\devoirsynthese{Baccalauréat blanc}{}

La durée de l'épreuve est de trois heures.

Une calculatrice graphique est autorisée.

La qualité des raisonnements et le soin de la rédaction sont des
éléments importants pris en compte dans la notation.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex1
\begin{exobb}{Exercice 1 -- 4 points}{Pour tous les candidats}{1}{30}
\`A chaque question, trois affirmations sont proposées. Une seule d'entre elles est juste.

On portera sur la copie la lettre correspondant à la réponse correcte en justifiant cette seule réponse.

\begin{questions}
\item On pose $f(x)=x^3-31x^2+29$.\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
\choix & L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions strictement positives. \\[4pt]
\choix & L'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions. \\[4pt]
\choix & La courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion pour \mbox{$x = 10$}.
\end{tabularx}
	
\item La valeur exacte de $\displaystyle \int_{\ln 1}^{\ln 2} \nep^{2x+1} \dd x$ est :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\dfrac{1}{2}\nep^5-\dfrac{1}{2}\nep$ &
\choix $3-\dfrac{1}{2} \nep $ &
\choix $\dfrac{3}{2}\nep$
\end{tabularx}

\item La (les) solution(s) de l'équation $\ln(4x^2-1) = \ln(3x + 7)$ est (sont) :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}l@{~}X@{}}
\choix & $\varnothing$ \\[4pt]
\choix & $\left\{ \dfrac{3-\sqrt{137}}{8} ; \dfrac{3+\sqrt{137}}{8} \right\}$ \\[14pt]
\choix & $\left\{ \dfrac{3+\sqrt{137}}{8} \right\}$
\end{tabularx}


\item L'inéquation $\nep^{3x} > (\nep^{x+1})^2$ admet pour ensemble solution :\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $]2\,;+\infty[$ &
\choix $\varnothing$ &
\choix $\{2\}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exobb}


\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. $f'(x)=3x^2-62x = x(3x-62)$.\\
La dérivée s'annule donc pour $x=0$ et pour $x=\dfrac{62}{3}$.

On obtient donc le tableau de variations suivant :
\[ 
\begin{array}{|R|*7{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & 0 & & \huge\strut\dfrac{62}{3\normalsize\strut} & & +\infty  \\\hline
f'(x) &  & + & 0 &  -& 0& + & \\
\hline
 & & & 29 & & & & \\
f(x)& & \nearrow & & \searrow &  & \nearrow & \\
 & & & & & f\left(\frac{62}{3}\right) & & \\
 \hline
\end{array}
\]

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
$f(0) = 29$ & $f\left(\dfrac{62}{3} \right) \approx -\numprint{4384}$\\[12pt]
$f(-10) = -\numprint{4071}$ & $f(40)= \numprint{14429}$.
\end{tabularx}
\Par
Sur l'intervalle $\left]0\,;\dfrac{62}{3}\right[$, $f$ est strictement décroissante et continue,\linebreak 0 appartient à $\left]f\middle(\dfrac{62}{3}\middle)\, ; f(0) \right[$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur cet intervalle. Il en est de même sur $\left] \dfrac{62}{3}\, ; 40 \right[$ où $f$ est strictement croissante. Ensuite, $f(x)$ est strictement positive.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions strictement positives.
\begin{Remarques}
Cette équation admet aussi une solution négative dans $]-10\,;0[$ puisque $f(-10)<0$.

La courbe représentative admet également un point d'inflexion, puisque la dérivée seconde est $f''(x)=6x-62$, mais ce n'est pas pour $x=10$.
\end{Remarques}

\item Réponse \choix[c].
\[
\begin{aligned}
\int_{\ln 1}^{\ln 2} \nep^{2x+1} \dd x &= \left[ \dfrac{1}{2}\nep^{2x+1} \right]_{\ln 1}^{\ln 2} 
= \dfrac{1}{2} \nep^{2\ln 2+1} - \dfrac{1}{2} \nep^{2\ln 1+1}\\
&= \dfrac{1}{2} \nep^{\ln (2^2)} \times \nep - \dfrac{1}{2} \nep^{2\ln 1} \times \nep \\
&= \dfrac{1}{2} \times 4  \times \nep - \dfrac{1}{2} \nep \\
&= \dfrac{3}{2} \nep.
\end{aligned}
\]

\item Réponse \choix[c]. L'équation n'a de sens que si $4x^2 - 1 > 0$ et si $3x + 7 > 0$, donc finalement si $x>\dfrac{1}{2}$.\\
Dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}\, ; +\infty \right[$ :
\[ \ln (4x^2-1) = \ln (3x+7) \iff 4x^2-1 = 3x+7 \iff 4x^2-3x-8 =0. \]
$\Delta = 137$.
\Par
Les racines sont donc $x_1 = \dfrac{3-\sqrt{137}}{8}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{137}}{8}$. Mais seul $x_2$ appartient à $\left]\dfrac{1}{2}\, ; +\infty \right[$, donc $S=\left\{ \dfrac{3+\sqrt{137}}{8} \right\}$.

