprise entre $ 0,33 $ et $ 0,57 $ ?

    \item Quelle est la probabilité que son chiffre des centièmes soit $ 4 $ ?

\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX7

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item D'après le cours, cette probabilité est égale à $\dfrac{0{,}57-0{,}33}{2-0} = 0{,}12$.

    \item Le chiffre des centièmes sera $ 4 $ sur les intervalles $ \left[0,04\,; 0,05\right[ $, $ \left[0,14\,; 0,15\right[ $, etc., $ \left[1,94\,; 1,95\right[ $. \\
        Il y a $ 20 $ tels intervalles, d'amplitude $ 0,01 $. Donc la probabilité que le chiffre des centièmes soit $ 4 $ est égale à $ \dfrac{20 \times 0,01}{2} = 0,1$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX8
\begin{exo}{Modélisation d'une situation}{Lycée Saint-Genès, Bordeaux}{1}{10}

Tous les soirs, Hervé joue au scrabble avec son père entre 18 h 30 et 20 h. Charline a décidé d'aller le voir à un moment quelconque entre son retour du lycée (17\,h 30) et 19\,h 30.

\begin{questions}
    \item Quelle est la probabilité qu'elle interrompe la partie de scrabble ?

    \item Sachant qu'elle arrive après le début du jeu, quelle est la probabilité qu'elle arrive avant que la moitié du temps consacré au jeu se soit écoulé ?

\end{questions}
\end{exo}

%%%%% CORR EX8

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item L'heure d'arrivée $ X $ de Charline suit la loi uniforme sur $ \left[17,5\,;19,5\right[ $ puisque le texte dit qu'elle arrivera à un moment quelconque. \\
        Elle interrompra la partie de scrabble si elle arrive entre 18 h 30 et \mbox{19\,h 30}. Donc la probabilité qu'elle interrompe le jeu est:
            \[ \frac{19,5 - 18,5}{19,5 - 17,5} = \frac{1}{2}. \]

     \item On cherche ici $ P_{X > 18,5}(X < 19,25) $.
            \begin{align*}
                P_{X > 18,5}(X < 19,25) & = \dfrac{P\big((X > 18,5)\cap(X < 19,25)\big)}{P(X > 18,5)} \\
                    & = \dfrac{P(18,5 < X < 19,25)}{P(X > 18,5)} = \dfrac{\frac{0,75}{2}}{\frac{1}{2}} = 0,75.
            \end{align*}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%EX9

\begin{exo}{Modélisation par une loi}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{2}{15}

Que pensez-vous de l'affirmation suivante ? \\
Si on choisit au hasard un nombre dans l'intervalle $ \left[0\,; 2\right] $, il est plus probable d'avoir son carré supérieur à 3 que sa moitié supérieure à 0,9.\\
Justifier.

\end{exo}

%%%%%% CORR EX9

\begin{corrige}
Soit $ X $ le nombre choisi. $ X $ suit la loi uniforme sur $ \left[0\,; 2\right] $.

$ P\big(X^2 > 3\big) = P\left(X\in \left[\sqrt{3}\,; 2\right]\right) $, donc :
     \[ P\big(X^2 > 3\big) = \dfrac{2 -\sqrt{3}}{2 - 0} = \dfrac{2 -\sqrt{3}}{2} \approx 0,13. \]

 $ P\left(\dfrac{X}{2} > 0,9\right) = P\big(X > 1,8\big) $, donc $ P\left(\dfrac{X}{2} > 0,9\right) = \dfrac{2 - 1,8}{2} = 0,10$.

Donc l'affirmation est vraie.
\newpage
\end{corrige}

\sectionnn{Loi normale}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX10

\begin{exo}{Production hors normes}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}{1}{10}
Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000.

Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute bobine choisie au hasard dans cette commande, associe son poids. On admet que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu=500$ et $\sigma^2=4$.
\begin{questions}
\item Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée. 

Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{-4}$.
\item L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.

Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{-4}$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice on trouve : $P(X<496)\approx\numprint{0,0228}$.
\begin{attention}
On pourrait avoir remarqué que $496 = \mu-2\sigma$ et vouloir utiliser la probabilité du cours : $P(\mu-2\sigma < X < \mu+2\sigma)\approx0,95$.

