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\documentclass[latin1,crop, realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow}
\title{Rabats pour le livre TESM}
\author{Stéphane Pasquet}
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%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\dx}{{\rm d}x}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}
\graphicspath{{figures/}}
\begin{document}


% =============== COLONNE 1 ===============

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Matrices (Spécialité)}
\scalebox{0.97}{$A=\big(a_{ij}\big)$ et $B=\big(b_{k\ell}\big)$ sont deux matrices de dimensions respectives $n\times p$ et $m\times q$\kern-1pt.}

$a_{ij}$ est le terme de $A$ se trouvant sur la ligne $i$ et dans la colonne $j$\kern-1pt.

\vspace*{-1.4em}
\point{Opérations sur les matrices}
\vspace*{-1.2em}

Si $n=m$ et $p=q$ alors la somme de $A$ et $B$ est la matrice $A+B=\big(a_{ij}+b_{ij}\big)$.

Si $\lambda\in\R$ alors $\lambda A$ est la matrice $\big(\lambda a_{ij}\big)$.

Si $p=m$ alors $A\times B$ s'obtient en multipliant chaque vecteur ligne de $A$ par chaque vecteur colonne de $B$.

\vspace*{-1.2em}
\point{Matrices carrées}
\vspace*{-1.2em}

Si $n=p$, $A$ est une matrice carrée.

$A$ est inversible s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=A^{-1}\times A= I$\kern-1pt,\\
où $I$ est la matrice identité.

\vspace*{-1.2em}
\point{\'Ecriture matricielle d'un système linéaire}
\vspace*{-1.2em}
Le système $\left\{\begin{array}{@{}l@{}}ax+by=\alpha\\cx+dy=\beta\end{array}\right.$ s'écrit sous la forme $AX=B$,\\[3pt] où $A=\begin{pmatrix}
a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, $B=\dbinom{\alpha}{\beta}$ et $X=\dbinom{x}{y}$.

Si $A$ est inversible, alors la solution du système matriciel est $X=A^{-1}B$\kern-1pt.
\end{cadre}

\begin{cadre}{Graphes (Spécialité)}
$\mathcal{G}$ est un graphe de matrice d'adjacence $M=\big(m_{ij}\big)$. On pose $M^k=\big(\mu_{ij}\big)$, $k\in\N^*$\kern-1pt.

\vspace*{-1.4em}
\point{Graphe non orienté}
\vspace*{-1.2em}
La somme des degrés des sommets de $\mathcal{G}$ est égale au double du nombre de ses arêtes.

Le nombre de sommets de degré impair est un nombre pair.

$m_{ij}$ est le nombre d'arêtes reliant les sommets $i$ et $j$\kern-1pt.

$\mu_{ij}$ est le nombre de chaînes de longueur $k$ reliant les sommets $i$ et $j$\kern-1pt.

Formule d'Euler : $s-a+f=2$, où $\mathcal{G}$ est planaire et connexe, $s$ est le nombre de sommets, $a$ le nombre d'arêtes et $f$ le nombre de faces.

$\mathcal{G}$ connexe et a 0 ou 2 sommets de degré impair $\Leftrightarrow$ $\mathcal{G}$ admet une chaîne eulérienne.

$\mathcal{G}$ connexe et a tous ses sommets de degré pair \hspace*{1ex}$\Leftrightarrow$ $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien.

\vspace*{-1.4em}
\point{Graphe orienté}
\vspace*{-1.2em}

$m_{ij}$ est le nombre d'arêtes allant du sommet $i$ vers le sommet $j$\kern-1pt.

$\mu_{ij}$ est le nombre de chaînes de longueur $k$ allant du sommet $i$ vers le sommet $j$\kern-1pt.

\vspace*{-1.4em}
\point{Graphe probabiliste}
\vspace*{-1.2em}

$m_{ij}$ est la probabilité de passer du sommet $i$ au sommet $j$\kern-1pt.

$P_k=P_0\times M^k$: matrice ligne décrivant l'état probabiliste à l'étape $k\geqslant0$. 

