\chapter{Intervalle de fluctuation et estimation}

\begin{exointro}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On jette 100 fois un dé cubique, on obtient 10 fois la face  \og 6 \fg. Peut-on considérer que ce dé  est équilibré ?
\item La réponse serait-elle la même si on obtient 100 fois la face \og 6 \fg{}  sur \numprint{1000} lancers ?
\end{questions}

\item Sur un échantillon de 400 personnes, 73 ont vu un certain spot publicitaire à la télévision.
\begin{questions}
\item Au niveau de confiance de 95\,\%, dans quel intervalle se trouve le pourcentage de ceux qui ont vu le spot dans la population totale ?
\item Combien faudrait-il interroger de personnes pour que cet intervalle ait une amplitude inférieure à 2\,\% ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%}

\begin{defin} 
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ avec\linebreak[4] $p\in ]0\,;1[$. L'intervalle $I_n=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,; p+ 1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la variable aléatoire fréquence $F_n=\dfrac{X_n}{n}$.
\end{defin}

\newpage

\begin{prop}
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, la probabilité que $F_n$ prenne ses valeurs dans $I_n$ tend vers $0,95$ 
(c'est ce qui explique le terme \og asymptotique au seuil de 95\,\% \fg utilisé ici).
\end{prop}

\begin{Remarque}le nombre $1,96$ est celui qui apparaît dans le chapitre 8 : si $Z$ est une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(0\,;1)$, alors $P(-1,96 \le Z \le 1,96) \approx 0,95$.
\end{Remarque}

La définition précédente parle de variable aléatoire ; elle entre donc dans le domaine des probabilités.

L'utilisation en statistique est une conséquence de la loi des grands nombres et de la propriété 1.

\begin{aretenir}
En statistique, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique d'une proportion $p$ au seuil de 95\,\% quand :
\begin{itemize}
\item on connaît la proportion $p$ dans la population totale ;
\item la taille $n$ de l'échantillon étudié est telle que  $n\ge 30$, $np \ge 5$ et\linebreak[4] $n(1-p) \ge 5$.
\item on cherche à savoir si la fréquence $f$ observée dans l'échantillon n'est pas incompatible (au seuil de 95 \%) avec la proportion connue $p$.
\end{itemize}
\end{aretenir}


\begin{Remarque}l'intervalle de fluctuation vu en seconde : 
\[
\left[ p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,; p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]
\] 
contient l'intervalle de fluctuation asymptotique :
\[
\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]\;,
\]
donc il n'y a pas contradiction entre les deux énoncés, celui de seconde étant seulement un énoncé simplifié.
\end{Remarque}


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\section{Estimation}

On utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique quand on connaît une proportion \og théorique \fg dans une population et qu'on veut savoir si un échantillon peut être considéré comme issu de cette population.

Dans ce paragraphe, la proportion théorique $p$ de la population est inconnue et on cherche à l'estimer à partir d'un échantillon.

\newpage

\subsection{Intervalle de confiance}


\begin{prop} 
Soit $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ avec $p \in ]0\,;1[$ et $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

L'intervalle $\left[ F_n- \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,; F_n+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion inconnue $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$.
\end{prop}

C'est un résultat probabiliste. En statistique, on ne parle pas de la variable aléatoire $F_n$, mais de la fréquence $f$ observée, parfois appelée réalisation de $F_n$, sur un échantillon de la population.

\begin{defin}
$p$ représente la proportion inconnue d'individus ayant une certaine propriété dans la population totale. 

