\chapter{Matrices et suites (Spécialité ES)}


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\section{Matrices et opérations}


\begin{exointro}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}
On pose :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\ -3 & 0\end{pmatrix}$ ;
\item $B =\begin{pmatrix}6 & -1 \\ 5 & 4\end{pmatrix}$ ;
\item $C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 5 \\ -4 & 0 & 7\end{pmatrix}$ ;
\item $D = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$ ;
\item $F=\begin{pmatrix}7 & -3\end{pmatrix}$.
\end{multicols}
\end{itemize}

Effectuer les opérations suivantes si elles sont possibles :
\[
A\times B \quad,\quad B\times A\quad,\quad C\times D\quad,\quad F\times A\quad,\quad B\times C.
\]
\end{exointro}

\subsection{Matrice carrée}
\begin{defin} 
$n$ est un entier naturel strictement positif.\\
Une matrice carrée d'ordre $n$ est un tableau à $n$ lignes et $n$ colonnes de nombres réels appelés coefficients.
\end{defin}
La position d'un coefficient est indiquée en indice :
$a_{ij}$ est le coefficient qui se trouve à l'intersection de la $i$\ieme{} ligne et de la $j$\ieme{} colonne.\\
Une matrice $A$ dont les coefficients sont $a_{ij}$  est parfois notée $(a_{ij})$.


\subsection{Matrices colonne, matrice ligne}
\begin{defin} 
Une matrice colonne de taille $n$ est un tableau à une colonne de $n$ coefficients.\\
Une matrice ligne de taille $n$ est un tableau à une ligne de $n$ coefficients.

Généralisation : On peut effectuer le produit de deux matrices non carrées, à condition que le nombre $p$ de colonnes de la première (à gauche) soit égal au nombre de lignes de la deuxième. On a  alors, en appelant $c_{ik}$  le terme de ligne $i$ et de colonne $k$ de la matrice produit, $a_{ij}$ le terme général de la première matrice et $b_{jk}$ celui de la deuxième  :
$c_{ik} = \displaystyle\sum_{j=1}^p a_{ij}b_{jk}$.
\end{defin}

\subsection{Somme et produit par un réel}

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n$ de coefficients respectifs $a_{ij}$ et $b_{ij}$.

\begin{defin} 
La somme $A+B$ des deux matrices $A$ et $B$ est la matrice $C$ d'ordre $n$, de coefficients  $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.\\
Le produit $kA$ de la matrice $A$ par un réel $k$ est la matrice $D$ d'ordre $n$ et de coefficients $d_{ij} = ka_{ij}$.
\end{defin}

\subsection{Produit de deux matrices}

\begin{defin} 
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n$.\\
Le produit $A\times B$ (aussi noté $AB$) est la matrice $C$ d'ordre $n$ dont le coefficient $c_{ij}$ est le produit terme à terme des coefficients de la $i$\ieme{} ligne de $A$ par les coefficients de la $j$\ieme{} ligne de $B$ :
\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}. \]
\end{defin}

Le schéma suivant indique comment on obtient le coefficient  $c_{21}$ de la matrice produit de $A=
\left( \begin{matrix}
     1 & 2 \\
     3 & 4
\end{matrix}\right)$ par $B=
\left( \begin{matrix}
2 & 4 \\ -2 & 5
\end{matrix}\right)$ :

% \vspace*{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics{010_cours14_068}
\end{center}
\vspace*{0.2cm}

Le produit $A\times B$ est alors $
\left( \begin{matrix}
-2 & 14 \\ -2 & 32
\end{matrix}\right)$.
  
\begin{prop} 
Le produit de deux matrices carrées de même ordre est une opération associative et distributive par rapport à l'addition.\\
$A$, $B$ et $C$ sont trois matrices carrées de même ordre, alors :
\[
\begin{aligned}
A \times (B\times C) &= (A \times B) \times C\\
A \times (B+C) &= A\times B+A\times C
\end{aligned}
\]
\end{prop}


\emph{Notation} : lorsque $M$ est une matrice carrée et $p$ un entier naturel non nul, on note $M^p$ le produit de $p$ matrices $M$ :
\[ M^p = \underbrace{M \times \cdots \times M}_{p \text{ facteurs}}. \]

\begin{attention}
Alors que l'addition de matrices carrées d'ordre $n$ a les mêmes propriétés que l'addition des nombres réels, il n'en va pas de même pour la multiplication.\\

En particulier :\\
Il existe  des matrices carrées $A$ et $B$ telles que $A \times B \neq B\times A$  (produit non commutatif).\\
Il existe des matrices carrées $A$, $B$ et $C$ non nulles telles que $A \neq B$  mais $A \times C = B \times C$.
\end{attention}


