\chapter{Les nombres}

\section{Les différents types de nombres}

\begin{exointro}{Lycée Edgar Quinet, Bourg-en-Bresse}
\begin{questions}
\item Parmi les nombres suivants :\\
$-11$ ; $2{,}4$ ; $\sqrt{7}$ ; $\sqrt{36}$ ; $-\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{21}{3}$ ;
quels sont ceux qui sont rationnels, irrationnels, entiers naturels ou relatifs ?
\item Compléter par $\in$ ou $\not\in$ :\\
$\sqrt{2}\ldots\R$ ; $\sqrt{64}\ldots\Z$ ; $\dfrac{3}{7}\ldots \N$ ;
$\pi\ldots\Q$.
\end{questions}
\end{exointro}



\subsection{Les nombres réels et leur valeur absolue}

Sur une droite $D$ donnée, 
choisissons une unité de longueur et un point particulier, que l'on appelle $O$ (appelé
point-origine). On choisit, de part et d'autre de $O$, 
un \og côté positif \fg, l'autre côté 
étant \og négatif \fg : on a ainsi orienté la droite $D$. 

Tout point $M$ de cette droite peut être déterminé
en donnant la distance $OM$ et le côté où se trouve $M$.
 
L'abscisse du point $M$ est $+OM$ si
$M$ est du côté positif et $-OM$ dans le cas contraire.

Notons que l'abscisse de l'origine est $0$. 


\begin{Exemple}
sur la droite ci-dessous, le côté positif est à droite de
l'origine (c'est la convention habituelle). 
Le point $M$ est d'abscisse 
$+3$, car $M$ est du côté positif et la distance
de $O$ à $M$ est de 3 unités de longueur :
\end{Exemple}

\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
\includegraphics{027_01_Cours_fig2}
\end{center}

\newpage

Les abscisses des points de la droite sont appelées des \emph{nombres
réels} (du latin \emph{res}, la chose : ils servent à repérer
des « choses » concrètes sur la droite).

La valeur absolue $|x|$ du réel $x$ (abscisse de $M$)
est la distance $OM$. On l'appelle également 
\og distance à $0$ \fg. C'est toujours un nombre positif. 

Par exemple, $|-1{,}2|= +1{,}2$. 

La différence $x-y$ entre deux nombres réels peut être
positive ou négative. Sa valeur absolue $|x-y|$ mesure
la distance entre $x$ et $y$. 

Par exemple, la distance entre $-3$ et $7$ est $|-3-7|=10$. 

%Les nombres réels peuvent être
%des entiers naturels ou relatifs, des nombres décimaux, 
%des nombres rationnels ou irrationnels. 


\subsection{Les ensembles de nombres}

\begin{itemize}
\item On note $\N$ l'ensemble des nombres entiers naturels : 
\[ \N=\{0~;1~;2~;3~;\ldots\}. \]

\item On note $\Z$ l'ensemble des nombres entiers relatifs : 
\[ \Z=\{\ldots~;-3~;-2~;-1~;0~;1~;2~;3~;\ldots\}.\]

\item On note $\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$, où $n\in\N$ ($n$ \emph{appartient} à l'ensemble $\N$) et $a\in\Z$.

\Par

\item On note $\Q$ l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire qui s'écrivent sous\\[0.7em]la forme $\dfrac{p}{q}$, où $p\in\Z$ et $q\in\N^*$ (ensemble des entiers naturels non nuls).

\Par

\item On note $\R$ l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire de tous les nombres.
\end{itemize}

Les nombres réels ne sont pas tous rationnels. Par exemple, $\sqrt2$ ne peut pas se mettre sous la forme $\dfrac{p}{q}$.

\nathanLive{Retrouvez en vidéo la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$ avec}\label{video:ch2cours1}


Si un ensemble est suivi d'une étoile en exposant, il a pour éléments tous les nombres de cet ensemble sauf 0.

\begin{Exemple}
$\N^*=\{1~;2~;3~;\ldots\}$
\end{Exemple}

Si on souhaite enlever un ou plusieurs nombres à un ensemble, on le fera suivre de : $\setminus\{\ldots\}$.


\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\Q\setminus\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$ désigne l'ensemble de tous les rationnels sauf $\dfrac{1}{3}$.
\item $\R\setminus\Q$ est l'ensemble des nombres irrationnels. 
\end{itemize}
\end{Exemples}


Il existe un ensemble sans élément, appelé 
l'\emph{ensemble vide}, et on le note : $\varnothing$.

\begin{Remarque}
un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ si \emph{tous}
les éléments de $A$ appartiennent à $B$. 

$\N$ est inclus dans $\Z$, qui lui-même est inclus dans $\mathbb{D}$, etc. jusqu'à $\R$. On écrira alors :
\[
\N \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \Q \subset \R.
\]
\end{Remarque}

\subsection{Un nombre et plusieurs formes}
Un nombre réel peut être \emph{représenté} de plusieurs façons.
Par exemple :
\[\frac{51}{5}=\frac{5,\!1}{0,\!5}=10{,}2=1{,}02.10^{1}\]
ou encore :
\[\frac{4}{3}=1,3\underline{3}\ldots\]

Quelle que soit l'écriture adoptée, il s'agit
toujours du \emph{même} nombre. En particulier :
\begin{itemize}
\item $\dfrac{51}{5}$ est un nombre décimal ;
\item $\sqrt{9}$ est un nombre entier naturel ;
\item $45$ est un nombre rationnel ;
\item $1{,}3$ est un nombre rationnel :
\item $34{,}0$ est un nombre entier.
\end{itemize}
Ces caractéristiques (décimal, entier, etc.) sont celles du nombre lui-même et non de son écriture. 

Ceci dit, selon le nombre rencontré, on préférera l'écrire sous la forme
la plus simple. Par exemple, on écrira $3$ plutôt que $\sqrt{9}$\ldots{}

\subsection{Développement décimal d'un réel}
Un nombre décimal $x$ 
peut s'écrire à l'aide d'une virgule, par exemple
$23{,}157$~: chaque multiplication par $10$ décale la 
virgule d'un rang. S'il y a $k$ décimales après 
la virgule, $k$ multiplications permettent d'obtenir 
un entier, ici : $23157$.

Si on divise $1$ par $3$ à la calculatrice, on obtient : $\nombre{0{,}3333333333}$.  Pourtant, $1/3$ n'est pas un nombre décimal (voir vidéo).

\enlargethispage{2em}

Ceci n'est pas une écriture décimale \emph{exacte} de $\dfrac{1}{3}$, mais seulement une approximation de $\dfrac{1}{3}$
par un nombre décimal. 

\begin{attention}
Les nombres réels ne sont pas tous décimaux.

\nathanLive{Retrouvez la vidéo avec}\label{video:ch2cours2}
\end{attention}


On peut encadrer tout nombre réel entre deux nombres
décimaux ayant $n$ chiffres après la virgule. 
Par exemple~: $1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415$. 
L'écart entre les deux bornes est de $10^{-3}$~: il
s'agit d'un encadrement à $10^{-3}$ près. On dit aussi 
que $1{,}414$ est un développement de $\sqrt{2}$
avec 3 décimales exactes. 

On peut pousser le développement du réel $x$ et obtenir un nombre arbitraire de décimales.

Trois cas peuvent se présenter~:
\begin{itemize}
\item Si $x\in\Bbb{D}$, les décimales sont toutes égales
à zéro à partir d'un certain rang. On parle de 
développement décimal fini. Le développement décimal
des autres nombres est \emph{illimité}. 
\item Si $x$ est rationnel, le développement va 
présenter une périodicité, c'est-à-dire qu'un motif
va se répéter indéfiniment. Par exemple~:
$x=\text{\numprint{1{,}324242424}}\dots$. 
On peut constater que $x$ est bien rationnel
car :
\[
10x=\text{\numprint{13{,}2424}}\dots,\ 
\text{\numprint{1000}}x=\text{\numprint{1324{,}2424}}\dots
\]
et donc $1000x-10x = \numprint{1311}$, d'où $x=\dfrac{\numprint{1311}}{990}=\dfrac{437}{330}$. 
\item Si $x$ est irrationnel, le développement est
apériodique (il n'y a pas de période). C'est le cas
du développement décimal de $\pi$, par exemple. 
\[\pi\simeq
\text{\numprint{3{,}141592653589793238462643383279502884197169399375}}
\dots \]
\end{itemize}
%
%Bien sûr, les nombres entiers sont tous décimaux
%(car $n=\dfrac{n}{10^0}$). 
%
%\begin{Exemple}
%Les trois nombres suivants sont décimaux :
%\begin{align*}
%&7{,}28=\frac{728}{100}=\frac{728}{10^2}\\
%&\frac{-1}{2}=\frac{-5}{10}=\frac{-5}{10^1}\\
%&3=\frac{3}{1}=\frac{3}{10^0}.
%\end{align*}
%\end{Exemple}
%
%Les nombres décimaux sont des rationnels, 
%car ce sont les quotients d'un entier ($n$) par un entier ($10^k$). 
%
%Attention~! Tous les nombres rationnels ne sont pas décimaux.
%
%\begin{Exemple}
%$\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. Attention ! Si on
%divise $1$ par $3$ à la 
%calculatrice, on obtient : $\nombre{0{,}3333333333}$. Ceci n'est pas une
%écriture décimale \emph{exacte} de $\dfrac{1}{3}$, mais une 
%seulement approximation de $\dfrac{1}{3}$
%par un nombre décimal. 
%\end{Exemple}

%\subsection{Les entiers}
%Les entiers \emph{naturels} $0$, $1$, $2$, etc.
%sont les nombres réels obtenus 
%en ajoutant zéro, une ou plusieurs
%fois $+1$ au nombre $0$.
%
%\begin{prop}
%La somme et le produit de deux entiers naturels
%est un entier naturel. 
%\end{prop}
%
%Les entiers \emph{relatifs} $0$, $-1$, $+1$, $-2$, $+2$, etc.,
%sont obtenus en ajoutant ou en soustrayant $-1$
%à $0$ un nombre arbitraire de fois.
%
%Les entiers naturels sont les entiers relatifs \emph{positifs}.
%
%\begin{prop}
%La somme, la différence, le produit de deux entiers relatifs est un
%entier relatif. 
%Attention, le quotient de deux entiers relatifs
%n'est pas toujours un entier ! (exemple : 
%$\frac{7}{2}$). 
%\end{prop} 




%sont les abscisses des points $M$ qu'on peut
%construire à partir de $O$
%en reportant la longueur $OI$, zéro, une ou plusieurs fois vers la droite.
%Il s'agit des nombres $0$, $1$, $2$, etc. L'ensemble de ces nombres
%est noté $\N$ ($\N$ comme \emph{Naturel}).
%
%La notation $\N^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels \emph{non nuls}.
%On dira indifféremment : 
%\begin{itemize}
%\item $n$ est un entier naturel ;
%\item $n$ est un élément de $\N$ ;
%\item $n\in\N$ (lire : « $n$ appartient à $\N$ »).
%%\end{itemize}
%
%\begin{prop}
%La somme et le produit de deux entiers naturels
%est un entier naturel. En revanche, l'opposé d'un entier naturel non nul
%n'est pas élément de $\N$ (exemple : \linebreak
%$-5\not\in\N$). 
%\end{prop}
%
%\subsection{Entiers relatifs}
%Les entiers \emph{relatifs} (ou \emph{entiers} tout court) sont les abscisses
%des points $M$ que l'on peut construire à partir de $O$ en reportant
%la longueur $OI$ autant de fois que l'on veut, d'un côté ou l'autre du
%point $O$. Il s'agit donc des nombres $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$, etc.
%
%L'ensemble des entiers relatifs est noté $\Z$ (de l'allemand
%\emph{Zahl}, le nombre). Comme pour $\R$, on utilise
%la notation $\Z_+$ pour l'ensemble des entiers positifs, $\Z^*$ pour
%l'ensemble des entiers non nuls, etc. 
%\\
%Il résulte de la définition que les entiers naturels sont les
%entiers relatifs positifs. $\N$ et $\Z_+$ sont deux noms
%pour le même ensemble.
%
%\begin{prop}
%La somme, la différence, le produit de deux entiers relatifs est un\begin{prop}
%La somme, la différence, le produit de deux entiers relatifs est un
%entier relatif. Attention, le quotient de deux entiers relatifs
%n'est pas toujours un entier :
%\[\frac{6}{2}=3\in\Z\text{ mais }\frac{7}{2}\not\in\Z\] 
%\end{prop} 
%entier relatif. Attention, le quotient de deux entiers relatifs
%n'est pas toujours un entier :
%\[\frac{6}{2}=3\in\Z\text{ mais }\frac{7}{2}\not\in\Z\] 
%\end{prop} 

%\subsection{Les nombres rationnels}
%
%Un nombre \emph{rationnel} est un nombre qui peut s'exprimer comme
%le quotient (ou \emph{rapport}, en latin : \emph{ratio}) de deux entiers,
%comme $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{-7}{15}$, etc. 
%
%\begin{Remarque} Les nombres entiers sont aussi des nombres
%rationnels. En effet, tout entier $n$ peut s'écrire sous la forme :
%\[n=\frac{n}{1}\]
%\end{Remarque}
%
%\begin{prop}
%La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels est un
%nombre rationnel. 
%\end{prop}

%
%
%
%\subsection{Nombres irrationnels}
%Tous les nombres réels ne sont pas rationnels (loin de là !) Parmi
%les \emph{irrationnels} (nombres réels qui ne sont pas rationnels), on trouve :\\
%$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, $\pi^2$, $\sqrt{5}-3$, $-\dfrac{1}{\pi}$,
%etc.  
%
%%L'ensemble des nombres irrationnels est $\R-\Q$ (qui se lit : «$\R$ privé de $\Q$ » ou « $\R$ moins $\Q$ »).
%
%Donnons quelques règles~:
%\begin{itemize}
%\item La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle (par exemple,
%$\pi +1$, $\sqrt{2}-3$, etc.).
%\item Le produit d'un rationnel différent de zéro et d'un irrationnel est toujours irrationnel
%($2\sqrt{5}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, etc.).
%\item L'inverse d'un irrationnel est irrationnel ($\dfrac{1}{\pi}$, $\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}$, etc.). 
%\item L'opposé d'un irrationnel est irrationnel ($-\sqrt{7}$, $-\pi$, etc.). 
%\item La racine carrée d'un entier est soit entière ($\sqrt{4}=2$, $\sqrt{49}=7$, etc.)
%soit irrationnelle ($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, etc.)
%\end{itemize}


%
%\subsection{Ensembles et éléments}
%Prenons l'exemple de la 2\up{nde}~B. Au sens 
%mathématique, c'est un \emph{ensemble} d'élèves. 
%Les élèves de cette classe sont les \emph{éléments} 
%de l'ensemble \og 2\up{nde}~B \fg. 
%Mais la 2\up{nde}~B n'est pas un élève. 
%
%Prenons un autre exemple : dans le corps humain, la colonne vertébrale
%est \emph{l'ensemble} des vertèbres. Mais la colonne vertébrale
%n'est pas une vertèbre ; les vertèbres sont ses éléments.\\
%Remarquez que l'ensemble a souvent un nom (
% la 2\up{nde}~B,
%« la colonne vertébrale ») ; mais on peut tout aussi
%bien, pour le désigner, se contenter d'énumérer ses éléments,
%en les écrivant entre accolades.
%
%\begin{Exemple}
%Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse, sont les quatre vaches
%du père Bernard. On désigne la même chose par :
%\begin{itemize}
%\item « Le troupeau de Bernard » ;
%\item « L'ensemble des vaches de Bernard » ;
%\item « L'ensemble $\{$Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse$\}$ ».
%\end{itemize}
%\end{Exemple}
%
%
%\begin{attention}
%On notera qu'en français, il n'y a pas de différence
%de sens entre les phrases, entendues après un contrôle de mathématiques :
%\begin{itemize}
%\item « Tous les élèves ont la moyenne. »
%\item « Chaque élève a la moyenne. »
%\item « L'ensemble des élèves a la moyenne. »
%\end{itemize}
%En mathématiques, la dernière phrase n'a pas de sens. L'ensemble des élèves
%n'est pas un élève : c'est un groupe de personnes, un objet abstrait. Il n'a
%donc pas pu faire le contrôle !
%\end{attention}
%
%En mathématiques, certains ensembles de nombres
%portent un nom bien déterminé~: 
%\begin{itemize}
%\item $\Bbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels 
%($\N$ comme \emph{Naturel}) ; 
%\item $\Bbb{Z}$ est l'ensemble des entiers relatifs
%(de l'allemand \emph{Zahl}, le nombre) ; 
%\item $\Bbb{D}$ est l'ensemble des nombres décimaux ; 
%\item $\Bbb{Q}$ est l'ensemble des rationnels
%(initiale de \emph{quotient}) ; 
%\item $\Bbb{R}$ est l'ensemble des réels.
%\end{itemize}
%
%On peut ajouter un signe si on ne veut garder que 
%des éléments positifs ou négatifs. 
%
%Par exemple, $\Q_+$ est l'ensemble des rationnels 
%positifs, $\R_-$ celui des réels négatifs. 
%
%Une astérisque signifie qu'on enlève $0$ de l'ensemble~:
%$\N^*$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls
%(c'est-à-dire, différents de $0$) ; 
%$\R_-^*$ est l'ensemble des réels négatifs non nuls. 
%
%La notation $2\in \Z$ signifie que $2$ est élément de $\Z$, 
%$\sqrt{2}\notin \Q$ signifie que $\sqrt{2}$ n'est pas 
%rationnel. 
%
%On écrit $A\subset B$ pour dire que les éléments de $A$
%sont tous éléments de l'ensemble $B$.
%Par exemple, $\Bbb{D}\subset \Q$ ($\Bbb{D}$ est 
%\emph{inclus} dans $\Bbb{Q}$.  

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $-11\in\Z$ ; $2,4\in\D$ ; $\sqrt7\in\R$ ; $\sqrt{36}=6\in\N$ ; $-\dfrac{2}{3}\in\Q$ ; $\dfrac{21}{3}=7\in\N$.
\item $\sqrt{2}\in\R$ ; $\sqrt{64}\in\Z$ ; $\dfrac{3}{7}\notin \N$ ;
$\pi\notin\Q$.
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Calculer avec les entiers}

\begin{exointro}{\null}
\begin{questions}
\item Décomposer $60$ en produit de facteurs premiers. 
\item Un terrain rectangulaire de longueur $a$, 
de largeur $b$ (exprimées en mètres), 
a une aire de $60$ m\fup{2}. 
Sachant que $a$ et $b$ sont des entiers naturels et
que l'écart $a-b$ est le plus petit possible, 
déterminer $a$ et $b$. 
\end{questions}
\end{exointro}



\subsection{Savoir utiliser les multiples et les diviseurs}

\begin{defin}
Soient $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs. 
S'il existe un entier $q$ tel que $a=bq$,
alors on dit que : 
\begin{itemize}
\item $a$ est un multiple de $b$
\item $b$ est un diviseur de $a$ (ou \og $b$ divise $a$ \fg).
\end{itemize}
\end{defin}

Par exemple, $21$ est un multiple de $7$ (car $21=7\times 3$), 
$5$ est un diviseur de $15$ (car $15=5\times 3$). 

Tous les entiers sont multiples de $1$ (et de $-1$). $0$
est le seul multiple de $0$. Tout entier est multiple
de lui-même (car $n=n\times 1$). 

Inversement, $1$ n'est 
multiple que de $1$ (et $-1$), et $0$ est multiple
de tous les entiers (car $0=n\times 0$). 

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item L'opposé d'un multiple de $b$ est multiple de $b$.
\item La somme (ou la différence) 
de deux multiples de $b$ est un multiple de $b$.
\end{itemize}
\end{prop}

En effet, cette somme s'écrit~: $bq + br=b(q+r)$, 
avec $q$ et $r$ (et donc $q+r$) entiers.

\begin{Exemple}
si $7$ divise $n+21$, alors divise $n$. 
En effet, $n=(n+21)+(-21)$ et $21$ est multiple de $7$.
\end{Exemple}


La fonction suivante \texttt{diviseur(k,n)} 
vérifie si l'entier $k$ est diviseur de l'entier naturel $n$.
Le principe de l'algorithme est de faire défiler
les multiples de $k$~: $0$, $k$, $2k$, $3k$, etc.,
tant que ces multiples sont inférieurs strictement à $n$. 
Lorsque la boucle s'arrête, le multiple de $k$ qu'on a 
atteint vérifie~: soit $m=n$, donc $n$ est multiple de $k$, 
soit $m>n$, donc $n$ est compris au sens strict entre
deux multiples consécutifs, donc $n$ n'est pas multiple
de $k$. 

\begin{listing}{}{02-01.py}\end{listing}


\newpage

À noter : \texttt{m==n} vaut déjà \texttt{True}
ou \texttt{False}. Il est donc inutile d'écrire
une instruction conditionnelle du type : 

\begin{listing}{}{02-02.py}\end{listing}

\Par

Rappelons quelques propriétés permettant de
vérifier la divisibilité dans quelques cas particuliers.
L'entier $n$ est divisible~:
\begin{itemize}
\item par $2$ si son écriture se termine par $0$, 
$2$, $4$, $6$, ou $8$ (chiffre des unités) ; 
\item par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par 
$3$ ;
\item par $5$ si son écriture se termine par $0$ ou $5$ ; 
\item par $6$ si $n$ est divisible par $2$ et par $3$ ;
\item par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par 
$9$ ;
\item par $10^k$ si son écriture se termine par $k$ zéros ; 
\item par $11$ si la somme des chiffres de rang pair
est égale à la somme des chiffres de rang impair
(par exemple $49137$ est divisible par $11$ car
$4+1+7=9+3$). Ce dernier critère est moins connu mais 
les précédents sont très fréquemment utilisés.
\end{itemize}

\begin{defin}
Soient $a\in\Z$, $b\in\N^*$. 
La fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si $a$ 
et $b$ n'ont pas de diviseur commun (autre que $1$ ou $-1$). 
\end{defin}

Par exemple, $\dfrac{15}{8}$ est irréductible, mais
$\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$. 

En général, il est bon de présenter les fractions sous
forme irréductible, mais il ne faut pas le faire trop
tôt dans les additions : pour calculer $\dfrac{3}{12}
+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}$, il serait malvenu 
de \og simplifier \fg~: $\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}
=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dots?$. 

\subsection{Pairs et impairs}


\begin{defin}
Les multiples de $2$ sont les entiers \emph{pairs}. Les
autres entiers sont \emph{impairs}. 
\end{defin}

Par définition, les
entiers pairs sont donc de la forme $2n$, avec $n\in\Z$. 

Les entiers impairs sont de la forme $2n+1$. 


\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Le carré d'un entier pair est pair.
\item Le carré d'un entier impair est impair
\end{itemize}
\end{prop}

En effet, si $x=2n$, alors $x^2=4n^2=2\times (2n^2)$, donc
$x^2$ est pair. 

Si $x=2n+1$, alors $x^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$, donc 
$x^2$ est impair.

On a ici une disjonction de cas~: un entier $x$ 
est, soit pair, soit impair. On peut donc énoncer
la réciproque du résultat précédent~: 

\begin{prop}
Soit $x$ un entier. 
\begin{itemize}
\item Si $x^2$ est pair, alors $x$ est pair.
\item Si $x^2$ est impair, alors $x$ est impair.
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Nombres premiers}
\begin{defin}
Un entier naturel est \emph{premier}
s'il admet exactement \emph{deux} diviseurs positifs~:\linebreak $1$
et lui-même. 
\end{defin}

L'entier $1$ n'est donc pas premier, car il n'a qu'un 
seul diviseur dans $\N$~: lui-même. 

$2$ est le plus petit nombre premier~: ses diviseurs 
positifs sont $1$ et $2$. C'est le \emph{seul nombre premier
pair}, car les autres nombres pairs $n$ sont multiples 
de $n$, de $1$ et... de $2$.

Les 10 plus petits nombres premiers sont~: 
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.  


\'Ecrivons un programme simple permettant de
vérifier si un entier naturel est premier. 
On teste successivement tous les diviseurs possibles
entre $2$ et $n-1$. Notons que \texttt{return}
interrompt l'évaluation de la fonction. Ainsi, si notre
fonction \texttt{premier} détecte un diviseur, elle
renvoie \texttt{False} et s'arrête.
Si on atteint la ligne avec le second \texttt{return}, 
c'est qu'on n'a pas trouvé de diviseur entre $2$
et $n-1$, donc $n$ est premier. 

\begin{listing}{}{02-03.py}\end{listing}

\Par

Un ordinateur est rapide, mais pour
vérifier \og à la main \fg si un entier $n$ est premier, 
ou si cet entier est grand, il faut améliorer
l'algorithme. 
Remarquons qu'il est inutile de tester tous
les nombres compris entre $2$ et $n-1$. 

\newpage

Par exemple, si on sait que 
$n$ n'est multiple ni de $2$, ni de $3$, 
il est inutile de vérifier s'il est multiple de $4$ ou 
de $6$. Il suffit donc de tester si $n$
admet un diviseur \emph{premier} entre $2$ et $n-1$. 



\begin{Exemple}
vérifions que $97$ est premier.




En appliquant les critères classiques, on voit que 
$97$ n'est multiple ni de $2$, ni de $3$, ni de $5$. 

Pour $7$, c'est un peu plus difficile, mais on peut
voir, par exemple, que $77$ est multiple de $7$
et que l'écart $97-77=20$ n'est pas divisible par $7$. 

Enfin, $97$ n'est pas divisible par $11$ car trop 
proche de $99=9\times 11$. 

On pourrait continuer à tester~: $13$, $17$, etc.,
mais c'est inutile. En effet, nous venons de 
vérifier que les diviseurs supérieurs à $1$ de $97$
sont nécessairement plus grands que $11$. 

Mais si $97=pq$ avec $p>11$ et $q>11$, alors
$97>121$, ce qui est absurde. On peut donc conclure
que $97$ n'a pas de diviseur entre $2$ et $96$. 
\end{Exemple}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On essaye les nombres premiers à partir du
plus petit~: $60=2\times 30$, puis $30=2\times 15$.
Ensuite, $15=3\times 5$. 
Finalement, $60=2\times 2\times 3 \times 5$. 

\item Pour décomposer $60$ en produit de deux facteurs,
à part $60=1\times 60$, on peut considérer que le premier
facteur est premier et le second produit de trois 
diviseurs premiers, ou que les deux facteurs sont 
produits de deux diviseurs premiers.

On obtient ainsi 
$60=1\times 60=2\times 30=3\times 20=5\times 12=4\times 15
=6\times 10$. 
On a trouvé toutes les décompositions 
possibles de $60$ sous la forme $ab$. On 
veut $a-b\geq 0$ et $a-b$ le plus petit possible, 
on a donc $a=10$ et $b=6$. 
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Savoir factoriser et développer}

\begin{exointro}{Lycée Alain Fournier, Bourges}
Factoriser $A=18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2$.
\end{exointro}

\subsection{Développement}

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).


Dans les énoncés ci-dessous, le membre de gauche
contient une expression factorisée, et le 
membre de droite l'expression équivalente développée.

\begin{prop}[distributivité]

Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, on a : 
\begin{itemize}
\item $a(b+c)=ab + ac$
\item $(a+b)(c+d) =ac + ad + bc + bd$. 
\end{itemize}
\end{prop}


\begin{prop}[identités remarquables]
Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : 
\[
\begin{array}{r@{~=~}l}
(a+b)^2 & a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2 & a^2 - 2ab + b^2\\
(a+b)(a-b) & a^2 - b^2
\end{array}
\]
\end{prop}



Par exemple si on veut développer l'expression :
\[B=(x-2)^2-(x-3)(2x+5),\]
on écrira :
\begin{align*}
B & =x^2-4x+4-(2x^2+5x-6x-15)\\
& =x^2-4x+4-2x^2-5x+6x+15.
\end{align*}

Réduire, c'est, après avoir développé, effectuer toutes les additions possibles :
\[B=-x^2-3x+19.\]
En général, les énoncés portent la mention « développer et réduire », il est conseillé dans tous les cas de réduire. On peut effectuer des réductions partielles au cours du calcul, {\em dans la mesure où on respecte les règles de priorité}. 

Par exemple, on pourra écrire :
\begin{align*}
B&= x^2-4x+4-(2x^2+5x-6x-15)\\
&= x^2-4x+4-(2x^2-x-15)\\
&= x^2-4x+4-2x^2+x+15\\
&= -x^2-3x+19.
\end{align*}

\subsection{Factorisation}

Factoriser, c'est effectuer le procédé inverse de développer : on transforme une somme en un produit.
%
%C'est un peu plus difficile que de développer car \emph{a priori}, on ne sait pas quelle propriété précédente utiliser.

Dans un premier temps, on essaye de repérer un facteur 
commun.
Par exemple, dans l'expression :
\[
(x+2)(x-5)-4(x+2),
\]
$(x+2)$ est un facteur commun à $(x-5)$ et à $(-4)$.

On choisit : $k=(x+2)$, $a=(x-5)$ et $b=-4$ pour appliquer la propriété : $ka+kb=k(a+b)$.

Cela donne :
\[
(x+2)(x-5)-4(x+2)= (x+2)[(x-5)-4].
\]
L'expression du membre de droite est factorisée.

En général, même quand ce n'est pas demandé, on préfère développer et réduire le second facteur.

On obtient :
\[
(x+2)(x-5)-4(x+2)=(x+2)(x-9).
\]
Il arrive parfois qu'un facteur commun soit « caché » parce qu'il est multiplié par une constante.

Par exemple, dans l'expression : 
\[
(x+2)(x-5)-4x-8,
\]
on a le facteur commun $(x+2)$ qui n'est pas apparent.

En effet : 
\[
-4x-8 = -4(x+2).
\]
Et on retrouve l'expression précédente.

Enfin, si aucun facteur commun n'est visible, on peut essayer d'utiliser une identité remarquable.

\begin{itemize}
\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
\item $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
\end{itemize}

Remarquez que dans ces égalités, le membre de gauche est une somme, et le membre
de droite un produit (ne perdez pas de vue qu'un carré est un produit). 
Ce sont donc, écrites sous cette forme, des
factorisations. Essayons de factoriser, par exemple :
\[B=x^2-16+(x-3)(x-4).\]
Il n'y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l'expression fait intervenir l'identité remarquable
\[x^2-16=(x+4)(x-4).\]
On peut donc terminer la factorisation :
\begin{align*}
B&=(x+4)(x-4)+(x-3)(x-4)=(x-4)[(x+4)+(x-3)]\\
&=(x-4)(x+4+x-3)=(x-4)(2x+1).
\end{align*}

Si aucune des méthodes précédentes n'aboutit, 
on peut éventuellement 
{\it développer} l'expression, dans l'espoir de faire apparaître
quelque chose d'intéressant. 
Cette méthode (développer pour espérer factoriser)
ne s'applique qu'à des cas {\it très} rares, dont voici un exemple :
\[C=2x^2-6x+29+2(x+2)(x-5)\]
Il n'y a pas de facteur commun évident,
et \mbox{$2x^2-6x+29$} n'est pas le développement d'un produit remarquable. On développe :
\begin{align*}
C&=2x^2-6x+29+2(x^2-5x+2x-10)\\
&=2x^2-6x+29+2x^2-10x+4x-20\\
&=4x^2-12x+9.
\end{align*}
Ouf ! $4x^2-12x+9$ ne pose (presque) pas de problème, puisqu'il s'agit
du développement (remarquable) de $(2x-3)^2$.

\enlargethispage*{2em}

\begin{solintro}
Aucun facteur commun ne saute aux yeux. La première partie de l'expression fait penser à la deuxième identité remarquable, mais $18x^2$ et $8$ 
ne sont pas des carrés parfaits. 
Faut-il se résoudre à tout développer, en attendant un miracle ?
Si nos avertissements du paragraphe précédent ne vous ont pas convaincu(e),
sachez que le développement de $A$ donne : $12x^2-29x+14$, ce qui n'est
pas facilement factorisable.

 Une fois pour toutes, rappelez-vous que,
lorsqu'il faut factoriser, commencer par développer est une solution
extrême, à utiliser avec circonspection.

Il vaut mieux examiner de plus près chacun des éléments de $A$. Souvent,
ces éléments ne sont pas disposés au hasard, et l'ordre dans lequel
ils sont écrits peut vous aider.
 Pourquoi a-t-on écrit séparément
$18x^2-24x+8$ et $-3x+2$, et non pas directement $18x^2-27x+10$ ?
Tout simplement, pour vous faire voir plus facilement le facteur $2$
qui se cache dans $18x^2-24x+8$ ! 
Regardez bien : $18x^2-24x+8=2(9x^2-12x+4)$. 

Ceci est déjà plus sympathique, puisque $(9x^2-12x+4)$ est le développement
du produit remarquable $(3x-2)^2$.

Or, $(3x-2)$ apparaît plusieurs fois dans $A$, puisque $6x-4=2(3x-2)$ et
 $-3x+2=-(3x-2)$. Nous tenons notre facteur commun !
Toutes ces réflexions, vous devez les mener sur votre brouillon.
 Cependant,
une fois
que vous avez trouvé un facteur commun, \textit{ne rédigez pas la solution au brouillon},
vous perdriez votre temps ! Écrivez directement :
\begin{align*}
A &= 18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 \\
  &= 2(9x^2-12x+4)-2(x+1)(3x-2)-(3x-2)\\
  &= 2(3x-2)^2-2(x+1)(3x-2)-(3x-2)\\
  &= (3x-2)[2(3x-2)-2(x+1)-1]\\
  &= (3x-2)(6x-4-2x-2-1)\\
  &= (3x-2)(4x-7).
\end{align*}
\vspace*{-2.5em}
\end{solintro}

\newpage

\section{Savoir manier les fractions et les radicaux}
\begin{exointro}{Lycée Ampère, Lyon}
Calculer et écrire sans radicaux au dénominateur :
\[A=\dfrac{7}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\]
\end{exointro}

\subsection{Règles de calculs avec les fractions}
On rappelle ici les différentes techniques vues au collège :
\begin{itemize}
\item \textit{Somme et différence}.

On réduit au même dénominateur. Dans le pire des cas, 
le produit des dénominateurs peut servir : 
\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.\]
Si les dénominateurs ont un diviseur commun intéressant, 
on peut trouver un dénominateur commun plus petit que le produit :
\[\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}.\]

\item \textit{Produit}.

Le numérateur du produit est le produit des numérateurs, le dénominateur du produit
est le produit des dénominateurs :
\[\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.\]
Notez qu'il peut être judicieux de décomposer les différents facteurs et simplifier
\emph{avant} de multiplier :
\[\frac{32}{35}\times \frac{25}{8}=\frac{4\times 8}{5\times 7}\times \frac{5\times 5}{8}
=\frac{4\times 8\times 5\times 5}{5\times 7\times 8}=\frac{4\times 5}{7}=\frac{20}{7}\]
est préférable (si on calcule à la main) à :
\[\frac{32}{35}\times \frac{25}{8}=\frac{800}{280}=\ldots=\frac{20}{7}.\]
Bien sûr, si vous faites le même calcul à la machine, vous pouvez préférer la deuxième méthode,
moins économique mais plus directe. 

\item \textit{Quotient}.

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Par exemple :
\[\frac{\dfrac{3}{16}}{\dfrac{5}{4}}=\frac{3}{16}\times\frac{4}{5}
=\frac{3\times 4}{4\times 4\times 5}=\frac{3}{20}.\]
\end{itemize}

\begin{Remarque}
le mot \emph{fraction} désigne seulement une \emph{écriture} du type : $\dfrac{a}{b}$. 
Le nombre ainsi représenté
n'est pas nécessairement rationnel. Ainsi, 
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ est un nombre irrationnel, écrit sous la forme d'une fraction.\\
Rassurez-vous : les règles de calculs que nous venons d'énoncer s'appliquent à toutes les fractions,
qu'elles représentent ou non un nombre rationnel.
\end{Remarque}


\subsection{Règles de calcul avec les radicaux}

Si $a$ et $b$ sont deux
réels positifs :
\begin{questions}
	\item $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.
	\item si $a>0$ et $b>0$, alors
	$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$
	(car en élevant au carré~: $a+b+2\sqrt{ab}>a+b$).
	\item $({\sqrt{a}})^2=a$. 
	\item $\sqrt{a^2}=|a|$. (Par exemple, si $x=-2$, 
	$\sqrt{x^2}=+2$ ! 
\end{questions}
Le mot {\em radical} désigne une façon d'écrire
certains nombres. 2 est une {\em racine carrée}, (celle de 4), mais
ce n'est un radical que si on l'écrit : $\sqrt{4}$. 

Dans l'écriture des fractions, on évite de laisser des radicaux au
dénominateur.

\begin{itemize}
	\item \textit{Cas n\degres\ 1} : le dénominateur {\em est} un radical. On simplifie en
	le multipliant par lui-même. Par exemple :
	\[\dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1\times \sqrt{2}}{3({\sqrt{2}})^2}
	=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.\]
	
	\item \textit{Cas n\degres\ 2} : le dénominateur est une somme contenant des radicaux.
	On utilise alors la quantité conjuguée. La quantité conjuguée
	de $a+b$ est l'expression $a-b$. On fait apparaître un produit
	remarquable, qui permet de se débarrasser des radicaux.
	Par exemple :
	\begin{align*}
	\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}%
	{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\\
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}\\
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}\\
	&=\sqrt{5}+\sqrt{3}.
	\end{align*}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Règles de calcul avec les puissances}
On considère des réels $a$, $b$ et des 
entiers relatifs $p$, $q$, $n$. (Si un exposant
strictement négatif intervient, il doit s'appliquer à un réel
différent de zéro.)
\begin{itemize}
\item $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ ;
\item $a^p \times a^q = a^{p+q}$ ;
\item $a^n \times b^n = (ab)^n$ (avec le même exposant $n$).
\item $a^0=1$ et $a^1=a$. 
\end{itemize}


Attention, il n'y a pas de formule simple pour ajouter
des puissances.


\begin{solintro}
\begin{align*}
A&=\dfrac{7}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\\
&=\dfrac{7\times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}%
+\dfrac{2\sqrt{3}\times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\
&=\dfrac{7\times (\sqrt{2}-1)}{2-1}+\dfrac{2\sqrt{3}\times (\sqrt{3}+1)}{3-1}\\
&=7\sqrt{2}-7+\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2}\\
&=7\sqrt{2}-7+3+\sqrt{3}\\
&=7\sqrt{2}-4+\sqrt{3}
\end{align*}
\end{solintro}
