\thumb
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex1

\begin {qcm} {Matrices} {10}
Soient $A$, $B$ et $C$ des matrices.

Pour chacune des questions, choisir la bonne réponse.

\begin{questions}

\item Si $A\times B= 0$ (0 est la matrice dont tous les coefficients sont nuls) alors :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $A = 0$ ou $B = 0$  & 
\choix $A = 0$ et $B = 0$ \\
\choix On ne peut pas savoir. &
\end{tabularx}

\item Soient $A=
\left( \begin{matrix}
3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 5
\end{matrix}\right)$, $B=
\left( \begin{matrix}
-1 & 1& 2
\end{matrix}\right)$ et $C=
\left( \begin{matrix}
-1 \\ 1 \\ 2
\end{matrix}\right)$. 
Alors :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $B\times A = A \times C$ &
	\choix $A \times B = C \times A$ \\
	\multicolumn{2}{@{}l}{\choix Les coefficients de $B \times A$ et $A \times C$ ont les mêmes valeurs.}
	\end{tabularx}

\item Si $A =\left( \begin{matrix}2 & 4 \\ 2 & 2
\end{matrix}\right)$, alors $A^{-1}$ est égal à :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $\left( \begin{matrix}
	\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\[5pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
	\end{matrix}\right)$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
	- \frac{1}{2} & 1 \\[5pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
	\end{matrix}\right)$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
	-\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\[5pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
	\end{matrix}\right)$
	\end{tabularx}
	
\item On note $M^2$ le produit $M \times M$.  Alors $(A+B)^2$ est égal à :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix $A^2 + B^2$ &
	\choix $A^2 + 2(A\times B) + B^2$ \\
	\multicolumn{2}{@{}l}{\choix $A \times (A+B)+B \times (A+B)$}
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

%% CORR QCM1

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet le produit de deux matrices est nul si l'une des deux est nulle, mais ce n'est pas nécessaire, par exemple : 
\[\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right) \times \left( \begin{matrix}
0 & 0 \\ 0 & 1
\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}
0 & 0 \\ 0 & 0
\end{matrix}\right).
 \]
\item Réponse \choix[c]. $BA = 
\left( \begin{matrix}
-2 & 7 & 12
\end{matrix}\right)$ et $AC =
\left( \begin{matrix}
-2 \\ 7 \\ 12
\end{matrix}\right)$. Ce résultat est en partie dû à la symétrie de la matrice $A$ par rapport à sa première diagonale.\\
La réponse \choix[a] est fausse car $BA$ est une matrice ligne et $AC$ une matrice colonne, donc elles ne peuvent pas être égales. La réponse \choix[b] est fausse car on ne peut pas calculer $A \times B$.

\item Réponse \choix[b]. Il suffit de regarder si le produit de $A$ et des différentes matrices proposées est égal à la matrice identité.

\item Réponse \choix[c]. La multiplication des matrices est une loi distributive par rapport à l'addition.\\
La réponse \choix[a] ne convient pas, car lors du développement il apparaît le produit $A \times B$. La réponse \choix[b] ne convient pas, car contrairement à l'identité remarquable dans $\R$, en général, $A \times B \neq B \times A$ et on ne peut pas  faire apparaître le \og double produit \fg.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex2

\begin {qcm} {Recherche d'un polynôme} {10}
Une courbe $C$ est donnée dans un  repère $(O~; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.  On souhaite déterminer s'il existe un polynôme $P(x)$ de degré 3 dont la courbe représentative passe des points donnés de $C$.

Pour chacune des questions, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Le nombre de coefficients à trouver pour définir $P(x)$ est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix 3 &
	\choix 4 &
	\choix celui qu'on veut.
	\end{tabularx}
	
\item Le nombre minimum de points à connaître pour déterminer  $P(x)$  est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix 2 &
	\choix 3 &
	\choix 4
	\end{tabularx}
	
\item Si on note $X$ la matrice colonne des $n$ coefficients inconnus de $P$, et $B$ la matrice colonnes de $n$ valeurs prises par $P$, alors il existe une matrice $A$, carrée d'ordre $n$ dont les termes sont obtenus directement à l'aide des coordonnées des points connus, telle que :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $AX=B$ &
	\choix $AB=X$ &
	\choix $AX=BA$
	\end{tabularx}
	
