\chapter{Vecteurs et coordonnées\\dans le plan}

\section{Vecteurs}

\begin{exointro}{Lycée Lavoisier, Paris}
\nathanliveVideo\label{video:ch5cours}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé 
$(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère les points 
$A(-3~;0)$, $B(-6~;-3)$ et $C\left(\dfrac{3}{2}~;\dfrac{9}{2}\right)$.
\begin{questions}
	\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
	\item Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que $COBD$ soit
	un parallélogramme.
	\item Déterminer les coordonnées 
	du point $M$ centre de ce parallélogramme.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Translations}

Une figure du plan subit une translation lorsqu'elle est déplacée
sans se déformer et sans tourner. 

Sur la figure page suivante, la courbe rouge $\cal P$ subit une translation
et est déplacée en $\mathcal{P}'$. 

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{154_translation}
\end{center}

Au départ, le coin inférieur gauche se trouve en $A$, qui 
a pour coordonnées $(1;1)$. La translation le déplace en $A'$, 
de coordonnées $(5;3)$. Notons qu'on ajoute $+4$ à l'abscisse et $+2$
à l'ordonnée de $A$ pour obtenir les coordonnées de $A'$. 

Regardons maintenant le coin inférieur droit, qui se trouve
initialement en $B (3;1)$. Il est déplacé jusqu'en $B'(7;3)$. 
Ici encore, on ajoute $+4$ à l'abscisse et $+2$
à l'ordonnée de $B$ pour obtenir les coordonnées de $B'$. 

Quelle est la position finale du sommet qui était en $C(2;4)$~? 
Pour lui aussi, il suffit d'ajouter $+4$ à l'abscisse et $+2$
à l'ordonnée pour obtenir sa position finale $C'(6;6)$. 

Cette propriété est vérifiée pour n'importe quel point de la figure. 
Ainsi, le \emph{mouvement} de translation peut être entièrement décrit
par l'algorithme~: ajouter $+4$ à l'abscisse et $+2$ à l'ordonnée.

On dit que le \emph{vecteur} de la translation a pour coordonnées 
$\dbinom{+4}{+2}$. 

Un vecteur est un objet abstrait~: il décrit une translation. 
On peut le représenter par une flèche qui montre la direction
(c'est-à-dire, par exemple, parallèlement à quelle droite ?),
le sens (il y a deux sens pour une direction donnée) 
et la longueur du déplacement. 

Le mot \emph{vecteur} vient du latin \emph{vehere} qui veut dire
\emph{transporter}. Le mot \emph{véhicule} est de la même famille. 
Le vecteur montre comment les points sont \og transportés \fg
par la translation. 

Pour noter un vecteur, on peut utiliser une lettre, en général
surmontée d'une flèche~: $\vec{u}$, $\vec{v}$. Comme
la translation transforme $A$ en $A'$, on peut également noter
$\gvec{AA'}$ le vecteur. 

Sur la figure, 
on a indiqué trois flèches, mais elles représentent le \emph{même}
vecteur puisqu'il s'agit de la \emph{même} translation. 

Autrement dit, les vecteurs $\gvec{AA'}$, $\gvec{BB'}$ et $\gvec{CC'}$
sont égaux. 

On note alors $\gvec{AA'}=\gvec{BB'}=\gvec{CC'}$. 

Un cas particulier~: 
si la translation est \emph{l'identité} (cas particulier où on n'effectue
aucun déplacement), alors le vecteur de translation est
le \emph{vecteur nul}. On le note $\vec{0}$. Il a pour coordonnées
$\dbinom{0}{0}$. 


\begin{Remarque}
il n'est nul besoin de coordonnées pour décrire une translation ou 
pour définir un vecteur. Par exemple, si on enlève le repère
du dessin précédent, on peut tout de même parler du vecteur 
$\vec{u}=\gvec{AA'}$ et dire que la translation de vecteur $\vec{u}$
déplace $A$ en $A'$, $B$ en $B'$ et $C$ en $C'$. 
\end{Remarque}

\begin{center}
\includegraphics{155_translation2}
\end{center}





\subsection{Coordonnées d'un vecteur}

On considère deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$. 
Il faut ajouter $x_B-x_A$ à l'abscisse de $A$
et $y_B-y_A$ à son ordonnée pour obtenir les coordonnées de $B$. 