Si $k$ tend vers $+\infty$, $P_k$ tend vers $P$ : état stable de $\mathcal{G}$.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Graphe non orienté & Graphe orienté & Graphe probabiliste\\
\hline
\includegraphics{graphe-1}
& 
\includegraphics{graphe-2}
&
\includegraphics{graphe-3}
\\ 
$M=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
&
$M=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
&
$M=\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\
0,1 & 0,9
\end{pmatrix}$\\[15pt]\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================= COLONNE 2

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Suites}
\novspace
\point{\boldmath Suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$}
\vspace*{-1em}
$n\in\N$, $p\in\N$ : 
$\begin{aligned}[t]
u_{n+1}&=u_n+r\\
u_n&=u_0+nr=u_p+(n-p)r
\end{aligned}$

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$r>0$ & $r<0$ & $r=0$\\\hline
la suite est croissante & 
la suite est décroissante & 
la suite est constante\\\hline
\end{tabularx}

\vspace*{-1.4em}
\point{\boldmath Suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$}
\vspace*{-1em}
$n\in\N$, $p\in\N$ : $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & =qu_n\\
u_n & =u_0\times q^n =u_p\times q^{n-p}
\end{aligned}$\\[4pt]
Sens de variation lorsque $u_0>0$: \\[2pt]
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$q>1$ & $0<q<1$ & $q=1$\\\hline
la suite est croissante & 
la suite est décroissante & 
la suite est constante\\\hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$ & 
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$ & 
$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=u_0$ \\ \hline
\end{tabularx}
\Par
Somme des premiers termes ($q\neq1$) : $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{cadre}

\begin{cadre}{Convexité}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
$f$ convexe sur I & $f$ concave sur I\\
\hline
\includegraphics{convexe}
   & 
   \includegraphics{concave}
   \\
   $\mathcal{C}_f$ est toujours & $\mathcal{C}_f$ est toujours \\
   au-dessus de ses tangentes & en dessous de ses tangentes\\ \hline
   $f''(x)>0$ sur I & $f''(x)<0$ sur I\\\hline
   $f'$ est croissante sur I & $f'$ est décroissante sur I\\\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1em}
\point{Point d'inflexion}
\vspace*{-1em}
A$\big(a\,;f(a)\big)$ est un point d'inflexion si :\\[3pt]
\quad$\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente en A ;\\[2pt] 
\quad$f''(x)$ s'annule en changeant de signe pour $x=a$ ;\\[2pt]
\quad$f$ change de convexité en $x=a$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{inflexion}
\end{center}
\vspace*{-2em}
\end{cadre}
\end{colonne}

%====================== COLONNE 3
\begin{colonne}
\begin{cadre}{Continuité et dérivabilité}
\novspace
\point{Théorème de la valeur intermédiaire}
\vspace*{-1em}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$ et si $c$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=c$ admet une unique solution sur $[a\,;b]$.
\vspace*{-1em}
\point{\'Equation de la tangente}
\vspace*{-1em}
$f'(a)$ est le \emph{coefficient directeur} de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_f$ au point M$\big(a\,;f(a)\big)$.

\vspace*{0.3em}
\begin{center}
\includegraphics{derivation}
\\[3pt]
\begin{tabular}{|@{}Sl@{}|}
\hline
\,\'Equation de $\mathcal{T}$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)\,$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-0.5em}
\point{Dérivées usuelles}
\vspace*{-1em}
$k$ est un réel, $n$ est un entier naturel non nul.
\Par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}m{18mm}|Sc|Sc|Sc|Sc|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$f(x)$ & 
$k$ & 
$x$ & 
$x^n$ & 
$\dfrac{1\strut}{x\strut}$ & 
$\sqrt{x}$ & 
$\ln x$ & 
$\nep^x$\\
\hline
$f'(x)$ & 
0 & 
1 & 
$nx^{n-1}$ & 
$-\dfrac{1\strut}{x²\strut}$ & 
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &
$\dfrac{1}{x}$ & 
$\nep^x$\\
\hline
Domaine de dérivabilité & 
\R & 
\R & 
\R & 
$\R^*$ & 
$]0\,;+\infty[$ & 
$]0\,;+\infty[$ & 
\R \\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\point{Opérations sur les dérivées}
\vspace*{-1em}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un même intervalle, et $k\in\R$.\\[-4pt]