On trouve alors :
\[
P(\mu-2\sigma < X <  \mu+2\sigma) = 1 - 2P(X < \mu-2\sigma)
\]
et donc :
\begin{align*}
P(X<\mu-2\sigma) & =\dfrac{1-P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)}{2}\\
& \approx\dfrac{1-0,95}{2}\approx0,025.
\end{align*}
Ce résultat n'est pas en contradiction avec le précédent, mais n'est pas assez précis puisque la valeur 0,95 est une valeur approchée au centième.
\end{attention}

\item \`A la calculatrice on trouve : $P(X>506)\approx\numprint{0,0013}$.

Comme dans la question précédente, on remarque que $506=\mu+3\sigma$ et donc :
\begin{align*}
P(X>\mu+3\sigma) & =\dfrac{1-P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)}{2}\\
& \approx\dfrac{1-0,997}{2}\approx\dfrac{0,003}{2}\approx\numprint{0,0015}.
\end{align*}
Là encore, on n'obtient pas la précision demandée car la valeur approchée connue n'est qu'à $10^{-3}$ près.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX11 (new 2015)

\begin{exo}{Autonomie d'une batterie}{Lycée Victor Duruy, Paris}{1}{15}
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 40$.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville?
\item La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX11

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La voiture n'atteint pas la ville si la distance parcourue est comprise entre 0 et 160 km, donc la probabilité de ne pas atteindre cette ville est $P(0<X<160)\approx0,16$.

\begin{Remarque} on obtient le même résultat en calculant $P(X<160)$. En effet, la probabilité de parcourir une distance négative est pratiquement nulle avec ce modèle car $0 < \mu-3\sigma$.  \end{Remarque}

\item $P(X>320)\approx\numprint{0,0013}$. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour est donc inférieure à 0,01.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%% EX12 (new 2015)

\begin{exo}{Probabilité maximale}{Lycée Dumont d'Urville, Toulon}{1}{15}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. 

Déterminer par des considérations graphiques le réel $T$ tel que la probabilité $P(T<X<T+2)$ soit maximale.
\end{exo}

%% CORR EX12

\begin{corrige}
Pour que la probabilité de l'événement $(T<X<T+2)$ soit maximale, il faut que l'aire sous la courbe de la fonction densité soit maximale. 

Il semble que ce soit le cas pour $T=-1$.

Comme la fonction densité admet son maximum en 0, qu'elle est décroissante sur $[0\,;+\infty[$  et que pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, alors pour tout \mbox{$x<-1$} ou $x>1$, on a $f(x)<f(1)$ et par conséquent, si on a $T<-1$ ou\linebreak $T+2>1$, le graphique montre que l'aire sous la courbe n'est pas la plus grande.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{>{\centering\arraybackslash}X}}
\includegraphics{08_img_01}
&
\includegraphics{08_img_02}
\\
$P(-1<X<1)$ & $P(a<X<b)$ avec $b=a+2$
\end{tabularx}

\Par

On constate que, dans tous les cas, si on cherche l'aire sous la courbe pour $a$ et $b$ décalés par rapport à $-1$ et 1, l'aire ajoutée (en bleu) est plus petite que l'aire enlevée (en vert).

Si l'intervalle $[a\, ;b]$  est totalement disjoint de l'intervalle $[-1\, ;1]$, le maximum de la fonction sur l'intervalle $[a\, ;b]$  est inférieur à son minimum sur $[-1\, ;1]$, donc l'aire sera plus petite entre $a$ et $b$.
\end{corrige}

%% EX13 (new 2015)

\begin{exo}{\'Evolution \og normale \fg{} }{Lycée François Couperin, Fontainebleau}{1}{15}
Un chercheur a étudié l'âge moyen auquel les premiers mots de vocabulaire apparaissent chez les jeunes enfants. Une étude effectuée auprès d'un millier de jeunes enfants montre que les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 11,5 mois avec un écart-type de 3,2 mois. 

