\thumb
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex1

\begin {qcm} {Intervalle de fluctuation} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la bonne réponse.\\
Une certaine année, le taux de réussite au bac ES en France a été de 75 \%.
\begin{questions}
\item La meilleure approximation de l'intervalle de fluctuation asymptotique de cette proportion au seuil de 95 \% dans un échantillon 100 élèves est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $[0,65\, ; 0,85 ]$ &
\choix $[0,665\, ; 0,835 ]$ &
\choix $[0,74\, ; 0,76 ]$
\end{tabularx}
	

\item Si on multiplie par deux la taille de l'échantillon, la longueur de l'intervalle de fluctuation est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix multipliée par 2 &&
	\choix divisée par 2 \\
	\choix multipliée par $\sqrt{2}$ &&
	\choix divisée par $\sqrt{2}$
\end{tabularx}

	
\item Dans un lycée, sur 57 élèves qui se présentaient au bac ES,  49 élèves ont été reçus. 

On veut tester l'hypothèse selon laquelle les résultats du lycée sont remarquables. Au seuil de 95\,\%, \resetchoix

	\choix on ne rejette pas l'hypothèse que les résultats sont remarquables.\\
	\choix on rejette l'hypothèse que les résultats sont remarquables.\\
	\choix il n'y a pas assez d'élèves pour conclure.

	
\item Dans un lycée plus grand, il y avait deux fois plus de candidats, mais aussi deux fois plus de reçus.
Au seuil de 95\,\%, \resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
	\choix &on ne rejette pas l'hypothèse que les résultats sont remarquables.\\
	\choix &on rejette l'hypothèse que les résultats sont remarquables.\\
	\choix &c'est la même réponse que dans la question précédente car il y a le même pourcentage de reçus.
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM1

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. On applique la formule :
\[ I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,; p+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \]
avec $p=0{,}75$ et $n=100$.
\item Réponse \choix[d]. La longueur de l'intervalle est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, donc si on multiplie $n$ par 2, cette longueur est divisée par $\sqrt{2}$.
\item Réponse \choix[b]. Le taux de réussite est $\dfrac{49}{57} \approx 0{,}860$. Pour 57 élèves, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% du taux de réussite national est 
$[ 0{,}637 \,; 0{,}863]$. Le taux observé appartient à cet intervalle. On rejette l'hypothèse que les résultats sont remarquables.
\item Réponse \choix[a]. Le taux est le même, mais l'échantillon est deux fois plus grand. L'intervalle de fluctuation asymptotique est alors $[0{,}67 \,; 0{,}83]$. Le taux observé n'est pas dans cet intervalle, on ne peut donc pas rejeter l'hypothèse que les résultats soient remarquables.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex2

\begin {qcm} {Intervalle de confiance} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la bonne réponse.

Lors d'un vote, les bulletins sont dépouillés par lots de 100 enveloppes prises au hasard dans l'urne.  Dans le premier lot, il y a 31 bulletins pour le candidat~$A$. Il y a eu au total 680 votants dans ce bureau de vote. 
\begin{questions}
\item D'après ce résultat, l'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% du pourcentage de voix recueillies par le candidat $A$ est :\resetchoix\\[6pt]
	\choix $\left[ 0,31 - \dfrac{\sqrt{0,31 \times 0,69}}{\sqrt{100}} \,; 0,31 + \dfrac{\sqrt{0,31 \times 0,69}}{\sqrt{100}} \right]$\\[6pt]
	\choix $\left[ 0,31 - \dfrac{1}{\sqrt{100}} \,; 0,31 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]$\\[6pt]
	\choix $\left[ 0,31 - \dfrac{1}{\sqrt{680}}\, ; 0,31 + \dfrac{1}{\sqrt{680}} \right]$

\newpage
	
\item Dans le même lot de bulletins, le candidat $B$ recueille 16 voix.\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
\choix &Le candidat $A$ est certain d'arriver devant le candidat $B$ dans ce bureau de vote.\\
	\choix &Au niveau de confiance de 95\,\%, on peut dire que le candidat $A$ devance le candidat $B$. \\
	\choix &Si les pourcentages en faveur de chaque candidat restent les mêmes après le dépouillement de 200 votes, le candidat $A$ est presque sûr d'être devant le candidat $B$.
\end{tabularx}
	
\item Un électeur qui assiste au dépouillement veut attendre qu'il y ait assez de bulletins dépouillés pour avoir un intervalle de confiance de longueur inférieure à 5\,\%. 