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{12mm}|Sc|Sc|Sc|Sc|Sc|>{\centering\arraybackslash}m{9mm}|S{>{\centering\arraybackslash}X}|}
\hline
Fonction & 
$ku$ & 
$u+v$ & 
$uv$ & 
$\dfrac{1}{u}$ & 
$\dfrac{u}{v}$ &
$\ln u$ $u>0$ & 
$\nep^u$\\
\hline
Fonction dérivée & 
$ku'$ & 
$u'+v'$ & 
$u'v+uv'$ & 
$-\dfrac{u'}{u^2}$ & 
$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ &
$\dfrac{u'}{u}$ & 
$u'\nep^u$
\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}

\vspace*{0.5em}
\begin{cadre}{Pourcentages (rappels)}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sc|*2{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & Augmentation de $t\;\%$ & Réduction de $t\;\%$\\
\hline
1 fois & 
$x\longrightarrow\left(1+\dfrac{t}{100}\right)x$
&
$x\longrightarrow\left(1-\dfrac{t}{100}\right)x$\\
\hline
$n$ fois & $x\longrightarrow\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^nx$
&
$x\longrightarrow\left(1-\dfrac{t}{100}\right)^nx$\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% =============== COLONNE 4 ===============

\begin{colonne}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LN et EXP

\begin{cadre}{Fonctions logarithme népérien et exponentielle}
\begin{minipage}{6.6cm}
\point{Logarithme népérien}
\vspace*{-1em}
$x\mapsto\ln x$ est concave et strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
\Par
$\ln 1=0$ ; $\ln\nep=1$
\Par
\morestretch
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|S{>{\centering\arraybackslash}X}|}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{Pour $x\in\R^*_+$, $y\in\R^*_+$, $n\in\N$ :}\\\hline
$\ln\;(xy)=\ln x+\ln y$ 
& 
$\ln\big(x^n\big)=n\ln x$
\\
$\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ 
& 
$\ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6.1cm}
\point{Exponentielle}
\vspace*{-1em}
$x\mapsto\nep^x$ est convexe et strictement\\ croissante sur $\R$.
\Par
$\nep^0=1$ ; $\nep^1=\nep(\approx2,718)$ ; $\nep^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\nep}$
\Par
\morestretch
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{Pour $x\in\R$, $y\in\R$, $n\in\N$ :}\\\hline
$\nep^{x+y}=\nep^x\times\nep^y$ 
& 
$\nep^{nx}=\big(\nep^x\big)^n$
\\
$\nep^{x-y}=\dfrac{\nep^x}{\nep^y}$ 
& 
$\nep^{-x}=\dfrac{1}{\nep^x}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\vspace*{-1.1em}
\point{Propriétés}
\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{6cm}
$x\in\R$ : $\ln\big(\nep^x\big)=x$\\[3pt]
$x>0$ : $\nep^{\ln x}=x$\\[3pt]
$a\in\R$ : $\ln x=a \iff x=\nep^a$\\[3pt]
$a>0$ : $\nep^x=a \iff x=\ln a$\\[3pt]
$x>y \iff \nep^x>\nep^y$ et $\ln x>\ln y$\\[3pt]
$x=y \iff \nep^x=\nep^y$ et $\ln x=\ln y$\\[3pt]
Pour tout réel $x>0$, $\ln x<x<\nep^x$
\vspace*{1.5em}~
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics{exp-et-ln}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(4.5,3.5)
%\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(4.5,3.5)
%\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-3.5}{1.2}{EXP(x)}
%\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{0.1}{4.5}{ln(x)}
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=DG](-2,-2)(3,3)
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=DB](1,0)(1,2.718)(0,2.718)
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=DB](2.718,0)(2.718,1)(0,1)
%\rput(3.9,1.7){\textcolor{DR}{$y=\ln x$}}
%\rput(1.9,3.1){\textcolor{DR}{$y=\nep^x$}}
%\rput(3.8,2.9){\textcolor{DG}{$y=x$}}
%\rput(-0.2,-0.5){0}
%\rput[u](4.5,0.25){$x$}
%\rput[l](-0.35,3.5){$y$}
%\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Probabilités}
\novspace
\point{Généralités}
\vspace*{-1.2em}
\begin{tabular}{Sl@{~:~}Sl}
\'Egalités élémentaires & $P(\Omega)=1$ et $P(\varnothing)=0$\\[-3pt]
\'Evénement contraire & $P(\bar{A})=1-P(A)$\\
Union et intersection & $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$\\
$A$ et $B$ incompatibles & $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
\end{tabular}
\vspace*{-1.5em}
\point{Probabilités conditionnelles}
\vspace*{-1em}
Probabilité de $B$ sachant $A$ : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$\\[2pt]
$\begin{aligned}[t]
A\text{ et }B\text{ indépendants} & \iff P_A(B)=P(B)\\
& \iff P_B(A)=P(A)\\
& \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\end{aligned}$
\vspace*{-1em}
\point{Formule des probabilités totales}
\vspace*{-0.5em}
\begin{center}
\includegraphics{proba}
\end{center}
%\begin{pspicture}(0,-2)(9.5,2)
%\psset{nodesep=2mm,levelsep=17mm,treesep=7mm,nrot=:U}
%\pstree[treemode=R,linecolor=DR,treesep=8mm]
%{%
%\TR{$\Omega$}
%}
%{
%	\pstree[linecolor=DB]
%	{%
%		\TR{$A$}\naput{\color{DR}$P(A)$}
%	}
%	{
%		\TR{$D$}\naput{\color{DB}\scalebox{0.9}{$P_A(D)$}}
%		\TR{$\overline{D}$}\nbput{\color{DB}\scalebox{0.9}{$P_A(\bar{D})$}}
%	}
%	\pstree[linecolor=DB]
%	{
 %  		\TR{$\overline{A}$}
  % 		\nbput{\color{DR}$P(\overline{A})$}
%	}
%	{
%		\TR{$D$}\naput{\color{DB}\scalebox{0.9}{$P_{\bar{A}}(D)$}}
%		\TR{$\overline{D}$}\nbput{\color{DB}\scalebox{0.9}{$P_{\bar{A}}(\overline{D})$}}
%	}
%}
%\psline[linecolor=DG]{->}(0,1.6)(0.7,1.6)
%\psline[linecolor=DG]{->}(0,-0.5)(0.7,-0.5)
%\rput(2.8,1.6){\scalebox{0.9}{$P(D\cap A)=P_A(D)\times P(A)$}}
%\rput(2.8,-0.5){\scalebox{0.9}{$P(D\cap\overline{A})=P_{\bar{A}}(D)\times P(\overline{A})$}}
%\psbrace(4.6,-.8)(4.6,1.9){\scalebox{0.9}{$P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap\overline{A})$}}
%\end{pspicture}
\vspace*{-2.2em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% =============== COLONNE 5 ===============

