\thumb

\begin{qcm}{Décimaux}{1}
Quels sont les décimaux ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1{,}27$ & \choix $-\dfrac{17}{3}$ & \choix $\sqrt{64}$ & \choix $\sqrt{8}-\sqrt{2}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
  \choix OUI : $1{,}27=\dfrac{127}{100}$ est décimal.\\[1mm]
  \choix NON : $3$ ne divise ni 10, ni 17, donc $-\dfrac{17}{3}$ est rationnel, mais il n'est pas décimal.\\[1mm]
  \choix OUI : $\sqrt{64}=8$ est entier, donc décimal.\\[1mm]
  \choix NON : $\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ n'est pas
  rationnel (donc pas décimal).
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{qcm}{Rationnels}{1}
Quels sont les rationnels ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $-15$ & \choix $\sqrt{5}$ & \choix $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ & \choix $2{,}34$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\choix $-15$ est entier, donc rationnel.
\choix $\sqrt{5}$ est irrationnel.\\[1mm]
\choix (Piège !) $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3$ est entier, donc rationnel ! \\[1mm]
\choix $2{,}34$ est décimal, donc rationnel.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Radicaux}{2}
 Vrai ou faux ?

\begin{tabular}{ll}
\choix  $\sqrt{2}-1$ est l'opposé de $\sqrt{2}+1$
&\choix $\sqrt{2}-1$ est l'inverse de $\sqrt{2}+1$\\[3mm]
\choix $\sqrt{8}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ 
&\choix $\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{10}$ \\[3mm]
\choix $\sqrt{-4}=-2$ & 
\end{tabular}
\end{vf}




\begin{corrige}
\choix  \textit{Faux}. C'est $-\sqrt{2}-1$ est l'opposé de $\sqrt{2}+1$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} car $(\sqrt{2}-1)\times (\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}^2-1^2=2-1=1$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} car $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. \\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $\sqrt{8}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, donc $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2=9\times 2=18$, et non $10$. \\[1mm]
\choix \textit{Faux} car la racine carrée de $-4$ n'est pas définie (ne pas confondre avec $-\sqrt{4}=-2$).  
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Fractions}{3}
Vrai ou faux ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix $\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$ & \choix $\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$\\[3mm]
  \choix $\dfrac{3}{5}\times \dfrac{20}{9}=\dfrac{4}{3}$ & \choix $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\choix \textit{Faux} mais $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} : $\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai}: $\dfrac{3}{5}\times \dfrac{20}{9}=\dfrac{3\times 4\times 5}{5\times 3\times 3}=\dfrac{4}{3}$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $12\times(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6})=3+2=5$, alors que $12\times \dfrac{2}{3}=8$\ldots{}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Factorisation}{5}
Vrai ou faux ?

\begin{tabular}{@{}l@{}}
\choix $x$ peut être mis en facteur dans $3x^2+2x+5$.\\
\choix Pour tout réel $x$, $(x+2)^2=x^2+2x+4$\\
\choix Pour tout réel $x$, $(x-2)^2=x^2-4x+4$\\
\choix Pour tout réel $x$, $(2x-3)(2x+3)=2x^2-9$
\end{tabular}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}, à cause du $5$.\\[2mm]
\choix & \textit{Faux} attention au double produit : $(x+2)^2=x^2+4x+4$.\\[2mm]
\choix & \textit{Vrai} : $(x-2)^2=x^2-2\times x\times2 + 2^2=x^2-4x+4$.\\[2mm]
\choix & \textit{Faux}. On a $(2x)^2=4x^2$, donc $(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\enlargethispage*{3em}

\begin{vf}{Sens des inégalités}{5}
Vrai ou faux ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\dfrac{3}{5}>\dfrac{4}{7}$
& \choix $\sqrt{8}+\sqrt{2}<\sqrt{10}$\\[3mm]
\choix $\sqrt{0{,}5}>0{,}5$
& \choix$(3{,}1)^3<27$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\choix \textit{Vrai} car $3\times 7>5\times 4$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2=8+2+2\times \sqrt{8}\times \sqrt{2}>10$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} : en comparant les carrés : $0{,}5>0{,}25$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $3<3{,}1$ donc en élevant au cube : $27<(3{,}1)^3$.
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\begin{vf}{Transformer des inégalités}{3}
Vrai ou faux ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Si $x<0$ et $x \neq 0$, alors $\dfrac{1}{x}>1$
& \choix Si $x\geq 2$, alors $\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{2}$\\[3mm]
\choix Si $x<-2$, alors $\dfrac{1}{x}<-\dfrac{1}{2}$
& \choix Si $x\geq 3$, alors $-2x\leq -6$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\choix \textit{Faux}. Si $x<0$, alors $\dfrac{1}{x}<0$. Ce n'est vrai que 
si $x \in\ ]0;1[$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai}.\\[1mm]
\choix \textit{Faux}. Si $x=-10$, alors $\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{10}>-\dfrac{1}{2}$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} : la multiplication par un nombre négatif change le sens
de\linebreak l'inégalité.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{qcm}{Nombres premiers}{1}
On considère deux entiers premiers $p$ et $q$, 
strictement supérieurs à $2$. Parmi 
les entiers suivants, quels sont ceux qui 
pourraient être premiers~? 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $p+q$
& \choix $p+q+1$ \\[3mm]
\choix $p+q+2$
& \choix $pq$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
Il faut observer que comme $p$ et $q$ sont des entiers premiers, 
différents de $2$, ils sont nécessairement impairs. 

\choix \textit{Non} car $p+q$ est pair et $p+q\neq 2$. \\[1mm]
\choix \textit{Oui}. $p+q+1$ n'est pas toujours premier, mais peut 
l'être. Par exemple $3+7+1=11$ est premier (mais $3+11+1=15$ ne
l'est pas).\\[1mm]
\choix \textit{Non}, pour la même raison qu'à la réponse 1. \\[1mm]
\choix \textit{Non} car $pq$ admet quatre diviseurs distincts~: 
$pq$, $p$, $q$ et $1$. 
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Ensembles}{Lycée Jacques Prévert, Taverny}{1}{10}
Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble, parmi $\N$, $\Bbb{D}$,
$\Q$, $\R$ auxquels ils appartiennent :
\[
5\times 10^{-4}
\quad,\quad
\frac{3{,}6\times\sqrt{4}}{3}
\quad,\quad
\frac{64}{3}
\quad,\quad
\sqrt{\frac{25}{16}} 
\quad,\quad
\sqrt{\frac{49}{9}}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $5\times 10^{-4}=\text{\numprint{0{,}0005}}$ est un nombre décimal ;
\item $\dfrac{3{,}6\times\sqrt{4}}{3}=1{,}2\times2=2{,}4$ est un nombre décimal ;
\item $\dfrac{64}{3}$ est rationnel (mais non décimal) ;
\item $\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}=1{,}25$ est décimal ;
\item $\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}$ est rationnel, non décimal.
\end{questions}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{exo}{Ensembles}{Lycée Montchapet, Dijon}{1}{10}
Parmi les nombres suivants :\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
$4{,}567$ 
\quad,\quad 
$10^{-3}$ 
\quad,\quad
$-10^3$
\quad,\quad
$\text{\numprint{6545}}$
\quad,\quad
$4\times10^{-3}$
\quad,\quad\\
$\sqrt{\pi}$
\quad,\quad
$-\dfrac{3}{100}$
\quad,\quad
$\dfrac{1}{3}$
\quad,\quad
$-\dfrac{22}{9}$
\quad,\quad
$\sqrt{3}$
\quad,\quad\\
$\sqrt{144}$
\quad,\quad
$0$
\quad,\quad
$\dfrac{2}{\pi}$
\quad,\quad
$-\dfrac{23}{6}$
\quad,\quad
$\sqrt{\sqrt{81}}.$
\end{center}
\begin{questions}
\item Quels sont ceux qui sont décimaux ?
\item Quels sont ceux qui sont rationnels mais non décimaux ?
\item Quels sont ceux qui ne sont pas rationnels ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Rappel : un nombre est \emph{décimal} s'il s'écrit sous la forme :
\[\frac{n}{10^k}\]
où $n$ et $k$ sont des entiers. En particulier, les nombres entiers
sont des décimaux, puisqu'ils s'écrivent :
\[n=\frac{n}{10^0}.\]

Parmi ceux proposés, sont décimaux :
$4{,}567$ car $4{,}567=\dfrac{\text{\numprint{4567}}}{\text{\numprint{1000}}}$ ;
$10^{-3}$ car $10^{-3}=\dfrac{1}{\text{\numprint{1000}}}$ ; 
$-10^3=-\text{\numprint{1000}}$ est entier ; 
$\text{\numprint{6545}}$ est entier ; 
$4\times 10^{-3}$ car $4\times 10^{-3}=\dfrac{4}{\text{\numprint{1000}}}$ ;
$-\dfrac{3}{100}$ ;
$\sqrt{144}=12$ est entier ; 
$0$ est entier ; 
$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{9}=3$ est entier.

\item Sont rationnels mais non décimaux :
$\dfrac{1}{3}$, $-\dfrac{22}{9}$, $-\dfrac{23}{6}$.

\item Sont irrationnels :
$\sqrt{\pi}$, $\sqrt{3}$, $\dfrac{2}{\pi}$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Ensembles}{Lycée Victor Louis, Talence}{1}{15}
Pour chacun des nombres page suivante,
\begin{questions}
\item
Quels sont les nombres décimaux ?
\item Quels sont les nombres rationnels non décimaux ?
\item Quels sont les nombres non rationnels ?
\end{questions}
\begin{align*}
a&=3{,}507 &
b&=\text{\numprint{5998}}\\
c&=\sqrt{121} &
d&=3{,}14\\
e&=\dfrac{21}{6} &
f&=\pi\\
g&=4\times10^{-3} &
h&=\frac{1}{3}\\
i&=5^{-2} &
j&=\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}\times\frac{17}{12}\\
k&=-\frac{22}{7} &
l&=\sqrt{2}\\
m&=(3^2)^3\times\frac{1}{9}\times 5^{-4} &
n&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{9-5\sqrt{3}}{10}
\end{align*}
\end{exo}

\begin{corrige}
$a$ est décimal ;\\[6pt]
$b$ est entier, donc décimal ;\\[6pt]
$c=\sqrt{121}=11$ est entier, donc décimal ;\\[6pt]
$d=3{,}14$  est décimal ;\\[6pt]
$e=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}=3{,}5$  est décimal ;\\[6pt]
$f=\pi$  est irrationnel ;\\[6pt]
$g=\dfrac{4}{\text{\numprint{1000}}}=0{,}004$ est décimal ;\\[6pt]
$h=\dfrac{1}{3}$  est rationnel mais non décimal ;\\[6pt]
$i=5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04$  est décimal ;\\[6pt]
$j=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5}\times \dfrac{17}{12}$\\[6pt]
$\phantom{j}=\dfrac{5}{15}-\dfrac{9}{15}+\dfrac{34}{15}=\dfrac{30}{15}=2$
 est entier ;\\[6pt]
$k=\dfrac{-22}{7}$  est rationnel, non décimal ;\\[6pt]
$l=\sqrt{2}$  est irrationnel ;\\[6pt]
$m=(3^2)^3\times\dfrac{1}{9}\times 5^{-4}=\dfrac{9^2}{5^4}=0{,}1296$
 est décimal ;\\[6pt]
$n=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{9-5\sqrt{3}}{10}$\\[6pt]
$\phantom{n}=\dfrac{10+(9-5\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{10(\sqrt{3}+1)}$ (en réduisant au même dénominateur)\\[6pt]
$\phantom{n}=\dfrac{10+9\sqrt{3}+9-15-5\sqrt{3}}{10(\sqrt{3}+1)}$\\[6pt]
$\phantom{n}=\dfrac{4+4\sqrt{3}}{10(\sqrt{3}+1)}$\\[6pt]
$\phantom{n}=\dfrac{4(1+\sqrt{3})}{10(\sqrt{3}+1)}$\\[6pt]
$\phantom{n}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ donc $n$ est décimal.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Appartenance, inclusion}{Lycée Gérard de Nerval, Soissons}{1}{15}
Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$.
\begin{questions}
\item $\dfrac{-15}{3}\ \ldots \ \Z$
\item $\sqrt{9}\ \ldots \ \N$
\item $\Z\ \ldots \ \Q$
\item $\pi\ \ldots \ \Q$
\item $\N\ \ldots \ \Q^*$
\item $10^{-3}\ \ldots \ \R_+$
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\dfrac{-15}{3}\in\Z$ ($\dfrac{-15}{3}=-5$).
\item $\sqrt{9}\in\N$ (car $\sqrt{9}=3$).
\item $\Z\subset\Q$. En effet, tous les entiers sont en particulier rationnels, 
car
ils peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers ;
par exemple, $5=\dfrac{5}{1}$.
\newpage
\item $\pi\not\in\Q$, car $\pi$ n'est pas rationnel. C'est pour cela que le
développement décimal de $\pi$, non seulement est infini, mais
de plus ne se « répète » jamais.
« Pire », on ne peut même pas écrire $\pi$ comme la racine d'un
nombre rationnel (on dit que $\pi$ est « transcendant »).
\item $\N \not\subset \Q^*$ (car $0 \in \N$ mais $0 \notin \Q^*$).
\item $10^{-3} \in \R^{+}$, car $10^{-3}$ est positif.
\end{questions}      

\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances et fractions}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{5}

\'Ecrire sous la forme $2^n\times 3^p \times 5^q$ avec $n\in \Z$,
$p\in\Z$, $q\in\Z$ :
\begin{questions}
\item $A=\dfrac{5^3\times 8^3\times 9^2}{15^2\times 12^4}$
\item $B=\dfrac{12^3\times 15^{-3}}{5^{-2}\times 2^3}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
A&= \frac{5^3\times 8^3\times 9^2}{15^2\times 12^4}\\
&= \frac{5^3\times 2^9 \times 3^4}{3^2\times 5^2\times 3^4 \times 2^8}\\
&= \frac{5\times 2}{3^2}\\
&= 5\times 3^{-2}\times 2
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B&=\frac{12^3\times 15^{-3}}{5^{-2}\times 2^3}\\
& =\frac{12^3\times5^2}{15^3\times 2^3}\\                                                            &= \frac{2^6\times 3^3\times 5^2}{5^3\times 3^3\times 2^3}\\
&= \frac{2^3}{5} \\
&= 2^3\times 5^{-1}
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances et fractions}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{5}
Simplifier l'écriture de $A=\dfrac{(0,2)^3\times 10^4}{2^3\times 81} :
\dfrac{-8^3\times 15}{(-12)^5}$.
\end{exo}


\begin{corrige}
On applique les règles de calculs avec les fractions :
\begin{align*}
A&= \frac{(0,2)^3\times 10^4}{2^3\times 81}:
\frac{-8^3\times 15}{(-12)^5}\\
&= \left(\frac{2}{10}\right)^3\times \frac{5^4\times 2^4}{2^3\times 3^4}
\times\frac{-12^5}{-8^3\times 15}\\
&= \frac{2^3\times 5^4\times 2^4\times 3^5\times 2^{10}}%
{2^3\times 5^3\times 2^3\times 3^4\times 2^9\times 3\times 5}\\
&= 2^2\text{ (après simplifications)}\\
&= 4
\end{align*}   
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Développements}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10}
Développer les expressions suivantes :
\begin{questions}
\item $A(x)=2x(x-2)(x+2)$
\item $B(x)=(1+3x)^2-2(x+1)(x-5)$
\item $C(x)=\left(3x-\sqrt{3}\right)^2$
\item $D(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\quad$ 
($x\neq 0$)
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $2x(x-2)(x+2)= 2x(x^2-4)=2x^3-8x$.
\item $\begin{aligned}[t]
(1+3x)^2-2(x+1)(x-5) & =1+6x+9x^2-2(x^2-5x+x-5)\\
& =1+6x+9x^2-2x^2+8x+10\\
&=7x^2+14x+11.\end{aligned}$
\item $\left(3x-\sqrt{3}\right)^2=9x^2-6x\sqrt{3}+3$.
\item $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\times x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Factorisations}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10}
Factoriser au maximum :
\begin{questions}
\item $A(x)=(2x-3)^2-(4x+1)(2x-3)$
\item $B(x)=(x+1)^2-(2x+3)^2$
\item $C(x)=(x-1)(2+x)+(x+5)(1-x)$
\item $D(x)=x^3+x^2+x+1$
\item $E(x)=xy – x – y +1$
\item $F(x)=(5x+3)^2-11$
\item $G(x)=(x-1)^2-2(x^2-1)$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x)&=(2x-3)^2-(4x+1)(2x-3)\\
&=(2x-3)(2x-3-(4x+1))\\
&=(2x-3)(-2x-4)\\
&=-2(2x-3)(x+2).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B(x)&=(x+1)^2-(2x+3)^2\\
&=((x+1)-(2x+3))((x+1)+(2x+3))\\
&=(-x-2)(3x+4).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C(x)&=(x-1)(2+x)+(x+5)(1-x)\\
&=(x-1)(2+x)-(x+5)(x-1)\\
&=(x-1)(2+x-x-5)\\
&=-3(x-1).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D(x)&=x^3+x^2+x+1\\
&=x^2(x+1)+x+1\\
&=(x+1)(x^2+1).
\end{aligned}$

\item $E(x)=xy – x – y +1=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)$.

\item $\begin{aligned}[t]
F(x)&=(5x+3)^2-11\\
&=(5x+3)^2-\sqrt{11}^2\\
&=(5x+3-\sqrt{11})(5x+3+\sqrt{11}).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
G(x)&=(x-1)^2-2(x^2-1)\\
&=(x-1)^2-2(x-1)(x+1)\\
&=(x-1)(x-1-2(x+1))\\
&=(x-1)(-x-3).
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Calcul littéral}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10}
Montrer que la somme du produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ et de l'entier $n$ est le cube d'un entier.
\end{exo}

\begin{corrige}
Le produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ s'écrit : $(n-1)n(n+1)$.

La somme du produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ et de l'entier $n$ est donc:
\[
(n-1)n(n+1)+n=(n^2-n)(n+1)+n=n^3+n^2-n^2-n+n=n^3.
\]
Cette somme est donc bien le cube d'un entier.
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances et fractions}{Lycée Louis le Grand, Paris}{1}{10}
Calculer :
\begin{questions}
\item $A=\dfrac{-1^5(2^3)(-7)^4}{21^2(-6)^3}$
\item $B=\dfrac{3-\frac{1}{4}}{2+\frac{1}{4}}\times
\dfrac{\frac{4}{15}-\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}:\dfrac{1+\frac{2}{5}}{2-\frac{1}{5}}$
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient :
\begin{align*}
A&= \frac{2^3\times 7^4}{3^2\times 7^2\times 2^3\times 3^3}\\
&= \frac{7^2}{3^5}
\end{align*}
Il n'est normalement pas nécessaire d'aller plus loin.
(à tout hasard, $A=\dfrac{49}{243}$).
                      
\item Il faut réduire petit à petit au même dénominateur :
\begin{align*}
B&= \dfrac{3-\dfrac{1}{4}}{2+\dfrac{1}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}}:
\dfrac{1+\dfrac{2}{5}}{2-\dfrac{1}{5}}\\
&= \dfrac{\dfrac{12}{4}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{8}{30}-\dfrac{3}{30}}{\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}}:
\dfrac{\dfrac{5}{5}+\dfrac{2}{5}}{\dfrac{10}{5}-\dfrac{1}{5}}\\
&= \dfrac{\dfrac{11}{4}}{\dfrac{9}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{5}{30}}{\dfrac{3}{6}}:
\dfrac{\dfrac{7}{5}}{\dfrac{9}{5}}\\
&= \frac{11}{9}\times \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}}:\frac{7}{9}
= \frac{11}{9}\times \frac{1}{3} \times \frac{9}{7}\\
&= \frac{11\times 9}{9\times 3\times 7}
= \frac{11}{21}.
\end{align*}
\end{questions}
\newpage 
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Radicaux}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{5}
Simplifier afin que le résultat contienne au plus un radical $\sqrt{b}$, 
où $b\in \N$, et $b$ est le plus petit possible.
\begin{questions}
\item $C=\sqrt{27}-2\sqrt{75}+3\sqrt{12}$
\item $D=\sqrt{\dfrac{6,3}{2,8}}\times \sqrt{\dfrac{18}{0,72}}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
C&= \sqrt{27}-2\sqrt{75}+3\sqrt{12}\\
&= 3\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}+3\times2\sqrt{3}\\
&= (3-10+6)\sqrt{3}\\
&= -\sqrt{3}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D&= \sqrt{\frac{6,3}{2,8}}\times\sqrt{\frac{18}{0,72}}\\
&= \sqrt{\frac{63}{28}}\times\sqrt{\frac{18\times 100}{72}}\\
&=\sqrt{\frac{9}{4}}\times \sqrt{\frac{100}{4}}\\
&= \sqrt{\frac{9}{4}}\times \sqrt{25}\\
&= \frac{3}{2}\times 5\\
&= \frac{15}{2}
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}{Radicaux}{Lycée Charlemagne, Paris}{1}{10}
\'Ecrire $A$ et $B$ sous la forme $a+\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont
rationnels.
\begin{questions}
\item $A=\dfrac{3}{\sqrt{5}+2}$
\item $B=\dfrac{2\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}

 \begin{questions}
 \item On utilise la quantité conjuguée $\sqrt{5}-2$ pour simplifier le dénominateur : 
 \begin{align*}
 A&= \frac{3}{\sqrt{5}+2}\\
 &= \frac{3(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\\
 &= \frac{3(\sqrt{5}-2)}{5-4}
= 3\sqrt{5}-6
= \sqrt{45}-6
 \end{align*}
 \item De même que ci-dessus :
 \begin{align*}
 B&= \frac{2\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}\\
 &= \frac{(2\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\\
 &= \frac{10+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3}{5-1}\\
 &= \frac{13+5\sqrt{5}}{4}
= \frac{13}{4}+\sqrt{\frac{125}{16}}
 \end{align*}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Calculs algébriques}{Lycée Jean Zay, Orléans}{1}{5}
Calculer la valeur de l'expression $A$ pour $x=\dfrac{-1}{3}$ et
$y=\dfrac{5}{2}$ :
\[A=18x^3y-4xy^2-y^3\]

\end{exo}

\begin{corrige}

\begin{align*}
A&= 18\left(\frac{-1}{3}\right)^3\frac{5}{2}
-4\frac{-1}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^3\\
&= 18\times\frac{-1}{3^3} \times \frac{5}{2}
+4\times\frac{1}{3} \times \frac{5^2}{2^2}-\frac{5^3}{2^3}\\
&= \frac{-3^2\times 2\times 5}{3^3\times 2}+4\frac{5^2}{3\times 2^2}
-\frac{5^3}{2^3}\\
&= -\frac{5}{3}+\frac{25}{3}-\frac{125}{8}\\
&= \frac{20}{3}-\frac{125}{8}\\
&= \frac{20\times 8-125\times 3}{24}\\
&= \frac{160-375}{24}\\
&= -\frac{215}{24}
\end{align*}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Radicaux}{Lycée Louis le Grand, Paris}{1}{5}
Calculer
\[A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}+8\sqrt{2}\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Il faut commencer par se « débarrasser » du radical au
dénominateur.
\begin{align*}
A&= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}+8\sqrt{2}\\
&= \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+8\sqrt{2}\\
&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1}+8\sqrt{2}\\
&= 3-2\sqrt{2}+8\sqrt{2}\\
&= 3+6\sqrt{2}
\end{align*}
N'essayez pas d'aller plus loin, et {\em surtout} ne donnez pas
de résultat approximatif calculé à la machine !
\newpage
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%
%\begin{exo}{Logique}{Lycée Madame de Staël, Montluçon}{2}{10}
%Compléter le tableau suivant par VRAI ou FAUX. Justifier la réponse FAUX.
%
%\hspace*{-1.5\leftmargin}
%%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabular}{|S{p{2cm}}|S{p{2cm}}|c|c|c|}
%\hline
%$P$ & $Q$ & Si $P$ alors $Q$ & Si $Q$ alors $P$ & $P$ équivaut à $Q$ \\\hline
%$x$ est multiple de $5$ & le chiffre des unités de $x$ est 5 &  & &  \\\hline
%$x=2$ & $x^2=4$ &  & & \\\hline
%$\dfrac{1}{x}>0$ & $x>0$ & & & \\\hline
%\end{tabular}
%%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%
%
%\bigskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\hspace*{-1cm}
%\begin{tabular}{|S{m{2cm}}|S{m{2cm}}|S{m{2cm}}|S{m{2cm}}|S{m{2cm}}|}
%\hline
%$P$ & $Q$ & Si $P$ alors $Q$ & Si $Q$ alors $P$ & $P$ équivaut à $Q$ \\\hline
%$x$ est multiple de $5$ & le chiffre des unités de $x$ est 5 & FAUX (par ex : $x=10$)& VRAI & FAUX \\\hline
%$x=2$ & $x^2=4$ & VRAI  & FAUX (on peut avoir $x=-2$) & FAUX \\\hline
%$\dfrac{1}{x}>0$ & $x>0$ &VRAI & VRAI &VRAI \\\hline
%\end{tabular}
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%\begin{Remarque}
%Pour dire : \og P équivaut à Q \fg (en abrégé : $P\eq Q$), il faut pouvoir dire à la
%fois \og si P alors Q\fg et \og si Q alors P\fg.
%\end{Remarque}
%
%\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Calcul algébrique}{Lycée Romain Rolland, Ivry-sur-Seine}{2}{10}
Calculer et simplifier :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\ds\dfrac{\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{21}}{\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{3}}$
\item $\ds\frac{(2^{23})^{15}}{2^{1000}}$
\item $\ds\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5}+1-\frac{1}{2}\right)$
\item $\ds\frac{(0{,}06)^4\times(1,6)^{-3}}{30\times 
(\text{\numprint{0{,}0002}})^{-10}}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}



\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{align*}
\dfrac{\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{21}}{\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{3}}
&=\dfrac{\dfrac{6}{21}+\dfrac{5}{21}}{\dfrac{5}{9}-\dfrac{3}{9}}\\
&=\dfrac{\dfrac{11}{21}}{\dfrac{2}{9}}\\
&=\frac{9\times 11}{21\times 2}=\frac{3\times 3\times 11}{3\times 7\times 2}\\
&=\frac{33}{14}\end{align*}

\item \begin{align*}
\frac{(2^{23})^{15}}{2^{1000}}
&=2^{23\times15-1000}\\
&=2^{-655}\end{align*}

\item \begin{align*}
\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5}+1-\frac{1}{2}\right)
&=\frac{2}{3}\times\left(\frac{4}{10}+\frac{10}{10}-\frac{5}{10}\right)\\
&=\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}\\
&=\frac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 5}=\frac{3}{5}
\end{align*}

\item 
On peut commencer par écrire :
\[0{,}06=\frac{6}{100}=\frac{3}{50}=\frac{3}{2\times5^2}\]
d'où :
\[(0{,}06)^4=\frac{3^4}{2^4\times5^8}\]
De plus :
\[1{,}6=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}=\frac{2^3}{5}\]
d'où :
\[(1{,}6)^{-3}=\frac{2^{-9}}{5^{-3}}=\frac{5^3}{2^9}\]
De même :
\[\text{\numprint{0{,}0002}}=\frac{2}{\text{\numprint{10000}}}=\frac{2}{10^4}
=\frac { 2 } {
2^4\times5^4 }
=\frac{1}{2^3\times 5^4}\]
et donc :
\[(\text{\numprint{0{,}0002}})^{-10}=\left(\frac{1}{2^3\times 5^4}\right)^{-10}
=2^{30}\times 5^{40}\]

On peut donc calculer :
\begin{align*}
\frac{(0{,}06)^4\times(1,6)^{-3}}{30\times (\text{\numprint{0{,}0002}})^{-10}}
&=\frac{3^4}{2^4\times5^8}\times\frac{5^3}{2^9}\times\frac{1}{30}
\times \frac{1}{2^{30}\times 5^{40}}\\
&=\frac{3^4\times5^3}{2^4\times5^8\times2^9\times2\times 3\times 5
\times2^{30}\times 5^{40}}\\
&=\frac{3^3}{2^{44}\times 5^{46}}\text{ (en simplifiant)}\\
\end{align*}

On peut encore simplifier en remarquant :
\begin{align*}
\dfrac{3^3}{2^{44}\times 5^{46}}
&=\dfrac{2^2\times 3^3}{2^{46}\times 5^{46}}\\
&=\dfrac{4\times 27}{10^{46}}\\
&=108\times 10^{-46}=1{,}08\times 10^{-44}
\end{align*}


\end{questions}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Radicaux}{Lycée André Malraux, Biarritz}{2}{10}
\begin{questions}
\item \'Ecrire $(3-\sqrt{11})^2$ sous la forme $a+b\sqrt{11}$, où $a$ et $b$ sont des nombres
entiers relatifs.
\item Quel est le signe de $3-\sqrt{11}$ ?
\item En déduire une autre écriture de $\sqrt{20-6\sqrt{11}}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il s'agit d'un produit remarquable :

\[(3-\sqrt{11})^2=9-6\sqrt{11}+11=20-6\sqrt{11}\]

\item $3^2=9$ et $(\sqrt{11})^2=11$, donc :
\[
3<\sqrt{11}.
\]

On en déduit : 

\[3-\sqrt{11}<0.\]

\item Comme 
\[
(3-\sqrt{11})^2=20-6\sqrt{11},
\]
on sait que :
\[
\sqrt{20-6\sqrt{11}}=(3-\sqrt{11})
\]
ou 
\[
\sqrt{20-6\sqrt{11}}=-(3-\sqrt{11}).
\]

Comme $3-\sqrt{11}<0$, la racine carrée de $(20-6\sqrt{11})$ (qui doit être positive)
est donc : $-(3-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Calculs algébriques}{Lycée Blaise Pascal, Orsay}{2}{20}
\enlargethispage*{4em}
\begin{questions}
	\item Calculer $A=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+
\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{6}}$
	
	\item Simplifier $B=\dfrac{(5^2\times 10^{-5})^3}{(5\times 10^{-3})^5}\times
	\left(\dfrac{10^2}{5}\right)^2$
	
	\item \'Ecrire plus simplement :
	\begin{questions}\begin{multicols}{2}
		\item $C=2^{23}\times (0,5)^{24}$
		\item $D=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{108}\times
	(1,5)^{107}$	\end{multicols}
	\end{questions}
	
	\item \'Ecriture scientifique de :
	\begin{align*}
	a&=\text{\numprint{0,000073654}}\\
	b&=\text{\numprint{9325000}}\\
	c&=0,023\times 10^{-5}\\
	d&=19,402\times 10^2
	\end{align*}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\setlength{\columnseprule}{.5pt} 
\begin{multicols}{2}
\text{}

\vspace{-\baselineskip}
$\begin{aligned}
A&= \frac{ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{1}{6}}{
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{5}-\frac{5}{6}}  \\
&= \frac{\frac{15}{30}-\frac{10}{30}+\frac{12}{30}+\frac{5}{30}}{
\frac{15}{30}+\frac{10}{30}-\frac{12}{30}-\frac{25}{30}} \\
&= \dfrac{\frac{22}{30}}{\frac{-12}{30}} \\
&= -\frac{22}{12} \\
&= -\frac{11}{6}.
\end{aligned}$  
\columnbreak
\text{}

% \vspace*{-1mm}
\hspace{2mm} $\begin{aligned}
 B&= \frac{(5^2\times 10^{-5})^3}{(5\times
10^{-3})^5}\times\left(\frac{10^2}{5}\right)^2 \\
 &= \frac{5^6\times 10^{-15}}{5^5\times
10^{-15}}\times \frac{10^4}{5^2} \\
 &= 5\times \frac{(5\times 2)^4}{5^2} \\
  &= \frac{5\times 5^4 \times 2^4 }{5^2} \\
  &= 5^3.2^4.
\end{aligned}$
\vfill
\text{}
\end{multicols}

$\displaystyle C=2^{23}\times \left (\frac{1}{2}\right 
)^{24}=\frac{2^{23}}{2^{24}}=\frac{1}{2}.$

$\displaystyle D=\left (\frac{2}{3}\right )^{108}\times \left 
(\frac{3}{2}\right)^{107}
=\left (\frac{2}{3}\right )^{108}:\left (\frac{2}{3}\right )^{107}
=\frac{2}{3}.$

$\displaystyle a=0,000\,073\,654=7,365\,4.10^{-5}.$

$\displaystyle b=9\,325\,000=9,325.10^6.$

$\displaystyle c=0,023\times 10^{-5}=2,3.10^{-2}\times 10^{-5}=2,3.10^{-7}.$

$\displaystyle d=19,402\times 10^2=1,940\,2.10^3.$
                           
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{exo}{Moyennes}{Lycée Condorcet, Paris}{2}{25}
$a$ et $b$ étant deux réels strictement positifs, 
on définit $A$, $G$, $H$, par :
\[
A=\dfrac{\ds a+b}{\ds 2},\ G=\sqrt{ab},\ \dfrac{2}{H}=\dfrac{\ds 1}{\ds a}+\dfrac{\ds 1}{\ds b}.
\]
\begin{questions}
\item Calculer $A$, $G$, $H$, sachant que $a=\sqrt{7}$ et $b=4\sqrt{7}$. 
Comparer $A$, $G$, et $H$ (justifier).
\item Mêmes questions avec $a=2^4$ et $b=2^2\times 3^{-2}$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A&=\frac{\sqrt{7}+4\sqrt{7}}{2} = \frac{5\sqrt{7}}{2}.\\
G&=\sqrt{\sqrt{7}\times 4\sqrt{7}}=\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}.\\
\frac{2}{H}&=\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{4\sqrt{7}}=\frac{4}{4\sqrt{7}}
+\frac{1}{4\sqrt{7}}=\frac{5}{4\sqrt{7}}.
\end{aligned}$

donc $\dfrac{H}{2}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$ et $H=\dfrac{8\sqrt{7}}{5}$.

On peut comparer facilement en les mettant au même dénominateur :
$H=\dfrac{16\sqrt{7}}{10}$,
$A=\dfrac{25\sqrt{7}}{10}$ et $G=\dfrac{20\sqrt{7}}{10}$.

On obtient :
\[H<G<A.\]
\textit{Remarque} : en fait, comme nous allons encore le voir au b), cet ordre
ne dépend pas des réels $a$ et $b$ que l'on a choisis (démonstration
plutôt difficile). 
$A$ s'appelle la moyenne {\em arithmétique} de $a$ et $b$ ;
$G$ est la moyenne {\em géométrique} des deux nombres ;
$H$ est leur moyenne {\em harmonique}.

\item  \text{}

\vspace*{-2\baselineskip}
\setlength{\columnseprule}{.5pt} 
\begin{multicols}{3}
$\begin{aligned}
A&= \dfrac{2^4+2^2\times 3^{-2}}{2} \\
& = 2^3 + 2 \times 3^{-2} \\
& = 8 + \dfrac{2}{9} \\
& = \dfrac{74}{9}.
\end{aligned}$

\vfill
\text{}

\columnbreak
\text{}

\vspace*{-3mm}
\hspace{2mm} $\begin{aligned}
G & = \sqrt{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3^{-2}} \\
& = \sqrt{2^6 \cdot 3^{-2}} \\
& = 2^3 \cdot 3^{-1} \\
& = \dfrac{8}{3}.
\end{aligned}$
\vfill
\text{}

\columnbreak 

\vspace*{-5mm}
\hspace{2mm} $\begin{aligned}
\dfrac{2}{H} & = \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{3^2}{2^2} \\
& = \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{3^2\times 2^2}{2^4} \\
& = \dfrac{1+9\times 4}{2^4} \\
& = \dfrac{37}{16}.
\end{aligned}$


\end{multicols}

On obtient :
\[H=\frac{32}{37}.\]
On voit sans peine que $A$ est supérieur à $G=\dfrac{24}{9}$.

Réduisons $G$ et $H$ au même dénominateur : $G=\dfrac{296}{37\times 3}$
et\\ $H=\dfrac{96}{37\times 3}$, il vient $G>H$. De nouveau, 
\[A>G>H.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}{Radicaux}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{15}

\begin{questions}
	\item Simplifier :
          {\allowdisplaybreaks
	\begin{align*}
	I&=\sqrt{50}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{18}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
	J&=7\sqrt\frac{3}{7}\times\sqrt\frac{30}{49}\\
	K&=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\
	L&=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2
	\end{align*}
        }
	
	\item Calculer $(2-\sqrt{13})^2$ et en déduire une écriture plus simple de\\
	$Y=\sqrt{17-4\sqrt{13}}$
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item {\begin{flalign*}
I&=\sqrt{50}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{18}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&=\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{9\times 2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{ 
2}\\
&=(5-3+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\sqrt{2}\\
&=\frac{9}{4}\sqrt{2}.
\end{flalign*}
\begin{flalign*}
J&=7\sqrt\frac{3}{7}\times\sqrt\frac{30}{49}\\
&=7\sqrt\frac{3}{7}\times\frac{\sqrt{3\times 10}}{7}\\
&=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{10}}{\sqrt{7}}\\
&=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{70}}{7}.
\end{flalign*}
\begin{flalign*}
K&=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\
&=\frac{\sqrt{6}\times( \sqrt{3}+\sqrt{2})+3\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})
}{( \sqrt{3}+\sqrt{2})\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\
&=\frac{\sqrt{6\times 3}+\sqrt{6\times 2} +3\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{3-2}\\
&=\sqrt{2\times 3\times 3}+\sqrt{3\times 2\times 2}+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}\\
&=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}\\
&=5\sqrt{3}.\end{flalign*}
\begin{flalign*}
L&=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2\\
&=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^2+2\times \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)\times
\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)+\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2\\
&=3-2\sqrt{2}+2\times \sqrt{(3-2\sqrt{2}).(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}\\
&=3-2\sqrt{2}+2\times \sqrt{9-8}+3+2\sqrt{2}\\
&=3-2\sqrt{2}+2+3+2\sqrt{2}\\
&=8.
\end{flalign*}
}
\item On veut calculer $Y=\sqrt{17-4\sqrt{13}}$
\[(2-\sqrt{13})^2=4-4\sqrt{13}+13=17-4\sqrt{13}.\]

\begin{attention}
Il serait tentant de répondre que la racine de $17-4\sqrt{13}$ est
$2-\sqrt{13}$. Mais attention ! $13$ est supérieur à $4$, donc
$\sqrt{13}$ est supérieur à $2$. $2-\sqrt{13}$ est donc négatif !
\end{attention}

Il faut répondre : $Y=\sqrt{13}-2$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Puissances}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{5}
\'Ecrire sous la forme d'un produit de puissances de
$a$, $b$ et $c$ $(\not=0)$ :
\[B=\left(\frac{a^3}{c}\right)^2 :
\frac{[(a^7)^5b^{-2}(c^{-3})^{-2}]^{-1}}{[ab^2(c^{-2})^{-3}]^2}\]
\end{exo}

\begin{corrige}
On simplifie les puissances, puis les fractions :
\begin{align*}
B&= \left(\frac{a^3}{c}\right)^2:
\frac{[(a^7)^5b^{-2}(c^{-3})^{-2}]^{-1}}{[ab^2(c^{-2})^{-3}]^2}\\
&= \frac{a^6}{c^2}:\frac{(a^{35}b^{-2}c^6)^{-1}}{(ab^2c^6)^2}\\
&= \frac{a^6}{c^2}:\frac{a^{-35}b^2c^{-6}}{a^2b^4c^{12}}\\
&= \frac{a^6}{c^2}\times\frac{a^2b^4c^{12}}{a^{-35}b^2c^{-6}}\\
&= a^{43}b^2c^{16}.
\end{align*}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Fractions}{Lycée Louis le Grand, Paris}{2}{15}
\'Ecrire sous la forme d'une fraction :
\[A=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}.\]
En déduire :
\[B=\frac{1}{10\times 11\times 12\times 13}
+\frac{1}{11\times 12\times 13\times 14}
+ \cdots +\frac{1}{19\times 20\times 21\times 22}.\]

\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
A&= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3-n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
}

\item Du résultat précédent, il vient :
\[\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right).\]

Si on applique cette formule à $n=10$, on obtient :
\[\frac{1}{10\times 11\times 12\times 13}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{10\times 11\times 12}-\frac{1}{11\times 12\times 13}\right).\]

En l'appliquant à $n=11$ :
\[\frac{1}{11\times 12\times 13\times 14}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{11\times 12\times 13}-\frac{1}{12\times 13\times 14}\right).\]

Si on additionne ces deux formules membre à membre, on voit que
les termes \[\dfrac{1}{11\times 12\times 13}\] vont s'annuler.
Appliquons de nouveau la formule à $n=12$ :
\[\frac{1}{12\times 13\times 14\times 15}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{12\times 13\times 14}-\frac{1}{13\times 14\times 15}\right).\]

Nous constatons que si nous ajoutons cette formule aux deux autres, le
terme $\dfrac{1}{12\times 13\times 14}$ disparaît.

Finalement, si nous répétons l'opération jusqu'à $n=19$ et que
nous simplifions, il ne restera que le tout premier terme
$\dfrac{1}{10\times 11\times 12}$ ainsi que le tout dernier, qui est le
$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ avec $n=19$. 

Il vient (attention aux signes
et au facteur $\dfrac{1}{3}$ !) :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
B&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{10\times 11\times 12}
-\frac{1}{20\times 21\times 22}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5\times 2\times 11\times 4\times 3}
-\frac{1}{5\times 4\times 3\times 7\times 2\times 11}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{7-1}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{6}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{2}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{10\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{\text{\numprint{4620}}}.
\end{align*}}

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Arithmétique}{Nouveau programme}{2}{10}
\begin{questions}
\item Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
\item Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9. 
\item La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $n\in\Z$. Exprimons la somme $S$ des trois entiers consécutifs, $n$, $n+1$ et $n+2$:
\[
S=n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1).
\]
$S$ est bien un multiple de $3$. 

\item Trois multiples consécutifs de $3$ s'écrivent sous la forme $3n$, $3(n+1)$ et $3(n+2)$ avec $n\in\Z$. Considérons leur somme $S$ : 
\[
S=3n+3n+3+3n+6=9n+9=9(n+1).
\]
$S$ est bien multiple de $9$. 

\item $\forall n\in\Z$, $n$, $n+1$, $n+2$ et $n+3$ sont quatre entiers consécutifs. 
Leur somme $S$ s'exprime par $S=4n+6$ et n'est pas un multiple de $4$. En effet, pour s'en convaincre, il suffit de choisir $n=0$... 
\end{questions}
\end{corrige}

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\begin{exo}{Arithmétique}{Nouveau programme}{2}{10}
Soit $a\in\N$ et $n\in\N$. Montrer que si $a$ divise $n+4$ et $2n-3$ alors $a$ est un diviseur de $11$. 
\end{exo}

\begin{corrige}
Si $a$ divise $n+4$ alors $a$ divise $2(n+4)$.

Si $a$ divise $2n-3$ alors $a$ divise $-(2n-3)$.

Ainsi $a$ divise $2(n+4)-(2n-3)=11$ donc $a$ est bien un diviseur de $11$. 
\end{corrige}

%%%%%%

\begin{exo}{Arithmétique}{Nouveau programme}{2}{10}
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(x;y)$ tels que $x^2-y^2=5$.
\end{exo}

\begin{corrige}
$x^2-y^2=5\Longleftrightarrow (x-y)(x+y)=5$.

Or $5=-1\times (-5)=1\times 5 =5\times 1=-5\times (-1)$, d'où:
\begin{align*}
x^2-y^2=5&\iff \begin{cases}x-y=-1\\x+y=-5\end{cases} \quad\text{ou}\quad \begin{cases}x-y=1\\x+y=5\end{cases}\\
&\text{ou}\quad \begin{cases}x-y=5\\x+y=1\end{cases}\quad\text{ou}\quad \begin{cases}x-y=-5\\x+y=-1\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}\quad\text{ou}\quad \begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\\
& \text{ou}\quad \begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}\quad\text{ou}\quad \begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}\\
\end{align*}
\end{corrige}

%%%%

\begin{exo}{Arithmétique}{Nouveau programme}{2}{10}
Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n+24$. 
\end{exo}

\begin{corrige}
Si $n-4$ divise $3n+24$, $n-4$ divise $n-4$ donc $-3(n-4)$ et par conséquent $n-4$ divise $3n+24-3(n-4)=36$ donc $n-4$ est un diviseur de $36$.

Or l'ensemble des diviseurs de $36$ est :
\[
\mathcal{D}(36)=\left\lbrace-1;-2;-3;-4;-6;-9;-12;-36;1;2;3;4;6;9;12;36\right\rbrace.
\]

Ainsi $n\in\left\lbrace 3;2;1;0;-2;-5;-8;-32;5;6;7;8;10;13;16;40\right\rbrace$.

\Par

Réciproquement, on vérifie aisément (avec un tableur par exemple) que toutes ses valeurs de $n$ conviennent. 
\end{corrige}



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\begin{exo}{Diviseurs}{Nouveau programme}{2}{10}

\begin{questions}
\item Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs
est toujours pair. 
\item Que dire du produit de trois entiers consécutifs~?
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \og Consécutifs \fg signifie que les deux entiers s'écrivent, 
par exemple, $n$ et $n+1$. On a $n(n+1)=n^2+n$. 

On procède par disjonction de cas~: 

Si $n$ est pair, alors $n^2$ aussi et donc $n^2+n$ est pair
comme somme de deux entiers impairs. 

Si $n$ est impair, alors $n^2$ aussi donc $n^2+n$ est pair
car somme de deux entiers pairs. 

Comme on est nécessairement dans l'un des deux cas, 
la propriété est démontrée. On pouvait raisonner directement sur le 
produit en disant que si $n$ est pair, alors $n(n+1)$ est multiple
de $n$ donc de $2$. Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair, donc 
$n(n+1)$ est multiple de $n+1$, donc de $2$. 

\item Supposons que ni $n$, ni $n+1$, ni $n+2$ ne soient multiples
de $3$. L'écart entre les multiples de 3 qui encadrent ces
trois nombres est donc supérieur ou égal à 4 (écart $(n+3)-(n-1)$). Or
l'écart entre deux multiples de 3 consécutifs n'est que... de 3. 

On a une contradiction, donc soit $n$, soit $n+1$, soit $n+2$
est multiple de $3$, et donc $3$ est diviseur de $n(n+1)(n+2)$. 
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Nombres premiers}{Nouveau programme}{2}{15}
On considère un entier $n$ non nul et
des nombres premiers $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, 
deux à deux distincts, et 
$a=p_1\times p_2\times p_n +1$. 
\begin{questions}
\item L'entier $a$ est-il multiple d'un des $p_k$~?
\item Euclide a utilisé cette propriété pour démontrer
que l'ensemble des nombres premiers est infini. Expliquez
son argument.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. 
$p_k$ divise le produit $p_1\times \dots\times p_n$, 
donc si $p_k$ divisait $a$, alors $p_k$
serait diviseur de $a-p_1\times\dots\times p_n=1$.

Or $1$ n'a pas de diviseur premier, à part lui-même...

Conclusion~: aucun des $p_k$ n'est diviseur de $a$.

\item Euclide raisonne par l'absurde, c'est-à-dire qu'il 
suppose que son résultat est faux, en espérant aboutir à une
contradiction. Il suppose que l'ensemble des nombres premiers
est fini, et qu'on peut énumérer tous les nombres
premiers~: $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$. 

D'après la première question, $a$ n'admet aucun diviseur premier. 

Or on voit que $a\geq 2$, donc $a$ admet nécessairement un 
diviseur premier. Nous avons une contradiction. L'ensemble des
nombres premiers est donc infini. 

\end{questions} 

\Par

\text{}


\begin{plusloin}
Pourquoi un entier $a\geq 2$ admet-il toujours au moins un 
diviseur premier~? 

\Par

La démonstration est difficile. Nous empruntons une méthode
appelée par Fermat~: la \emph{descente infinie} (tout un programme !) 

\Par

Supposons, par l'absurde, que $a$ n'ait
pas de diviseur premier. Alors $a$ n'est pas premier (car
$a$ divise lui-même) donc on peut décomposer $a=bc$ avec
$2\leq b<a$, $2\leq c<a$. 
Mais alors, ni $b$ ni $c$ ne peuvent
avoir de diviseur premier (car il diviserait $a$). 

\Par

On a donc la propriété suivante~: 
Si $a\geq 2$ n'a pas de diviseur premier, on peut trouver un entier
$a>b\geq 2$ qui n'a pas de diviseur premier. 
Or, si on applique la propriété à $b$, on trouve ainsi une 
infinité d'entiers naturels, chacun strictement plus petit que 
le précédent, ce qui n'est pas possible car il n'y a que $a$ 
entiers naturels strictement inférieurs à $a$. 
\end{plusloin}

\end{corrige}





\thumb
\AfficheCorrige