La distribution des âges étant normale,
\begin{questions}
\item évaluer la proportion d'enfants ayant acquis leurs premiers mots avant 10 mois ;
\item évaluer la proportion d'enfants ayant acquis leurs premiers mots après 18 mois ;
\item évaluer la proportion d'enfants ayant acquis leurs premiers mots entre 8~mois et 12 mois. 
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX13

\begin{corrige}
$X$ est la variable aléatoire donnant l'âge d'acquisition des premiers mots.

$X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\big(11,5\,;3,2^2\big)$.
\begin{questions}
\item $P(0<X<10)\approx0,319$.  La proportion est d'environ 32\,\%.
\item $P(X>18)\approx0,021$. La proportion est d'environ 2\,\%.
\item $P(8<X<12)\approx0,425$. La proportion est d'environ 43\,\%.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%
%%EX14

\begin{exo}{Loi normale}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}{1}{15}

On s'intéresse au temps de parcours d'une régate. Sur les nombreux participants à cette course, la moyenne a été de 6\, h 15\,min et l'écart-type de 75\,min.\\
On considère que le temps de parcours d'un participant suit une loi normale dont les paramètres sont donnés ci-dessus.
\begin{questions}

    \item On prend au hasard la fiche d'un participant et on regarde son temps de parcours.

        \begin{questions}
            \item Quelle est la probabilité que ce temps de parcours ait été inférieur à 5\,h 30\,min ?

            \item Quelle est la probabilité que le temps de parcours ait été supérieur à 10\,h ?

        \end{questions}

    \item Il y avait en fait 500 participants. À combien peut-on évaluer le nombre de participants étant arrivés moins de 6\,h après leur départ ?

    \item 10\,\% des participants à la course seront récompensés, selon leur durée de parcours. Quelle est la durée maximale pour être récompensé ?

\end{questions}
\end{exo}

%%% CORR EX14

\begin{corrige}
\begin{attention}
Il faut tout exprimer dans la même unité (par exemple, en heure). 

Alors, 6\,h\,15\,min = 6,25\,h et 75\,min = 1,25\,h.
\end{attention}
\begin{questions}
\item
    \begin{questions}
        \item $ P(X < 5,5) \approx \nombre{0,2743} $.
        \item $ P(X > 10) \approx 0,0013 $.
    \end{questions}

\item $ P(X < 6) \approx\nombre{ 0,4207} $. Donc on peut évaluer le nombre de participants étant arrivés moins de 6 heures après leur départ à 210.

\item On cherche $ b $ tel $ P(X < b) = 0,1 $. \\
    On a $ b \approx 4,648$, soit environ 4\,h\,39\,min.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EX15 (new 2015)

\begin{exo}{Un test comportemental}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{2}{20}
Dans cet exercice, les probabilités obtenues seront arrondies au millième.

Un test comportemental a été étalonné auprès d'une population de \numprint{3500} personnes. On sait que la moyenne au test est de 54,24 et que l'écart type est de 6,82. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à un individu tiré au hasard, associe sa moyenne au test. On sait en outre que $X$ suit une loi normale.
\begin{questions}
\item Quelle est la proportion d'individus qui ont une note supérieure à 62? Quel est leur nombre ? 
\item Quelle est la proportion d'individus qui ont une note comprise entre 45 et 70 ? Quel est leur nombre ?
\item Quelle est la valeur de la variable correspondant au premier quartile ($Q_1$) de la série des moyennes de cette population ?

Même question pour le troisième quartile ($Q_3$).
\end{questions}
\end{exo}

%% COR EX15

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La moyenne suit la loi normale $\mathcal{N}\big(54,24\,;6,82^2\big)$.

\`A la calculatrice on obtient : $P(X>62)\approx0,128$.


Comme $\numprint{3500}\times0,128=448$, il y a environ 448 sujets ayant une note supérieure à 62.
\item $P(45<X<70)\approx0,902$. Le nombre d'individus est alors \numprint{3157}.

\item On cherche $Q_1$ tel que $P(X\leqslant Q_1)=0,25$. \`A la calculatrice on obtient : $Q_1\approx49,64$.