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Lois à densité}
\novspace
\point{\boldmath Loi uniforme sur $[a\, ; b]$}
\vspace*{-1em}
$P(c\leqslant X\leqslant d)=\dint_c^d \dfrac{1}{b-a}\dx=\dfrac{d-c}{b-a}$\quad ; \quad $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$

\vspace*{-1em}
\point{\boldmath Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0\,;1)$}
\vspace*{-1em}
$E(X)=0\quad;\quad V(X)=1$\\[3pt]
\fbox{\begin{minipage}{65mm}
\centering
$P(X\leqslant0)=P(X\geqslant0)=0,5$

\includegraphics{lncr-1}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=2.5cm}
%\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%{%
%\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{0}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](0,0.398)(0,0)
%}
%\pscustom[fillcolor=LR,fillstyle=solid]
%{%
%\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{4}{0}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](0,0.398)(0,0)
%}
%\psline{->}(-4,0)(4,0)
%\psline{->}(0,0)(0,0.53)   
%\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%\rput(0,-0.1){0} 
%\rput(0.7,0.1){50\%} 
%\rput(-0.7,0.1){50\%} 
%\end{pspicture}
\end{minipage}}
\hspace*{0.5mm}
\fbox{\begin{minipage}{63mm}
$P(X\leqslant -a)=P(X\geqslant a)=1-P(X\leqslant a)$