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\begin{solintro}
On obtient :
\[
\begin{aligned}
A\times B &=  
\left( \begin{matrix}
2 & 5 \\ -3 & 0
\end{matrix}\right) \times
\left( \begin{matrix}
6 & -1 \\ 5 & 4
\end{matrix}\right) \\
&= \left( \begin{matrix}
2 \times 6 + 5 \times 5 & 2 \times (-1) + 5 \times 4\\
-3 \times 6 + 0 \times 5 & (-3) \times (-1) + 0 \times 4
\end{matrix}\right) \\
&= \left( \begin{matrix}
37 & 18 \\ - 18 & 3
\end{matrix}\right) \\
B \times A &= 
\left( \begin{matrix}
6 & -1 \\ 5 & 4
\end{matrix}\right) \times
\left( \begin{matrix}
2 & 5 \\ -3 & 0
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
15 & 30 \\ -2 & 25
\end{matrix}\right) 
\end{aligned}
\]
\Break
\[
\begin{aligned}
C \times D &= 
\left( \begin{matrix}
1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 5 \\ -4 & 0 & 7
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
3 \\ -2 \\ 1
\end{matrix}\right)\\
&= \left( \begin{matrix}
3-4+1 \\ 9+6+5 \\ -12+0+7
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
0 \\ 20 \\ -5
\end{matrix}\right) \\
F \times A &=
\left( \begin{matrix}
7 & -3
\end{matrix}\right) \times
\left( \begin{matrix}
2 & 5 \\ -3 & 0
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
23 & 35
\end{matrix}\right)
\end{aligned}
\]
$B \times C$ : ce produit n'est pas possible à cause de la taille des matrices.

\end{solintro}


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\subsection{Inverse d'une matrice carrée}

\begin{defin}
La matrice carrée $I_n$ (parfois simplement notée $I$) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale  qui sont égaux à 1 est appelée matrice identité d'ordre $n$.\\
$I_n = (c_{ij})$, avec $c_{ii} = 1$ et $c_{ij} = 0$ si $i\neq j$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
$I_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$.
\end{Exemple}

\begin{prop}
Pour toute matrice carrée d'ordre $n$,  $A \times I_n = I_n \times A = A$.
\end{prop}

\begin{defin} 
On dit qu'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible quand il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que :
\[ A\times B = B\times A = I_n. \]
La matrice $B$ s'appelle la matrice inverse de la matrice $A$ et se note $A^{-1}$.
\end{defin}

L'inverse d'une matrice peut se calculer à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de calcul.

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\newpage
\section{Systèmes linéaires}

\begin{exointro}{Lycée \'Elie Faure, Lormont}
Déterminer le polynôme $P(x)$ de degré 2 tel que $P(1) = 4$, $P(2)= 5$ et $P(-1) = 8$.
\end{exointro}

\subsection{\'Ecriture matricielle d'un système linéaire}

\begin{defin} 
Un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, $x_1$ , $x_2$, \dots $x_n$  est de la forme :
\[ \left\{
\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2 \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\dots \dots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \dots + a_{nn} x_n = b_n 
\end{aligned} \right.
\]

On appelle matrice du système la matrice carrée $A$ d'ordre $n$  définie par :
\[ 
A = \left( \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{matrix} \right)  
\]
En posant $X= \left(
 \begin{matrix}
  x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\x_n
 \end{matrix} \right)$ 
et $B = \left(
 \begin{matrix}
  b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_n
 \end{matrix}\right)$, on obtient l'écriture matricielle du système : $A\times X = B$.
\end{defin}


\begin{prop} 
Lorsque $A$ est une matrice carrée, le système d'équations linéaires dont l'écriture matricielle est $A\times X = B$, admet une solution unique si et seulement si $A$ est inversible.\\
La solution est alors  $X = A^{-1} \times B$.
\end{prop}

\newpage

\begin{solintro}
On cherche un polynôme de la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$. Les 3 valeurs données permettent d'écrire le système :
\[  
\begin{cases}
P(1) = 4 \\
P(2) = 5 \\
P(-1) = 8
\end{cases} \iff
\begin{cases}
a+b+c = 4 \\
4a + 2b + c = 5 \\
a-b+c = 8
\end{cases}
\]

Pour résoudre ce système on peut introduire l'écriture matricielle du système.\\
On pose alors $X = 
\left( \begin{matrix}
a \\ b \\ c
\end{matrix}\right)$, $A=
\left( \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1
\end{matrix}\right)$ et $B=
\left( \begin{matrix}
4 \\ 5 \\ 8
\end{matrix}\right)$.\\
Le système s'écrit alors $AX = B$, donc  $X = A^{-1}B = 
\left( \begin{matrix}
1 \\ -2 \\ 5
\end{matrix}\right)$ (les calculs se font directement à la calculatrice).\\
Le polynôme recherché est donc $P(x) = x^2 - 2x + 5$.
\end{solintro}




\endinput