\item Avec les notations de la question 3, en supposant que A est inversible, on a :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $B=XA^{-1}$ &
	\choix $X = A^{-1}B$ &
	\choix $X=BA^{-1}$
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Comme $P$ est de degré 3, $P(x)$ est de la forme :
$$ax^3 +bx^2 + cx + d.$$ 
Il faut donc trouver 4 coefficients.
\item Réponse \choix[c]. Pour déterminer 4 coefficients, il est nécessaire d'avoir 4 conditions . Il faut donc au minimum 4 points qui permettent d'écrire chacun une équation.
\item Réponse \choix[a]. Cela découle des règles de multiplication des matrices.
\item Réponse \choix[b]. On multiplie $AX = B$ à gauche par $A^{-1}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex3

\begin {qcm} {Produit de matrices} {10}
On considère les matrices $A=
\left( \begin{matrix}
1 & 3 \\ 2 & 4
\end{matrix}\right)$, $B=
\left( \begin{matrix}
-5 & 0 \\ 0 & 2
\end{matrix}\right)$ et $C=
\left( \begin{matrix}
-5 & 3
\end{matrix}\right)$.

Pour chacune des questions, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La matrice $A^2$ qui désigne le produit $A \times A$ est égale à :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $\left( \begin{matrix}
		1 & 9 \\ 4 & 16
		\end{matrix}\right)$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
		2 & 6 \\ 4 & 8
		\end{matrix}\right)$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
		7 & 15 \\ 10 & 22
		\end{matrix}\right)$
	\end{tabularx}
	
\item Le produit $A \times B$ est égal à :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $B \times A$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
		-5 & 6 \\ -10 & 8 
		\end{matrix}\right)$ &
	\choix $\left( \begin{matrix}
		-5 & 0 \\ 0 & 8
		\end{matrix}\right)$ 
	\end{tabularx}
	
\item Le produit $A \times C$ :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix est égal à $ 
	\left( \begin{matrix}
	4 & 2
	\end{matrix}\right)$ &
	\choix est égal à $\left( \begin{matrix}
	1 \\ -3
	\end{matrix}\right)$ \\
	\choix ne peut pas se calculer
	\end{tabularx}
	
\item Le produit $C \times B$ :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
	\choix est égal à $ 
	\left( \begin{matrix}
	25 & 6
	\end{matrix}\right)$ &
	\choix est égal à $\left( \begin{matrix}
	25 \\ 6
	\end{matrix}\right)$ \\
	\choix ne peut pas se calculer
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En particulier ce n'est pas \choix[a], car le carré d'une matrice ne s'obtient pas en élevant ses coefficients au carré.
\item Réponse \choix[b]. Il faut faire les calculs.
\item Réponse \choix[c]. On ne peut pas multiplier une matrice carrée par une matrice ligne dans cet ordre .
\item Réponse \choix[a]. Le calcul est immédiat.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ex4 (new 2015)

\begin{exo}{Opérations sur les matrices}{Lycée Victor Duruy, Paris}{1}{10}
On considère les matrices :
\[
A=\begin{pmatrix}
-3 & 3 & -2\\-6 & 8 & -6\\-6 & 9 & -7
\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad
B=\begin{pmatrix}
x & 3 & -2\\-6 & y & -6\\-6 & 9 & z
\end{pmatrix}.
\]

Déterminer les réels $x$, $y$ et $z$ tels que la matrice $A\times B$ soit la matrice nulle, c'est-à-dire telle que tous ses termes soient égaux à 0.

On donnera les détails des calculs de matrices.
\end{exo}

%% CORR EX4

\begin{corrige}
On a : $A\times B=\begin{pmatrix}
-3x-6 & 3y-27 & -2z-12\\
\cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$.

Le reste est inutile, sauf pour vérification.

On doit donc avoir :
\[
\begin{cases}
-3x-6=0\\
3y-27=0\\
-2z-12=0
\end{cases} \iff \begin{cases}
x=-2\\ y=9\\ z=-6
\end{cases}
\]

On a donc $B=\begin{pmatrix}
-2 & 3 & -2 \\ -6 & 9 & -6 \\ -6 & 9 & -6
\end{pmatrix}$, et il est alors facile de vérifier que\\[6pt] $A\times B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$.
\end{corrige}

%% EX5 (new 2015)

\begin{exo}{Coûts de chantiers}{Lycée Massena, Nice}{2}{25}
Pour la réalisation de ses deux chantiers A et B, une entreprise de gros {\oe}uvre du bâtiment achète, auprès de deux fournisseurs X et Y, le béton (en m$^3$), les briques (en nombre de palettes), et les charpentes (en m$^2$).

Sa commande de matériaux pour le premier semestre 2013 est représentée par la matrice $S_1 = \begin{pmatrix}
125 & 102 \\ 79 & 95 \\ 24 & 20 \end{pmatrix}$, en notant dans la première colonne les quantités de béton, de briques et de charpentes nécessaires au chantier A et dans la deuxième colonne, celles nécessaires au chantier B.

La commande pour le deuxième semestre 2013 est représentée par la matrice $S_2=\begin{pmatrix}
157 & 75 \\ 95 & 101 \\ 14 & 31\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Représenter par une matrice notée $S$ la commande de matériaux pour l'année 2013.
\item Les prix unitaires de chaque matériau sont représentés par la matrice $P_1=\begin{pmatrix}
275 & 515 & \numprint{2518} \\ 297 & 495 & \numprint{2425}\end{pmatrix}$, en notant dans la première ligne les prix unitaires du béton, des briques et des charpentes chez le fournisseur X, et dans la deuxième ligne ceux chez le fournisseur Y.

Au second semestre, ces prix ont globalement augmenté de 2\,\% chez les deux fournisseurs.

Représenter par une matrice notée $P_2$ les prix unitaires chez chaque fournisseur au second semestre.

\item Donner à l'aide des matrices définies précédemment le calcul permettant d'obtenir la matrice $M$ des coûts totaux pour chaque fournisseur en 2013.

Calculer $M$.

\item Quel est le fournisseur le moins cher ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX5

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $S=S_1+S_2=\begin{pmatrix}
282 & 177 \\ 174 & 196 \\ 38 & 51\end{pmatrix}$.

\item $P_2=1,02\times P_1=\begin{pmatrix}
280,50 & 525,30 & \numprint{2568,36} \\
302,94 & 504,90 & \numprint{2473,50}
\end{pmatrix}$.

$\begin{aligned}[t]
M & = P_1\times S_1 + P_2\times S_2\\
& = \begin{pmatrix}
275 & 515 & \numprint{2518} \\ 
297 & 495 & \numprint{2425}
\end{pmatrix}
\times  
\begin{pmatrix}
125 & 102 \\ 
79 & 95 \\ 
24 & 20 
\end{pmatrix}\\
& \hspace*{7em}  +
\begin{pmatrix}
280,50 & 525,30 & \numprint{2568,36} \\
302,94 & 504,90 & \numprint{2473,50}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
157 & 75 \\ 95 & 101 \\ 14 & 31\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
\numprint{265391,04} & \numprint{281046,96}\\
\numprint{264586,08} & \numprint{276212,90}
\end{pmatrix}.
\end{aligned}$

\Par

Sur chacun des deux chantiers, le fournisseur Y est le plus rentable.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX6 (new 2015)

\begin{exo}{Puissances de matrices}{Cité scolaire internationale, Grenoble}{1}{15}
Soit $A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3\end{pmatrix}$.

\begin{questions}
\item Calculer $A^2$ et $A^3$.
\item Conjecturer la valeur de $A^n$ pour $n\ge2$.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX6

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A^2=\begin{pmatrix}
5 & 6 & 2 \\ -6 & -8 & -3 \\ 8 & 12 & 5\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}
3 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\0 & -4 & -3\end{pmatrix}=A$.

\item Par conséquent, on peut conjecturer que si $n$ est pair, $A^n  =  A^2$, et que si $n$ est impair, $A^n = A$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX7 (new 2015)

\begin{exo}{Déterminer une fonction}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{25}
Une entreprise fabrique et vend une quantité $x$ d'objets. Le coût total de fabrication de $x$ objets est donné par $C(x) = ax² + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients à déterminer.

On sait que le coût de fabrication de 4 objets est 80~\euro, que celui de 10 objets est 140~\euro, et que celui de 20 objets est 400~\euro.

\begin{questions}
\item Montrer que les informations sur $C$ peuvent se traduire sous la forme $AX = B$, où $X = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et où $A$ et $B$ sont deux matrices à préciser.

\item \`A l'aide d'un calcul matriciel et de la calculatrice, déterminer $a$, $b$ et $c$ et donner l'expression de $C(x)$.
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX7

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé on a :
\[
\begin{cases}
16a+4b+c=80\\
100a + 10b + c = 140\\
400a + 20b + c = 400
\end{cases}
\]
En posant $A=\begin{pmatrix}16 & 4 & 1\\100 & 10 & 1\\100 & 20 & 1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
80\\140\\400\end{pmatrix}$, on a $AX=B$.

\item \`A la calculatrice, on constate que $A$ est inversible, donc $X = A^{-1}\times B$, et on obtient 
$X = \begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 80 \end{pmatrix}$.

Donc $C(x) = x² - 4x + 80$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX8 (new 2015)

\begin{exo}{Production}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{20}
Une entreprise fabrique des jouets en bois qui nécessitent :
\begin{itemize}
\item 2 kg de bois et 3 h de travail pour une automobile ;
\item 500 g de bois et 4 h de travail pour un camion ;
\item 800 g de bois et 3 h 30 de travail pour un pantin.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Calculer le nombre de kg de bois et d'heures de travail nécessaires pour fabriquer  7 automobiles, 12 camions et 20 pantins.
\item Pendant une journée, on a fabriqué 89 objets au total, utilisé exactement 91 kg de bois, et travaillé 313 h.

Déterminer le nombre d'automobiles $x$, de camions $y$ et de pantins $z$ fabriqués pendant cette journée.
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX8

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On utilise $7 × 2 + 12 × 0,5 + 20 × 0,8 = 36$ kg de bois et il faudra $7 × 3 + 12 × 4 + 20 × 3,5 = 139$~heures de travail.

\item Appelons $x$, $y$ et $z$ le nombre de voitures, de camions et de pantins fabriqués.

On a :
\[
\begin{cases}
x+y+z=89\\
2x+0,5y+0,8z=91\\
3x+4y+3,5z=313
\end{cases}
\]
Ce système peut s'écrire sous forme matricielle $AX = B$ avec :\\[6pt] $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\2 & 0,5 & 0,8\\3 & 4 & 3,5\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}
x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
89\\91\\313\end{pmatrix}$.

\`A la calculatrice, on constate que $A$ est inversible, et on a donc \\$X = A^{-1}\times B$.

On obtient $X = \begin{pmatrix}23\\26\\40\end{pmatrix}$ donc pendant cette journée, on a fabriqué\linebreak 23 voitures, 26 camions et 40 pantins.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX9 (new 2015)

\begin{exo}{Équilibre économique}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{20}
Dans un pays imaginaire, la population vit en autarcie. Elle compte deux secteurs d'activités, l'agriculture et l'artisanat.

Pour pouvoir fonctionner, chaque secteur nécessite l'utilisation d'une partie de la production de l'autre secteur et d'une partie de sa propre production.
Ces deux secteurs doivent en outre satisfaire les besoins de la population.

Le tableau des entrées-sorties est donné ci-dessous :

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{white}} & \psline(-0.235,0.31)(7.405,0.31) 
Consommation pour produire une unité d'agriculture & Consommation pour produire une unité d'artisanat & Consommation par la population\\
\hline
Unité d'agriculture & 0,125 & \textbf{0,25} & 250 unités\\
\hline
Unité d'artisanat & 0,625 & 0,25 & 150 unités\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Par exemple, une unité d'agriculture consomme 0,125 unité d'agriculture et 0,625 unité d'artisanat.

\begin{questions}
\item Interpréter en termes d'économie, la donnée en gras.
\item On note $x$ (respectivement $y$) le nombre d'unités produites par l'agriculture (respectivement l'artisanat) durant une année.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi $0,125 x + 0,25 y + 250 = x$.
\item \'Ecrire une équation analogue pour le secteur de l'artisanat.
\item Montrer que le système obtenu s'écrit aussi $A × P + D = P$, avec $P=\dbinom{x}{y}$, $D=\dbinom{250}{150}$ et A une matrice que l'on précisera.
\item Montrer que résoudre l'équation $A × P + D = P$ revient à résoudre l'équation $(I_2-A)P = D$, $I_2$ étant la matrice identité d'ordre 2.
\end{questions}
\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $P$.
\item Quelle doit être la production de chaque secteur pour que l'économie soit équilibrée ?
\end{questions}
\end{exo}

%% CORR EX9

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une unité d'artisanat consomme 0,25 unité d'agriculture.
\item 
\begin{questions}
\item Les $x$ unités d'agriculture sont consommées par l'agriculture ($0,125x$), par l'artisanat ($0,25y$) et par les consommateurs (250 unités).