\includegraphics{lncr-2}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-0.15)(4,0.53)
%   		\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%   		{%
%   			\psplot[algebraic=true]{-4}{-1.5}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   			\psline(-1.5,0)(0,0)
%   		}%
%			\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%   		{%
%   			\psline(1.5,0)(1.5,0.13)
%   			\psplot[algebraic=true]{1.5}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   		}      
%   		\psline{->}(-4,0)(4,0)
%      \psline{->}(0,0)(0,0.53)   
%      \psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%      \psline[linecolor=DG](-1.5,0)(-1.5,0.13)
%      \psline[linecolor=DG](1.5,0)(1.5,0.13)
%      \rput(0,-0.1){0}
%      \rput(-1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$-a$}}
%      \rput(1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$a$}}      
%   \end{pspicture}
\end{minipage}}

\vspace*{0.7em}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{65mm}
\centering 
$P(-1,96\leqslant X\leqslant1,96)\approx0,95$

\includegraphics{lncr-3}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=2.5cm}
%   \begin{pspicture}(-4,-0.15)(4,0.53)
%   		\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%   		{%
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](-1.5,0)(-1.5,0.13) 
%   			\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](1.5,0.13)(1.5,0)
%   		}
%      \psline{->}(-4,0)(4,0)
%      \psline[linestyle=solid,linecolor=DG](0,0)(0,0.399)   
%      \psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](-1.5,0)(-1.5,0.13)
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](1.5,0)(1.5,0.13)
%      \rput(0,-0.1){\textcolor{DG}{$0$}}
%      \rput(-1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$-1,96$}}
%      \rput(1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$1,96$}}      
%      \rput(0,0.18){\fcolorbox{LG}{LG}{\color{DG}95\%}}
%   \end{pspicture}
\end{minipage}}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\point{\boldmath Loi normale $\mathcal{N}\big(\mu\,;\sigma^2\big)$}
\vspace*{-1em}
$E(X)=\mu$\quad ; \quad $V(X)=\sigma^2$

$X$ suit la loi $\mathcal{N}\big(\mu\,;\sigma^2\big) \iff Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$  suit la loi $\mathcal{N}(0\,;1)$
\Par
\fbox{\begin{minipage}{65mm}
\begin{center}
$P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0,68$

\includegraphics{ln-1}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=2.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-0.15)(4,0.53)
%	\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%	{%
%		\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](-1,0)(-1,0.242) 
%   	\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](1,0.242)(1,0)
%	}
%	\psline{->}(-4,0)(4,0)
%  \psline[linestyle=solid,linecolor=DG](0,0)(0,0.399)   
%  \psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%	\psline[linecolor=DG,linestyle=solid](-1,0)(-1,0.242)
%	\psline[linecolor=DG,linestyle=solid](1,0)(1,0.242)
%	\rput(0,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu$}}
%  \rput(-1,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu-\sigma$}}
%  \rput(1,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu+\sigma$}}      
 % \rput(0,0.18){\fcolorbox{LG}{LG}{\color{DG}68\%}}
%\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}}
\hspace*{1em}
\fbox{\begin{minipage}{60mm}
\begin{center}
$P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant\mu+2\sigma)\approx0,95$

\includegraphics{ln-2}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=2.5cm}
%   \begin{pspicture}(-4,-0.15)(4,0.53)
%   		\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%   		{%
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](-1.5,0)(-1.5,0.13) 
%   			\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](1.5,0.13)(1.5,0)
%   		}
%      \psline{->}(-4,0)(4,0)
%      \psline[linestyle=solid,linecolor=DG](0,0)(0,0.399)   
%      \psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](-1.5,0)(-1.5,0.13)
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](1.5,0)(1.5,0.13)
%      \rput(0,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu$}}
%      \rput(-1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu-2\sigma$}}
%      \rput(1.5,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu+2\sigma$}}      
%      \rput(0,0.18){\fcolorbox{LG}{LG}{\color{DG}95\%}}
%   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}}

\vspace*{0.7em}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{60mm}
\centering
$P(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant\mu+3\sigma)\approx0,997$