Il suffit qu'on ait dépouillé :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix 200 bulletins &
	\choix 400 bulletins &
	\choix tous les bulletins
\end{tabularx}
	
\item Le bureau de vote concerné est considéré comme représentatif de la population nationale.

Le candidat $A$ obtient 26\,\% des voix dans ce bureau.

L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% du résultat national du candidat $A$  est : \resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
	\choix &$\left[ 0,26 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}\, ; 0,26 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]$\\[8pt]
	\choix &$\left[ 0,26 - \dfrac{1}{\sqrt{680}}\,; 0,26 + \dfrac{1}{\sqrt{680}} \right]$\\[8pt]
	\choix &On ne peut pas savoir car on ne connaît pas le nombre total de votants au plan national.
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM2

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b] d'après le cours.
\item Réponse \choix[c]. Avec 100 votes, l'intervalle de confiance pour le candidat $A$ est  $[0,21 \,; 0,41]$ et celui du candidat $B$ est $[0,06 \,; 0,26]$. Ces intervalles ne sont pas disjoints, alors qu'avec 200 votes dépouillés, les intervalles de fluctuations sont disjoints.

\item Réponse \choix[c]. La longueur de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,05$ pour $n>\numprint{1600}$. Comme il n'y a que 680 votants dans ce bureau, il faut avoir tout dépouillé. La notion d'intervalle de confiance n'a d'ailleurs alors plus de sens !
\item Réponse \choix[b] d'après le cours.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%QCM3

\begin {qcm} {Le bon intervalle} {15}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item Une proportion théorique dans une population de \numprint{20000} est égale à $0,1$\,\%. Dans un échantillon de 60 personnes, cela a du sens de chercher :\\
	\choix un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% \\
	\choix un intervalle de confiance au niveau de confiance  de 95\,\% \\
	\choix aucun des deux
	\resetchoix
\item Une proportion théorique dans une population est égale à $0,25$. Dans un échantillon de 60 personnes, cela a du sens de chercher :\\
	\choix un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% \\
	\choix un intervalle de confiance au niveau de confiance  de 95\,\% \\
	\choix aucun des deux
	\resetchoix
	\newpage
\item  Dans un échantillon de 500 personnes, on constate une fréquence de $0,72$.  Cela a du sens de chercher :\\
	\choix un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% \\
	\choix un intervalle de confiance au niveau de confiance  de 95\,\% \\
	\choix aucun des deux
	\resetchoix
\item On a constaté dans un échantillon de taille 20 issu d'une population de 100 personnes, que  50 \% possèdent une certaine propriété. Cela a du sens de chercher :\\
	\choix un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% \\
	\choix un intervalle de confiance au niveau de confiance  de 95\,\% \\
	\choix aucun des deux
	\resetchoix
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM 3

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. On connaît  la proportion dans la population, mais\linebreak[4] $np = 0{,}06$ et $np>5$ n'est pas vérifiée.
\item Réponse \choix[a]. On connaît la proportion dans la population, et les conditions sur $n$ et $p$ sont vérifiées.
\item Réponse \choix[b]. On cherche la proportion dans la population, et les conditions sur $n$ et $p$ sont vérifiées.
\newpage
\item Réponse \choix[c]. On cherche  la proportion dans la population, mais $n=20$, donc la condition $n \ge 30$ n'est pas vérifiée.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% QCM4

\begin {qcm} {Pas de conclusion hâtive} {10}
Pour chacune des questions ci-dessous, choisir la réponse exacte.
\begin{questions}
\item On lance 20 fois une pièce, on obtient 10 fois \og face \fg.\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
	\choix &On peut affirmer avec certitude que la pièce est bien équilibrée.\\
	\choix & On peut, au seuil de 95\,\%, rejeter l'hypothèse que la pièce est truquée. \\
	\choix & On ne peut pas se prononcer à l'aide des notions du cours.
	\end{tabularx}