De même, $P(X\leqslant Q_3)=0,75$ pour $Q_3\approx58,84$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% EX16

\begin{exo}{Trouver une moyenne}{Lycée Stanislas, Nice}{2}{20}

Une machine remplit des sachets de farine de type 55. On admet que la masse des sachets suit une loi d'espérance $ \mu $, réglable, et d'écart-type 0,05 (en kg).


\begin{questions}
   \item À combien doit-on régler la valeur de $ \mu $ pour que 95\,\% des sachets contiennent une masse de farine supérieure ou égale à celle annoncée de 1\,kg ?

   \item Une amélioration de la machine permet de réduire l'écart-type de moitié. À combien faut-il régler alors $ \mu $ pour que 95\,\% des sachets contiennent une masse de farine supérieure ou égale à celle annoncée de 1\,kg ?

\end{questions}
\end{exo}

%%%%%%%% CORR EX16

\begin{corrige}
\begin{questions}

    \item Soit $ X $ la masse d'un paquet de farine. On veut $ P(X > 1) = 0,95 $.

        Si $ X $ suit le loi $ \mathcal{N}\big(\mu;\, 0,05^2\big) $, $ Z = \dfrac{X - \mu}{0,05}$ suit la loi $ \mathcal{N}(0\, ; 1) $.
\begin{align*}
P(X > 1) = 0,95 & \iff P\left(\dfrac{X - \mu}{0,05} > \dfrac{1 - \mu}{0,05}\right) = 0,95 \\
& \iff P\left(Z > \dfrac{1 - \mu}{0,05}\right) = 0,95\\
& \iff P\left(Z < \dfrac{1 - \mu}{0,05}\right) = 0,05.
            \end{align*}
        On obtient alors à la calculatrice : $ \smash[b]{\dfrac{1 - \mu}{0,05}} \approx -\nombre{1,6449} $.
            \[\dfrac{1-\mu}{0,05} = -\nombre{1,6449} \iff 1 - \mu \approx -\nombre{0,082243} \iff \mu \approx 1,082. \]%

    \item On reprend les calculs avec un écart-type égal à $ 0,025 $ : \\
        Si $ X $ suit la loi $ \mathcal{N}\big(\mu\,; 0,025^2\big) $, $ Z = \dfrac{X - \mu}{0,025}$ suit la loi $ \mathcal{N}(0\,; 1) $.
\begin{align*}
P(X > 1) = 0,95 & \iff P\left(\dfrac{X - \mu}{0,025} > \dfrac{1 - \mu}{0,025}\right) = 0,95 \\
& \iff P\left(Z > \dfrac{1 - \mu}{0,025}\right) = 0,95\\
& \iff P\left(Z < \dfrac{1 - \mu}{0,025}\right) = 0,05.
            \end{align*}
        On obtient alors à la calculatrice : $ \dfrac{1 - \mu}{0,025} \approx -\nombre{1,6449} $
            \[ \smash[b]{\dfrac{1-\mu}{0,025}} = -\nombre{1,6449} \iff 1 - \mu \approx -\nombre{0,0411213} \iff \mu \approx 1,041. \]%
%
            \begin{Remarque} on n'avait pas vraiment besoin de refaire tous les calculs, il suffisait d'observer le rôle joué par l'écart-type dans ces calculs.
            \end{Remarque}

\end{questions}
\end{corrige}

% EX17 : Trouver une moyenne et un écart-type

\begin{exo}{Trouver moyenne et écart-type}{Lycée Tivoli, Bordeaux}{3}{30}
\label{ch8exFindMoy} % ref cours §4.4-Remarques

$ X $ est une variable aléatoire suivant la loi $ \mathcal{N}\big(\mu\,; \sigma^2 \big) $. 

On sait que $ P(X < 1) = 0,3 $ et que $ P(X < 4) = 0,9 $.

\begin{questions}
  \item Quelle est la loi suivie par $ Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ ?

  \item En déduire un système d'équations vérifié par $ \mu $ et $ \sigma $.

  \item Donner les valeurs arrondies au millième de $ \mu $ et $ \sigma $.

