\chapter{Équations, inéquations}

\begin{exointro}{Lycée Alain, Le Vésinet}

Exprimer par un intervalle :
\begin{questions}
\item $x>2$

\item $x\leq -3$

\item $-1<x\leq 5$

\item $x>2$ et $x<6$

\item $x<2$ ou $x\geq 4$

\end{questions}
\end{exointro}

\section{Comment écrire un intervalle ?}

\begin{defin}[Intervalles]
L'intervalle $[a;b]$ est l'ensemble des réels compris entre $a$ et $b$.
$[a; b]$ contient $a$ et $b$, alors que $]a;b[$ ne contient ni $a$, ni $b$.
\end{defin}

\begin{defin}[Bornes]
Un intervalle a toujours {\em deux} bornes : $[1,3]$ contient tous les réels
compris entre 1 et 3. $]-\infty,2]$ contient tous les réels compris
entre $-\infty$ et 2, ou plus simplement tous les réels inférieurs
ou égaux à 2 ($-\infty$ est une borne conventionnelle). Dans l'écriture,
on sépare les deux bornes par une virgule ou par un point-virgule s'il
risque d'y avoir une ambiguïté. Par exemple, on écrira $[1,\!2;3]$ plutôt
que $[1,\!2,3]$ car on pourrait confondre avec $[1;2,\!3]$.
\end{defin}

\begin{defin}[Crochets]
Le sens des crochets indique si la borne est contenue ou non dans l'intervalle.
Si le crochet est tourné vers l'intérieur, on « prend » la borne. Par exemple,
$]-7,-3]$ contient $-3$ mais ne contient pas $-7$. Comme les bornes $-\infty$
et $+\infty$ sont de pures conventions, elles sont toujours exclues de
l'intervalle.
\end{defin}

\begin{defin}[Réunion]
L'ensemble $[1,3]\cup[5,6]$ contient les éléments de $[1,3]$ et ceux de
$[5,6]$. Autrement dit, il contient tous les réels qui sont dans $[1,3]$
{\em ou} dans $[5,6]$. Remarque : cet ensemble n'est pas lui-même
un intervalle.
\end{defin}

\begin{defin}[Intersection]
$[1,4]\cap[3,7]$ contient les réels qui sont dans les deux intervalles
à la fois, c'est-à-dire les réels qui sont dans $[1,4]$ {\em et} dans
$[3,7]$. Concrètement, il s'agit des points compris entre $3$ et $4$,
comme le confirme le schéma suivant, on l'on a grisé la partie commune aux deux
intervalles :

\Par

\end{defin}
\begin{center}
\includegraphics{070_vabs6}
\end{center}

\Par

\[
\textcolor{DR}{[1,4]}\cap\textcolor{DB}{[3,7]}=\textcolor{DG}{[3,4]}\]


\section{Opérations permises sur les inégalités}

On est amené, pour comparer ou encadrer des nombres, à effectuer des opérations sur
les inégalités, par exemple pour passer de $2x<6$ à $x<3$. Certaines
opérations ne posent aucun problème. Pour d'autres, il faut changer
le sens de l'inégalité. D'autres enfin ne s'appliquent que si les
nombres concernés vérifient une condition de signe. Concrètement, on
peut :
\begin{itemize}
\item \textit{Ajouter un même réel à une inégalité ou ajouter
deux inégalités de même sens membre à membre.}

Si l'une des inégalités était au sens large, l'inégalité obtenue l'est aussi. 

\textit{Exemple}: si $x+7\geqslant 5$, on peut ajouter $-7$ aux deux membres et obtenir $x\geqslant -2$.

\item \textit{Multiplier les deux membres de l'inégalité par un réel}.

Si ce réel est positif, on garde le sens; \\
s'il est négatif, on change le sens de l'inégalité.

\textit{Exemple}: si $7x\leq -3$, on peut diviser par 7 les deux membres pour obtenir $x\leq -\dfrac{3}{7}$. Le sens ne change pas car 7 est positif.

\newpage

\item \textit{\'Elever les deux membres de l'inégalité au carré ou prendre leur racine carrée}.

Si les deux membres sont \textit{positifs}, on peut les élever au carré ou prendre leur racine  carrée sans changer le sens de l'inégalité.

\textit{Exemple}: si $x>5$, on peut écrire $x^2>25$ et $\sqrt{x}>\sqrt5$.
 
\textit{Attention:} si $-2<x<5$, on ne peut pas écrire $(-2)^2 < x^2 < 5^2$ car cela serait faux pour $x = 0$ ou $x = 1$ par exemple.

Dans ce cas, le meilleur encadrement possible est : $0 \leqslant x^2 < 5^2$ (voir chapitre~\ref{cours:fonctions-reference} page \pageref{cours:fonction-carre}, \og La fonction carré \fg).  

\item \textit{Inverser les deux membres en changeant
le sens de l'inégalité} à condition que ces deux membres soient non nuls et \textit{de même signe}.

\textit{Exemple}: si $0<x\leqslant5$, alors $\dfrac{1}{x}\geqslant\dfrac{1}{5}$.
\end{itemize}

\vspace*{-1em}
\begin{attention}
Lorsqu'on inverse une inégalité contenant une variable, il faut faire très attention de conserver le signe de la variable.
\end{attention}

\textit{Exemples}: si $x \geqslant 5$, on ne peut pas en déduire que $\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{5}$, mais que : $0 < \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{5}$, car l'inverse d'un nombre positif est forcément positif.

De même, si $x<-2$, alors : $0 > \dfrac{1}{x} > -\dfrac{1}{2}$, et non $\dfrac{1}{x} > -\dfrac{1}{2}$.


\section{Utiliser les carrés et les produits croisés}
On sait que, pour deux fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$, on a :
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc\]
(Propriété dite des produits \og en croix\fg ou \og croisés\fg).