\item Dans un plan d'eau, certains poissons souffrent d'une malformation de la nageoire dorsale. Un pêcheur a constaté que sur les 200 poissons attrapés pendant la saison, 5 montraient une malformation de la nageoire dorsale. Le pêcheur peut en conclure, au niveau de confiance $0,95$, que :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
	\choix &Il y a certainement plus que 2,5\,\% des poissons souffrant de cette malformation.\\
	\choix &Il est vraisemblable que moins de 10 \% des poissons souffrent de cette malformation.\\
	\choix &Ni l'un ni l'autre.
\end{tabularx}

\item 30 étudiants (10 filles et 20 garçons) recherchent un travail pour l'été. Parmi eux, 4 filles et 10 garçons trouvent un emploi sans problème. On peut considérer que :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
	\choix &Il n'y a pas de différence entre les chances de trouver un travail pour les  filles et les garçons.\\
	\choix &Les garçons trouvent plus facilement un travail que les filles.\\
	\choix &On ne peut rien dire.
\end{tabularx}

\item Avant le deuxième tour d'une élection présidentielle, un institut de sondage donne à un candidat 46\,\% des voix sur un échantillon de 300 personnes. Un sondage sur Facebook lui attribue 48\,\% des voix sur un échantillon de \numprint{10000} personnes.
\newpage
Le candidat préfère :\resetchoix

	\choix Le deuxième sondage car l'échantillon est plus grand.\\
	\choix Le deuxième sondage car le pourcentage est plus élevé.\\
	\choix Le premier sondage.
	\resetchoix
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM4

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. Il n'y a pas assez de lancers pour appliquer l'intervalle de confiance.
\item Réponse \choix[b]. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% est $[0\,;0,096]$. Donc le pourcentage de poissons souffrant de la malformation est vraisemblablement inférieur à 10\,\%.
\item Réponse \choix[c].  Il n'y a pas assez de filles (10) et de garçons (20) pour utiliser un intervalle de confiance.
\item Réponse \choix[c]. C'est le seul sondage dont l'intervalle de confiance contient un taux supérieur à 50 \%.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Intervalle de fluctuation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex5

\begin{exo}{Produit préféré}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{1}{15}
Une société spécialisée dans la commercialisation de fruits secs propose deux nouveaux produits :
\begin{itemize}
\item produit 1 : mélange mangue et amandes grillées
\item produit 2 : mélange ananas et noix de cajou.
\end{itemize}
Un sondage réalisé sur 60 consommateurs montre que 56\,\% d'entre eux préfèrent le produit 1.

La société peut-elle, au risque de 5\,\%, considérer que le produit 1 est nettement préféré au produit 2 par les consommateurs ?
\end{exo}

%% CORR EX5

\begin{corrige}
\emph{Dans cet exercice, comme dans les suivants, il faut bien penser à vérifier les conditions sur n et p}.\\[6pt]
On cherche à savoir si on pourrait avoir 50\,\% des consommateurs qui préfèrent le produit 2 ; l'intervalle de confiance de la fréquence des consommateurs préférant le produit 2 est :
\[
\left[ 0,44-\dfrac{1}{\sqrt{60}} \,; 0,44+\dfrac{1}{\sqrt{60}} \right] \approx [0,311 \,; 0,570]\;.
\]
Cet intervalle contient 50\,\%, on ne peut donc pas dire qu'il y a certainement une majorité de consommateurs qui préfèrent le produit 1.