On a donc bien $x = 0,125 x + 0, 25 y + 250$.
\item On a aussi : $0,625 x + 0,25 y + 150 = y$.
\item On obtient le système :

\[
\begin{cases}
0,125x+0,25y+250=x\\
0,625x+0,25y+150=y
\end{cases}
\] 

qui s'écrit de façon matricielle :

\[
\begin{pmatrix}
0,125 & 0,25\\
0,625 & 0,25
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
250	\\ 150
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}.
\]

Donc $A = \begin{pmatrix}
0,125 & 0,25 \\ 0,625 & 0,25\end{pmatrix}$.

\item $\begin{aligned}[t]
A × P + D = P & \iff  P - A × P = D\\
& \iff I_2 × P- A × P = D \\
& \iff (I_2 - A)P = D.
\end{aligned}$
\end{questions}
\item $I_2-A=\begin{pmatrix}
0,875 & -0,25\\
-0,625 & 0,75
\end{pmatrix}$.

$(I_2 - A)P = D \iff P = (I_2 - A)^{-1} × D$.

\Par
	
\`A la calculatrice, on obtient $P = \begin{pmatrix}
450 \\ 575\end{pmatrix}$.

\item L'économie sera équilibrée si on produit 450 unités d'agriculture et\linebreak 575 unités d'artisanat.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

% EX10

\begin{exo}{\'Etude d'un marché}{Lycée Magendie, Bordeaux}{2}{20}
Un marchand ambulant s'installe à midi à la sortie du lycée pour proposer à la vente  des boissons fraîches, des boissons chaudes et des confiseries.

Voici le tableau de ses ventes sur trois mois qui donne la quantité vendue de chaque consommation :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|Sc|Sc|Sc|}
%\cline{2-4}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}}  &\psline(-0.235,0.36)(3.13,0.36) Mars & Avril & Mai \\\hline
Boisson froide & 72 & 45 & 137 \\\hline
Boisson chaude & 43 & 30 & 22 \\\hline
Confiserie & 126 & 70 & 106 \\\hline
Revenu en euros & 347 & 210 & 340 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

On note $x$ le prix de vente unitaire des boissons froides, $y$ celui des boissons chaudes et $z$ celui des confiseries.

\begin{questions}
\item En utilisant le tableau, écrire le système d'équations qui permet de déterminer $x$, $y$ et $z$.
\item Donner l'écriture matricielle de ce système, puis le résoudre.
\item Le marchand pense que s'il avait vendu ses boissons,  froides et chaudes, 10 \% moins cher, le nombre total de ses ventes (y compris des confiseries) aurait augmenté de 10 \% (arrondir à l'entier le plus proche). Si tel est vraiment le cas, aurait-il eu intérêt à le faire ?
\end{questions}
\end{exo}

% CORR EX10

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour chaque mois on a une équation, ce qui donne le système : 
\[ \begin{cases}
72x + 43y + 126z = 347 \\
45x + 30y + 70z = 210 \\
137 x + 22y + 106z = 340.
\end{cases} \] 	

\item  L'écriture matricielle du système est $
\left( \begin{matrix}
72 & 43 & 126 \\ 45 & 30 & 70 \\ 137 & 22 & 106
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right)=
\left( \begin{matrix}
347 \\ 210 \\ 340
\end{matrix}\right)$. \\
On pose $A=
\left( \begin{matrix}
72 & 43 & 126 \\ 45 & 30 & 70 \\ 137 & 22 & 106
\end{matrix}\right)$.

\`A la calculatrice, on voit que $A$ est inversible et on trouve :
$$
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right) = 
\left( \begin{matrix}
1 \\ 2 \\1{,}5
\end{matrix}\right).$$

\item Si les boissons coûtent 10 \% de moins, le prix de la boisson froide devient 0{,}90 \euro{} et celui des boissons chaudes 1{,}80 \euro{}.\\
Si les ventes augmentent de 10 \%, le nombre de boissons froides vendues devient : 
$$1{,}1 \times 254 \approx 279,$$
celui des boissons chaudes : 
$$1{,}1 \times 95 \approx 105,$$ 
et celui des confiseries :
$$1{,}1 \times 302 \approx 332.$$
Le chiffre d'affaire du marchand serait alors de : 
$$0{,}90 \times 279 + 1{,}80 \times 105 + 1{,}5 \times 332 =938{,}1 \text{ \euro{}}.$$
Le chiffre d'affaire réalisé a été : 
$$1 \times 254 + 2 \times 95 + 1{,}5 \times 302 = 897 \text{ \euro{}}.$$ 
Cela aurait donc été théoriquement intéressant de modifier les prix.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX11

\begin{exo}{Modèle ouvert de Léontief}{Lycée Camille Julian, Bordeaux}{2}{20}
Dans un pays imaginaire, l'économie dépend de trois secteurs : l'énergie, l'agriculture et les biens manufacturés. L'unité est le milliard de la monnaie locale.