\item Réponse \choix[a]. On a :
\[ 
\nep^{3x} > \big(\nep^{x+1}\big)^2  \iff 3x > 2(x + 1) \iff  x > 2. 
\]
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex2
\newpage
\begin{exobb}{Exercice 2 -- 5 points}{Pour tous les candidats}{1}{45}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(1-x)\nep^{3x}$.
\begin{questions}
\item Sa représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est la suivante :
\begin{center}
\includegraphics{BB_ex2enonce_001}
\end{center}
Conjecturer l'existence d'un point d'inflexion, et estimer la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

\item 
\begin{questions}
\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie sur $\R$ par :\\ 
$f'(x) = (2 - 3x)\nep^{3x}$.
\item Dresser le tableau de variations de $f'(x)$ et en déduire l'abscisse exacte du point d'inflexion.

Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{questions}

\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse~$\dfrac{1}{3}$.

Que peut-on dire, sans aucun calcul, de la position de $\mathcal{C}_f$  par rapport à~$\mathcal{T}$ ?

\item 
\begin{questions}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[
F(x) = -\nep^{3x} \left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{9} \right)
\] 
est une primitive de $f$.
\item En déduire l'aire sous la courbe entre les droites d'équation $x = -1$ et $x = 1$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Il semblerait qu'il y ait un point d'inflexion pour une valeur de $x$ voisine de $0{,}5$.
\item
\begin{questions}
\item $f'(x) = -\nep^{3x}+(1-x) \times 3\nep^{3x} = \nep ^{3x}(-1+3-3x) = \nep^{3x}(2-3x)$.
\item $f''(x) = 3\nep^{3x}(2-3x)+\nep^{3x}(-3) = \nep^{3x}(-9x+3)$.\\
On obtient donc pour $f'(x)$ le tableau de variations suivant :
\[ 
\begin{array}{|R|*5{c}|}%
\hline\tabulartitle
x      & -\infty & & \Large\strut\frac{1}{3} & &  +\infty  \\\hline
f''(x) &  & + & 0 &  - &  \\\hline
       &  & & \nep &  & \\
\raisebox{1em}{$f'(x)$}   &  & \nearrow &  & \searrow & \\
  \hline
  \end{array}
\]
$f'$ change de sens de variation pour $x =\dfrac{1}{3}$, qui est donc l'abscisse du point d'inflexion. La fonction est convexe quand $f'$ est croissante, soit sur $\left]-\infty\,; \dfrac{1}{3} \right]$.

\item 
\[ 
\begin{array}{|R|*5{c}|}%
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & \Large\strut\frac{2}{3} & &  +\infty  \\\hline
f'(x) &  & + & 0 &  - &  \\\hline
f(x)  &  & \nearrow &  & \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}
 
\item On a :
\[
\begin{aligned}
 y&=f' \left(\dfrac{1}{3}\right) \left(x-\dfrac{1}{3} \right) +f\left(\dfrac{1}{3} \right) \\
 &= \nep \left(x-\dfrac{1}{3} \right) + \dfrac{2}{3} \nep \\
 &= \nep x + \dfrac{1}{3} \nep. 
 \end{aligned} 
 \]
Pour $x=\dfrac{1}{3}$, il y a un point d'inflexion.\\
La fonction est convexe sur $\left]-\infty \,; \dfrac{1}{3} \right[$, donc au-dessus de la tangente, et concave sur $\left] \dfrac{1}{3}\, ; +\infty \right[$ donc au-dessous de cette tangente.
 