Lorsque $a$, $b$, $c$ et $d$ sont positifs, on peut utiliser ces produits croisés avec
une inégalité :
\begin{align*}
\frac{a}{b}&<\frac{c}{d}\iff ad<bc\\
\frac{a}{b}&>\frac{c}{d}\iff ad>bc\\
\frac{a}{b}&\leq \frac{c}{d}\iff ad\leq bc\\
\frac{a}{b}&\geq \frac{c}{d}\iff ad\geq bc
\end{align*}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{Exemple}%\serreexemple{}
montrons que $\dfrac{23}{5}>\dfrac{7}{2}$. Il suffit de constater
que \[23\times 2=46>5\times 7=35.\] 
\end{Exemple}

\newpage

\section{Tableaux de signes}


\begin{itemize}
\item Pour résoudre une inéquation produit, on détermine le signe de chaque facteur que l'on résume dans un tableau de signes. La règle des signes permet de conclure.

\begin{Exemple}
résoudre l'inéquation $(x-2)(6-2x)(x+4)\geqslant 0$.

\[
\begin{array}{ccc}
x-2\geqslant 0 & \iff &  x\geqslant2\\
6-2x\geqslant0 & \iff &  x\leqslant3\\
x+4\geqslant0 & \iff &  x\geqslant-4
\end{array}
\]

On en déduit le tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
\hline\tabulartitle
x & +\infty & & -4 & & 2 &  & 3 & &+\infty\\\hline
x-2 & & - &  & - & 0 & +  &   & + & \\\hline
6-2x & & + &  & + &  & + & 0 & - & \\\hline
x+4 & & - & 0 & + &  & + &  & + & \\\hline
\text{Produit} & & + &0 & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline
\end{array}\]

\Par

D'où $\mathcal{S}=\left]~-\infty~;~-4~\right]\cup[~2~;~3~]$
\end{Exemple}

\item La méthode est la même pour une inéquation quotient mais il faut être vigilant avec les valeurs interdites qui sont les nombres qui annulent le dénominateur. 

\begin{Exemple} résoudre l'inéquation $x\geqslant \dfrac{9}{x}$.

Valeurs interdites : $x=0$.

Résolution : 
\begin{align*}
x\geqslant \dfrac{9}{x} & \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x}-\dfrac{9}{x}\geqslant 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(x-3)(x+3}{x}\geqslant 0
\end{align*}

On en déduit le tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
\hline\tabulartitle
x & +\infty & & -3 & & 0 &  & 3 & &+\infty\\\hline
x-3 & & - &  & - &  & -  & 0  & + & \\\hline
x+3 & & - & 0 & + &  & + &  & + & \\\hline
x& & - &  & - &  0 & + &  & + & \\\hline
\text{Quotient} & & - &0 & + & \dvline & - & 0 & + & \\\hline
\end{array}\]

D'où $\mathcal{S}=\left[~-3~;~-0~\right[\cup[~3~;~+\infty~[$

Attention à exclure de l'ensemble des solutions les valeurs interdites. 
\end{Exemple}
\end{itemize}



\section{Utiliser le signe de la différence}
Pour comparer deux nombres $x$ et $y$,
on peut étudier le signe de leur différence $x-y$ :
\[\begin{cases}
\text{Si $x-y>0$, alors $x>y$}\\
\text{Si $x-y<0$, alors $x<y$}
\end{cases}\]

\begin{Exemple}%\serreexemple{}
on veut résoudre l'inéquation : $\dfrac{1}{x}<2$. Il serait maladroit d'utiliser
les produits croisés, car on ne connaît pas le signe de $x$. Vous pouvez vérifier
qu'on obtiendrait : $\dfrac{1}{2}<x$ ce qui est faux car, par exemple, $-1$ est 
solution de  $\dfrac{1}{x}<2$ mais ne vérifie pas $\dfrac{1}{2}<x$. Il faut 
au contraire :
\begin{questions}
\item \'Ecrire la différence : $\dfrac{1}{x}-2$ ;
\item Réduire au même dénominateur : $\dfrac{1-2x}{x}$ ;
\item Utiliser un tableau de signe :
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\tabulartitle\hline
x & -\infty &   &0 &   &\frac{1}{2}&  & +\infty \\\hline
x &  & -  &0 & +  &\vline & + &  \\\hline
1-2x &  & + &\vline & + & 0 & - & \\\hline
\dfrac{1-2x\strut}{x\strut} & & -& \dvline& + & 0 & -& \\\hline
\end{array}\]
Il suffit de lire dans le tableau où sont situés les réels tels que $\dfrac{1-2x}{x}<0$ :
\[S=\left]-\infty,0\right[\cup\left]\frac{1}{2},+\infty\right[\]
\end{questions}
\end{Exemple}


\section{Résolution graphique d'une inéquation}

Pour résoudre \emph{graphiquement} une inéquation du type $f(x)\leq g(x)$, 
on trace la courbe des deux fonctions (soit \og à la main \fg, soit à l'aide
de la calculatrice). Il suffit de lire sur l'axe des abscisses les valeurs
de $x$ pour lesquelles la courbe de $g$ est au-dessus de celle de $g$. Habituellement,
l'ensemble de ces valeurs est un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\R$.

Par exemple, la figure page ci-contre montre que~: 
\begin{itemize}
\item Si $0<x<1$, alors $x^3<x^2<x$.
\item Si $x>1$, alors $x<x^2<x^3$.
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{074_01_Cours_fig1}
\end{center}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $]2,+\infty[$
\item $]-\infty,-3]$
\item $]-1,5]$
\item $]2,6[$
\item $]-\infty,2[\cup[4,+\infty[$
\end{questions}
\end{solintro}