\end{questions}
\end{exo}

%%%%%% CORR EX17

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item $ Z $ suit la loi $ \mathcal{N}(0\,; 1) $.

    \item $\begin{aligned}[t]
           P(X < 1) = 0,3 & \iff P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} < \dfrac{1 - \mu}{\sigma}\right) = 0,3\\
           & \iff P\left(Z < \dfrac{1 - \mu}{\sigma}\right) = 0,3. \\
          P(X < 4) = 0,9 &  \iff P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} < \dfrac{4 - \mu}{\sigma}\right) = 0,9\\
          & \iff P\left(Z < \dfrac{4 - \mu}{\sigma}\right) = 0,9.
            \end{aligned}$

        La calculatrice permet d'obtenir le système suivant :
            \begin{align*}
            \begin{cases}
              \dfrac{1 - \mu}{\sigma} & \approx -\nombre{0,5244}, \\
              \dfrac{4 - \mu}{\sigma} & \approx \nombre{1,2816}.
              \end{cases}
            \end{align*}
         On considérera par la suite pour faciliter les écritures qu'il y a égalité, même s'il faut garder à l'esprit qu'avec la loi normale, on travaille toujours avec des valeurs approchées.
            \begin{align*}
                \hphantom{\iff} & \begin{cases}\dfrac{1 - \mu}{\sigma} = -\nombre{0,5244}\\ \dfrac{4 - \mu}{\sigma} = \nombre{1,2816} \end{cases}
            \iff
                \begin{cases} 1 - \mu = -0,524\,4\,\sigma \\ 4 - \mu = 1,281\,6\,\sigma \end{cases}\\
            \iff
                 & \begin{cases} \mu = 1 +0,524\,4\,\sigma \\ 3 = 1,806\,\sigma \end{cases}
            \iff
                \begin{cases} \sigma \approx 1,661 \\ \mu \approx 1,871 \end{cases}
            \end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% EX18 (new 2015)

\begin{exo}{Durée de jeu}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{3}{40}
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
\begin{questions}
\item Paul se connecte sur le site. La durée $D$ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[20\, ; 120]$. 
\begin{questions}
\item Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. 
\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. Interpréter ce résultat.
\end{questions}

\item L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $J$ (en minutes) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(120\,; 400)$. 
\begin{questions}
\item Donner l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $J$.                        
\item Montrer l'équivalence : \[
90 < J < 180 \iff -1,5<\dfrac{J-120}{20}<3.
\]
\item On définit la variable aléatoire $X$ par $X=\dfrac{J-120}{2}$.  

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. 
\item \label{qdch8}Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On donne un extrait de la table de probabilité de la loi normale centrée réduite.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*6{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\scalebox{0.7}{$P(X<0,5)$} & 
\scalebox{0.7}{$P(X<1)$} & 
\scalebox{0.7}{$P(X<1,5)$} & 
\scalebox{0.7}{$P(X<2)$} & 
\scalebox{0.7}{$P(X<2,5)$} & 
\scalebox{0.7}{$P(X<3)$} \\
\hline
0,691&
0,841&
0,933&
0,977&
0,994&
0,999\\\hline
\end{tabularx}

\Par

Expliquer comment retrouver le résultat de la question \ref{qdch8} à l'aide de cette table, sans utiliser la calculatrice.
\end{questions}       
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX18

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On cherche la probabilité pour que la durée $D$ soit inférieure ou égale à 60 secondes. 
\[
P(D\leqslant60)=P(20\leqslant D\leqslant 60)=\dfrac{60-20}{120-20}=0,4.
\] 
\item Par définition, $E(D)=\dfrac{20+120}{2}=70$. Cela signifie que, sur un grand nombre de parties, la durée moyenne nécessaire pour que les quatre joueurs soient réunis est de 70 secondes.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item Comme $J$ suit la loi normale de paramètres 120 et 400, cela signifie que l'espérance de $J$ est égale à 120\,min et sa variance est égale à 400. La variance étant le carré de l'écart-type, on trouve que l'écart-type est égal à 20\,min.
\item\label{ch8qb} En enlevant 120 puis en divisant par 20 on obtient successivement :

\scalebox{0.9}{$90<J<180 \iff -30<J-120<60 \iff -1,5<\dfrac{J-120}{20}<3$.}

\item\label{ch8qc} D'après le cours, dire que $J$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$ signifie que $X$ suit la loi normale centrée réduite. Par conséquent, comme $J$ est de paramètres 120 et 400, alors la variable aléatoire $X=\dfrac{J-120}{20}$ suit la loi normale centrée réduite.