Ces calculs justifient a posteriori l'utilisation de l'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% car $n>30$ et l'intervalle de confiance permet de considérer que la proportion  $p>0,3$ donc $np>9>5$ et $(1-p)>1-0,3$\,, donc $n(1-p)>21>5$.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex6

\begin{exo}{Pièce truquée}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}{1}{20}
Le petit frère de Jonathan revient un jour du collège tout excité car un copain lui a donné une pièce truquée pour jouer à pile ou face. Quand il l'avait utilisée au collège, sur 30 lancers, il n'avait obtenu face que 11 fois.
\begin{questions}
\item Le copain lui a dit qu'elle était déséquilibrée en ne montrant face que dans 25\,\% des cas seulement.
\begin{questions}
\item Si tel est bien le cas, quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de face dans un échantillon de 30 lancers ?
\item \'Enoncer une règle de décision qui permet d'avoir un avis sur l'affirmation du copain puis l'appliquer.
\end{questions}

\item Jonathan met tout de même en doute la propriété de cette pièce. 
\begin{questions}
\item En supposant que la pièce est bien équilibrée, quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de face dans un échantillon de 30 lancers ?
\item \'Enoncer une règle de décision et l'appliquer à la supposition de Jonathan.
\end{questions}

\item Comment peut-on éviter le risque d'arriver à deux conclusions différentes ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On a :
\[ \left[ 0{,}25-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}25(1-0{,}25)}}{\sqrt{30}} \, ; 0{,}25+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}25(1-0{,}25)}}{\sqrt{30}} \right] \]
ce qui donne $[0{,}095 \, ; 0{,}405]$.
\item Si la fréquence d'apparition de face appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique, on ne rejette pas son affirmation ; sinon on rejette, au risque de 95 \% l'affirmation que la pièce montre face dans 25 \% des cas. Avec 11 faces sur 30 lancers, la fréquence d'apparition observée est environ $0{,}367$. Elle est dans l'intervalle de fluctuation, on ne peut donc pas rejeter l'affirmation du copain.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item Si la pièce est bien équilibrée, l'intervalle de fluctuation est\linebreak[4] $[0{,}321\, ; 0{,}679]$.
\item  Comme te taux d'apparition de face est dans l'intervalle de fluctuation, on ne rejette pas l'hypothèse que la pièce est bien équilibrée.
\end{questions}

\item  Pour éviter des conclusions différentes, il suffit que les intervalles de fluctuations des proportions 25\,\% et 50\,\% soient disjoints, donc que la borne inférieure de l'intervalle centré en $0{,}5$ soit supérieure à la borne supérieure de l'intervalle centré en $0{,}25$. On a :
\[ 0{,}25+1,96 \dfrac{\sqrt{0{,}25(1-0{,}25)}}{\sqrt{n}}  <  0{,}5 - 1,96  \dfrac{\sqrt{0{,}5(1-0{,}5)}}{\sqrt{n}}. \] 
Pour cela, il faut choisir $n$ assez grand. Par exemple $n = 60$ suffit.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX7 (new 2015)

\begin{exo}{Publicité}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}{2}{25}
Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.
\begin{questions}
\item Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée $X$, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12. 
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans.
\item Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 
\end{questions} 

\item Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75\,\% des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.

Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \numprint{1000} demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées. 
\begin{questions}
\item Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de prêts acceptés par la banque. 
\item Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les \numprint{1000} dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.

Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95\,\%. 

Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque? 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX7

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, on trouve : $P(30<X<35)\approx0,133$.
\item $P(X>55)\approx0,113$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Dans un échantillon de taille \numprint{1000}, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des prêts accordés est :
\[
\left[0,75-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,75\times0,25}{\numprint{1000}}} \,; 0,75+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,75\times0,25}{\numprint{1000}}}\right]\;,
\]
soit à peu près : $[0,723 \,; 0,777]$.

\item Dans cette agence bancaire, la fréquence des prêts accordés est $\dfrac{600}{\numprint{1000}}=0,6$.

On choisit comme règle de décision, au niveau de confiance de 95\,\%, de ne pas valider le slogan publicitaire si la fréquence observée dans l'agence n'est pas dans l'intervalle de fluctuation. Sinon on valide le slogan.

Dans ce cas, comme 0,6 n'est pas dans l'intervalle de fluctuation asymptotique, on ne valide pas le slogan qui promet des taux significativement supérieurs à celui observé.
\end{questions}
\end{questions}
%\newpage
\end{corrige}

%% EX8 (new 215)

\begin{exo}{Respect des proportions}{Lycée Turgot, Paris}{2}{30}

\subsubsectionnn{Partie A}

La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :
\begin{itemize}
\item 80\,\% de CDI (contrat à durée indéterminée) ;
\item 20\,\% de CDD (contrat à durée déterminée).
\end{itemize}
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*3{Sc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{white}} &
\psline(-0.237,0.36)(4.255,0.36) CDI & CDD & 
Effectif total\\
\hline
Site de production A & 315 & 106 & 421\\
\hline 
Site de production B & 52 & 16 & 68\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. 
\item Pour une proportion $p=0,8$, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95\,\% relatifs aux échantillons de taille $n$, pour $n=421$ et pour $n = 68$. 
\item Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ? 
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\emph{Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque $n\ge 30$, $np\ge5$ et $n(1-p)\ge5$, où $p$ désigne la proportion dans une population et $n$ désigne la taille d'un échantillon de cette population.}

\Par

La direction de cette même société tolère 7\,\% de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7\,\%. 

Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

\begin{questions}
\item S'il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% ? Expliquer. 
\item S'il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% ? Expliquer. 
\item Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s'avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? 
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item La proportion de CDI sur le site A est $\dfrac{315}{421}\approx0,748$ et sur le site B, $\dfrac{52}{68}\approx0,765$.

\item Dans cette situation, les conditions $n\ge 30$, $np\ge5$ et $n(1-p)\ge5$ sont vérifiées.

L'intervalle de fluctuation de 0,8 dans un échantillon de taille 421 est :
\[
\left[ 0,8-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,8\times0,2}{421}} \,; 0,8+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,8\times0,2}{421}} \right] \;,
\]
soit : $ [0,761 \,; 0,839] $.

Dans un échantillon de taille 68, il est égal à :
\[
\left[ 0,8-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,8\times0,2}{68}} \,; 0,8+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,8\times0,2}{68}} \right]  \;,
\]
soit : $[0,704 \,; 0,896] $.

\item La proportion de CDI sur le site A n'est pas dans l'intervalle de fluctuation correspondant à un échantillon de taille 421. La direction doit donc, au risque d'erreur de 5\,\%, considérer que le pourcentage souhaité de CDI sur ce site n'est pas atteint et faire modifier les modes de recrutement.

En revanche, sur le site B, bien que le pourcentage de CDI soit inférieur à 0,8, il se trouve dans l'intervalle de fluctuation. La direction n'a pas de raison particulière d'intervenir sur le recrutement dans ce site B.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}
\enlargethispage*{3em}
Dans cette partie, il faut bien vérifier que les conditions $n\ge 30$, $np\ge5$ et $n(1-p)\ge5$ sont remplies.

\begin{questions}
\item Si $n=50$ et $p=0,07$, alors $np=3,5$. La condition $np\ge5$ n'est pas remplie, donc on ne peut pas utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique.

\item Si $n=100$ et $p=0,07$, alors $np=7$  et $n(1-p)=93$. Les trois conditions sont donc remplies, et on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique.

\item La fréquence des composants défectueux dans l'échantillon de taille 100 est 0,09.

L'intervalle de fluctuation asymptotique du taux toléré de 0,07 dans un échantillon de taille 100 est :
\[
\left[ 0,07-1,96\times\sqrt{\dfrac{0,07\times0,93}{100}} \,; 0,07+1,96\times\sqrt{\dfrac{0,07\times0,93}{100}}\right] \;,
\]
soit à peu près : $ [0,02 \,; 0,12]$.

Comme la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation, le responsable du site n'a pas lieu de s'inquiéter à propos de la qualité des composants produits.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Intervalle de confiance}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex9