On en déduit les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$~:
$\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}$.

\begin{Remarque}
\begin{itemize}
\item on indique
les coordonnées d'un point en ligne : $M(2~;1)$ ~; 
\item on indique 
(si possible) celles d'un vecteur en colonne : $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\ 
2\end{pmatrix}$ (sans mettre de symbole \og $=$ \fg !).
\end{itemize}
\end{Remarque}

\subsection{Somme de vecteurs}
\begin{defin}
Si on enchaîne la translation de vecteur $\vec{u}_2$ à la translation  de vecteur $\vec{u}_1$, 
on obtient une translation, de vecteur $\vec{u}=\vec{u}_1+\vec{u}_2$. 
\end{defin}

Si $\vec{u}_1\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}$ et  $\vec{u}_2\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}$, la première
translation ajoute $x_1$ aux abscisses, et la seconde $x_2$, 
on a donc ajouté $x_1+x_2$. 

De même, on ajoute $y_1+y_2$ aux ordonnées, 
donc $\vec{u}=\vec{u}_1+\vec{u}_2$ a pour coordonnées :
\[\vec{u}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ y_1+y_2\end{pmatrix}.\]

\subsubsection{La relation de Chasles}

Si $A(x_A~;y_A)$, $B(x_B~;y_B)$, et $C(x_C~;y_C)$ sont trois points du plan, il suffit de calculer les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}$, $\gvec{BC}$ et $\gvec{AC}$ pour constater :
\[\gvec{AB}+\gvec{BC}=\gvec{AC}.\]


\subsubsection{La règle du parallélogramme}

Pour construire la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a deux méthodes.

\begin{itemize}
\item On applique la relation de Chasles en trouvant des points $A$, $B$, $C$, tels que
$\vec{u}=\gvec{AB}$ et $\vec{v}=\gvec{BC}$. Ainsi, $\vec{u}+\vec{v}=\gvec{AC}$. \enlargethispage*{5em}

\item On choisit $A$, $B$ et $C$ tels que $\gvec{AB}=\vec{u}$ et $\gvec{AD}=\vec{v}$.
On construit le parallélogramme $ABCD$. Dans ce parallélogramme, on constate $\gvec{AD}=\gvec{BC}$. 
Alors la relation de Chasles $\gvec{AB}+\gvec{BC}=\gvec{AC}$ permet de justifier~: $\gvec{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.
\begin{center}
\includegraphics{156_vect-parallelogramme}
\end{center}
Cette relation s'appelle la \emph{règle du parallélogramme}
\end{itemize}

\subsection{Norme et distance}

Dans un repère orthonormé, la longueur du segment $[AB]$ (ou distance entre les points $A$ et $B$) est donnée par :
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]
(C'est une conséquence du théorème de Pythagore.) 

Dans cette formule, on reconnaît les coordonnées du vecteur 
$\gvec{AB}$. Généralisons~: si le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées
$\binom{X}{Y}$, la norme du vecteur $\vec{u}$ est, par définition~:
\[|| \vec{u} || = \sqrt{X^2+Y^2}.\]

En particulier, si $\vec{u}=\gvec{AB}$, alors $||\gvec{AB}||=AB$~: 
la norme du vecteur $\gvec{AB}$ est la distance entre $A$ et $B$
(c'est donc la distance parcourue par chaque point lors d'une translation). 


\subsection{Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel}
Soient $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$.


On note $k\cdot \vec{u}$ le vecteur de coordonnées~: $\begin{pmatrix} kx\\ ky\end{pmatrix}$. 
C'est le produit de $\vec{u}$ par $k$. On peut le noter avec
ou sans point de multiplication. 

En particulier, $(-1).\vec{u}=-\vec{u}$ est le vecteur \emph{opposé} de 
$\vec{u}$, il a pour coordonnées~: 
\[\begin{pmatrix}-x\\ -y\end{pmatrix}.\]

Par un calcul direct, $|| k \vec{u} || = |k | \cdot || \Vec{u}||$.


\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment}
Soient $A(x_A~;x_B)$ et $B(x_B~;y_B)$. 