\item \`A la calculatrice on trouve :  $P(90<J<180)\approx0,932$.

\item D'après les questions \ref{ch8qb} et \ref{ch8qc} : 

$P(90<J<180)=P(-1,5<X<3)$, où $X$ suit la loi normale centrée réduite.

D'après les propriétés de la courbe de la fonction densité de la loi normale centrée réduite :
\[
P(X<-1,5)=P(X>1,5)=1-P(X<1,5).
\]
Alors : 
\begin{align*}
P(-1,5<X<3) & =P(X<3)-P(X<-1,5)\\
& =P(X<3)-1+P(X<1,5)\\
& \approx0,999-1+0,933\approx 0,932.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Exercice 18 : Une double loi uniforme
% \begin{exo}{Une double loi uniforme}{Nouveau programme}{3}{30}

% Romain et Alice ont, plus ou moins, projeté de se rencontrer au square près du lycée. \\
% Romain a décidé d'y aller entre 12\,h et 13\,h 30, et d'attendre au plus 12\,min.\\
% Alice a décidé d'y aller entre 13\,h et 14\,h, et d'attendre au plus 3\,min. \\
% On se propose de trouver la probabilité qu'ils se rencontrent.

% \begin{questions}
  % \item Si on appelle $ x $ l'heure d'arrivée de Romain et $ y $ celle d'Alice, quelles sont les conditions vérifiées par $ x $ et $ y $ ?

  % \item Représenter dans le plan la surface correspondant à la possibilité d'une rencontre, et la surface totale correspondant à la présence possible de l'un ou de l'autre dans le square.

  % \item Comment peut-on évaluer la probabilité qu'ils se rencontrent ?

  % \item Calculer cette probabilité.

% \end{questions}
% \end{exo}
%
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
    % \item Pour simplifier la représentation graphique, on décide que 12\,h est l'heure 0 de l'après-midi. On a alors $ 0 < x < 1,5 $ et $ 1 < y < 2 $.
            % \begin{Remarque}
                % on parle de lois continues, donc peu importe qu'on mette des inégalités strictes ou larges.
            % \end{Remarque}
        % D'après l'énoncé, il faut de plus que$ y < x + \dfrac{1}{5}$ et que $ x < y + \dfrac{1}{20}$.

    % \item Il faut donc tracer sur un graphique les droites d'équation $ x = 1,5 $, $ y = 1 $, $ y = 2 $, $ y = x + 0,2 $, $ y = x - 0,05 $, et hachurer ensuite les parties interdites.
        % Voir ce qu'on obtient page ci-contre. 
% \clearpage
            % \begin{center}
                % \includegraphics{008_exFinal_068}
            % \end{center}
        % Sur ce graphique, le rectangle EFGH représente la présence de l'un ou de l'autre dans le square entre 12 h et 14 h, et le quadrilatère ABCD représente la possibilité d'une rencontre.

    % \item La probabilité d'une rencontre peut être évaluée par le rapport des aires de ABCD et de EFGH. \\
        % L'aire de EFGH est 1,5. \\
        % L'aire $ \mathcal{A} $ du polygone ABCDEF s'obtient en le décomposant en 2 triangles et un rectangles, et en utilisant les carreaux.

    % \item $ \begin{gathered}[t]
            % \mathcal{A} = \dfrac{3 + \sqrt{13} \times 8\sqrt{2} + \big(\dfrac{5}{2}\sqrt{2}\big)^2 }{400} = \dfrac{8 + 8\sqrt{26} + \dfrac{25}{2}}{400} \approx 0,141
        % \end{gathered} $

% \end{questions}
% \end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige

\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../ILTES"
%%% End:
