\thumb

% QCM1

\begin{qcm}{Diviseurs et multiples}{3}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item Le nombre \nombre{1842} est divisible par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{3} & \choix{5}
\end{tabularx}
   
\item Le nombre 480\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{divise 2} &
\choix{a pour diviseur 2}
\end{tabularx}
  

\item Tout nombre a au moins deux diviseurs distincts.\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{Vrai} &
  \choix{Faux}
\end{tabularx}

  \item Deux nombres premiers n'ont aucun diviseur commun.\resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{Vrai} & 
  \choix{Faux}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. Le nombre \nombre{1842} est divisible par 3.

$1 + 8 + 4 + 2 = 15$ et 15 est un multiple de 3 donc \nombre{1842} est divisible par 3.  Mais \nombre{1842} ne se termine ni par 0, ni par 5 donc \nombre{1842} n'est pas divisible par 5.

\item Réponse \choix[b]. 480 a pour diviseur 2.

En effet, la formulation \og{}avoir pour diviseur \fg est équivalente à \og{}être divisible par \fg et 480 est bien un nombre pair puisqu'il se termine par 0. En revanche la formulation \og{}divise 2 \fg signifie \og{}est un diviseur de 2 \fg et 480 n'est évidemment pas un diviseur de 2 !

\item Réponse \choix[b]. Tout nombre a au moins deux diviseurs distincts : faux.

Ceci est vrai pour tout nombre strictement plus grand que 1 puisque tout nombre est divisible par 1 et par lui-même. Mais le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même !

% \item Réponse \choix[a]. Le plus grand diviseur commun aux nombres $12$ et $5$ est un diviseur de 12.
% 
% Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ceux de 5 sont : 1 et 5.
% 
% \og 1 \fg{} est le seul à apparaître dans les deux listes donc c'est le plus grand diviseur commun à 12 et 5, et il c'est (par définition) un diviseur de 12.

\item Réponse \choix[b]. Deux nombres premiers n'ont aucun diviseur commun : faux.

Deux nombres ont toujours au moins un diviseur commun : le nombre~1, y compris les nombres premiers.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Nombres premiers}{4}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Un nombre premier est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix 25 &
\choix 37 \\[6pt]
\choix 51 & 
\choix 91
\end{tabularx}

\item La décomposition en produit de facteurs premiers de 36 est :\resetchoix 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $6\times6$ &
\choix $4\times9$ \\[6pt]
\choix $2^2\times3^2$ & 
\choix $12\times3$
\end{tabularx}

\item Si $x=2^2\times3^2\times5\times7$ et $y=2^3\times3^3\times7$ alors un multiple commun à $x$ et $y$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $2^2\times3^2\times5\times7$ &
\choix $2\times3\times5\times7$ \\[6pt]
\choix $2^3\times3^3\times5\times7$ & 
\choix $5\times7$
\end{tabularx}

\item Si $x=2^2\times3^2\times5$ et $y=2^3\times3^3\times7$ alors le plus grand diviseur commun à $x$ et $y$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $2^2\times3^2\times5\times7$ &
\choix $2^3\times3^3$ \\[6pt]
\choix $2^3\times3^3\times5\times7$ & 
\choix $2^2\times3^2$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $25=5^2$, $51=3\times17$ et $91=7\times13$ donc ce ne sont pas des nombres premiers.

\item Réponse \choix[c]. Les réponses \choix[a], \choix[b] et \choix[d] sont bien égales à 36, mais les facteurs ne sont pas premiers.

\enlargethispage*{2em}
\item Réponse \choix[c]. Un multiple commun à $x$ et $y$ est un nombre $m$ qui s'écrit $m=k\times x$ et $m=k'\times y$, où $k$ et $k'$ sont deux entiers non nuls. La réponse \choix[d] est donc évidemment impossible car $5\times7=35$ ne peut pas être un multiple d'un nombre plus grand que 35 (ce qui est le cas pour $x$ et $y$). La réponse \choix[a] n'est pas non plus possible car $2^2\times3^2\times5\times7$ n'est pas un multiple de $y=2^3\times3^3\times7$ ; en effet, il faudrait que les exposants de \og 2 \fg{} et \og 3 \fg{} soient au moins égaux à 3. Enfin la réponse \choix[b] est impossible car $2\times3\times5\times7$ est inférieur à $x$ et à $y$.

\begin{methode}
Quand on a la décomposition en produit de facteurs premiers de deux nombres, le plus petit multiple commun est obtenu en multipliant chaque facteur premier élevé à l'exposant le plus élevé.

Par exemple, si $x=3\times5^2\times7^3$ et $y=2\times3^2\times5$, les facteurs que l'on va prendre sont : $2$, $3^2$, $5^2$ et $7^3$; le plus petit multiple commun à $x$ et $y$ est donc $2\times3^2\times5^2\times7^3$.
\end{methode}

\item Réponse \choix[d]. Un diviseur commun à $x$ et $y$ doit comporter dans sa décomposition en produit de facteurs premiers les facteurs de $x$ et de $y$ à la fois.  Les réponses \choix[a] et \choix[c] sont donc impossibles car elles contiennent \og 5 \fg{} et \og 7 \fg{} ; or, $x$ ne possède pas \og 7 \fg{} dans sa décomposition. La réponse \choix[b] n'est pas non plus possible car la décomposition proposée possède des facteurs trop grands ($2^3$ et $3^3$) pour qu'elle puisse représenter un diviseur de $x$.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM3

\newpage

\begin{qcm}{Fractions irréductibles}{3}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s)
correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Parmi les fractions suivantes, laquelle est irréductible ?
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{$\dfrac{357}{48}$} & 
  \choix{$\dfrac{405}{44}$} & 
  \choix{$\dfrac{\nombre{8002}}{\nombre{7064}}$}
  \end{tabularx}

\item La fraction irréductible égale à $\dfrac{270}{504}$ est: \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{$\dfrac{135}{252}$} & 
  \choix{$\dfrac{13}{22}$} & 
  \choix{$\dfrac{15}{28}$}
  \end{tabularx}
  
\item Si $n$ n'est pas divisible par 3 et si $p$ n'est pas divisible par 2, la fraction $\dfrac{2n}{3p}$ est:  \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXl@{}}
  \choix{irréductible} & 
  \choix{simplifiable}  & 
  \choix{On ne peut pas répondre}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $357$ est divisible par 3 (car $3+5+7=15$, et 15 est un multiple de 3) et 48 aussi; donc la fraction $\dfrac{357}{48}$ est simplifiable par 3, donc n'est pas irréductible.

\numprint{8002} et \numprint{7064} sont pairs donc $\dfrac{\numprint{8002}}{\numprint{7064}}$ n'est pas non plus irréductible (car simplifiable par 2).

Pour la fraction $\dfrac{405}{44}$, on constate que les diviseurs de 44 sont : 
\[ 1 \quad - \quad 2 \quad - \quad 4 \quad - \quad 11 \quad - \quad 22 \quad -\quad 44. \]
405 n'est pas pair, donc n'est pas divisible par 2, et donc par 4. 

De plus, 405 n'est pas divisible par 11 (car $405\div11$ ne donne pas un nombre entier). 

Par conséquent, la seule fraction irréductible est $\dfrac{405}{44}$. 

\item Réponse \choix[c]. La fraction irréductible égale à $\dfrac{270}{504}$ est $\dfrac{15}{28}$. En effet, on a les décompositions en produit de facteurs premiers suivantes :
\[
\begin{tabular}[t]{l|l}
270 & 2\\
135 & 3\\
45  & 3\\
15  & 3\\
5   & 5\\
1   &
\end{tabular}
\qquad\qquad
\begin{tabular}[t]{l|l}
504 & 2\\
252 & 2\\
126 & 2\\
63  & 3\\
21  & 3\\
7   & 7\\
1   &
\end{tabular}
\]

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
\dfrac{270}{504} & =\dfrac{2\times3^3\times5}{2^3\times3^2\times7}\\[6pt]
& =\dfrac{\textcolor{DR}{2}\times\textcolor{DB}{3^2}\times3\times5}{\textcolor{DR}{2}\times2^2\times\textcolor{DB}{3^2}\times7}\\[6pt]
& = \dfrac{3\times5}{2^2\times7}=\dfrac{15}{28}.
\end{aligned}$
  
\item Réponse \choix[c]. On ne peut pas répondre. En effet, si $n=55$ et $p=5$, la fraction est simplifiable par 5. Mais si $n=11$ et $p=7$, la fraction est irréductible. Il manque une donnée sur $n$ et $p$ pour savoir si la fraction est irréductible ou simplifiable.
\end{questions}
\end{corrige}

% VF4

\begin{vf}{Avec des fractions}{2}
Pour chacune des propositions suivantes, répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions} 
\item Le produit de deux fractions de même dénominateur a le même  
dénominateur.
\item Multiplier par $\dfrac{10}{7}$ revient à diviser par 0,7.
\item L'inverse d'une fraction irréductible non nulle est toujours irréductible.
\end{questions}
\end{vf}

% VF4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
% \item \emph{Faux}. $\dfrac{78}{87}$ est irréductible.
% \[
% 7 + 8 = 8 + 7 = 15\;,
% \]
% et 15 est un multiple de 3 donc 78 et 87 sont tous les deux divisibles par~3. Par conséquent, la fraction $\dfrac{78}{87}$ est simplifiable au moins par 3 et n'est donc pas irréductible.
% 
% \item \emph{Faux}. Pour simplifier une fraction, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
% 
% Si on divise numérateur et dénominateur par 1, on ne simplifie pas la fraction.
 
\item \emph{Faux}. Le produit de deux fractions de même dénominateur a le même dénominateur.

En effet, il ne faut pas confondre avec l'addition pour laquelle cette règle est vraie! Mais quand on multiplie deux fractions, qu'elles aient ou non le même dénominateur, on multiplie les dénominateurs entre eux, ce qui donne en général un dénominateur différent.

\item \emph{Vrai}. Multiplier par $\dfrac{10}{7}$ revient à diviser par 0,7.

En effet, $0,7=\dfrac{7}{10}$ est l'inverse de $\dfrac{10}{7}$ donc diviser par $0,7$ et multiplier par $\dfrac{10}{7}$ est une seule et même opération.

\item \emph{Vrai}. En effet, si $\dfrac{a}{b}$ est irréductible alors $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun, et donc son inverse $\dfrac{b}{a}$ est aussi irréductible.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Multiples et diviseurs}

% EX5

\begin{exo}{Nombres parfaits}{Collège Jean-Jacques Perret, Aix-les-bains}{1}{6}
\begin{questions}
\item Quels sont les diviseurs de 6 ? Ajouter tous les diviseurs de 6 excepté 6. Que remarque t-on ? On dit que 6 est un nombre \emph{parfait}.

Un nombre entier est \emph{parfait} s'il est égal à la somme de tous ses diviseurs excepté lui-même.

\item Le nombre 496 a 10 diviseurs. Quels sont-ils ? Le nombre 496
est-il un nombre \emph{parfait} ? 
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les diviseurs de 6 sont : 1 -- 2 -- 3  -- 6. $1 + 2 + 3 = 6$. 

On remarque que la somme des diviseurs de 6, excepté 6, est égale à 
6. 

\item $ 496  = 1\times 496 = 2 \times 248 = 4 \times 124 = 8 \times 62 
= 16 \times 31$ donc les diviseurs de 496 sont : 1 -- 2 -- 4 -- 8 -- 
16 -- 31 -- 62 -- 124 -- 248 -- 496.  

Or $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$.  

La somme des
diviseurs de 496 excepté 496 est égale à 496 donc le nombre 496 est un nombre \emph{parfait}.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX6

\begin{exo}{Nombres divisibles par 3 et 5}{Collège Foch, Strasbourg}{1}{8}
Déterminer tous les nombres entiers s'écrivant avec 4 chiffres sous la forme $1a5b$, divisibles par 3 et par 5 à la fois. Justifier votre réponse.
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
On cherche des nombres divisibles par 5 donc qui se terminent par 0 ou par~5.

Ce qui donne deux listes de nombres possibles :

Si $b$ = 0 :
\[ \nombre{1050} - \nombre{1150} - \nombre{1250} - \nombre{1350} -
\nombre{1450} - \nombre{1550} - \nombre{1650} - \nombre{1750} -
\nombre{1850} - \nombre{1950}\]

Si $b$ = 5 : 
\[\nombre{1055} - \nombre{1155} - \nombre{1255} -
\nombre{1355} - \nombre{1455} - \nombre{1555} - \nombre{1655} -
\nombre{1755} - \nombre{1855} - \nombre{1955}\]

De plus, ils doivent aussi être divisibles par 3 donc la somme des 4 chiffres qui les composent $(1 + a + 5 + b)$ doit être un multiple de 3.

On élimine donc des listes précédentes les nombres \nombre{1150} --
\nombre{1250} -- \nombre{1450} -- \nombre{1550} -- \nombre{1750} --
\nombre{1850} -- \nombre{1055} -- \nombre{1255} -- \nombre{1355} -- \nombre{1555} --
\nombre{1655} -- \nombre{1855} et \nombre{1955}.

Les nombres cherchés sont donc : \nombre{1050} -- \nombre{1350} -- \nombre{1650} -- \nombre{1950} -- \nombre{1155} -- \nombre{1455}
et \nombre{1755}.
\end{corrige}

% EX7

\begin{exo}{Somme de trois nombres consécutifs}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{1}{5}
Montrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs quelconques est toujours divisible par 3.
\end{exo}

% EX7corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
Notons $n$ un nombre entier. Alors, le nombre qui précède $n$ est égal à $n-1$, et celui qui succède $n$ est égal à $n+1$.

Leur somme est égale à : $(n-1)+n+(n+1)=3n$.

Cette somme est donc toujours divisible par 3 car elle s'écrit comme 
le produit de 3 par un nombre entier (ici, ce nombre entier est $n$).
\end{corrige}

% EXA

\begin{exo}{Suite de Syracuse}{Collège Chaptal, Paris}{2}{15}
On rappelle que sur Scratch \raisebox{-7pt}{\begin{tikzpicture}
\psset{cornersize=absolute,linearc=.5\baselineskip,
linewidth=0.5pt,framesep=1mm} 
\node[rounded corners=3.5mm,rectangle,draw,fill=scroperator] at (0,0) 
{\phantom{\psframebox[fillcolor=white]{$a$} modulo 
\psframebox[fillcolor=white]{$b$}}};
\node at (0,0) 
{\psframebox[fillcolor=white,fillstyle=solid]{$a$} 
\textcolor{white}{modulo} 
\psframebox[fillcolor=white,fillstyle=solid]{$b$}};
                            \end{tikzpicture}}
% \begin{scratch}
% \blockoperator{\ovalnum{a} modulo\ovalnum{b}}
% \end{scratch}
calcule le reste de la division 
euclidienne du nombre entier $a$ par le nombre entier $b$.
\begin{questions}
 \item Compléter les pointillés :
\begin{itemize}
 \item Le nombre $a$ est pair lorsque : $a$ modulo 2 $=\ldots$
 \item Le nombre $a$ est impair lorsque : $a$ modulo 2 $=\ldots$
\end{itemize}
\item Considérons le programme suivant :
\Par
\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{itemize}
\item On choisit un nombre entier supérieur à $1$.

\hspace{.5em} -- S'il est pair, alors on le divise par deux.

\hspace{.5em} -- Sinon, on le multiplie par trois, puis on ajoute un.
\item On répète l'opération jusqu'à obtenir le nombre $1$.
\item On écrit tous les nombres obtenus au cours du\\ programme.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{center}
\end{minipage}}
\end{center}
\Par
Les nombres obtenus représentent la suite de Syracuse du nombre 
choisi.
\begin{questions}
 \item Quelle est la suite de Syracuse du nombre $16$ ? du nombre 
$42$ ?
\item Trouver un nombre dont la suite de Syracuse possède $11$ 
nombres.
\item Compléter les pointillés du programme Scratch de la page suivante pour 
qu'il affiche la suite de Syracuse du nombre choisi au départ.

\vspace*{1em}

\Par

%\NathanLiveProg[\normalfont\selectfont \textit{Pour accéder au programme de la page suivante :}]{Suite de Syracuse}{scratch.mit.edu/projects/472381121}
\textit{\textbf{Voir le programme page suivante.}}


\newpage

\textit{Vous pouvez retrouver ce programme en tapant:}
\begin{center}
\texttt{https://scratch.mit.edu/projects/472381121/}
\end{center}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://scratch.mit.edu/projects/472381121}}}
\begin{scratch}
  \blockinit{quand \greenflag est cliqué}
  \blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre entier supérieur à 
$1$} et attendre}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre} à \ovalmove{réponse}}
    \blockrepeat{répéter jusqu'à ce que 
\booloperator{\ovalvariable{Nombre} = 
\ovalnum{...}}}
{
\blockifelse{si \booloperator{\ovaloperator{\ovalvariable{Nombre} 
modulo \ovalnum{2}} =\ovalnum{...}} alors}
{
\blockvariable{mettre 
\selectmenu{Nombre} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{Nombre}/\ovalnum{...}}}
\blocklook{dire \ovalvariable{Nombre} pendant \ovalnum{2} 
secondes}}
{
\blockvariable{mettre 
\selectmenu{Nombre} à 
\ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{...}*\ovalnum{...}}+\ovalnum{...}
}}
\blocklook{dire \ovalvariable{Nombre} pendant \ovalnum{2} 
secondes}
}}
\end{scratch}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
 \begin{itemize}
  \item Le nombre $a$ est pair lorsque : $a$ modulo $2 = 0$.
  \item Le nombre $a$ est impair lorsque : $a$ modulo $2 = 1$.
 \end{itemize}
En effet, un nombre pair est un nombre divisible par $2$, donc le 
reste de la division euclidienne de ce nombre par $2$ est égal à $0$. 
Et lorsqu'on divise un nombre impair par $2$, le reste est égal à $1$.
\item 
\begin{questions}
 \item Appliquons le programme au nombre $16$ :
\begin{itemize}
 \item $16 \div 2 = 8$
 \item $8 \div 2 = 4$
 \item $4\div 2 = 2$
 \item $2 \div 2 = 1$
\end{itemize}
La suite de Syracuse du nombre $16$ est donc : $8$ -- $4$ -- $2$ 
-- $1$.

\Par

\begin{itemize}
 \item $42 \div 2 = 21$
 \item $21 \times 3 + 1 = 64$
 \item $64 \div 2 = 32$
 \item $32 \div 2 = 16$
\item $16 \div 2 = 8$
 \item $8 \div 2 = 4$
 \item $4\div 2 = 2$
 \item $2 \div 2 = 1$
\end{itemize}
La suite de Syracuse du nombre $42$ est : 
\[21\ \text{--}\ 64\ \text{--}\ 32\ \text{--}\ 16\ \text{--}\ 8\ 
\text{--}\ 4\ \text{--}\ 2\ \text{--}\ 1.\]
\item Pour trouver un nombre dont la suite de Syracuse possède $11$ 
nombres, il suffit de prendre $2^{11} = \text{\numprint{2048}}$, que 
l'on va donc pouvoir diviser onze fois de suite par $2$ avant 
d'obtenir $1$.

\Par

\textit{Remarque :}
 étant donné que la suite de Syracuse de $42$ contient $8$ nombres, 
on aurait également pu prendre $42 \times 2^3 = 336$.

\item Le programme Scratch complété est le suivant :

\textit{Vous pouvez retrouver ce programme en tapant:}
\begin{center}
\texttt{https://scratch.mit.edu/projects/472409044/}
\end{center}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://scratch.mit.edu/projects/472409044}}}
\begin{scratch}[scale=0.95]
  \blockinit{quand \greenflag est cliqué}
  \blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre entier supérieur à 
$1$} et attendre}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{Nombre} à \ovalmove{réponse}}
    \blockrepeat{répéter jusqu'à ce que 
\booloperator{\ovalvariable{Nombre} = 
\ovalnum{1}}}
{
\blockifelse{si \booloperator{\ovaloperator{\ovalvariable{Nombre} 
modulo \ovalnum{2}} =\ovalnum{0}} alors}
{
\blockvariable{mettre 
\selectmenu{Nombre} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{Nombre}/\ovalnum{2}}}
\blocklook{dire \ovalvariable{Nombre} pendant \ovalnum{2} 
secondes}}
{
\blockvariable{mettre 
\selectmenu{Nombre} à 
\ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{Nombre}}
+\ovalnum {1}}}
\blocklook{dire \ovalvariable{Nombre} pendant \ovalnum{2} 
secondes}
}}
\end{scratch}
\end{questions}

\end{questions}

\end{corrige}


% EX8

\begin{exo}{Dans un centre aéré}{Collège Foch, Strasbourg}{2}{15}
Un centre aéré organise une sortie pour 315 enfants et 42 accompagnateurs. Comment peut-on constituer des groupes comportant le même nombre d'enfants et d'accompagnateurs ? Donner toutes les solutions possibles.
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
\begin{methode}
Dans un exercice où il est demandé de constituer plusieurs groupes avec le même nombre d'éléments de deux catégories différentes (ici, des enfants et des accompagnateurs), il sera toujours question de diviseurs.
\end{methode}

Notons $N$ le nombre de groupes d'enfants. On doit répartir les 315 enfants et les 42 accompagnateurs dans ces $N$ groupes de façon à ce qu'il y ait autant d'enfants et  d'accompagnateurs dans chacun des $N$ groupes. Donc $N$ est un diviseur commun à 315 et 42.

Déterminons donc la liste des diviseurs communs à 315 et 42. 
\[
42 = 1 \times 42  = 2 \times 21  = 3 \times 14 = 6 \times 7
\]
Donc les diviseurs de 42 sont : 1 - 2 - 3 - 6 - 7 - 14 - 21 et 42.

On pourrait de même chercher tous les diviseurs de 315 mais seuls les diviseurs \emph{communs} nous intéressent donc il suffit de voir parmi les diviseurs de 42 ceux qui sont aussi des diviseurs de 315. 315 étant un nombre impair, il n'est divisible ni par 2, ni par tout multiple de 2. Les nombres 6, 14 et 42 ne sont donc pas des diviseurs de 315.

En revanche :

\begin{itemize}
\item 1 est bien évidemment un diviseur de 315.
\item $3 + 1 + 5 = 9$ donc 315 est divisible par 3.
\item $315 \div 7 = 45$ donc 315 est divisible par 7.
\item $315 \div 21 = 15$ donc 315 est divisible par 21 (on aurait pu le déduire des deux réponses précédentes. En effet, 315 est divisible par 7 et par 3 donc nécessairement divisible par le produit de 3 par 7, c'est-à-dire par 21).
\end{itemize}

Les diviseurs communs à 315 et 42 sont donc : 1 -- 3 -- 7 et 21. Ce qui nous donne quatre répartitions possibles :

\begin{itemize}
\item 1 seul groupe avec 315 enfants et 42 accompagnateurs;
\item 3 groupes avec 105 enfants et 14 accompagnateurs dans chaque
groupe : 
  \[
  315\div 3 = 105\quad \text{et} \quad 42\div3 = 14\,;
  \]
\item 7 groupes avec 45 enfants et 6 accompagnateurs par groupe :
  \[
  315\div 7=45\quad \text{et} \quad 42\div 7 = 6\,;
  \]
\item 21 groupes avec 15 enfants et 2 accompagnateurs par groupe :
  \[
  315\div 21 = 15\quad \text{et} \quad 42\div 21 = 2.
  \]
\end{itemize}
\end{corrige}

% EX9

\begin{exo}{Remplir une boîte de cubes}{Collège Monthéty, 
Pontault-Combault}{2}{15}
Les dimensions d'une caisse parallélépipédique sont 80~cm, 32~cm et 48~cm. On veut la remplir par des cubes identiques dont l'arête (en cm) est un entier naturel plus grand que 5.  Est-ce possible ? Combien faut-il de cubes au minimum pour remplir cette boîte ? Justifier.
\end{exo}

% EX9corr

\begin{corrige}
Pour que la caisse soit remplie par des cubes identiques dont l'arête (que nous noterons $a$) est un entier naturel, il faut que $a$ soit un diviseur commun à chacune des arêtes de la boîte. On veut de plus que $a$ soit plus grand que 5. Nous allons donc chercher les diviseurs communs à 80, 32 et 48 et voir s'il y a un (ou plusieurs) diviseur(s) commun(s) plus grand(s) que 5.
\[
\begin{aligned}[t]
  80 & = 1 \times 80\\
  & = 2 \times 40 \\
  & = 4 \times 20 \\
  & = 5 \times 16 \\
  & = 8 \times 10
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}[t]
  32 & = 1\times 32 \\
  & = 2 \times 16 \\
  & = 4 \times 8
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}[t]
  48 & = 1 \times 48\\
  & = 2 \times 24 \\
  & = 3 \times 16 \\
  & = 4 \times 12 \\
  & = 6 \times 8
\end{aligned}
\]

On en déduit que :
\begin{itemize}
\item Les diviseurs de 80 sont  : 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 16 - 20 - 40 et 80.

\item Les diviseurs de 32 sont : 1 - 2 - 4 - 8 - 16 et 32.

\item les diviseurs de 48 sont : 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 12 - 16 - 24 et 48.
\end{itemize}

Les diviseurs communs à 32, 48 et 80 sont donc : 1 - 2 - 4 - 8 et 16.

Il y a donc 2 diviseurs communs plus grands que 5 : 8 et 16. Il est donc possible de remplir cette boîte exactement avec des cubes d'arête 8~cm ou 16~cm.

De plus, on veut qu'il y ait le moins possible de cubes donc il faut que l'arête de ces cubes soit \emph{la plus grande possible}. L'arête des cubes est donc de 16~cm. Il y aura : 
\begin{itemize}
\item 5 cubes sur l'arête de 80 cm (car $80 = 16 \times 5$)

\item 2 cubes sur l'arête de 32 cm (car $32 = 16 \times 2$)

\item 3 cubes sur l'arête de 48 cm (car $48 = 16 \times 3$)
\end{itemize}

Or $5 \times 2 \times 3 = 30$ donc il faut 30 cubes d'arête 16~cm pour remplir cette boîte avec un nombre minimal de cubes.
\end{corrige}

\newpage
\sectionnn{Nombres premiers}

% EXB
\begin{vf}{\null}{8}
 Répondre par Vrai ou Faux en justifiant brièvement.
 \begin{questions}
  \item La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
  \item \numprint{7994} est divisible par $3$.
  \item Le carré d'un nombre premier admet exactement $3$ diviseurs.
  \item $12$ est le plus grand diviseur de $24$.
  \item \numprint{3472} est un multiple de $31$.
 \end{questions}

\end{vf}

\begin{corrige}
 \begin{methode}
  Pour prouver qu'une affirmation est fausse, il suffit de trouver un 
contre-exemple. En revanche, pour prouver qu'elle est vraie, il faut 
effectuer un calcul ou utiliser une règle du cours permettant de 
démontrer le résultat.
 \end{methode}
\begin{questions}
 \item C'est faux. En effet, si on choisit $3$ et $5$ qui sont des 
nombres premiers, leur somme $8$ n'est pas un nombre premier.
\item C'est faux, car $7 + 9 + 9 + 4 = 29$ et $29$ n'est pas 
divisible par $3$.
\item C'est vrai. Nommons $a$ le nombre premier choisi. Son carré 
admet alors pour uniques diviseurs $1$ ; $a$ et $a^2$.
\item C'est faux. Le plus grand diviseur de $24$ n'est pas $12$ mais 
$24$.
\item C'est vrai, car $\text{\numprint{3472}} = 31\times 112$, donc 
\numprint{3472} est bien un multiple de $31$.
\end{questions}

\end{corrige}



% EX10

\begin{exo}{Décomposition}{Collège Saint-Charles, Athis-Mons}{1}{8}
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item \numprint{152}
\item \numprint{1520}
\item \numprint{8820}
\item \numprint{6125}
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{tabular}[t]{l|l}
152 & 2\\
76  & 2\\
38  & 2\\
19  & 19\\
1   &
\end{tabular}

Ainsi, $152=2^3\times19$.

\item $\numprint{1520}=152\times10$ donc d'après la question précédente, \\
$\numprint{1520}=2^3\times19\times2\times5=2^4\times5\times19$.

\item \begin{tabular}[t]{l|l}
\numprint{8820} & 2\\
\numprint{4410} & 2\\
\numprint{2205} & 3\\
\numprint{735}  & 3\\
245 & 5\\
49  & $7^2$\\
1 &
\end{tabular}

Donc $\numprint{8820}=2^2\times3^2\times5\times7^2$.

\item \begin{tabular}[t]{l|l}
\numprint{6125} & 5\\
\numprint{1225} & 5\\
\numprint{245} & 5\\
49  & $7^2$\\
1 &
\end{tabular}

Donc $\numprint{6125}=5^3\times7^2$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX11

% \begin{exo}{Nombres premiers palindromes}{Collège Maurice 
% Ravel, Toulon}{1}{5}
% Deux nombres premiers palindromes sont deux nombres premiers qui se lisent de gauche à droite comme de droite à gauche. Par exemple, 13 et 31 sont des nombres premiers palindrome.
% 
% Trouver tous les autres nombres premiers palindromes inférieurs à 100.
% \end{exo}
% 
% % EX11corr
% 
% \begin{corrige}
% À l'aide de la liste des nombres premiers inférieurs à 100 du cours page \pageref{chap:nombres-premiers-liste}, on peut dire que :
% \begin{itemize}
% \begin{multicols}{3}
% \item 2 et 2
% \item 3 et 3
% \item 5  et 5
% \item 7 et 7
% \item 11 et 11
% \item 13 et 31
% \item 17 et 71
% \item 37 et 73
% \item 79 et 97
% \end{multicols}
% 
% \end{itemize}
% sont des nombres premiers palindromes.
% \end{corrige}

% EXC

\begin{exo}{Décompositions et puissances}{Extrait du DNB 2019, 
Métropole}{1}{10}
 \begin{questions}
  \item Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers 
de \numprint{2744}.
\item En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 
$\text{\numprint{2744}}^2$.
\item \`A l'aide de cette décomposition, trouver $x$ tel que $x^3 = 
\text{\numprint{2744}}^2$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{tabular}[t]{l|l}
         \numprint{2744} & $2$ \\
         \numprint{1372} & $2$ \\
         686 & $2$ \\
         343 & $7$ \\
         49 & $7$ \\
         7 & $7$ \\
         $1$ & 
        \end{tabular}
        
Donc : $\text{\numprint{2744}} = 2^3 \times 7^3$.
\item Le résultat précédent entraîne :
\[\text{\numprint{2744}}^2 = (2^3 \times 7^3)^2 = (2^3)^2 \times 
(7^3)^2 = 2^6 \times 7^6.\]
\item On cherche un nombre $x$ vérifiant $x^3 = 
\text{\numprint{2744}}^2$, c'est-à-dire :
\[x^3 = 2^6 \times 7^6 = (2^2)^3 \times (7^2)^3 = (2^2 \times 7^2)^3 
= (4\times 49)^3 = 196^3.\]
Il suffit donc de prendre $x = 196$.
 \end{questions}

\end{corrige}


% EX12

\begin{exo}{Programme de calcul}{Collège Henri Matisse, Nice}{2}{10}
Voici un programme de calcul :

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{minipage}{6.2cm}
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre premier différent de 2
\item Prendre le carré de ce nombre
\item Soustraire 1
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{center}
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{questions}
\item Hugo affirme que s'il prend le nombre \og 11 \fg, il obtient un multiple de~4. Est-ce vrai ?
\item Il souhaite voir si c'est le cas pour n'importe quel nombre premier différent de 2. 

Pour cela, il note $p$ le nombre premier pris au départ.

\begin{questions}
\item Montrer que le résultat final est égal à $(p+1)(p-1)$.
\item Justifier que $p-1$ et $p+1$ sont deux nombres pairs, puis montrer alors que le résultat final est toujours divisible par 4. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Exécutons le programme de calcul lorsque l'on prend 11 au départ :

\Par

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{minipage}{6.6cm}
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre premier différent de 2 :\hfill 11
\item Prendre le carré de ce nombre :\hfill $11^2=121$
\item Soustraire 1 :\hfill $121-1=120$
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{center}
\end{minipage}}
\end{center}

\Par


$120=4\times30$ donc 120 est bien un multiple de 4, donc Hugo a raison.
\item
\begin{questions}
\item Exécutons le programme de calcul pour un nombre premier $p$ quelconque différent de 2 :

\Par

\hspace*{6mm}
\fbox{%
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{minipage}{6.6cm}
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre premier différent de 2 :\hfill $p$
\item Prendre le carré de ce nombre :\hfill $p^2$
\item Soustraire 1 :\hfill $p^2-1$
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{center}
\end{minipage}}

\Par

Or $p^2-1=p^2-1^2=(p-1)(p+1)$ d'après les identités remarquables vues dans le chapitre \ref{chap:developpements} (voir page \pageref{id-remarquables}).

Ainsi, le résultat final est bien égal à $(p-1)(p+1)$.

\item $p$ étant un nombre premier différent de 2, il est nécessairement impair; ainsi, $p-1$ et $p+1$ sont pairs. 

On en déduit alors que $p-1=2\times k$ et $p+1=2\times q$, où $k$ et $q$ sont deux entiers naturels supérieurs à 1.

Alors, $(p-1)(p+1)=2\times k\times2\times q=4\times k\times q$, ce qui montre bien que le résultat final du programme de calcul s'écrit sous la forme $4\times \text{N}$, où N est un entier naturel supérieur à 1, et donc qu'il est divisible par 4.
\end{questions}
\end{questions}
\enlargethispage*{2em}
\end{corrige}

% EX13

% % % \begin{exo}{La conjecture de Goldbach}{Collège Saint Joseph du 
% % % Loquidy, Nantes}{2}{10}
% % % La \emph{conjecture de Goldbach} stipule que tout nombre pair 
% % supérieur ou égal à~3 est la somme de deux nombres premiers.
% % % \begin{questions}
% % % \item Montrer que cette conjecture est vraie pour les nombres 14 et 
% % 22.
% % % \item Lucy a trouvé plusieurs possibilités pour le nombre 36. Donner 
% % toutes les sommes possibles.
% % % \item Trouver toutes les sommes possibles pour le nombre 52.
% % % \end{questions}
% % % \end{exo}
% % % 
% % % % EX13corr
% % % 
% % % \begin{corrige}
% % % \begin{questions}
% % % \item On peut s'aider de la liste des nombres premiers donnée page 
% % \pageref{chap:nombres-premiers-liste}, on voit que $14=11+3$, et bien 
% % évidemment, $22=11+11$.
% % % 
% % % \item \begin{methode}
% % % Pour trouver ces sommes, nous pouvons raisonner de la manière 
% % suivante :
% % % \begin{itemize}
% % % \item je commence avec 2 (1\ier{} nombre de la liste des nombres 
% % premiers). Si $36=2+x$, alors $x=36-2=34$. Or 34 n'est pas un nombre 
% % premier donc cette combinaison n'est pas possible.
% % % \item je continue avec 3 : $36-3=33$ et 33 n'est pas un nombre 
% % premier, donc cette combinaison n'est pas possible.
% % % \item j'essaie avec 5 : $36-5=31$ et 31 est un nombre premier, donc 
% % cette somme est convenable.
% % % \item je continue ainsi en prenant la liste des nombres premiers 
% % dans l'ordre croissant, jusqu'à arriver à la moitié de 36, 
% % c'est-à-dire 18.
% % % \end{itemize}
% % % \end{methode}
% % % 
% % % On obtient alors : $\begin{aligned}[t]
% % % 36 & = 5+31\\
% % % 	 & = 7+29\\
% % % 	 & = 13+23\\
% % % 	 & = 17+19
% % % \end{aligned}$
% % % 
% % % 
% % % \item $\begin{aligned}[t]
% % % 52 & = 5+47\\
% % % 	 & = 11+41\\
% % % 	 & = 23+29
% % % \end{aligned}$
% % % \end{questions}
% % % 
% % % \begin{anecdote}
% % % Christian Goldbach était un mathématicien allemand du milieu du 
% % XVIII\ieme{} siècle. Cette conjecture fut écrite dans une lettre 
% % adressée à un autre mathématicien suisse, Léonhard Euler. Il s'agit 
% % d'une \emph{conjecture} car jusqu'à présent, personne n'a pu 
% % démontrer ce résultat pour tout nombre entier.
% % % \end{anecdote}
% % % \end{corrige}

% EXD

\begin{exo}{Arbres et diviseurs}{Collège Saint-Louis de Gonzague, Paris}{2}{10}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh5Ex15}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Arbres et diviseurs}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh5Ex15}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

\begin{questions}
 \item Décomposer $968$ en produit de facteurs premiers.
 \item En déduire la forme sous laquelle s'écrivent les diviseurs de 
$968$.
\item \`A l'aide d'un arbre des diviseurs, déterminer tous les 
diviseurs de $968$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh5Ex15}}}
\vspace*{-15pt}
 \begin{questions}
  \item $968 = 2 \times 484 = 2^2 \times 242 = 2^3 \times 121 = 2^3 
\times 
11^2$.
\item Les diviseurs de $968$ s'écrivent donc sous la forme $2^n 
\times 11^p$, où $n$ et $p$ sont des nombres entiers vérifiant : $0 \leqslant n \leqslant 3$ et $0\leqslant p \leqslant 2$.
\item Cherchons tous les diviseurs de $968$ à l'aide d'un arbre.

\vspace*{15mm}\hfil\textit{Voir l'arbre page suivante.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.6]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[thick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{feuille}=[]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{2}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.6666666666666665)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(3)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauD{(4)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
\clip (3,1) rectangle (11,-12);
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(5.5)*\InterFeuilles}) {};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(1)*\InterFeuilles}) {$2^0$};
\node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$11^0$};
\node[feuille,anchor=west] (Raaa) at ({\NiveauD},{(0)*\InterFeuilles}) 
{$2^0 \times 11^0 = 1$};
\node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$11^1$};
\node[feuille,anchor=west] (Raba) at ({\NiveauD},{(1)*\InterFeuilles}) 
{$2^0 \times 11^1 = 11$};
\node[noeud] (Rac) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$11^2$};
\node[feuille,anchor=west] (Raca) at ({\NiveauD},{(2)*\InterFeuilles}) 
{$2^0 \times 11^2 = 121$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(4)*\InterFeuilles}) {$2^1$};
\node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$11^0$};
\node[feuille,anchor=west] (Rbaa) at ({\NiveauD},{(3)*\InterFeuilles}) 
{$2^1 \times 11^0 = 2$};
\node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$11^1$};
\node[feuille,anchor=west] (Rbba) at ({\NiveauD},{(4)*\InterFeuilles}) 
{$2^1 \times 11^1 = 22$};
\node[noeud] (Rbc) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$11^2$};
\node[feuille,anchor=west] (Rbca) at ({\NiveauD},{(5)*\InterFeuilles}) 
{$2^1 \times 11^2 = 242$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(7)*\InterFeuilles}) {$2^2$};
\node[noeud] (Rca) at ({\NiveauC},{(6)*\InterFeuilles}) {$11^0$};
\node[feuille,anchor=west] (Rcaa) at ({\NiveauD},{(6)*\InterFeuilles}) 
{$2^2 \times 11^0 = 4$};
\node[noeud] (Rcb) at ({\NiveauC},{(7)*\InterFeuilles}) {$11^1$};
\node[feuille,anchor=west] (Rcba) at ({\NiveauD},{(7)*\InterFeuilles}) 
{$2^2 \times 11^1 = 44$};
\node[noeud] (Rcc) at ({\NiveauC},{(8)*\InterFeuilles}) {$11^2$};
\node[feuille,anchor=west] (Rcca) at ({\NiveauD},{(8)*\InterFeuilles}) 
{$2^2 \times 11^2 = 484$};
\node[noeud] (Rd) at ({\NiveauB},{(10)*\InterFeuilles}) {$2^3$};
\node[noeud] (Rda) at ({\NiveauC},{(9)*\InterFeuilles}) {$11^0$};
\node[feuille,anchor=west] (Rdaa) at ({\NiveauD},{(9)*\InterFeuilles}) 
{$2^3 \times 11^0 = 8$};
\node[noeud] (Rdb) at ({\NiveauC},{(10)*\InterFeuilles}) {$11^1$};
\node[feuille,anchor=west] (Rdba) at 
({\NiveauD},{(10)*\InterFeuilles}) {$2^3 \times 11^1 = 88$};
\node[noeud] (Rdc) at ({\NiveauC},{(11)*\InterFeuilles}) {$11^2$};
\node[feuille,anchor=west] (Rdca) at 
({\NiveauD},{(11)*\InterFeuilles}) {$2^3 \times 11^2 = 968$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (Ra)--(Raa);
\draw[fleche] (Ra)--(Rab);
\draw[fleche] (Ra)--(Rac);
\draw[fleche] (Rb)--(Rba);
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb);
\draw[fleche] (Rb)--(Rbc);
\draw[fleche] (Rc)--(Rca);
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb);
\draw[fleche] (Rc)--(Rcc);
\draw[fleche] (Rd)--(Rda);
\draw[fleche] (Rd)--(Rdb);
\draw[fleche] (Rd)--(Rdc);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Les diviseurs de $968$ sont donc : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $11$ ; 
$22$ ; $44$ ; $88$ ; $121$ ; $242$ ; $484$ et $968$.
 \end{questions}

\end{corrige}


% EXE

\begin{exo}{Les néons défectueux}{Collège Chaptal, Paris}{2}{10}
 Les deux néons défectueux de la salle de musique clignotent. Le 
premier s'allume toutes les $153$ secondes et l'autre toutes les 
$187$ secondes.

\`A 8~h~15, ils s'allument ensemble. Déterminer l'heure précise à 
laquelle ils s'allumeront de nouveau ensemble.
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
Pour déterminer la durée au bout de laquelle les deux néons s'allumeront de nouveau ensemble, on doit trouver un temps qui est à la fois multiple de $153$ et de $187$. Comme on cherche le premier moment où cela se produira, on cherche le plus petit multiple commun à $153$ et $187$.

\begin{methode}
Pour trouver le plus petit multiple commun à deux entiers, on décompose chacun de ces nombres en facteurs premiers, puis on en multiplie entre eux tous les nombres premiers obtenus. Si certains facteurs premiers sont communs aux deux décompositions avec des exposants différents, on prend l'exposant le plus grand. 
%Attention: cette méthode n'est plus au programme de 3ème, cependant de nombreux enseignants l'utilisent...
\end{methode}
%\newpage
Décomposons en produit de facteurs premiers 153 et 187:
\[153 = 3^2 \times 17 \text{ et } 187 = 11 \times 17.\]
Le plus petit multiple commun à ces deux nombres est donc :
\[3^2 \times 11 \times 17 = \text{\numprint{1683}}.\]
\begin{attention}
Le calcul du plus petit multiple commun à deux entiers n'est plus au programme de 3ème, cependant de nombreux professeurs continuent à l'enseigner.
\end{attention}
Dans \numprint{1683} secondes, le premier néon s'allumera pour la 
11\ieme{} fois depuis 8~h~15 et le deuxième néon s'allumera pour la 
9\ieme{} fois.

En effectuant la division euclidienne de \numprint{1683} par $60$, on 
obtient : \[1683~\text{ s} = 28~\text{min}~3~\text{s}.\] Les deux 
néons s'allumeront ensemble de nouveau $28$ minutes et $3$ secondes 
plus tard. Il sera donc $8$~h~$43$~min~$3$~s.
\end{corrige}


% EX14

% \begin{exo}{Nombres de Mersenne}{Collège Jean Moulin, 
% Verrières le Buisson}{2}{10}
% On appelle \emph{nombre de Mersenne} tout nombre qui s'écrit sous la forme\linebreak $\text{M}_n=2^n-1$, avec $n\geqslant1$ entier.
% \begin{questions}
% \item Calculer $\text{M}_2$, c'est-à-dire le nombre de Mersenne pour $n=2$.
% \item Calculer ensuite $\text{M}_3$, $\text{M}_5$ et $\text{M}_7$.
% \item Que peut-on remarquer sur les nombres 3, 5 et 7 ainsi que sur $\text{M}_3$, $\text{M}_5$ et $\text{M}_7$ ? Quelle conjecture pourrait-on faire ici ?
% \item Le nombre $\text{M}_{11}$ est-il un nombre premier ? Que peut-on alors conclure quant la la conjecture émise à la question précédente ?
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX14corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item $\text{M}_2=2^2-1=4-1=3$.
% \item $\begin{aligned}[t]
% \text{M}_3 & = 2^3-1=8-1=7.\\
% \text{M}_5 & = 2^5-1=32-1=31.\\
% \text{M}_7 & = 2^7-1=128-1=127.
% \end{aligned}$
% 
% \item On peut remarquer que les nombres 3, 5 et 7 ainsi que $\text{M}_3$, $\text{M}_5$ et $\text{M}_7$ sont premiers.
% 
% On peut alors émettre la conjecture que si $p$ est un nombre premier alors $\text{M}_p$ est aussi un nombre premier.
% 
% \item $\text{M}_{11}=2^{11}-1=\numprint{2048}-1=\numprint{2047}$.
% 
% Or $\numprint{2047}=23\times89$ donc, bien que 11 soit un nombre premier, $\text{M}_{11}$ n'est pas un nombre premier. La conjecture émise à la question précédente est donc fausse.
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX15

% \begin{exo}{pgcd et ppcm de deux entiers}{Collège Condorcet, 
% Paris}{3}{10}
% On appelle \og pgcd de deux nombres entiers $a$ et $b$ \fg{} le plus grand diviseur commun à ces deux nombres; on le note $\PGCD(a\;;b)$.
% 
% On appelle \og ppcm de deux nombres entiers $a$ et $b$ \fg{} le plus petit multiple commun à ces deux nombres; on le note $\PPCM(a\;;b)$.
% 
% \begin{questions}
% \item Décomposer en produit de facteurs premiers \numprint{2100} et \numprint{4410}.
% \item À l'aide de question précédente,
% \begin{questions}
% \item trouver $p=\PGCD(\numprint{2100}\;;\numprint{4410})$ ;
% \item trouver $m=\PPCM(\numprint{2100}\;;\numprint{4410})$.
% \end{questions}
% \item 
% \begin{questions}
% \item Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de \linebreak $\numprint{2100}\times\numprint{4410}$ ?
% \item Comparer le résultat de la question précédente avec la décomposition en produit de facteurs premiers de $p\times m$.
% 
% Que peut-on constater ?
% \end{questions}
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX15corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item \begin{tabular}[t]{Sr|Sl}
% \numprint{2100} & 2\\
% \numprint{1050} & 2\\
% 525 & 3\\
% 175 & 5\\
% 35 & 5\\
% 7 & 7\\
% 1
% \end{tabular}
% \qquad~et~\qquad
% \begin{tabular}[t]{Sr|Sl}
% \numprint{4410} & 2\\
% \numprint{2205} & 3\\
% 735 & 3\\
% 245 & 5\\
% 49 & $7^2$\\
% 1
% \end{tabular}
% 
% \Par
% 
% Ainsi, $\begin{aligned}[t]
% \numprint{2100} & = 2^2\times3\times5^2\times7\\
% \numprint{4410} & =2\times3^2\times5\times7^2
% \end{aligned}$
% 
% \item
% \begin{questions}
% \item On cherche le diviseur commun à \numprint{2100} et \numprint{4410} le plus grand; pour cela, on va regarder tous les facteurs premiers qui interviennent dans la décomposition de chacun de ces deux nombres et on va prendre ceux qui sont en commun.
% \begin{itemize}
% \item le facteur \og 2 \fg{} intervient dans les deux décompositions; son exposant est égal à 2 pour \numprint{2100} et à 1 pour \numprint{4410}, donc on ne peut pas prendre $2^2$ (car il ne divise pas \numprint{4410}). On retient donc : $2$.
% \item le facteur \og 3 \fg{} intervient dans les deux décompositions; comme précédemment, on retient : $3$ (car $3^2$ ne divise pas \numprint{2100}).
% \item le facteur \og 5 \fg{} intervient dans les deux décompositions; comme précédemment, on retient : $5$ (car $5^2$ ne divise pas \numprint{4410}).
% \item le facteur \og 7 \fg{} intervient dans les deux décompositions; comme précédemment, on retient : $7$ (car $7^2$ ne divise pas \numprint{2100}).
% \end{itemize}
% Au final, $\PGCD(\numprint{2100}\;;\numprint{4410})=2\times3\times5\times7$, soit :
% \[
% p=\PGCD(\numprint{2100}\;;\numprint{4410})=210.
% \]
% 
% \item On cherche le plus petit multiple commun à \numprint{2100} et \numprint{4410}. Comme tout multiple de \numprint{4410}, il s'écrit $k\times\numprint{4410}$ où $k$ est un entier naturel, c'est-à-dire $k\times2\times3^2\times5\times7^2$.
% 
% Pour qu'il soit aussi un multiple de \numprint{2100}, il faudrait faire intervenir les mêmes facteurs que dans la décomposition de \numprint{2100}. On constate qu'il manque un 2 et un 5 (car dans la décomposition de \numprint{2100}, il y a $2^2$ et $5^2$ et dans celle de \numprint{4410}, ces deux facteurs ont un exposant inférieur à 2). Ce qui nous pousse à prendre $k=2\times5$.
% 
% Ainsi, $2\times5\times2\times3^2\times5\times7^2$ est un multiple des deux nombres, et c'est le plus petit possible.
% 
% On a alors : 
% \[
% m=\PPCM(\numprint{2100}\;;\numprint{4410})=2^2\times3^2\times5^2\times7^2=\numprint{44100}.
% \]
% \end{questions}
% 
% \item
% \begin{questions}
% \item $\begin{aligned}[t]
% \numprint{2100}\times\numprint{4410} & = \big(2^2\times3\times5^2\times7\big)\times\big(2\times3^2\times5\times7^2\big)\\
% & = 2^2\times2\times3\times3^2\times5^2\times5\times7\times7^2\\
% & = 2^3\times3^3\times5^3\times7^3.
% \end{aligned}$
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% p\times m & = \big(2\times3\times5\times7\big)\times\big(2^2\times3^2\times5^2\times7^2 \big)\\
% & = 2^3\times3^3\times5^3\times7^3.
% \end{aligned}$
% 
% \Par
% 
% On constate alors que :
% \[
% \PGCD(\numprint{2100}\;;\numprint{4410}) \times \PPCM(\numprint{2100}\;;\numprint{4410}) = \numprint{2100}\times\numprint{4410}.
% \]
% \end{questions}
% \end{questions}
% 
% \begin{anecdote}
% Les mathématiciens arrivent à démontrer que, quels que soient les entiers naturels $a$ et $b$,
% \[
% \PGCD(a\;;b) \times \PPCM(a\;;b) = a\times b.
% \]
% \end{anecdote}
% \end{corrige}

% EX16

\begin{exo}{Trouver tous les facteurs 
premiers}{Collège Fenelon Sainte-Marie, Paris}{3}{20}\label{
chap:nombres-premiers-ex-trouvertouslesfacteurspremiers}
Soit $n\geqslant2$ un nombre entier non premier.

On se propose ici de démontrer le résultat suivant :

\begin{center}
\og $n$ a au moins un diviseur premier inférieur à $\sqrt{n}$ \fg{} 
\end{center}

Nous allons pour cela utiliser un raisonnement par l'absurde, qui consiste à émettre une hypothèse à partir de laquelle on déduit un résultat faux, ce qui prouve que l'hypothèse est fausse.

Nous admettrons ici la propriété suivante : 

\og \emph{Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs tels que $a\leqslant b$, alors $\sqrt{a}\leqslant\sqrt{b}$.} \fg{} 

\begin{questions}
\item On pose $n=p\times q$, où $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, où $p$ est le plus petit diviseur de $n$ différent de 1 et où $p\leqslant q$.

On suppose que $p$ n'est pas premier et donc que $p=d\times k$, où $k$ et $d$ sont deux entiers naturels non nuls différents de 1.

Montrer que c'est contradictoire avec le fait que $p$ soit le plus petit diviseur de $n$. En déduire que $p$ est premier.

\item Montrer que $p^2\leqslant pq$ et donc que $p \leqslant \sqrt{n}$.
\item Trouver tous les diviseurs premiers de \numprint{5083}.
\end{questions}
\end{exo}

% EX16corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si $p=d\times k$ alors $d$ (par exemple) est plus petit que $p$. Or $p$ divise $n$ donc $d$ divise aussi $n$. Ainsi, $d$ est un diviseur de $n$ plus petit que $p$, ce qui est contradictoire avec le fait que $p$ est le plus petit diviseur de $n$.

Par conséquent, $p$ ne peut pas s'écrire sous la forme $d\times k$, et donc $p$ est nécessairement premier.

\item D'après l'énoncé,
\[ 
p\leqslant q
\]
donc en multipliant par $p$ les deux membres de l'inégalité, on a :
\[
p\times p\leqslant p\times q \;,
\]
soit :
\[
p^2\leqslant n.
\]
$p$ et $n$ étant deux nombres positifs, on peut prendre la racine carrée des deux membres pour obtenir finalement :
\[
p\leqslant\sqrt n.
\]

\item D'après ce qui a été fait précédemment, si $\numprint{5083}$ admet un diviseur premier $p$, alors $p\leqslant\sqrt{\numprint{5083}}$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\sqrt{\numprint{5083}}\approx71,3$. Il faut donc regarder tous les nombres premiers inférieurs à 71 et voir celui ou ceux qui divisent \numprint{5083}.

On peut exclure 2, 3, 5 et 9 d'après les critères de divisibilité.
\enlargethispage*{4em}
\begin{itemize}
\item $\numprint{5083}\div7\approx726,14$ donc 7 n'est pas un diviseur de \numprint{5083};
\item $\numprint{5083}\div11\approx462,1$ donc 11 n'est pas un diviseur de \numprint{5083};
\item $\numprint{5083}\div13=391$ donc 13 est un diviseur de \numprint{5083};
\item $391\div17=23$ donc on peut conclure que : $\numprint{5083}=13\times17\times23$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}
\sectionnn{Fractions irréductibles}

% EX17

\begin{exo}{Vérification d'irréductibilité}{Collège Foch, Strasbourg}{1}{5}
Vérifier que la fraction $\dfrac{216}{325}$ est irréductible.
\end{exo}

% EX17corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
Décomposons en produit de facteurs premiers les nombres 216 et 325 :
\[
\begin{tabular}[t]{l|l}
216 & 2\\
108 & 2\\
54 & 2\\
27 & 3\\
9 & 3\\
3 & 3\\
1 & 
\end{tabular}
\qquad\qquad\text{et}\qquad\qquad
\begin{tabular}[t]{l|l}
325 & 5\\
65 & 5\\
13 & 13\\
1 & 
\end{tabular}
\]
Ainsi, il n'y a aucun facteur commun dans les deux décompositions donc la fraction est irréductible.
\end{corrige}

% EX18

\begin{exo}{Simplification de fraction}{Collège Saint-Joseph, Caudan}{1}{5}
Soient les nombres $a = \nombre{1170}$ et $b = \nombre{1830}$.
Rendre irréductible la fraction $\dfrac{a}{b}$ en détaillant la méthode utilisée.
\end{exo}

% EX18corr

\begin{corrige}
Décomposons en produit de facteurs premiers les nombres  \nombre{1170} et \nombre{1830}.
\[
\begin{tabular}[t]{l|l}
\nombre{1170} & 2\\
585 & 3\\
195 & 3\\
65 & 5\\
13 & 13\\
1 & 
\end{tabular}
\qquad\qquad\text{et}\qquad\qquad
\begin{tabular}[t]{l|l}
\nombre{1830} & 2\\
915 & 3\\
305 & 5\\
61 & 61\\
1 & 
\end{tabular}
\]
Ainsi,
\[
\dfrac{\numprint{1170}}{\numprint{1830}}=\dfrac{\textcolor{DR}{2\times3\times5}\times3\times13}{\textcolor{DR}{2\times3\times5}\times61}=\dfrac{3\times13}{61}=\dfrac{39}{61}.
\]
\end{corrige}

% EX19

\begin{exo}{Calculs avec des fractions}{Collège du Haut-Mesnil, Montrouge}{1}{3}
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 
\[
\text{A} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{21}.
\]
\end{exo}

% EX19corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
\begin{attention}
Le type de calcul proposé dans cet exercice, qui n'est pourtant pas
très compliqué, est pourtant malheureusement \og{}fatal\fg{} à beaucoup trop d'élèves de troisième. En effet, on peut être tenté de commencer par effectuer la soustraction qui paraît plus simple... Mais cela donnerait un résultat faux car c'est  la \textit{multiplication} qu'il faut effectuer en premier, celle-ci étant prioritaire. Cette règle est trop souvent oubliée!
\end{attention}
\newpage
\[
\begin{aligned}
{\rm A} & = \frac{7}{5} - \frac{9}{5} \times \frac{2}{21}\\
  & = \frac{7}{5} - \frac{3 \times 3 \times 2}{5 \times 3 \times 7}\\
  & = \frac{7}{5} - \frac{3 \times 2}{5 \times 7} \qquad
  \text{(simplification par 3)}\\
  & = \frac{7}{5} - \frac{6}{35}\\
  & = \frac{49}{35} - \frac{6}{35}\\
  & = \frac{43}{35}.
\end{aligned}
\]
\end{corrige}

% EX20

\begin{exo}{Calculs avec des fractions}{Collège Paul Bert, Chatou}{1}{5}
En donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, calculer :
\[
\dfrac{932}{\nombre{1631}} + \dfrac{19}{28}.
\]
\end{exo}

% EX20corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Dans une somme (ou différence) de fractions, avant de réduire au même dénominateur, il faut toujours se demander si l'une des fractions au moins est simplifiable, surtout quand une des fractions comporte de \og grands \fg{} nombres comme ici.
\end{methode}

Nous allons trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de 932 et de \nombre{1631} pour déterminer si la fraction $\dfrac{932}{\nombre{1631}}$ est irréductible ou si, au contraire, on peut la simplifier.  

\[
\begin{tabular}[t]{l|l}
932 & 2\\
466 & 2\\
233 & 233\\
1 & 
\end{tabular}
\qquad\qquad\text{et}\qquad\qquad
\begin{tabular}[t]{l|l}
\numprint{1631} & 7	\\
233 & 233\\
1 & 
\end{tabular}
\]

La fraction $\dfrac{932}{\nombre{1631}}$ n'est donc pas irréductible (car simplifiable par 233). On peut donc écrire :

\[
\dfrac{932}{\nombre{1631}} = \dfrac{932\div 233}{\nombre{1631}\div 233} = \dfrac{4}{7}.
\]

\begin{Remarque}
vous conviendrez que la fraction $\dfrac{4}{7}$ est beaucoup plus \og{}sympathique\fg{} pour les calculs que la fraction $\dfrac{932}{\nombre{1631}}$\ldots
\end{Remarque}

Nous pouvons donc maintenant effectuer le calcul demandé :

\[
\begin{aligned}
\frac{932}{\nombre{1631}} + \frac{19}{28} &= 
  \frac{4}{7} + \frac{19}{28} \\
  & = \dfrac{4\times4}{7\times4}+\dfrac{19}{28}\\
  & = \frac{16}{28} +  \frac{19}{28}\\
  & = \frac{35}{28} \\
  & = \frac{5}{4}.
\end{aligned}
\]
\end{corrige}

% EX21

\begin{exo}{Une histoire de proportion}{Collège Jean-Baptiste de La Salle, Saint Denis de la Réunion}{1}{5}
\enlargethispage*{3em}
Monsieur Morfalou a acheté une boîte de bonbons dans laquelle il y a 40 chocolats et 35 caramels.
\begin{questions}
\item Donner sous forme de fraction irréductible la proportion de chocolats dans la boîte.
\item Gourmand, il mange 5 chocolats et 5 caramels avant d'arriver chez lui. Il prétend que la proportion de chocolats est restée la même. Que penser de cette affirmation ?
\end{questions} 
\end{exo}

% EX21corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La proportion de chocolats dans la boîte est donnée par la fraction :
\[ \dfrac{40}{40+35}=\dfrac{40}{75} \]
car il y a 40 chocolats et $40+35=75$ bonbons en tout dans la boîte.

Or, $40=8\times5=2^3\times5$ et $75=3\times25=3\times5^2$ donc :
\[ 
\dfrac{40}{75}=\dfrac{8\times5}{3\times5\times5}=\dfrac{8}{15}.\]
La proportion de chocolats dans la boîte est donc égale à $\dfrac{8}{15}$

\item Si monsieur Morfalou mange 5 chocolats et 5 caramels, la proportion de chocolats devient :
\[
\dfrac{40-5}{(40-5)+(35-5)}=\dfrac{35}{65}=\dfrac{7\times5}{13\times5}=\dfrac{7}{13}.
\]
Ainsi, la proportion de chocolats n'est pas restée la même que lorsqu'il a acheté la boîte.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX22

\begin{exo}{À l'aide d'un contre-exemple}{Collège Petit Val, 
Sucy en Brie}{2}{10}
Pour tout entier naturel $n$, on considère le nombre :
\[
\text{A}=\dfrac{n^2-n+3}{n^2+n+2}
\]
\begin{questions}
\item Calculer A pour $n$ prenant des valeurs de 1 à 5.
\item Léa affirme que A est toujours une fraction irréductible directement avec la formule donnée. Montrer qu'elle a tort.
\end{questions}
\end{exo}

% EX22corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item Pour $n=1$, $\text{A} = \dfrac{1^2-1+3}{1^2+1+2}=\dfrac{3}{4}$.

Pour $n=2$, $\text{A} = \dfrac{2^2-2+3}{2^2+2+2}=\dfrac{5}{8}$.

Pour $n=3$, $\text{A} = \dfrac{3^2-3+3}{3^2+3+2}=\dfrac{9}{14}$.

Pour $n=4$, $\text{A} = \dfrac{4^2-4+3}{4^2+4+2}=\dfrac{15}{22}$.

Pour $n=5$, $\text{A} = \dfrac{5^2-5+3}{5^2+5+2}=\dfrac{23}{32}$.


\item \begin{methode}
Ce n'est pas parce qu'une formule fonctionne pour quelques valeurs que cette formule fonctionne pour \textit{toutes} les valeurs.

\Par

Pour démontrer qu'elle n'est pas toujours vraie, il suffit de trouver une valeur pour laquelle elle est fausse; c'est ce que l'on appelle un \emph{contre-exemple}.

\Par

Si l'on veut démontrer qu'elle est toujours vraie, il faut utiliser les propriétés algébriques et raisonner en conservant les lettres.
\end{methode}

Sur les résultats obtenus à la question 1, en effet, A est toujours une fraction irréductible. Cependant, ce n'est pas parce que cela est vrai pour quelques valeurs de $n$ que ça l'est pour \emph{toutes} les valeurs. Prenons $n=6$. Alors :

\[
\text{A} = \dfrac{6^2-6+3}{6^2+6+2}=\dfrac{33}{44}.
\]

33 et 44 sont deux multiples de 11 donc la fraction obtenue n'est pas irréductible immédiatement après avoir appliqué la formule de l'énoncé.