\includegraphics{ln-3}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=2.5cm}
%   \begin{pspicture}(-4,-0.15)(4,0.53)
%   		\pscustom[fillcolor=LG,fillstyle=solid]
%   		{%
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](-2,0)(-2,0.05) 
%   			\psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-2}{2}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%   			\psline[linecolor=DG,linestyle=dashed](2,0.05)(2,0)
%   		}
%      \psline{->}(-4,0)(4,0)
%      \psline[linestyle=solid,linecolor=DG](0,0)(0,0.399)   
%      \psplot[linecolor=DR,algebraic=true]{-4}{4}{0.398942449*EXP(-x*x/2)}
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](-2,0)(-2,0.05)
%      \psline[linecolor=DG,linestyle=solid](2,0)(2,0.05)
%      \rput(0,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu$}}
%      \rput(-2,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu-3\sigma$}}
%      \rput(2,-0.1){\textcolor{DG}{$\mu+3\sigma$}}      
 %     \rput(0,0.18){\fcolorbox{LG}{LG}{\color{DG}99,7\%}}
 %  \end{pspicture}
\end{minipage}}
\end{center}
\vspace*{-1.2em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Intervalle de fluctuation et estimation}
\novspace
\point{Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%}
\vspace*{-0.8em}
$X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, avec $n\geqslant30$, $np\geqslant5$, $n(1-p)\geqslant5$ et $p\in]0\,;1[$.

$F_n=\dfrac{X_n}{n}$ est la variable aléatoire des fréquences de $X_n$.

Intervalle de fluctuation de $F_n$ : \scalebox{0.98}{$I_n=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$}

Si $n$ tend vers $+\infty$, alors $P(F_n\in I_n)=0,95$.

\vspace*{-1em}
\point{Intervalle de confiance au seuil de 95\%}
\vspace*{-0.8em}
$f$ est la fréquence observée sur un échantillon  de taille $n$, avec $n\geqslant30$, $nf\geqslant5$, $n(1-f)\geqslant5$.

Intervalle de confiance : $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
\end{cadre}
\end{colonne}

% ========== COLONNE 6 ==========

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Primitives}
\novspace
\point{Primitives usuelles}
\vspace*{-1.2em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sc|*6{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
$f(x)$ & 1 & $x^n$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $\nep^x$\\
\hline
$F(x)$ & $x$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\ln x$ & $2\sqrt{x}$ & $\nep^x$\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\point{Formules}
\vspace*{-0.8em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sc|*6{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
Fonction & $u'u$ & $\dfrac{u'}{u^2}$ & $u'\nep^u$ & $\dfrac{u'}{u}$\\\hline
Primitive & $\dfrac{u^2}{2}$ & $-\dfrac{1}{u}$ & $\nep^u$ & $\ln u$\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Intégration}
\novspace
\point{Représentation graphique}
\vspace*{-1em}
$f$ est une fonction continue sur $[a\,;b]$. $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$.\\[-10pt]

Si $f(x)\geqslant0$ sur $[a\,;b]$, $\dint_a^b f(x)\dx$ représente l'aire entre l'axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$ sur $[a\,;b]$ :

\begin{center}
\includegraphics{integration}\par 
   \vspace*{0.7em}
   $\boxed{\dint_a^b f(x)\dx=F(b)-F(a)}$
\end{center}


\vspace*{-1em}
\point{Propriétés}
\vspace*{-1em}
$F(x)=\dint_a^x f(t){\rm d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $x=a$.\\[6pt]
$\dint_a^b f(x)\dx=-\dint_b^a f(x)\dx$\\[6pt]
Relation de Chasles : $\dint_a^b f(x)\dx = \dint_a^c f(x)\dx+\dint_c^b f(x)\dx$, $c\in\R$\\[6pt]
Linéarité : $\dint_a^b\big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\dx=\lambda\dint_a^b f(x)\dx+\mu\dint_a^b g(x)\dx$, $\lambda\in\R$, $\mu\in\R$\\[6pt]
Positivité : Si $f(x)\geqslant0$ sur $[a\,;b]$ alors $\dint_a^b f(x)\dx\geqslant0$\\[6pt]
Ordre : Si $f(x)\geqslant g(x)$ sur $[a\,;b]$ alors $\dint_a^b f(x)\dx \geqslant \dint_a^b g(x)\dx$\\[6pt]
Valeur moyenne sur $[a\,;b]$ : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\dint_a^b f(x)\dx$\vspace*{-0.1em}
\end{cadre}	
\end{colonne}

\end{document}