\begin{exo}{Barème}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{15}
Lors d'un concours, le jury souhaite que la moitié des candidats présents à l'écrit soient admissibles à l'oral.
\begin{questions}
\item Après correction d'un échantillon de 50 copies, on constate que seules 27 ont la moyenne.\\
Le jury hésite à déclarer admissibles des candidats qui n'ont pas la moyenne. Expliquer pourquoi il décide alors de modifier son barème.
\item Avec les nouveaux barèmes, sur 60 copies, 38 ont la moyenne. \\Expliquer pourquoi le jury accepte ce barème.	
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si sur un échantillon de 50 copies, 27 ont la moyenne, le jury peut, au niveau de confiance de 95\,\%, s'attendre à avoir entre 40\,\% et 68\,\% des candidats qui ont la moyenne. Avec 40\,\%, cela signifie qu'en déclarant admissibles 50\,\% des candidats, ils risquent de déclarer admissibles des candidats qui n'ont pas la moyenne.
\item Avec le nouveau barème, l'intervalle de confiance montre qu'entre\linebreak[4] 
$50,4$\,\% et $76,3$\,\% des candidats ont la moyenne ; il y a donc peu de risques de déclarer admissible un candidat qui n'a pas la moyenne à l'écrit.
\end{questions}

\begin{methode}
Pour choisir entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance, il est essentiel de comprendre si la proportion dans la population est connue ou non. \\
Dans cet exercice, 50\,\% est un objectif qui n'a aucune raison d'être réalisé avec le barème initial.
\end{methode}
\end{corrige}

%%% EX10 (new 2015)

\begin{exo}{Intervalle de confiance}{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine}{1}{15}
\begin{questions}
\item Lors d'un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif). 424 d'entre elles déclarent qu'elles voteront pour le candidat H.

Soit $p$ la proportion d'électeurs de la population qui comptent voter pour~H.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion $p$ ?\resetchoix\par 
\choix $[0,46\,;0,60]$~~
\choix $[0,48\,;0,58]$~~
\choix $[0,49\,;0,57]$~~ 
\choix $[0,51\,;0,55]$

\item Dans une commune comptant plus de \numprint{100000} habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.

L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :\resetchoix\par 
\choix $[0,452\,;0,648]$ 
\choix $[0,45\,;0,65]$ 
\choix $[0,50\,;0,60]$ 
\choix $[0,547\, ; 0,553]$

\item Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.

\emph{Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse.}

Pour contrôler la qualité du stock formé par des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de \numprint{4000} clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, dépasse 7\,\%. 

\emph{Affirmation} : « À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication ». 
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c].  $\dfrac{424}{800}-\dfrac{1}{\sqrt{800}}\approx\numprint{0,4946}$, arrondi à 0,49  et\\ $\dfrac{424}{800}+\dfrac{1}{\sqrt{800}}\approx\numprint{0,5654}$, arrondi à 0,57.

\item Réponse \choix[b]. $\dfrac{55}{100}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\numprint{0,45}$ et $\dfrac{55}{100}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\numprint{0,65}$.

\item L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% est :
\[
\left[ \dfrac{210}{\numprint{4000}}-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{4000}}} \,; \dfrac{210}{\numprint{4000}}+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{4000}}} \right] \;.
\]
La borne supérieure est environ égale à 0,069 et ne dépasse donc pas 7\,\%.

L'affirmation est donc fausse, le directeur des ventes ne doit pas stopper la chaîne de fabrication.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX11 (new 2015)

\begin{exo}{Électeurs déçus}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{15}
Lors d'une  élection, le candidat A a été élu avec 54\,\% des suffrages. Quelques mois après son élection, un sondage est réalisé auprès de \numprint{1050} personnes prises au hasard parmi les votants du scrutin précédent.

\`A la question :  \og Si un nouveau scrutin avait lieu aujourd'hui, voteriez-vous pour le candidat A ? \fg, les réponses sont les suivantes : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
Oui : 512 & Non : 538
\end{tabularx}
 
Au risque de 5\,\%, peut-on en conclure que l'opinion des électeurs a changé depuis le scrutin ?
\end{exo}

%% CORR EX11

\begin{corrige}
Dans cette situation, on veut savoir, à partir de l'échantillon de \numprint{1050} personnes, si, aujourd'hui, il y aurait encore 54\,\% de votes favorables au candidat~A.  

On utilise donc l'intervalle de confiance de la proportion de votes favorables au candidat A dans l'échantillon de taille \numprint{1050}.

$f=\dfrac{512}{\numprint{1050}}\approx0,488$.