Ainsi, Léa a tort.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX23

% \begin{exo}{Une égalité surprenante}{Collège Alain Fournier, 
% Bordeaux}{2}{15}
% On considère quatre nombres non nuls $a$, $b$, $c$ et $d$.
% 
% Nous souhaitons démontrer la propriété suivante :
% \begin{center}
% \og Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$. \fg{} 
% \end{center} 
% 
% \begin{questions}
% \item Vérifier que pour $a=25$, $b=15$, $c=5$ et $d=3$, cette propriété est vérifiée.
% \item On suppose que $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
% \begin{questions}
% \item Montrer que $c=\dfrac{ad}{b}$.
% \item Montrer alors que $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{ab+ad}{b(b+d)}$.
% \item En déduire que $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$.
% \end{questions}
% \item Démontrer que la réciproque  de cette propriété est vraie.
% \item Application : simplifier la fraction $\dfrac{10^9+1}{2\times10^9+2}$.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX23corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Pour  $a=25$, $b=15$, $c=5$ et $d=3$, nous avons :
% \[
% \dfrac{a}{b}=\dfrac{25}{15}=\dfrac{5\times5}{5\times3}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{c}{d}.
% \]
% Par conséquent, la condition \og $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ \fg{} est remplie.
% 
% De plus,
% \[
% \dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{25+5}{15+3}=\dfrac{30}{18}=\dfrac{6\times5}{6\times3}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.
% \]
% Ainsi, l'égalité \og $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$ \fg{} est vraie.
% 
% La propriété est alors vraie pour ces quatre nombres.
% 
% \item On suppose que $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
% \begin{questions}
% \item Dans ce cas, d'après l'égalité des produits en croix, 
% \[
% ad = bc
% \]
% et donc, en divisant chaque membre de cette égalité par $b$ :
% \[
% \dfrac{ad}{b}=c.
% \]
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% \dfrac{a+c}{b+d} & = \dfrac{a+\frac{ad}{b}}{b+d}\text{ d'après la question précédente}\\[6pt]
% & = \dfrac{\frac{ab}{b}+\dfrac{ad}{b}}{b+d}\\[6pt]
% & =\dfrac{\frac{ab+ad}{b}}{b+d}\\[6pt]
% & = \dfrac{ab+ad}{b}\times\dfrac{1}{b+d}\\[6pt]
% &= \dfrac{ab+ad}{b(b+d)}
% \end{aligned}$
% 
% \item De la question précédente, on déduit après avoir factoriser le numérateur par $a$ :
% \begin{align*}
% \dfrac{a+c}{b+d} & = \dfrac{a\textcolor{DR}{(b+d)}}{b\textcolor{DR}{(b+d)}}\\[6pt]
% & = \dfrac{a}{b}\text{ après avoir simplifier par }\textcolor{DR}{(b+d)}
% \end{align*}
% \end{questions}
% 
% \item La réciproque de la propriété est :
% \begin{center}
% \og Si $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$ alors $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. \fg{} 
% \end{center}
% 
% Partons donc de l'égalité $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$ et utilisons l'égalité des produits en croix :
% \[
% (a+c)\times b = (b+d) \times a
% \]
% et en développant :
% \[
% \textcolor{DR}{ab}+cb=\textcolor{DR}{ab}+da.
% \]
% En soustrayant $\textcolor{DR}{ab}$ de chaque membre de cette égalité, on obtient :
% \[
% cb=ad
% \]
% qui correspond à l'égalité des produits en croix de l'égalité :
% \[
% \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.
% \]
% La réciproque de la propriété initiale est alors démontrée.
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% \dfrac{10^9+1}{2\times10^9+2}
% & = \dfrac{1\times\big(10^9+1\big)}{2\times\big(10^9+1\big)}\\[6pt]
% & = \dfrac{1}{2}
% \end{aligned}$
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX24

\begin{exo}{Irrationalité de $\pmb{\sqrt\text{2}}$}{Collège 
Les Bons Raisins, Rueil-Malmaison}{3}{20}
Un nombre est dit \emph{irrationnel} s'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$, où $p$ et $q$ sont deux nombres entiers non nuls.

On définit le nombre $\sqrt2$ comme étant le nombre positif dont le carré est égal à 2 : $\big(\sqrt2\big)^2=2$.

On cherche à démontrer que $\sqrt2$ est irrationnel. Pour cela, on suppose le contraire et on pose $\sqrt2=\dfrac{p}{q}$, où $\dfrac{p}{q}$ est une fraction irréductible.

\begin{questions}
\item Soit $p$ un entier strictement supérieur à 1 tel que $p^2$ soit pair. Supposons que $p$ soit impair, et donc que $p$ puisse s'écrire sous la forme $p=2k+1$, où $k$ est un entier naturel non nul. 

\begin{questions}
\item Exprimer en fonction de $k$ le nombre $p^2$.
\item $p^2$ est-il pair ? Conclure sur la parité de $p$.
\end{questions}

\item Exprimer en fonction de $p$ et $q$ le nombre $\big(\sqrt2\big)^2$.

En déduire que $2q^2=p^2$.

\item Montrer alors que $p$ s'écrit sous la forme $p=2k$, où $k$ est un entier naturel non nul.
\item En déduire que $q$ est pair, puis conclure que $\sqrt2$ ne peut pas s'écrire comme une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX24corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $p=2k+1$ donc :
\begin{align*}
p^2 & =(2k+1)^2\\
	  & =(2k)^2+2\times2k\times1+1^2\text{ (d'après les identités remarquables),}\\
	  & =4k^2+4k+1.
\end{align*}

\item $4k^2$ est un multiple de 4, donc il est divisible par 2. De même, $4k$ est divisible par 2. Ainsi, $4k^2+4k$ est pair, ce qui implique que $4k^2+4k+1$ est impair.

%On trouve que $p^2$ est impair, alors que nous avions supposé qu'il était pair... Cette supposition était donc fausse et nous pouvons en déduire que si $p^2$ est pair, $p$ ne peut pas être impair. 

On trouve donc que si $p$ est impair, $p^2$ est impair. Or d'après l'énoncé, $p^2$ est pair. Il faut donc que $p$ soit pair pour que $p^2$ soit pair.

%Donc si $p^2$ est pair, $p$ est pair lui aussi.

%Alors, $p^2$ est impair, ce qui n'est pas possible car nous avons supposé $p^2$ pair.

%On en déduit alors que la supposition que l'on a faite est fausse, c'est-à-dire que $p$ n'est pas impair.

\Par

On peut donc en déduire que si $p^2$ est pair, alors $p$ est pair lui aussi.
\end{questions}

\item On suppose que $\sqrt2=\dfrac{p}{q}$ donc :
\[
\big(\sqrt2\big)^2=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2=\dfrac{p^2}{q^2}.
\]
\newpage
Or $\big(\sqrt2\big)^2=2$ donc :
\[
2=\dfrac{p^2}{q^2}
\]
ou encore :
\[
2q^2=p^2\text{ (égalité des produits en croix)}.
\]

\item %$p$ et $q$ n'ont aucun diviseur commun donc $p^2$ et $q^2$ non plus. Alors, 
Si $2q^2=p^2$, cela signifie que $p^2$ est un nombre pair (car $2q^2$ est un multiple de 2).

Par conséquent, d'après la question 1, $p$ est aussi pair.

Dans ce cas, $p=2k$ où $k$ est un entier naturel non nul.

\item Si $p=2k$ alors :
\[
p^2=(2k)^2=4k^2.
\]
On a alors :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2q^2=p^2\\[5pt]
p^2=4k^2
\end{array}
\right.
\]
On en déduit alors : 
\[
2q^2=4k^2
\]
soit :
\[
q^2=2k^2
\]
(en divisant par 2 les deux membres de l'égalité)

Ainsi, $q^2$ est pair et d'après la question 1, on en déduit que $q$ est aussi pair, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que nous avons faite au départ, à savoir que $p$ et $q$ n'ont pas de diviseur commun (or ici, si $p$ et $q$ sont pairs, ils ont pour diviseur commun le nombre \og 2 \fg).

\Par

\emph{Bilan :} nous sommes partis de l'hypothèse selon laquelle $\sqrt2$ pouvait s'écrire comme une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ et nous en avons déduit que $p$ et $q$ étaient pairs, ce qui est contradictoire. 

Par conséquent, cette hypothèse est fausse : $\sqrt2$ ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible, et donc $\sqrt2$ est irrationnel.
\end{questions}

\begin{methode}[raisonnement pas l'absurde]
Nous avons vu dans cet exercice à deux reprises le même raisonnement : supposer qu'une propriété est vraie et en déduire un résultat contradictoire (faux, ou qui rentre en contradiction avec la propriété supposée vraie). 

C'est ce que l'on appelle un \emph{raisonnement par l'absurde}.

Ce type de raisonnement est extrêmement important en mathématiques..
\end{methode}

% \begin{anecdote}[irrationnalité de $\pi$]
% Après avoir démontré que le nombre $\sqrt2$ est irrationnel, vous pourriez avoir envie de démontrer que $\pi$ l'est aussi...
% 
% Ceci est fortement déconseillé à un(e) élève de 3\ieme. En effet, même si la démonstration repose sur un raisonnement par l'absurde, elle n'est pas encore accessible avec les outils mathématiques dont nous disposons en 3\ieme, mais avec des outils ... (attention, spoiler alert !) d'analyse fonctionnelle comme l'intégration (que certains élèves voient en classe de Terminale).
% \end{anecdote}
\end{corrige}

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\AfficheCorrige