Si $M$ est le milieu de $[AB]$, avec alors : $\gvec{AM}=\gvec{MB}$. 
En écrivant les coordonnées des vecteurs, on obtient les 
égalités~: $x_M-x_A=x_B-x_M$ et $y_M-y_A=y_B-y_M$, donc 
\[M\left(\frac{x_A+x_B}{2}~;\frac{y_A+y_B}{2}\right).\]

\begin{Remarque}
si un point $M$ vérifie $\gvec{AM}=\gvec{MB}$, alors les droites $(AM)$
et $(MB)$ ont la même direction (c'est-à-dire qu'elles sont parallèles),
et donc sont confondues, puisqu'elles ont un point commun. 
Or $AM=MB$, donc $M$ est nécessairement le milieu de $[AB]$. 
\end{Remarque}


\subsection{Base orthonormée, repère orthonormé}
Deux vecteurs $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ forment une 
base orthonormée du plan lorsque ces deux vecteurs sont de norme 1
et de directions perpendiculaires. 

Si on les choisit de même direction et même sens que
les axes de coordonnées, alors $\vec{\imath}$
a pour coordonnées $\dbinom{1}{0}$ et $\vec{\jmath}$, $\dbinom{0}{1}$. 

On vérifie sans peine que tout vecteur $\vec{u}\dbinom{x}{y}$
s'écrit $\vec{u} = x \vec{\imath} + y \vec{\jmath}$. 

Si $O$ est l'origine du repère (intersection des axes), 
on dit que $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est un repère orthonormé
du plan. 

\newpage

\section{Vecteurs et alignement}

\nathanLive{Retrouvez cette partie du cours avec}

\subsection{Vecteurs colinéaires}
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont même direction (ils sont \og parallèles\fg). 
\begin{aretenir}[(Critère pratique)]
Soient $\vec{u}_1\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}$ 
et $\vec{u}_2\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}$.

\par

$\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ sont colinéaires si et seulement si  un des deux est le vecteur nul ou si on peut trouver un coefficient de proportionnalité $k$ tel que $\vec{u}_2=k\vec{u}_1$, ce qui s'écrit :
\[\begin{cases} x_2=kx_1\\ y_2=ky_1\end{cases}\]

\end{aretenir}

\begin{Exemple}
si $\vec{u}_1\begin{pmatrix}3\\ 6 \end{pmatrix}$ et 
$\vec{u}_2\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}$, dites directement
que $\vec{u}_1=3\vec{u}_2$, ce qui montre que les deux vecteurs
sont colinéaires.
\end{Exemple}


\subsection{Déterminant de deux vecteurs}

Si $\vec{u}_1\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}$ 
et $\vec{u}_2\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}$, 
leur déterminant est le nombre défini par:

\[\mathrm{Det}(\vec{u}_1,\vec{u}_2)=x_1 y_2 - y_1 x_2.\]


\begin{Remarque}
le déterminant n'est pas symétrique~: 
\[\mathrm{Det}(\vec{u}_2,\vec{u}_1)
=x_2 y_1 - y_2 x_1=
-(x_1 y_2 - y_1 x_2) = 
-\mathrm{Det}(\vec{u}_1,\vec{u}_2).\]
En fait, ce n'est pas grave car nous l'utilisons seulement pour
vérifier s'il égale ou non $0$. 
\end{Remarque}


\begin{prop}
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si
leur déterminant est nul.
\end{prop}


Avec les vecteurs de l'exemple précédent, 
on pouvait aussi calculer \linebreak
$\mathrm{Det}(\vec{u}_1,\vec{u}_2)=3\times 2-6\times 1=0$, ce qui confirme
que les deux vecteurs étaient colinéaires. 


\subsection{Montrer que trois points sont alignés}
Rappel : \og $A$, $B$ et $C$\fg sont alignés signifie qu'ils sont situés sur la même droite, ou encore que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont confondues. 

Comme elles ont un point commun, ceci revient à dire qu'elles
ont la même direction : 

\begin{prop}
$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ sont colinéaires. 
\end{prop}

\begin{Exemple}
$A(3~;3)$ ~; $B(5~;4)$ ~; $C(-1~;1)$. On a
$\gvec{AB}\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}$ 
et 
$\gvec{AC}\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$.