Les conditions d'application des formules sont bien remplies ($n\ge30$,\linebreak $nf\ge 5$ et $n(1-f)\ge 5$).

L'intervalle de confiance au risque de 5\,\% est :
\[
\left[ 0,488-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1050}}} \,; 0,488+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1050}}} \right]\approx~[0,456 \,; 0,519]\;.
\] 
La proportion 0,54 n'appartient pas à l'intervalle de confiance. On peut donc dire, au risque d'erreur de 5\,\% que l'opinion des électeurs a changé depuis le scrutin et que moins d'électeurs sont favorables au candidat A. Il n'est pourtant pas exclu qu'il soit élu si le vote avait lieu aujourd'hui puisque 0,51 appartient à l'intervalle de confiance.
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex12

\begin{exo}{Taille de l'échantillon}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{2}{15}
Une agence de voyage propose en option, dans un de ses circuits, un dîner dans un restaurant gastronomique.

En prélevant au hasard 60 fiches parmi celles de ses  \numprint{2457} clients, on constate que seuls 14 clients ont pris cette option.
\begin{questions}
\item Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de clients de l'agence qui ont pris cette option.
\item L'un des responsables de l'agence décide que si moins du quart des clients est intéressé par cette option, elle sera supprimée. Pourquoi ne peut-il pas décider, au vu de cet échantillon, de supprimer l'option ?
\item On suppose que la proportion de clients choisissant l'option est $23,3$\,\%. Combien de fiches faudrait-il au moins étudier pour que l'agence puisse, au seuil de 95\,\%, décider que moins de 25\,\% des clients sont intéressés par l'option ?

Que peut-on dire sur ce résultat ? 
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX12

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient : $[0{,}104 \,; 0{,}363]$.
\item Le nombre $0{,}25$ appartient à l'intervalle de confiance, donc il est possible que plus de 25\,\% des clients prennent l'option.
\item On cherche $n$ tel que la borne supérieure de l'intervalle de confiance soit inférieure à $0{,}25$, donc tel que $0{,}233+\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0{,}25$. Cela donne $\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 0{,}017$ c'est-à-dire $n > \numprint{3460}$.\\
Il faudrait donc constater cette proportion sur au moins \numprint{3461} fiches étudiées pour que l'intervalle de confiance ne contiennent pas $0{,}25$.\\
Comme l'agence n'a que \numprint{2457} clients,  ce n'est pas réalisable. Il faut par contre étudier toutes les fiches pour prendre une décision.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex13

\begin{exo}{Articles indisponibles}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{2}{20}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Lorsque Florine fait une commande sur le site pasdechance.com, la probabilité  que l'article ne soit pas disponible est $0{,}6$. Mais lorsqu'il est disponible, il est vraiment bon marché, donc elle est une cliente fidèle.
\begin{questions}
\item Chaque mois, Florine tente de commander 5 articles. $X$ est la variable qui donne le nombre d'articles disponibles sur les 5 commandés dans le mois. 
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?
\item Quelle est  la probabilité  qu'exactement un article soit disponible dans le mois ?
\item Quelle est l'espérance  de $X$ ?
\end{questions}
\item Un responsable du site prétend cependant que les articles sont disponibles dans plus de 50 \% des cas. Est-ce que sur un an, l'expérience de Florine permet de rejeter cette affirmation au seuil de 95 \% ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX13

\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Chaque commande d'un article est une expérience de Bernoulli de probabilité $0{,}4$. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres 5 et $0{,}4$.
\item On obtient : $ P(X = 1) = 5 \times 0{,}4 \times 0{,}6^4 = \numprint{0,2592}$.
\item On a : $ E(X) = np = 2$.
\end{questions}
\item Sur un an, Florine a effectué la commande de $12\times 5 = 60$ articles.\\
Si comme l'affirme le site, les articles sont disponibles dans 50\,\% des cas, l'intervalle de fluctuation asymptotique de cette proportion pour un échantillon de taille 60 est $[0{,}373\, ; 0{,}627]$. Le taux de disponibilité de\linebreak[4] 
40 \% constaté par Florine lors de ses commandes n'est pas en contradiction avec l'affirmation du responsable du site.
\end{questions}
\end{corrige}
 