Le tableau donne la consommation (en pourcentage) de chaque secteur de la production des trois secteurs de l'économie.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|Sc|Sc|Sc|}
\hline\tabulartitle
consomme $\Rsh$ & \'Energie & Agriculture & Biens manufacturés \\\hline
\'Energie & 0,05 & 0,3 & 0,2 \\\hline
Agriculture & 0,4 & 0 & 0,1 \\\hline
Biens manufacturés & 0,4 & 0,1 & 0,3 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

De plus, la population a besoin de 20 unités d'énergie, 13 unités d'agriculture et 7 unités de biens manufacturés.

Déterminer le nombre d'unités que doit produire chaque secteur pour que cette économie soit équilibrée.
\end{exo}

% CORR EX11

\begin{corrige}
On note $x$, $y$, $z$ le nombre d'unités de production respectivement d'énergie, d'agriculture et de biens manufacturés. Étant donnés les besoins de la population, l'économie est équilibrée lorsque :
\[
\begin{aligned}
\left( \begin{matrix}
0{,}05 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,} 4 & 0 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}3
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right) +
\left( \begin{matrix}
20 \\ 13 \\ 7
\end{matrix}\right) &=
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right) \\
\iff \left( \begin{matrix}
0{,}95 & -0{,}3 & -0{,}2 \\ -0{,}4 & 1 & -0{,}1 \\ -0{,}4 & -0{,}1 & 0{,}7
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
x \\y \\ z
\end{matrix}\right) &=
\left( \begin{matrix}
20 \\ 13 \\ 7
\end{matrix}\right).
\end{aligned}
\]
En utilisant la matrice inverse, on obtient $
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\z 
\end{matrix}\right) \approx
\left( \begin{matrix}
39 \\ 32 \\ 37
\end{matrix}\right)$.
\end{corrige}

% EX12

\begin{exo}{Modèle de Léontief}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{3}{30}
Un modèle économique se divise en trois secteurs : Charbon ($C$), Électricité ($E$) et Acier ($A$). Le tableau montre les achats en proportion de la valeur de la production de chaque secteur.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|Sc|Sc|Sc|}
\hline\tabulartitle
achète $\Rsh$ & Charbon & \'Electricité & Acier  \\\hline
Charbon& 0 & 0,4 & 0,6  \\\hline 
\'Electricité & 0,7 & 0,2 & 0,2  \\\hline
Acier & 0,3 & 0,4 & 0,2  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Déterminer la production de chaque secteur qui permet d'équilibrer le système.
\end{exo}

% CORR EX12

\begin{corrige}
On appelle $x$, $y$, $z$  les valeurs des productions respectives des secteurs Charbon, Électricité et Acier.

On cherche les valeurs qui permettent une économie équilibrée, donc $x$, $y$ et $z$ doivent vérifier le système matriciel :
\[
\begin{aligned}
&\left( \begin{matrix}
0 & 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & 0{,} 2 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\z 
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z
\end{matrix}\right) \\
&\iff 
\left( \begin{matrix}
-1 & 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & -0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & -0{,}8
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
x \\ y \\ z 
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
0 \\0 \\0 
\end{matrix}\right) \\
&\iff 
\begin{cases}
-x+ 0{,}4y +0{,}6z =0 \\
0{,}7x -0{,}8y +0{,}2z = 0\\
0{,}3x +0{,}4y -0{,}8z =0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
On constate que la somme des deux premières équations donne l'opposé de la troisième, le système ne donne donc que deux équations : 
\[ \begin{cases}
-x+ 0{,}4y +0{,}6z =0 \\
0{,}7x -0{,}8y +0{,}2z = 0
\end{cases} \] 
Si la valeur de production du secteur charbon est 10 unités, alors  le système devient :
\[ \begin{cases}
0{,}4y +0{,}6z =10 \\
0{,}8y -0{,}2z = 7
\end{cases} \] 
qui a pour solution $y \approx 11{,}07$ et $z\approx 9{,}29$.\\

L'économie est donc équilibrée si, quand le charbon a une production de valeur 10, la production d'électricité est de valeur 11,07 et celle de l'acier est de valeur 9,29.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thumb
\AfficheCorrige
\endinput