Soit $f$ la fréquence observée de la propriété étudiée, dans un échantillon de taille $n$. On appelle intervalle de confiance de la proportion inconnue $p$ avec un niveau de confiance $0,95$ l'intervalle $\left[ f- \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,; f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$.
\end{defin}

\begin{Remarques}
On utilise l'intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95\,\% quand :
\begin{itemize}
\item on observe une proportion $f$ dans un échantillon de taille $n$ ;
\item la taille $n$ de l'échantillon étudié est telle que  $n\ge 30$, $np \ge 5$ et\linebreak[4] $n(1-p) \ge 5$ (dans la pratique les deux dernières inégalités ne seront contrôlées qu'après coup puisque $p$ est inconnue) ;
\item on cherche à déterminer un intervalle dans lequel se situe la proportion inconnue $p$ dans la population totale, avec un niveau de confiance de 95\,\%.
\end{itemize}
\end{Remarques}




\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item \`A ce niveau de confiance, l'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. On obtient donc un intervalle de confiance d'amplitude inférieure à $a$ dès que $n$ est supérieur ou égal à $\dfrac{4}{a^2}$.
\item Dans certaines disciplines, on utilise aussi, au niveau de confiance 95 \%, l'intervalle $\left[ f-1,96 \dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} \,; f+1,96 \dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} \right]$.
\end{itemize}
\end{Remarques}



\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Pour un dé bien équilibré, on connaît la proportion $p=\dfrac{1}{6}$.

De plus, les conditions $n\ge 30$, $np \ge 5$ et $n(1-p)\ge5$ sont vérifiées. On peut donc utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.
\[ 
I=\left[ \dfrac{1}{6} - 1,96 \dfrac{\sqrt{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}}{\sqrt{100}} 
\,; \dfrac{1}{6} + 1,96 \dfrac{\sqrt{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}}{\sqrt{100}}   \right] \;,
\]
ce qui donne environ $[0,093 \,; 0,240]$.

Si on obtient 10 fois face sur 100 lancers, la fréquence d'apparition du 6 est égale à $0,1$.
Cette fréquence appartient à l'intervalle $I$, il n'y a donc pas de raison, au seuil de 95\,\%, de rejeter l'hypothèse que le dé est bien équilibré.

\item Si l'échantillon est de taille \numprint{1000}, l'intervalle de fluctuation devient :
\[ 
J=\left[ \dfrac{1}{6} - 1,96 \dfrac{\sqrt{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}}{\sqrt{\numprint{1000}}} 
\,; \dfrac{1}{6} + 1,96 \dfrac{\sqrt{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}}{\sqrt{\numprint{1000}}}   \right]\;,\]
soit environ $[0,143 \,; 0,190]$.

Cela signifie que si sur \numprint{1000} lancers, on n'obtient que 10\,\% de face \og 6 \fg, on peut, au seuil de 95\,\%, rejeter l'hypothèse que le dé est bien équilibré.
\end{questions}

\item Dans cette situation, la proportion $p$ dans la population est inconnue. On va chercher un intervalle de confiance au niveau de confiance de\linebreak[4] 95\,\%.

\begin{questions}
\item La proportion observée est $f=\dfrac{73}{400}$, donc l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% est :
\[ 
\left[ \dfrac{73}{400} - \dfrac{1}{\sqrt{400}} \,; \dfrac{73}{400} +\dfrac{1}{\sqrt{400}} \right]\;,
\]
c'est-à-dire environ $[ 0,132 \,; 0,233]$.

On peut donc, au niveau de confiance de 95\,\%, dire que la proportion $p$ de ceux qui on vu le spot dans la population totale  est comprise entre $0,132$ et $0,233$.
\Break
\item L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. Donc cette amplitude est inférieure à 2\,\% dès que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \le 0,02$, c'est-à-dire $n \ge \left( \dfrac{2}{0,02} \right)^2$, ce qui donne $n \ge \nombre{10000}$.\medskip

\'Economiquement, un tel sondage peut coûter très cher ; on ne cherchera que rarement à avoir une telle précision !
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\begin{methode}
Pour calculer les intervalles de fluctuation ou de confiance, la borne inférieure de l?intervalle est toujours arrondie par défaut et la borne supérieure par excès.
\end{methode}
\endinput