%% EX14 (new 2015)

\begin{exo}{Notation}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{2}{40}
\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à 0,01\,\%}.
\begin{questions}
\item Le lendemain d'une épreuve de mathématiques au baccalauréat, on corrige un échantillon de 160 copies choisies au hasard parmi l'ensemble des copies et on a observé que 78 copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.
\begin{questions}
\item Déterminer la proportion des copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
\item Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies. 
\item Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% d'amplitude inférieure ou égale à 0,04 ?
\end{questions}

\item À l'issue du premier groupe d'épreuves, on désigne par X la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l'ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.

Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 10,5 et d'écart-type 2.
\begin{questions}
\item Si ce correcteur a raison, quel intervalle centré en 10,5 devrait contenir environ 95\,\% des moyennes des candidats ? 
\item À l'aide de la calculatrice, calculer $P(X >12)$. 
\item Lors des délibérations de jury à l'issue du premier groupe d'épreuves, les candidats ayant obtenu une moyenne supérieure ou égale à 10 sont déclarés admis. Il est aussi d'usage, par exemple, lorsqu'un candidat a obtenu une moyenne inférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce candidat met en avant la qualité de son travail au cours de l'année, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyenne. 

Le graphique ci-dessous permet de visualiser les notes moyennes d'environ \numprint{330000} candidats à l'issue des délibérations des jurys du premier groupe d'épreuves du baccalauréat 2001.

Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités. 

\begin{center}
\includegraphics{09_img_01}
\end{center}
\begin{flushright}
\small \emph{Source : Ministère de la Jeunesse, de l'Éducation nationale\\ et de la Recherche, juillet 2001.}
\end{flushright}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX14

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item La proportion des copies ayant obtenu une note supérieur ou égale à 10 est $\dfrac{78}{160}=\numprint{0,4875}$.

\item L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\%, d'après le résultat de cet échantillon de taille 160 est :
\[
\left[ \numprint{0,4875}-\dfrac{1}{\sqrt{160}} \,; \numprint{0,4875}+\dfrac{1}{\sqrt{160}} \right] \approx [\numprint{0,4084} \,; \numprint{0,5666} ]\;.
\]

\item L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$, où $n$ est la taille de l'échantillon.

Si l'on veut une amplitude inférieure ou égale à 0,04, on doit prendre un échantillon de taille $n$ telle que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\le 0,04$, c'est-à-dire\linebreak[4] $\sqrt{n} \ge \dfrac{2}{0,04}$ donc, en élevant au carré : $n\ge \numprint{2500}$. L'échantillon doit donc compter au moins \numprint{2500} copies.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item Si $X$ suit la loi normale de paramètre $\mu=10,5$ et $\sigma^2=2^2$, alors on sait que $P(\mu-2\sigma < X <  \mu+2\sigma)\approx0,95$.
 
L'intervalle $]10,5-4 \,; 10,5+4[$, c'est-à-dire $]6,5\,; 14,5[$ devrait contenir 95\,\% des moyennes.

\item \`A la calculatrice : $P(X>12)\approx\numprint{0,2266}$.

\item Le graphique a, à peu près, la forme d'une courbe en cloche, caractéristique d'une loi normale. Son sommet correspond aux moyennes entre 10 et 10,5, ce qui correspond à la modélisation proposée par le correcteur.

On remarque cependant que certaines moyennes sont sous représentées pour avoir une courbe régulière.  Cela correspond à l'intervention du jury qui augmente dans certains cas la moyenne d'un candidat.

Les moyennes juste en dessous de 8 sont majorées pour atteindre 8 et permettre au candidat de passer les épreuves du second groupe.

Les moyennes un peu inférieures à 10 sont  arrondies à 10 pour que le candidat soit tout de suite reçu.

De même les moyennes légèrement inférieures à 12, 14 et 16 sont majorées afin de donner une mention au candidat.

On constate que suite à ces modifications, les moyennes 8, 10, 12, 14 et 16 sont légèrement surreprésentées par rapport à ce qu'on attendrait pour une loi normale.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