 
\item On a : 
\[
\begin{aligned} F'(x) &= -3 \nep^{3x} \left(\dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{9} \right) - \nep^{3x} \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
&= -\nep^{3x}\left(x-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}\right) \\
&= -\nep^{3x}(x-1)\\
&=f(x).
\end{aligned}
 \]
 Donc $F$ est bien une primitive de $f$.\\
D'après la courbe, $f$ est positive sur $[-1\,;1]$.\\
Donc pour calculer l'aire sous la courbe, il suffit de calculer :
\[
\begin{aligned}
\int_{-1}^1 f(x) \dd x &= F(1) -F(-1) \\
&= - \nep^3 \left(-\dfrac{1}{9} \right) + \nep^{-3} \left( -\dfrac{7}{9} \right) \\ 
&\approx 2{,}193.
\end{aligned}
\]

\end{questions}
\begin{methode}
Il faut toujours vérifier que le résultat trouvé est compatible avec la courbe, surtout si celle-ci est donnée : ici, il est évident que l'aire demandée est proche de 2, compte tenu des quadrillages.
\end{methode}
\newpage
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex3
\newpage
\begin{exobb}{Exercice 3 -- 5  points}{Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement  de spécialité}{2}{45}
Un gérant de salle de spectacles constate que, chaque année, il conserve 80\,\% des abonnés de l'année précédente, et que, de plus, il acquiert \numprint{1000} nouveaux abonnés.

En 2010, il avait \nombre{10000} abonnés.
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On appelle $u_n$ le nombre d'abonnés l'année $2010  + n$.\\
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice la limite de la suite $(u_n)$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On appelle $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n -\numprint{5000}$.\\
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item Donner la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite $(u_n)$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item \`A partir de quelle année le nombre d'abonnés sera-t-il inférieur à \nombre{8000} ?
\item Peut-il devenir inférieur à \nombre{5000} ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $u_{n+1} = 0,8 u_n + \numprint{1000}$.
\item Il semblerait que cette suite tende vers \numprint{5000}.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On a :
\[
\begin{aligned}
v_{n+1} &=  u_{n+1} -\numprint{5000} \\
&= 0,8 u_n + 1000 - \numprint{5000} \\
&= 0,8 u_n - \numprint{4000} \\
&= 0,8 (u_n-\numprint{5000}) \\
&= 0,8 v_n.
\end{aligned}
\]
Donc $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0 = u_0 - \numprint{5000} = \numprint{10000}-\numprint{5000}=\numprint{5000}$.

\item On a : $v_n = 5000 \times 0,8^n$.

La raison de la suite $(v_n)$ est strictement comprise entre 0 et 1, donc :
\[ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n = 0 \qquad \text{ et } \qquad \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0. \]
$u_n = v_n+ \numprint{5000}$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\numprint{5000}$, ce qui confirme la\\ conjecture.

\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On a :
\[ 
\begin{aligned}
u_n < \numprint{8000} &\iff \numprint{5000} \times 0,8^n+\numprint{5000} < \numprint{8000} \\
&\iff \numprint{5000} \times 0,8^n < \numprint{3000} \\
&\iff 0,8^n < 0,6 \\
&\iff n \ln 0,8 < \ln 0,6 \\
&\iff n > \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,8}.
\end{aligned}
\]

\begin{attention}
\`A la dernière étape, on divise par $\ln 0,8$ qui est négatif.
\end{attention}

Donc $u_n < \numprint{5000}$ pour $n > 2$, donc à partir de $n=3$, soit à partir de 2013.

\item On sait que la suite $(u_n)$ a pour limite 5000. \\
De plus, $u_n-\numprint{5000} = \numprint{5000} \times 0,8^n$, qui est toujours un nombre positif, donc $u_n$ ne sera jamais inférieur à \numprint{5000}.
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrigebb}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex4

\begin{exobb}{Exercice 3 -- 5 points}{Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité}{2}{60}

M. et M\up{me} Martin, qui habitent une grande ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient pour l'été, soit de partir à l'étranger, soit de visiter une région en France.

S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de \nombre{0,4}.

Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'année suivante est de \nombre{0,7}.

En été 2012, ce couple est parti à l'étranger.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $(a_n\quad b_n)$ traduisant l'état probabiliste l'année $(2012+n)$, où $a_n$ désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année $(2012+n)$ et $b_n$ la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année $(2012+n)$.

\subsubsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item
	\begin{questions}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $F$ et $E$ ($F$ pour France et $E$ pour étranger).
		\item En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord $F$ puis $E$ pour l'ordre des sommets. On notera $M$ cette matrice.
	\end{questions}
\item
	\begin{questions}
		\item Donner $P_0$, l'état probabiliste initial, l'année 2012.
		\item On donne les résultats suivants:
\[ \begin{aligned}
M^2&=\begin{pmatrix}
\nombre{0,48} & \nombre{0,52}\\
\nombre{0,39} & \nombre{0,61}
\end{pmatrix};
M^3=\begin{pmatrix}
\nombre{0,444} & \nombre{0,556}\\
\nombre{0,417} & \nombre{0,583}
\end{pmatrix};\\
M^4&=\begin{pmatrix}
\nombre{0,4332} & \nombre{0,5668}\\
\nombre{0,4251} & \nombre{0,5749}
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\]
En choisissant la bonne matrice, calculer $P_3$. En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2015 \emph{(On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)}.
	\end{questions}
\item Soit $P$ la matrice ligne $(x\quad y)$ donnant l'état stable où $x$ et $y$ sont deux réels positifs tels que $x + y = 1$.

Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a: $a_{n+1} = \nombre{0,3}a_n+\nombre{0,3}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - \dfrac37$.
\begin{questions}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire l'expression de $u_n$, puis celle de $a_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Que retrouve-t-on~?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item ~\\
\vspace*{-1.5em}
\begin{center}
\includegraphics{BB_ex4corrige_002}
\end{center}
$F$ est l'état 1 et $E$ est l'état 2.

\item Le terme à l'intersection de la  $i$\ieme{} ligne et de la $j$\ieme{} colonne est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$.\\
La matrice de transition est donc : $M =
\left( \begin{matrix}
0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{matrix}\right)$.

\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item En 2012, le couple est parti à l'étranger, donc $P_0 =
\left( \begin{matrix}
0 & 1
\end{matrix}\right)$.

\item $P_3 = P_2 M = P_1 M^2 = P_0 M^3$.\\
Par conséquent $P_3 =
\left( \begin{matrix}
0 & 1
\end{matrix}\right) 
\left( \begin{matrix}
0{,}444 & 0{,}556 \\ 0{,}417 & 0{,}583
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
0{,}42 & 0{,}58
\end{matrix}\right)$.
La probabilité que M et Mme Martin passent leurs vacances à l'étranger en 2015, qui est l'année 2012+3 est donc $0{,}58$.
\end{questions}

\item $P$ est l'état stable si et seulement si $PM=P$ et $x+y = 1$, ce qui équivaut aux systèmes :
\[ \begin{cases}
x+y=1 \\
0{,}6x+0{,}3y=x\\
0{,}4x+0{,}7y = y 
\end{cases} \iff
\begin{cases}
x+y = 1\\
0,3y=0,4x
\end{cases} \iff
\begin{cases}
x=\dfrac{3}{7}\\[8pt]
y=\dfrac{4}{7}
\end{cases}
\] 	
Au bout de nombreuses années, la probabilité que M. et Mme Martin passent leurs vacances en France est $\dfrac{3}{7}$ et à l'étranger est $\dfrac{4}{7}$.
\end{questions}


\subsubsectionnn{Partie B}


\begin{questions}
\item $P_n = (a_n  \qquad 1-a_n)$ alors  $a_{n+1} = 0{,}6 a_n + 0{,}3 (1-a_n)$. On trouve donc bien $a_{n+1} = 0{,}3 a_n + 0{,}3$.
\item 
\begin{questions}
\item On a :
\[ u_{n+1} = a_{n+1} -\dfrac{3}{7} = 0{,}3a_n+0{,}3-\dfrac{3}{7} = 0{,}3\left(u_n+\dfrac{3}{7}\right) +0{,}3-\dfrac{3}{7} = 0{,}3 u_n.  \]
La suite $(u_n)$ est donc la suite géométrique de raison $0{,}3$ et de premier terme $u_0 = a_0 -\dfrac{3}{7} =  -\dfrac{3}{7}$.

\item $u_n = -\dfrac{3}{7} \times (0{,}3)^n$ et donc $a_n=u_n+\dfrac{3}{7} = -\dfrac{3}{7} \times (0{,}3)^n +\dfrac{3}{7}$.
\item Comme $0<0{,}3<1$, la limite de $0{,}3^n$  est égale à 0, donc $(a_n)$ converge vers $\dfrac{3}{7}$.\\
On retrouve la probabilité que le couple a de passer ses vacances en France après de nombreuses années.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex5

\begin{exobb}{Exercice 4 -- 6 points}{Pour tous les candidats}{2}{60}
\Par
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

Une usine fabrique des tubes  en polyéthylène pour le chauffage géothermique.