\enlargethispage*{3em}

\begin{center}
\includegraphics{159_06-alignement}
\end{center}

\Par

On constate $\gvec{AC}=-2\gvec{AB}$ 
(ou $\mathrm{Det}(\gvec{AC},\gvec{AB})=0$, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
il suffit de former deux vecteurs distincts contenant les trois points. On peut remplacer
$\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ par :
\begin{itemize}
\item $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$ ~;
\item $\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$, etc.
\end{itemize}
\end{Remarque}

\subsection{Vecteurs directeurs d'une droite}


\begin{defin}
Un vecteur \emph{non nul} est un vecteur directeur de la droite $D$ si et seulement si
sa direction est celle de $D$ (le vecteur est \og parallèle \fg à la droite). 
\end{defin}

On dit que c'est un vecteur \emph{directeur} car il indique sa \emph{direction}.

\begin{Exemple} 
si le plan est rapporté au repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$,
alors 
$\vec{\imath}$ est un vecteur directeur de l'axe des abscisses,
$\vec{\jmath}$ est un vecteur directeur de l'axe des ordonnées. 
\end{Exemple}

\begin{Remarques}

\begin{itemize}
\item $\gvec{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.
\item Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires.
\item Si $A$ est un point de la droite $D$, $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(AB)$
et $B$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$, alors $B$ est un point de $D$.
\item En revanche, $\gvec{EF}$ peut être un vecteur directeur de $D$ sans que ni $E$, ni $F$
ne soient sur $D$.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\enlargethispage*{4em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \rput(-1.5,1){\nathanliveVidWithoutText} $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les droites
$(AB)$ et $(AC)$ sont confondues. Comme ces deux droites passent par $A$,
il suffit de vérifier que
les vecteurs $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ sont colinéaires. On calcule leurs
coordonnées :
\begin{align*}
\gvec{AB}
\begin{pmatrix}
-6+3\\ -3-0
\end{pmatrix}
&\text{ donc } 
\gvec{AB}\begin{pmatrix}
-3 \\
 -3 \end{pmatrix}.\\
\gvec{AC}\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} +3 \\[1mm] 
\frac{9}{2}-0\end{pmatrix}
&\text{ donc }
\gvec{AC}\begin{pmatrix}
\frac{9}{2} \\[1mm] 
\frac{9}{2}\end{pmatrix}.
\end{align*}
Les deux vecteurs sont bien colinéaires (on a $\gvec{AC}=-\dfrac{3}{2}\gvec{AB}$),
donc les trois points sont alignés.
%\Break
\item 
$COBD$ est un parallélogramme si et seulement si $\gvec{OC}=\gvec{BD}$.
Comme $O$ est l'origine du repère, les coordonnées du vecteur $\gvec{OC}$
sont, par définition, celles de $C$ :
\[\gvec{OC}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\[1mm] \frac{9}{2} \end{pmatrix}.\]
%\BreakWithoutItem
Notons provisoirement $(x_D~;y_D)$ les coordonnées de $D$. Le vecteur
$\gvec{BD}$ a pour coordonnées :
\[\gvec{BD}\begin{pmatrix}x_D+6 \\ y_D+3 \end{pmatrix}.\]
Il suffit de résoudre l'équation :
\[\gvec{BD}=\gvec{OC}\iff
\begin{cases}
x_D+6 =\dfrac{3}{2} \\[8pt]
y_D+3 = \dfrac{9}{2}
\end{cases}
\iff \begin{cases}
x_D = -\dfrac{9}{2}\\[8pt]
y_D = \dfrac{3}{2}
\end{cases}\]
D'où : $D\left(-\dfrac{9}{2}~;\dfrac{3}{2}\right)$.
\vspace*{-1.5em}
\Break
\item Le centre du parallélogramme est le milieu commun des diagonales
$[BC]$ et $[OD]$. Comme $O(0,0)$, il est préférable d'utiliser le
segment $[OD]$, il vient facilement :
\[M\left(-\frac{9}{4}~;\frac{3}{4}\right).\]
\end{questions}
\end{solintro}