On s'intéresse à trois types de tubes  appelés tubes  de type 1, tubes  de type 2 et tubes  de type 3.

\subsubsectionnn{Partie A : loi normale}

Un tube  de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.

\begin{questions}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée associe son épaisseur exprimée en millimètre.

On suppose que la variable aléatoire  $X$ suit la loi normale d'espérance 1,5 et d'écart-type 0,07.

Calculer la probabilité qu'un tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle. On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes  de type 1 : Il est envisagé pour cela de  modifier le réglage des machines produisant ces tubes .

On note $X_1$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1, prélevé dans la production future, associera son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire  $X_1$ suit une loi normale d'espérance 1,5 et d'écart-type  $\sigma_1$.

Déterminer $\sigma_1$ pour que la probabilité qu'un tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle soit égale à~0,99.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B : loi binomiale}


On considère un lot de tubes  de type 2.

On note $E$ l'événement   : \og un tube  prélevé au hasard dans ce lot de tubes  de type 2 est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,02$.

On prélève au hasard 20 tubes  de type 2 dans ce lot pour vérification.

Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement  de 20 tubes  de type 2 à un tirage avec remise.

\medskip

On considère la variable aléatoire  $Y_1$ qui, à tout prélèvement de 20 tubes  de type 2, associe le nombre de tubes  défectueux de ce prélèvement.
\begin{questions}
\item Justifier que la variable aléatoire  $Y_1$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un tube  soit défectueux.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{questions}  

\subsubsectionnn{Partie C}
\enlargethispage*{3em}
Un client a commandé 300 tubes de type 3, dont la longueur doit être théoriquement 300 mm.  On note $Z$ la variable aléatoire qui donne la longueur d'un tube de type 3. On sait que $Z$ suit la loi normale d'espérance 300 et d'écart-type 1. Un tube est utilisable si sa longueur est  comprise entre 298 et 302.
\begin{questions}
\item Donner, en justifiant sans utiliser la calculatrice, la probabilité qu'un tube soit utilisable. 
\item Donner l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de tubes de type 3 utilisables dans les 300 livrés au client.
\item Le client constate que 275 tubes sur les 300 ont une longueur comprise entre 298 et 302. Doit-il se plaindre auprès du fournisseur ?
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\subsubsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item On a : $P(1{,}35 < X < 1{,}65) \approx 0{,}97$.
\item Si $X_1$ suit la loi $\mathcal{N}\big(1,5 \,; \sigma_1^2\big)$, $Z=\dfrac{X-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite. On a :	
\[
\begin{aligned}
& P(1,35 < X < 1,65) = 0,99 \\
\iff & P\left(\dfrac{1{,}35-1{,}5}{\sigma_1} < Z < \dfrac{1{,}65-1{,}5}{\sigma_1} \right) =0,99\\
\iff & 2P\left(Z<\dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,99\\
\iff &  P\left( Z < \dfrac{0{,}15}{\sigma_1} \right) = \dfrac{1,99}{2}.
\end{aligned}
\]
La calculatrice nous donne donc $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,5758$ et donc $\sigma_1 \approx 0{,}06$.
\end{questions}

\subsubsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Les prélèvements étant considérés comme indépendants on a répétition 20 fois d'une expérience de Bernoulli, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et $0{,}02$.
\item On a : 
\[
\begin{aligned}
P (Y_1 \le 1) &= P(Y_1 = 0) + P(Y_1 = 1) \\
&= 0,98^{20} + 20 \times 0{,}02 \times 0{,}98^{19}
\end{aligned}
\]
 (on utilise ici la formule donnant 
$P(X = k)$ pour $X$ suivant une loi binomiale).\\
On obtient $P (Y_1 \le  1) \approx  0{,}94$.

\end{questions}
\subsubsectionnn{Partie C}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item L'intervalle $[298\, ; 302]$ correspond à $[\mu-2\sigma \,; \mu+2\sigma]$. On sait donc que la probabilité que $Z$ appartienne à cet intervalle est environ $0{,}95$.
\item On a : $I \approx [0{,}925\,; 0{,}975]$.
\item On a : $\dfrac{275}{300}\approx 0{,}92$. Cette valeur n'appartient pas à $I$, donc le client a toutes les raisons de se plaindre.
\end{questions}
\end{corrigebb}



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\onglet \AfficheCorrigeBB
